Свойства и графики на тригонометрични функции. Тригонометрични функции на числов аргумент. Графика и свойства на функцията y = sin x Функции на числен аргумент

Назад напред

внимание! Визуализациите на слайдове са само за информационни цели и може да не представят всички характеристики на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

Цели на урока:

1. Развиване на умения и способности за използване на тригонометрични формули за опростяване на тригонометрични изрази.
2. Прилагане на принципа на дейностния подход в обучението на учениците, развиване на комуникативни умения и толерантност на учениците, способността да слушат и чуват другите и да изразяват своето мнение.
3. Повишаване на интереса на учениците към математиката.

Тип урок:обучение.

Тип урок:урок за умения и способности.

Форма на обучение:група

Тип групи: група, седяща заедно. Студенти с различно ниво на подготовка, информираност по даден предмет, съвместими ученици, което им позволява да се допълват и обогатяват взаимно.

Оборудване:дъска; тебешир; таблица "Тригонометър"; маршрутни листове; карти с букви (A, B, C.) за попълване на теста; табели с имената на екипажа; таблици с резултати; таблици с имена на етапи от пътуването; магнити, мултимедиен комплекс.

По време на часовете

Учениците седят на групи: 4 групи от по 5-6 души. Всяка група е екипаж на автомобил с имена, съответстващи на имената на тригонометрични функции, воден от волан. На всеки екипаж се дава маршрутен лист и се определя цел: успешно преминаване на дадения маршрут без грешки. Урокът е придружен с презентация.

I. Организационен момент.

Учителят съобщава темата на урока, целта на урока, хода на урока, работния план на групите, ролята на кормчиите.

Встъпителни бележки на учителя:

– Момчета! Запишете номера и темата на урока: „Тригонометрични функции на числен аргумент“.

Днес в клас ще научим:

1. Изчислява стойности на тригонометрични функции;
2. Опростете тригонометричните изрази.

За да направите това, трябва да знаете:

1. Дефиниции на тригонометрични функции
2. Тригонометрични отношения (формули).

Отдавна се знае, че една глава е добра, но две са по-добри, затова днес работите в групи. Известно е също, че който върви, ще овладее пътя. Но живеем в епоха на скорост и времето е ценно, което означава, че можем да кажем следното: „Пътят ще бъде овладян от тези, които шофират“, така че днес нашият урок ще се проведе под формата на игра „Математическо рали“. Всяка група е екипаж на превозно средство, ръководен от волан.

Целта на играта:

• успешно завършване на маршрута за всеки екипаж;
• идентифицирайте рали шампионите.

Името на екипажите отговаря на марката на автомобила, който управлявате.

Представят се екипажите и техните кормчии:

• Екипаж - "синус"
• Екипаж - "косинус"
• Екипаж - "тангента"
• Екипаж – “котангенс”

Мотото на състезанието: "Бързай бавно!"

Трябва да преминете през „математически терен“ с много препятствия.

На всеки екипаж бяха издадени маршрутни листове. Екипажи, които знаят дефиниции и тригонометрични формули, ще могат да преодолеят препятствията.

По време на бягането всеки кормчия напътства екипажа, подпомагайки и оценявайки приноса на всеки член на екипажа за преодоляване на маршрута под формата на „за“ и „против“ в протокола. За всеки верен отговор групата получава “+” и неправилен отговор “-”.

Трябва да преодолеете следните етапи от пътуването:

Етап I. SDA (правила за движение).
Етап II. Технически преглед.
Етап III. Крос-кънтри състезание.
Етап IV. Внезапното спиране е инцидент.
V етап. Спиране.
Етап VI. Завършек.
VII етап. Резултати.

И тръгваме!

Етап I. SDA (правила за движение).

1) Във всеки екипаж рулевите раздават билети с теоретични въпроси на всеки член на екипажа:

1. Обяснете дефиницията на синус от t и неговите знаци по четвъртинки.
2. Обяснете дефиницията на косинуса на числото t и неговите знаци по четвъртинки.
3. Посочете най-малката и най-голямата стойност на sin t и cos t.
4. Обяснете дефиницията на тангенса на числото t и неговите знаци по четвъртинки.
5. Обяснете дефиницията на котангенса на числото t и неговите знаци по четвъртинки.
6. Кажете ни как да намерим стойността на функцията sin t от известно число t.

2) Съберете „разпръснатите“ формули. На тайната дъска има маса (виж по-долу). Екипажите трябва да съгласуват формулите. Всеки отбор записва отговора на дъската под формата на ред със съответните букви (по двойки).

Отговор: ab, vg, de, hedgehog, zi, yk.

Етап II. Технически преглед.

Устна работа: тест.

На тайната дъска пише: задача: опростете израза.

До тях са написани вариантите за отговор. Екипите определят верните отговори за 1 минута. и вземете съответния набор от букви.

Отговор: C V A.

Етап III. Крос-кънтри състезание.

Екипажите имат 3 минути за среща, за да решат задачата, след което представителите на екипажа записват решението на дъската. Когато представителите на екипажа приключат със записването на решението на първата задача, всички ученици (заедно с учителя) проверяват правилността и рационалността на решенията и ги записват в тетрадка. Рулевите оценяват приноса на всеки член на екипажа, като използват знаците „+“ и „–“ в листовете за оценка.

Задачи от учебника:

• Екипаж – “синус”: № 118 g;
• Екипаж – “косинус”: № 122 а;
• Екипаж – „тангента”: № 123 g;
• Екипаж – „котангенс”: №125

Етап IV. Внезапното спиране е инцидент.

– Колата ви се е развалила. Колата ви трябва да бъде ремонтирана.

Дадени са отчети за всеки екипаж, но в тях има грешки. Открийте тези грешки и обяснете защо са направени. Изявленията се използват тригонометрични функции, отговарящи на марките на вашите автомобили.

V етап. Спиране.

Уморени сте и имате нужда от почивка. Докато екипажът си почива, рулевите обобщават предварителните резултати: преброяват „плюсовете“ и „минусите“ на членовете на екипажа и на екипажа като цяло.

За студенти:

3 или повече „+“ – оценка „5“;
2 “+” – оценка “4”;
1 “+” – оценка “3”.

За екипажи:“+” и “-” взаимно се компенсират. Броят се само останалите знаци.

Познай шарадата.

От числата взимаш първата ми сричка,
Второто е от думата „горд“.
И ти ще караш третите коне,
Четвъртото ще бъде блеене на овца.
Моята пета сричка е същата като първата
Последната буква в азбуката е шестата,
И ако познаете всичко правилно,
Тогава по математика ще получите раздел като този.
(тригонометрия)

Думата "тригонометрия" (от гръцките думи "тригонон" - триъгълник и "метрео" - мярка) означава "измерване на триъгълници". Възникването на тригонометрията се свързва с развитието на географията и астрономията - науката за движението на небесните тела, устройството и развитието на Вселената.

В резултат на направените астрономически наблюдения възникна необходимостта да се определи положението на светилата, да се изчислят разстояния и ъгли. Тъй като някои разстояния, например от Земята до други планети, не могат да бъдат измерени директно, учените започват да разработват техники за намиране на връзки между страните и ъглите на триъгълник, в който два върха са разположени на земята, а третият е планета или звезда. Такива връзки могат да бъдат получени чрез изучаване на различни триъгълници и техните свойства. Ето защо астрономическите изчисления доведоха до решението (т.е. намирането на елементите) на триъгълника. Това прави тригонометрията.

Началото на тригонометрията е открито в древен Вавилон. Вавилонските учени са успели да предскажат слънчеви и лунни затъмнения. Известна информация от тригонометричен характер се намира в древни паметници на други древни народи.

Етап VI. Завършек.

За да пресечете успешно финалната линия, всичко, което трябва да направите, е да се напрегнете и да направите „спринт“. Много е важно в тригонометрията да можете бързо да определяте стойностите на sin t, cost, tgt, ctg t, където 0 ≤ t ≤ . Затворете учебниците.

Екипажите алтернативно назовават стойностите на функциите sin t, cost, tgt, ctg t, ако:

VII етап. Резултати.

Резултати от играта.

Рулевите предават листове за оценка. Определя се екипажът, станал шампион на „Математическо рали” и се характеризира работата на останалите групи. Следват имената на получилите оценки „5” и „4”.

Обобщение на урока.

- Момчета! Какво научихте в час днес? (опростяване на тригонометрични изрази; намиране на стойности на тригонометрични функции). Какво трябва да знаете за това?

• определения и свойства sin t, cos t, tg t, ctg t;
• отношения, свързващи стойностите на различни тригонометрични функции;
• знаци на тригонометрични функции върху четвъртините на числовата окръжност.
• стойности на тригонометричните функции на първата четвърт от числовия кръг.

– Мисля, че разбирате, че трябва да знаете добре формулите, за да ги прилагате правилно. Разбрахте също, че тригонометрията е много важна част от математиката, тъй като се използва в други науки: астрономия, география, физика и др.

Домашна работа:

• за ученици, получили „5” и „4”: §6, № 128а, 130а, 134а.
• за останалите ученици: §6, № 119ж, № 120ж, № 121ж.

Определение 1:Числовата функция, дадена с формулата y=sin x, се нарича синус.

Тази крива се нарича - синусоида.

Свойства на функцията y=sin x

2. Диапазон на стойността на функцията: E(y)=[-1; 1]

3. Паритетна функция:

y=sin x – нечетно,.

4. Периодичност: sin(x+2πn)=sin x, където n е цяло число.

Тази функция приема същите стойности след определен период. Това свойство на функция се нарича честота.Интервалът е периодът на функцията.

За функцията y=sin x периодът е 2π.

Функцията y=sin x е периодична, с период Т=2πn, n е цяло число.

Най-малкият положителен период е T=2π.

Математически това може да се запише по следния начин: sin(x+2πn)=sin x, където n е цяло число.

Определение 2:Числовата функция, дадена с формулата y=cosx, се нарича косинус.

Свойства на функцията y=cos x

1. Функционална област: D(y)=R

2. Област на стойността на функцията: E(y)=[-1;1]

3. Паритетна функция:

y=cos x – четно.

4. Периодичност: cos(x+2πn)=cos x, където n е цяло число.

Функцията y=cos x е периодична, с период Т=2π.

Определение 3:Числовата функция, дадена с формулата y=tan x, се нарича тангенс.

Свойства на функцията y=tg x

1. Област на функцията: D(y) - всички реални числа с изключение на π/2+πk, k – цяло число. Тъй като в тези точки допирателната не е дефинирана.

3. Паритетна функция:

y=tg x – нечетно.

4. Периодичност: tg(x+πk)=tg x, където k е цяло число.

Функцията y=tg x е периодична с период π.

Определение 4:Числовата функция, дадена с формулата y=ctg x, се нарича котангенс.

Свойства на функцията y=ctg x

1. Област на дефиниране на функцията: D(y) - всички реални числа с изключение на πk, k е цяло число. Защото в тези точки котангенсът не е дефиниран.

2. Функционален диапазон: E(y)=R.

Основното тригонометрично тъждество в руските учебници по математика е отношението sin 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ α = 1

Разгледахме най-основните тригонометрични функции (не се заблуждавайте, в допълнение към синус, косинус, тангенс и котангенс, има много други функции, но повече за тях по-късно), но засега нека да разгледаме някои основни свойства на вече проучени функции.

Тригонометрични функции на числов аргумент

Каквото и реално число t да се вземе, то може да бъде свързано с уникално дефинирано число sin(t). Вярно е, че правилото за съвпадение е доста сложно и се състои в следното.

За да намерите стойността на sin(t) от числото t, трябва:

1. позиционирайте числовия кръг върху координатната равнина така, че центърът на кръга да съвпада с началото на координатите, а началната точка А на кръга да попада в точка (1; 0);
2. намерете точка от окръжността, съответстваща на числото t;
3. намерете ординатата на тази точка.
4. тази ордината е желаният sin(t) .

Всъщност говорим за функцията s = sin(t) , където t е всяко реално число. Можем да изчислим някои стойности на тази функция (например sin(0) = 0, \(sin \frac (\pi)(6) = \frac(1)(2) \)и т.н.), знаем някои от неговите свойства.

По същия начин можем да считаме, че вече сме получили някои идеи за още три функции: s = cos(t) s = tan(t) s = ctg(t) Всички тези функции се наричат ​​тригонометрични функции на числения аргумент t .

Връзка между тригонометрични функции

Както, надявам се, можете да се досетите, всички тригонометрични функции са взаимосвързани и дори без да знаете значението на една, тя може да бъде намерена чрез друга.

Например, най-важната формула в цялата тригонометрия е основна тригонометрична идентичност:

\[ sin^(2) t + cos^(2) t = 1 \]

Както можете да видите, знаейки стойността на синуса, можете да намерите стойността на косинуса, както и обратното. Също така много често срещани формули, свързващи синус и косинус с тангенс и котангенс:

\[ \boxed (\tan\; t=\frac(\sin\; t)(\cos\; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (\cot\; t=\frac(\cos\; )(\sin\; ), \qquad t \neq \pi k) \]

От последните две формули може да се извлече друга тригометрична идентичност, този път свързваща тангенс и котангенс:

\[ \boxed (\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac(\pi k)(2)) \]

Сега нека видим как тези формули работят на практика.

ПРИМЕР 1. Опростете израза: a) \(1+ \tan^2 \; t \), b) \(1+ \cot^2 \; t \)

а) Първо, нека напишем тангенса, запазвайки квадрата:

\[ 1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

\[ 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t)= \sin^2\; t + \cos^2\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

Сега нека поставим всичко под общ знаменател и получаваме:

\[ \sin^2\; t + \cos^2\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) = \frac(\cos^2 \; t + \sin^2 \; t)(\cos^2 \; t ) \]

И накрая, както виждаме, числителят може да бъде намален до единица чрез основното тригонометрично тъждество, като резултат получаваме: \[ 1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t) \]

б) С котангенса извършваме всички същите действия, само знаменателят вече няма да бъде косинус, а синус и отговорът ще бъде така:

\[ 1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t) \]

След като изпълнихме тази задача, ние изведохме още две много важни формули, които свързват нашите функции, които също трябва да знаем като петте си пръста:

\[ \boxed (1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t), \qquad t \neq \pi k) \]

Трябва да знаете всички представени формули наизуст, в противен случай по-нататъшното изучаване на тригонометрията без тях е просто невъзможно. В бъдеще ще има повече формули и ще бъдат много и ви уверявам, че със сигурност ще ги помните всички дълго време или може би няма да ги помните, но ВСЕКИ трябва да знае тези шест неща!