Примери за решаване на задачи по темата „Случайни променливи. Математическо очакване на непрекъсната случайна променлива. Примерно решение: Случайната променлива x е дадена от функцията

Концепции математическо очакване М(х) и дисперсия д(х), въведен по-рано за дискретна случайна променлива, може да бъде разширен до непрекъснати случайни променливи.

· Математическо очакване М(х) непрекъснатата случайна променлива X се определя от равенството:

при условие, че този интеграл се събира.

· Вариация D(х) непрекъсната случайна променлива хсе определя от равенството:

· Стандартно отклонениеσ( х) непрекъсната случайна променлива се определя от равенството:

Всички свойства на математическото очакване и дисперсията, обсъдени по-рано за дискретни случайни променливи, са валидни и за непрекъснати.

Задача 5.3.Случайна стойност хдадено диференциална функция f(х):

намирам М(х), Д(х), σ( х), и П(1 < х< 5).

Решение:

М(х)= =

+ = 8/9 0+9/6 4/6=31/18,

д(х)=

= = /

П 1 =

Задачи

5.1. х

f(х), и

Р(‒1/2 < х< 1/2).

5.2. Непрекъсната случайна променлива хдадено от функцията на разпределение:

Намерете функцията на диференциалното разпределение f(х), и

Р(2π /9< х< π /2).

5.3. Непрекъсната случайна променлива х

Намерете: а) число с; б) М(х), Д(х).

5.4. Непрекъсната случайна променлива хдаден от плътността на разпределение:

Намерете: а) число с; б) М(х), Д(х).

5.5. х:

Намери си) Е(х) и изградете неговата графика; б) М(х), Д(х), σ( х); в) вероятността при четири независими опита стойността хще вземе точно 2 пъти стойността, принадлежаща на интервала (1;4).

5.6. Дадена е плътността на разпределение на вероятността на непрекъсната случайна променлива х:

Намери си) Е(х) и изградете неговата графика; б) М(х), Д(х), σ( х); в) вероятността при три независими опита стойността хще вземе точно 2 пъти стойността, принадлежаща на сегмента.

5.7. функция f(х) се дава във формата:

с х; б) функция на разпределение Е(х).

5.8. функция f(х) се дава във формата:

Намерете: а) стойността на константата с, при което функцията ще бъде плътността на вероятността на някаква случайна променлива х; б) функция на разпределение Е(х).

5.9. Случайна стойност х, концентриран върху интервала (3;7), се определя от функцията на разпределение Е(х)= хще приеме стойност: а) по-малко от 5, б) не по-малко от 7.

5.10. Случайна стойност х, центриран върху интервала (-1;4), се определя от функцията на разпределение Е(х)= . Намерете вероятността случайната променлива хще приеме стойност: а) по-малко от 2, б) по-малко от 4.

5.11.

Намерете: а) число с; б) М(х); в) вероятност Р(X > M(х)).

5.12. Случайната променлива се определя от функцията на диференциалното разпределение:

Намери си) М(х); б) вероятност Р(X ≤ M(х)).

5.13. Разпределението Rem се дава от плътността на вероятността:

Докажи това f(х) наистина е функция на плътност на вероятността.

5.14. Дадена е плътността на разпределение на вероятността на непрекъсната случайна променлива х:

Намерете числото с.

5.15. Случайна стойност хразпределени по закона на Симпсън (равнобедрен триъгълник) на отсечката [-2;2] (фиг. 5.4). Намерете аналитичен израз за плътността на вероятността f(х) на цялата числова ос.

Ориз. 5.4 Фиг. 5.5

5.16. Случайна стойност хразпределени по закон" правоъгълен триъгълник" в интервала (0;4) (фиг. 5.5). Намерете аналитичен израз за плътността на вероятността f(х) на цялата числова ос.

Отговори

П (-1/2<х<1/2)=2/3.

П(2π /9<х< π /2)=1/2.

5.3. а) с=1/6, б) М(х)=3 , в) д(х)=26/81.

5.4. а) с=3/2, б) М(х)=3/5, c) д(х)=12/175.

б) М(х)= 3 , д(х)= 2/9, σ( х)= /3.

б) М(х)=2 , д(х)= 3 , σ( х)= 1,893.

5.7. а) c = ; б)

5.8. а) с=1/2; б)

5.9. а) 1/4; б) 0.

5.10. а) 3/5; б) 1.

5.11. а) с= 2; б) М(х)= 2; в 1- вътре 2 2 ≈ 0,5185.

5.12. а) М(х)= π /2; б) 1/2

Случайна величинаНарича се количество, което в резултат на тестове, проведени при едни и същи условия, приема различни, най-общо казано, стойности в зависимост от случайни фактори, които не са взети предвид. Примери за случайни променливи: брой точки, хвърлени на зар, брой дефектни продукти в партида, отклонение на точката на удар на снаряд от целта, време на работа на устройство и др. Има дискретни и непрекъснати случайни променливи. ОтделенИзвиква се случайна променлива, чиито възможни стойности образуват броим набор, краен или безкраен (т.е. набор, чиито елементи могат да бъдат номерирани).

НепрекъснатоИзвиква се случайна променлива, чиито възможни стойности непрекъснато запълват някакъв краен или безкраен интервал от числовата линия. Броят на стойностите на непрекъсната случайна променлива винаги е безкраен.

Случайните променливи ще обозначаваме с главни букви от края на латинската азбука: х, Y, ...; стойности на случайни променливи – с малки букви: X, y,... . По този начин, х Означава целия набор от възможни стойности на случайна променлива и Х -Някои от специфичните му значения.

Закон за разпределениеДискретна случайна променлива е съответствие, определено във всякаква форма между възможните стойности на случайна променлива и техните вероятности.

Нека възможните стойности на случайната променлива х са . В резултат на теста случайната променлива ще приеме една от тези стойности, т.е. Ще се случи едно събитие от пълна група несъвместими по двойки събития.

Нека са известни и вероятностите за тези събития:

Закон за разпределение на случайна величина х Може да се запише под формата на таблица, наречена Близо до разпределениеДискретна случайна променлива:

За реда на разпределение е в сила равенството (условие за нормализация).

Пример 3.1.Намерете закона за разпределение на дискретна случайна променлива х – колко пъти се появяват глави при две хвърляния на монети.

Функцията на разпределение е универсална форма за определяне на закона за разпределение както на дискретни, така и на непрекъснати случайни променливи.

Функция на разпределение на случайна величинах Функцията се извиква Е(х), Дефинира се на цялата числова ос, както следва:

Е(х)= П(х< х ),

Това е Е(х) има вероятност случайната променлива х Ще вземе стойност по-малка от х.

Функцията на разпределение може да бъде представена графично. За дискретна случайна променлива графиката има стъпаловидна форма. Нека построим, например, графика на функцията на разпределение на случайна променлива, дадена от следната серия (фиг. 3.1):

Ориз. 3.1. Графика на функцията на разпределение на дискретна случайна променлива

Функционалните скокове се появяват в точки, съответстващи на възможните стойности на случайната променлива и са равни на вероятностите на тези стойности. В точките на прекъсване функцията Е(х) остава непрекъснато.

Графиката на функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива е непрекъсната крива.

Ориз. 3.2. Графика на функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива

Функцията на разпределение има следните очевидни свойства:

1) , 2) , 3) ,

4) при .

Ще наречем това събитие случайна променлива х Приема стойността Х,Принадлежност към някакъв полузатворен интервал А£ х< б, Когато случайна променлива попада в интервала [ А, б).

Теорема 3.1. Вероятността случайна променлива да попадне в интервала [ А, б) е равно на нарастването на функцията на разпределение на този интервал:

Ако намалите интервала [ А, б), Ако приемем, че , тогава във формулата за граница (3.1) вместо вероятността за достигане на интервала дава вероятността за достигане на точката, т.е. вероятността случайната променлива да приеме стойността А:

Ако функцията на разпределение има прекъсване в точката А, Тогава границата (3.2) е равна на стойността на скока на функцията Е(х) в точка х=А, Тоест вероятността случайната променлива да приеме стойността А (фиг. 3.3, А). Ако случайната променлива е непрекъсната, тоест функцията е непрекъсната Е(х), тогава границата (3.2) е равна на нула (фиг. 3.3, б)

По този начин вероятността за всяка конкретна стойност на непрекъсната случайна променлива е нула. Това обаче не означава, че събитието е невъзможно X=А, Казва само, че относителната честота на това събитие ще клони към нула при неограничено увеличаване на броя на тестовете.

А)
б)

Ориз. 3.3. Скок на функцията на разпределение

За непрекъснати случайни променливи, наред с функцията на разпределение, се използва друга форма за определяне на закона за разпределение - плътността на разпределението.

Ако е вероятността да попаднете в интервала, тогава отношението характеризира плътността, с която вероятността е разпределена в близост до точката х. Границата на това съотношение при, т.е. д. производна, се нарича Плътност на разпространение(плътност на разпределение на вероятността, плътност на вероятността) на случайна променлива х. Нека се съгласим да обозначим плътността на разпределение

По този начин плътността на разпределение характеризира вероятността случайна променлива да попадне в близост до точка Х.

Графиката на плътността на разпределението се нарича Криви състезанияОграничения(фиг. 3.4).

Ориз. 3.4. Вид плътност на разпространение

Въз основа на определението и свойствата на функцията на разпределение Е(х), лесно е да се установят следните свойства на плътността на разпределение Е(х):

1) Е(х)³0

За непрекъсната случайна променлива, тъй като вероятността да се уцели точка е нула, са валидни следните равенства:

Пример 3.2.Случайна стойност х Дадено от плътността на разпространение

Задължително:

А) намерете стойността на коефициента А;

Б) намерете функцията на разпределение;

В) намерете вероятността случайна променлива да попадне в интервала (0, ).

Функцията на разпределение или плътността на разпределение напълно описва случайна променлива. Често обаче при вземането на практически решения не е необходимо пълно познаване на закона за разпределение, достатъчно е да се познават само някои негови характерни особености. За тази цел теорията на вероятностите използва числени характеристики на случайна променлива, които изразяват различни свойства на закона за разпределение. Основните числови характеристики са МатематическиОчакване, дисперсия и стандартно отклонение.

Очаквана стойностХарактеризира позицията на случайна променлива върху числовата ос. Това е някаква средна стойност на случайна променлива, около която са групирани всички нейни възможни стойности.

Очакване на случайна променлива х Означава се със символи М(х) или T. Математическото очакване на дискретна случайна променлива е сумата от сдвоените продукти на всички възможни стойности на случайната променлива и вероятностите на тези стойности:

Математическото очакване на непрекъсната случайна променлива се определя с помощта на неправилен интеграл:

Въз основа на дефинициите е лесно да се провери валидността на следните свойства на математическото очакване:

1. (математическо очакване на неслучайна стойност СЪСРавно на най-неслучайната стойност).

2. Ако ³0, тогава ³0.

4. Ако и Независим, Че .

Пример 3.3.Намерете математическото очакване на дискретна случайна променлива, дадено от серията на разпределение:

Решение.

=0×0,2 + 1×0,4 + 2×0,3 + 3×0,1=1,3.

Пример 3.4.Намерете математическото очакване на случайна променлива, дадено от плътността на разпределение:

Решение.

Дисперсия и стандартно отклонениеТе са характеристики на дисперсията на случайна променлива; те характеризират разпространението на нейните възможни стойности спрямо математическото очакване.

Дисперсия д(х) Случайна величина х Математическото очакване на квадрата на отклонението на случайна променлива от нейното математическо очакване се нарича.За дискретна случайна променлива дисперсията се изразява чрез сумата:

(3.3)

А за непрекъснати – по интеграла

(3.4)

Дисперсията има размерността на квадрата на случайната променлива. Дисперсионни характеристики Същия размерSti със случайна променлива, служи като стандартно отклонение.

Дисперсионни свойства:

1) – постоянен. В частност,

В частност,

Имайте предвид, че изчисляването на дисперсията с помощта на формула (3.5) често се оказва по-удобно от използването на формула (3.3) или (3.4).

Количеството се нарича Ковариацияслучайни променливи.

Ако , след това стойността

Наречен Коефициент на корелацияслучайни променливи.

Може да се покаже, че ако , тогава количествата са линейно зависими: където

Имайте предвид, че ако са независими, тогава

Пример 3.5.Намерете дисперсията на случайната променлива, дадена от серията на разпределение от пример 1.

Решение. За да изчислите дисперсията, трябва да знаете математическото очакване. За дадена случайна променлива беше намерено по-горе: М=1,3. Изчисляваме дисперсията по формула (3.5):

Пример 3.6.Случайната променлива се определя от плътността на разпределение

Намерете дисперсията и стандартното отклонение.

Решение. Първо намираме математическото очакване:

(като интеграл от нечетна функция върху симетричен интервал).

Сега изчисляваме дисперсията и стандартното отклонение:

1. Биномиално разпределение. Случайната променлива, равна на броя на "УСПЕХИТЕ" в схемата на Бернули, има биномно разпределение: , .

Математическото очакване на случайна променлива, разпределена според биномния закон, е равно на

Дисперсията на това разпределение е .

2. Поасоново разпределение ,

Очакване и дисперсия на случайна променлива с разпределение на Поасон, .

Разпределението на Поасон често се използва, когато имаме работа с броя на събитията, случващи се в период от време или пространство, например: броят на колите, пристигащи на автомивка за един час, броят спирания на машината на седмица, броят на пътнотранспортни произшествия и др.

Случайната променлива има Геометрично разпределениес параметър, ако приема стойности с вероятности . Случайна променлива с такова разпределение има смисъл Номерата на първия успешен теств схемата на Бернули с вероятност за успех. Таблицата за разпределение изглежда така:

3. Нормална дистрибуция. Нормалният закон за разпределение на вероятностите заема специално място сред другите закони за разпределение. В теорията на вероятностите е доказано, че плътността на вероятността на сумата от независими или Леко зависима, равномерно малки (т.е. играещи приблизително една и съща роля) термини, с неограничено увеличаване на техния брой, се доближава до нормалния закон на разпределение толкова близо, колкото желаете, независимо от това какви закони за разпределение имат тези термини (централна гранична теорема на А. М. Ляпунов).

СЛУЧАЙНИ ВЕЛИЧИНИ

Пример 2.1.Случайна стойност хдаден от функцията на разпределение

Намерете вероятността, че в резултат на теста хще приема стойности, съдържащи се в интервала (2.5; 3.6).

Решение: хв интервала (2.5; 3.6) може да се определи по два начина:

Пример 2.2.При какви стойности на параметрите АИ INфункция Е(х) = A + Be - xможе да бъде функция на разпределение за неотрицателни стойности на случайна променлива х.

Решение:Тъй като всички възможни стойности на случайната променлива хпринадлежат на интервала , тогава за да може функцията да бъде функция на разпределение за х, собствеността трябва да бъде удовлетворена:

Отговор: .

Пример 2.3.Случайната променлива X се определя от функцията на разпределение

Намерете вероятността в резултат на четири независими теста стойността хточно 3 пъти ще приеме стойност, принадлежаща на интервала (0,25;0,75).

Решение:Вероятност за достигане на стойност хв интервала (0,25;0,75) намираме по формулата:

Пример 2.4.Вероятността топката да удари коша с един удар е 0,3. Съставете закон за разпределение на броя на попаденията с три хвърляния.

Решение:Случайна стойност х– броят на ударите в коша с три удара – може да приема следните стойности: 0, 1, 2, 3. Вероятностите, че х

х:

Пример 2.5.Двама стрелци стрелят по един изстрел в мишена. Вероятността първият стрелец да го уцели е 0,5, вторият - 0,4. Начертайте закон за разпределение на броя на попаденията в мишена.

Решение:Нека намерим закона за разпределение на дискретна случайна променлива х– брой попадения в целта. Нека събитието е първият стрелец, уцелил целта, и нека вторият стрелец уцели целта, и съответно техните пропуски.

Нека съставим закона за разпределение на вероятностите на SV х:

Пример 2.6.Тестват се три елемента, работещи независимо един от друг. Продължителността на времето (в часове) на безотказна работа на елементите има функция на плътност на разпределение: за първия: Е 1 (T) =1-д- 0,1 T, за второто: Е 2 (T) = 1-д- 0,2 T, за третото: Е 3 (T) =1-д- 0,3 T. Намерете вероятността, че в интервала от 0 до 5 часа: само един елемент ще се повреди; само два елемента ще се повредят; и трите елемента ще се провалят.

Решение:Нека използваме определението на функцията за генериране на вероятност:

Вероятността, че при независими опити, в първото от които вероятността за настъпване на събитие Аравно на , във второто и т.н. събитие Асе появява точно веднъж, равен на коефициента в разширението на генериращата функция по степени на . Нека намерим вероятностите за отказ и отказ съответно на първия, втория и третия елемент в интервала от 0 до 5 часа:

Нека създадем генерираща функция:

Коефициентът при е равен на вероятността събитието Аще се появи точно три пъти, тоест вероятността от повреда и на трите елемента; коефициентът при е равен на вероятността точно два елемента да се повредят; коефициентът при е равен на вероятността само един елемент да се повреди.

Пример 2.7.Като се има предвид плътността на вероятността f(х)случайна величина х:

Намерете функцията на разпределение F(x).

Решение:Използваме формулата:

Така функцията на разпределение изглежда така:

Пример 2.8.Устройството се състои от три независимо работещи елемента. Вероятността за повреда на всеки елемент в един експеримент е 0,1. Начертайте закон за разпределение на броя на неуспешните елементи в един експеримент.

Решение:Случайна стойност х– броят на неуспешните елементи в един експеримент – може да приема следните стойности: 0, 1, 2, 3. Вероятности, че хприема тези стойности, намираме с помощта на формулата на Бернули:

Така получаваме следния закон за разпределение на вероятностите на случайна променлива х:

Пример 2.9.В партида от 6 части има 4 стандартни. 3 части бяха избрани на случаен принцип. Съставете закон за разпределение на броя на стандартните части между избраните.

Решение:Случайна стойност х– броя на стандартните части сред избраните – може да приема следните стойности: 1, 2, 3 и има хипергеометрично разпределение. Вероятности, че х

Където -- брой части в партидата;

-- брой стандартни части в партида;

– брой избрани части;

-- брой стандартни части сред избраните.

Пример 2.10.Случайната променлива има плътност на разпределение

и не са известни, но , a и . Намерете и.

Решение:В този случай случайната променлива хима триъгълно разпределение (разпределение на Симпсън) на интервала [ а, б]. Числени характеристики х:

следователно . Решавайки тази система, получаваме две двойки стойности: . Тъй като според условията на проблема, накрая имаме: .

Отговор: .

Пример 2.11.Средно при 10% от договорите застрахователната компания изплаща застрахователни суми във връзка с настъпване на застрахователно събитие. Изчислете математическото очакване и дисперсията на броя на такива договори сред четири произволно избрани.

Решение:Математическото очакване и дисперсията могат да бъдат намерени с помощта на формулите:

Възможни стойности на SV (брой договори (от четири) с настъпване на застрахователно събитие): 0, 1, 2, 3, 4.

Използваме формулата на Бернули, за да изчислим вероятностите за различен брой договори (от четири), за които са изплатени застрахователните суми:

Серията за разпределение на IC (броят на договорите с настъпване на застрахователно събитие) има формата:


	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Отговор: , .

Пример 2.12.От петте рози две са бели. Начертайте закон за разпределение на случайна променлива, изразяваща броя на белите рози между две едновременно взети.

Решение:В селекция от две рози може или да няма бяла роза, или да има една или две бели рози. Следователно, случайната променлива хможе да приема стойности: 0, 1, 2. Вероятности, че хприема тези стойности, намираме го по формулата:

Където -- брой рози;

-- брой бели рози;

– брой рози, взети по едно и също време;

-- броя на белите рози сред взетите.

Тогава законът за разпределение на случайната променлива ще бъде както следва:

Пример 2.13.От 15-те сглобени единици 6 изискват допълнително смазване. Начертайте закон за разпределение на броя единици, които се нуждаят от допълнително смазване сред пет случайно избрани от общия брой.

Решение:Случайна стойност х– брой звена, които изискват допълнително смазване сред петте избрани – може да приема следните стойности: 0, 1, 2, 3, 4, 5 и има хипергеометрично разпределение. Вероятности, че хприема тези стойности, намираме го по формулата:

Където -- брой сглобени единици;

-- броя на единиците, които изискват допълнително смазване;

– брой избрани единици;

-- броя на единиците, които изискват допълнително смазване сред избраните.

Тогава законът за разпределение на случайната променлива ще бъде както следва:

Пример 2.14.От постъпилите за ремонт 10 часовника 7 изискват генерално почистване на механизма. Часовниците не са сортирани по вид ремонт. Майсторът, който иска да намери часовници, които се нуждаят от почистване, ги преглежда един по един и след като намери такива часовници, спира по-нататъшното гледане. Намерете математическото очакване и дисперсията на броя гледани часове.

Решение:Случайна стойност х– броя на агрегатите, които се нуждаят от допълнително смазване сред петте избрани – може да приеме следните стойности: 1, 2, 3, 4. Вероятности, че хприема тези стойности, намираме го по формулата:

Тогава законът за разпределение на случайната променлива ще бъде както следва:

Сега нека изчислим числените характеристики на количеството:

Отговор: , .

Пример 2.15.Абонатът е забравил последната цифра от телефонния номер, от който се нуждае, но помни, че е нечетен. Намерете математическото очакване и дисперсията на броя пъти, които той набира телефонен номер, преди да достигне желания номер, ако той набере последната цифра произволно и впоследствие не набере набраната цифра.

Решение:Случайната променлива може да приема следните стойности: . Тъй като абонатът не набира набраната цифра в бъдеще, вероятностите за тези стойности са равни.

Нека съставим серия на разпределение на случайна променлива:


	0,2

Нека изчислим математическото очакване и дисперсията на броя опити за набиране:

Отговор: , .

Пример 2.16.Вероятността от повреда по време на тестовете за надеждност за всяко устройство от серията е равна на стр. Определете математическото очакване на броя устройства, които са се провалили, ако са били тествани нустройства.

Решение:Дискретната случайна променлива X е броят на повредените устройства ннезависими тестове, при всеки от които вероятността за провал е еднаква п,разпределени по биномния закон. Математическото очакване на биномно разпределение е равно на броя опити, умножен по вероятността събитие да се случи в едно изпитване:

Пример 2.17.Дискретна случайна променлива хприема 3 възможни стойности: с вероятност ; с вероятност и с вероятност. Намерете и , знаейки, че M( х) = 8.

Решение:Ние използваме дефинициите на математическото очакване и закона за разпределение на дискретна случайна променлива:

Намираме: .

Пример 2.18.Отделът за технически контрол проверява продуктите за стандартност. Вероятността продуктът да е стандартен е 0,9. Всяка партида съдържа 5 продукта. Намерете математическото очакване на случайна променлива х– броя на партидите, всяка от които съдържа точно 4 стандартни продукта, ако на проверка подлежат 50 партиди.

Решение:В този случай всички проведени експерименти са независими и вероятностите всяка партида да съдържа точно 4 стандартни продукта са еднакви, следователно математическото очакване може да се определи по формулата:

къде е броят на партиите;

Вероятността една партида да съдържа точно 4 стандартни продукта.

Намираме вероятността с помощта на формулата на Бернули:

Отговор: .

Пример 2.19.Намерете дисперсията на случайна променлива х– брой появявания на събитието Ав две независими изпитвания, ако вероятностите за настъпване на събитие в тези изпитвания са еднакви и е известно, че М(х) = 0,9.

Решение:Проблемът може да се реши по два начина.

1) Възможни стойности на SV х: 0, 1, 2. Използвайки формулата на Бернули, ние определяме вероятностите за тези събития:

, , .

След това законът за разпределението хима формата:

От дефиницията на математическото очакване определяме вероятността:

Нека намерим дисперсията на SV х:

2) Можете да използвате формулата:

Отговор: .

Пример 2.20.Очакване и стандартно отклонение на нормално разпределена случайна променлива хсъответно равни на 20 и 5. Намерете вероятността в резултат на теста хще приеме стойността, съдържаща се в интервала (15; 25).

Решение:Вероятност за попадение на нормална случайна променлива хна участъка от до се изразява чрез функцията на Лаплас:

Пример 2.21.Дадена функция:

При каква стойност на параметъра ° Стази функция е плътността на разпределение на някаква непрекъсната случайна променлива х? Намерете математическото очакване и дисперсията на случайна променлива х.

Решение:За да бъде функцията плътност на разпределение на някаква случайна променлива, тя трябва да е неотрицателна и трябва да отговаря на свойството:

Следователно:

Нека изчислим математическото очакване по формулата:

Нека изчислим дисперсията по формулата:

Т е равно стр. Необходимо е да се намери математическото очакване и дисперсията на тази случайна променлива.

Решение:Законът за разпределение на дискретна случайна променлива X - броят на случванията на събитие в независими опити, при всяко от които вероятността събитието да се случи е равна на , се нарича бином. Математическото очакване на биномното разпределение е равно на произведението от броя опити и вероятността за възникване на събитие А в едно изпитване:

Пример 2.25.Произвеждат се три независими изстрела по целта. Вероятността за уцелване на всеки удар е 0,25. Определете стандартното отклонение на броя на попаденията с три изстрела.

Решение:Тъй като се извършват три независими опита и вероятността за възникване на събитие А (попадение) във всяко изпитание е една и съща, ще приемем, че дискретната случайна променлива X - броят на попаденията в целта - е разпределена според биномен закон.

Дисперсията на биномното разпределение е равна на произведението от броя на опитите и вероятността за настъпване и ненастъпване на събитие в един опит:

Пример 2.26.Средният брой клиенти, посещаващи застрахователна компания за 10 минути, е трима. Намерете вероятността поне един клиент да пристигне през следващите 5 минути.

Среден брой клиенти, пристигащи за 5 минути: . .

Пример 2.29.Времето за изчакване на приложение в опашката на процесора се подчинява на експоненциален закон на разпределение със средна стойност 20 секунди. Намерете вероятността следващата (произволна) заявка да изчака на процесора повече от 35 секунди.

Решение:В този пример, математическото очакване , а степента на отказ е равна на .

Тогава желаната вероятност:

Пример 2.30.Група от 15 студенти провежда среща в зала с 20 реда по 10 места. Всеки ученик заема място в залата на случаен принцип. Каква е вероятността не повече от трима души да са на седмо място в редицата?

Решение:

Пример 2.31.

Тогава, според класическата дефиниция на вероятността:

Където -- брой части в партидата;

-- брой нестандартни части в партидата;

– брой избрани части;

-- брой нестандартни части сред избраните.

Тогава законът за разпределение на случайната променлива ще бъде както следва.

Както е известно, случайна величина се нарича променлива величина, която може да приема определени стойности в зависимост от случая. Случайните променливи се означават с главни букви на латинската азбука (X, Y, Z), а стойностите им се означават със съответните малки букви (x, y, z). Случайните величини се делят на прекъснати (дискретни) и непрекъснати.

Дискретна случайна променлива е случайна променлива, която приема само краен или безкраен (изброим) набор от стойности с определени ненулеви вероятности.

Закон за разпределение на дискретна случайна величина е функция, която свързва стойностите на случайна променлива със съответните им вероятности. Законът за разпределение може да бъде определен по един от следните начини.

1 . Законът за разпределение може да бъде даден от таблицата:

където λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V)като се използва функции на разпределение F(x) , което определя за всяка стойност x вероятността случайната променлива X да приеме стойност, по-малка от x, т.е. F(x) = P(X< x).

Свойства на функцията F(x)

3 . Законът за разпределение може да се посочи графично – разпределителен полигон (многоъгълник) (виж задача 3).

Имайте предвид, че за решаването на някои задачи не е необходимо да знаете закона за разпределение. В някои случаи е достатъчно да знаете едно или няколко числа, които отразяват най-важните характеристики на закона за разпределение. Това може да бъде число, което има значението на „средна стойност“ на случайна променлива или число, показващо средния размер на отклонението на случайна променлива от нейната средна стойност. Числата от този вид се наричат числени характеристики на случайна променлива.

Основни числени характеристики на дискретна случайна величина :

Математическо очакване (средна стойност) на дискретна случайна променлива M(X)=Σ x i p i.
За биномиално разпределение M(X)=np, за разпределение на Поасон M(X)=λ
дисперсия дискретна случайна променлива D(X)=M2или D(X) = M(X 2)− 2. Разликата X–M(X) се нарича отклонение на случайна променлива от нейното математическо очакване.
За биномиално разпределение D(X)=npq, за разпределение на Поасон D(X)=λ
Стандартно отклонение (стандартно отклонение) σ(X)=√D(X).

Примери за решаване на задачи по темата „Законът за разпределение на дискретна случайна променлива“

Задача 1.

Издадени са 1000 лотарийни билета: 5 от тях ще спечелят 500 рубли, 10 ще спечелят 100 рубли, 20 ще спечелят 50 рубли, 50 ще спечелят 10 рубли. Определете закона за разпределение на вероятностите на случайната променлива X - печалба от билет.

Решение. Според условията на задачата са възможни следните стойности на случайната променлива X: 0, 10, 50, 100 и 500.

Броят на билетите без печалба е 1000 – (5+10+20+50) = 915, тогава P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

По същия начин намираме всички други вероятности: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X =500) = 5/1000=0,005. Нека представим получения закон под формата на таблица:

Нека намерим математическото очакване на стойността X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Задача 3.

Устройството се състои от три независимо работещи елемента. Вероятността за повреда на всеки елемент в един експеримент е 0,1. Начертайте закон за разпределение на броя на неуспешните елементи в един експеримент, изградете многоъгълник на разпределение. Намерете функцията на разпределение F(x) и я начертайте. Намерете математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение на дискретна случайна променлива.

Решение. 1. Дискретната случайна променлива X = (броят неуспешни елементи в един експеримент) има следните възможни стойности: x 1 = 0 (нито един от елементите на устройството не е неуспешен), x 2 = 1 (един елемент е неуспешен), x 3 = 2 ( два елемента са неуспешни) и x 4 =3 (три елемента са неуспешни).

Отказите на елементите са независими един от друг, вероятностите за отказ на всеки елемент са равни, следователно е приложим Формула на Бернули . Като се има предвид, че според условието n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, определяме вероятностите на стойностите:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0,1 3 = 0,001;
Проверка: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Така желаният биномиален закон за разпределение на X има формата:

Начертаваме възможните стойности на x i по абсцисната ос и съответните вероятности p i по ординатната ос. Нека построим точки M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001). Свързвайки тези точки с прави сегменти, получаваме желания многоъгълник на разпределение.

3. Да намерим функцията на разпределение F(x) = Р(Х

За x ≤ 0 имаме F(x) = Р(Х<0) = 0;
за 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
за 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
за 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
за x > 3 ще има F(x) = 1, защото събитието е надеждно.

Графика на функция F(x)

4. За биномно разпределение X:
- математическо очакване M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- дисперсия D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- стандартно отклонение σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Упражнение 1. Плътността на разпределение на непрекъсната случайна променлива X има формата:
Намирам:
а) параметър А;
б) функция на разпределение F(x) ;
в) вероятността случайна променлива X да попадне в интервала;
г) математическо очакване MX и дисперсия DX.
Начертайте графика на функциите f(x) и F(x).

Задача 2. Намерете дисперсията на случайната променлива X, дадена от интегралната функция.

Задача 3. Намерете математическото очакване на случайната променлива X при дадена функция на разпределение.

Задача 4. Плътността на вероятността на някаква случайна променлива е дадена, както следва: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Намерете коефициент A, функция на разпределение F(x), математическо очакване и дисперсия, както и вероятността случайната променлива да приеме стойност в интервала. Начертайте графики f(x) и F(x).

Задача. Функцията на разпределение на някаква непрекъсната случайна променлива е дадена, както следва:

Определете параметрите a и b, намерете израз за плътността на вероятността f(x), математическото очакване и дисперсията, както и вероятността случайната променлива да приеме стойност в интервала. Начертайте графики на f(x) и F(x).

Нека намерим функцията на плътността на разпределението като производна на функцията на разпределение.
F′=f(x)=a
Знаейки, че ще намерим параметър a:

или 3a=1, откъдето a = 1/3
Намираме параметъра b от следните свойства:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1, откъдето b = -1/3
Следователно функцията на разпределение има формата: F(x) = (x-1)/3

Очаквана стойност.

дисперсия.

1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Нека намерим вероятността случайната променлива да приеме стойност в интервала
P(2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3

Пример №1. Дадена е плътността на вероятностното разпределение f(x) на непрекъсната случайна променлива X. Задължително: