Както е известно, случайна величина се нарича променлива величина, която може да приема определени стойности в зависимост от случая. Случайните променливи се означават с главни букви на латинската азбука (X, Y, Z), а стойностите им се означават със съответните малки букви (x, y, z). Случайните величини се делят на прекъснати (дискретни) и непрекъснати.
Дискретна случайна променлива Наречен произволна стойност, като се приема само краен или безкраен (изброим) набор от стойности с определени ненулеви вероятности.
Закон за разпределение на дискретна случайна величина е функция, която свързва стойностите на случайна променлива със съответните им вероятности. Законът за разпределение може да бъде определен по един от следните начини.
1 . Законът за разпределение може да бъде даден от таблицата:
където λ>0, k = 0, 1, 2, … .
V)като се използва функция на разпределение F(x) , което определя за всяка стойност x вероятността случайната променлива X да приеме стойност, по-малка от x, т.е. F(x) = P(X< x).
Свойства на функцията F(x)
3 . Законът за разпределение може да се посочи графично – разпределителен полигон (многоъгълник) (виж задача 3).
Имайте предвид, че за решаването на някои задачи не е необходимо да знаете закона за разпределение. В някои случаи е достатъчно да знаете едно или няколко числа, които отразяват най-важните характеристики на закона за разпределение. Това може да бъде число, което има значението на „средна стойност“ на случайна променлива или число, показващо средния размер на отклонението на случайна променлива от нейната средна стойност. Числата от този вид се наричат числени характеристики на случайна променлива.
Основен числови характеристикидискретна случайна променлива :
- Математическо очакване
(средна стойност) на дискретна случайна променлива M(X)=Σ x i p i.
За биномиално разпределение M(X)=np, за разпределение на Поасон M(X)=λ - дисперсия
дискретна случайна променлива D(X)=M2или D(X) = M(X 2)− 2. Разликата X–M(X) се нарича отклонение на случайна променлива от нейното математическо очакване.
За биномиално разпределение D(X)=npq, за разпределение на Поасон D(X)=λ - Стандартно отклонение (стандартно отклонение) σ(X)=√D(X).
Примери за решаване на задачи по темата „Законът за разпределение на дискретна случайна променлива“
Задача 1.
Издадени са 1000 лотарийни билета: 5 от тях ще спечелят 500 рубли, 10 ще спечелят 100 рубли, 20 ще спечелят 50 рубли, 50 ще спечелят 10 рубли. Определете закона за разпределение на вероятностите на случайната променлива X - печалба от билет.
Решение. Според условията на задачата са възможни следните стойности на случайната променлива X: 0, 10, 50, 100 и 500.
Броят на билетите без печалба е 1000 – (5+10+20+50) = 915, тогава P(X=0) = 915/1000 = 0,915.
По същия начин намираме всички други вероятности: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X =500) = 5/1000=0,005. Нека представим получения закон под формата на таблица:
Ще намерим очаквана стойностстойности X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+2 +3 +4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5
Задача 3.
Устройството се състои от три независимо работещи елемента. Вероятността за повреда на всеки елемент в един експеримент е 0,1. Начертайте закон за разпределение на броя на неуспешните елементи в един експеримент, изградете многоъгълник на разпределение. Намерете функцията на разпределение F(x) и я начертайте. Намерете математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение на дискретна случайна променлива.
Решение. 1. Дискретната случайна променлива X = (броят неуспешни елементи в един експеримент) има следните възможни стойности: x 1 = 0 (нито един от елементите на устройството не е неуспешен), x 2 = 1 (един елемент е неуспешен), x 3 = 2 ( два елемента са неуспешни) и x 4 =3 (три елемента са неуспешни).
Отказите на елементите са независими един от друг, вероятностите за отказ на всеки елемент са равни, следователно е приложим Формула на Бернули
. Като се има предвид, че според условието n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, определяме вероятностите на стойностите:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0,1 3 = 0,001;
Проверка: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.
Така желаният биномиален закон за разпределение на X има формата:
Начертаваме възможните стойности на x i по абсцисната ос и съответните вероятности p i по ординатната ос. Нека построим точки M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001). Свързвайки тези точки с прави сегменти, получаваме желания многоъгълник на разпределение.
3. Да намерим функцията на разпределение F(x) = Р(Х
За x ≤ 0 имаме F(x) = Р(Х<0) = 0;за 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
за 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
за 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
за x > 3 ще има F(x) = 1, защото събитието е надеждно.
 |
Графика на функция F(x)
4.
За биномно разпределение X:
- математическо очакване M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- дисперсия D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- стандартно отклонение σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.
дисперсиянепрекъсната случайна променлива X, чиито възможни стойности принадлежат на цялата ос Ox, се определя от равенството: 
Цел на услугата. Онлайн калкулаторът е предназначен за решаване на задачи, в които или плътност на разпространение f(x) или функция на разпределение F(x) (вижте примера). Обикновено в такива задачи трябва да намерите математическо очакване, стандартно отклонение, функции f(x) и F(x).
Инструкции. Изберете типа на изходните данни: плътност на разпределение f(x) или функция на разпределение F(x).
Плътността на разпределение f(x) е дадена: 
Функцията на разпределение F(x) е дадена: 
Непрекъсната случайна променлива се определя от плътност на вероятността 
(Закон за разпределение на Релей - използва се в радиотехниката). Намерете M(x) , D(x) .
Извиква се случайната променлива X непрекъснато
, ако неговата функция на разпределение F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива се използва за изчисляване на вероятността случайна променлива да попадне в даден интервал:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Освен това за непрекъсната случайна променлива няма значение дали нейните граници са включени в този интервал или не:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Плътност на разпространение
непрекъсната случайна променлива се нарича функция
f(x)=F’(x) , производна на функцията на разпределение.
Свойства на плътността на разпределение
1. Плътността на разпределение на случайната променлива е неотрицателна (f(x) ≥ 0) за всички стойности на x.2. Условие за нормализиране:
Геометричният смисъл на условието за нормализиране: площта под кривата на плътността на разпределението е равна на единица.
3. Вероятността случайна променлива X да попадне в интервала от α до β може да се изчисли по формулата
Геометрично, вероятността непрекъсната случайна променлива X да попадне в интервала (α, β) е равна на площта на криволинейния трапец под кривата на плътността на разпределението въз основа на този интервал.
4. Функцията на разпределение се изразява по отношение на плътността, както следва:
Стойността на плътността на разпределение в точка x не е равна на вероятността да приемем тази стойност; за непрекъсната случайна променлива можем да говорим само за вероятността да попаднем в даден интервал. Нека (фиг. 5.4). Намерете аналитичен израз за плътността на вероятността f(х) на цялата числова ос.
Ориз. 5.4 Фиг. 5.5
5.16. Случайна стойност хразпределени по закона на “правоъгълния триъгълник” в интервала (0;4) (фиг. 5.5). Намерете аналитичен израз за плътността на вероятността f(х) на цялата числова ос.
Отговори
П (-1/2<х<1/2)=2/3.
П(2π /9<х< π /2)=1/2.
5.3. а) с=1/6, б) М(х)=3 , c) д(х)=26/81.
5.4. а) с=3/2, б) М(х)=3/5, c) д(х)=12/175.
б) М(х)= 3 , д(х)= 2/9, σ( х)= /3.
б) М(х)=2 , д(х)= 3 , σ( х)= 1,893.
5.7. а) c = ; б)
5.8. а) с=1/2; б)
5.9. а) 1/4; б) 0.
5.10. а) 3/5; б) 1.
5.11. а) с= 2; б) М(х)= 2; в 1- вътре 2 2 ≈ 0,5185.
5.12. а) М(х)= π /2; б) 1/2
………………………………………………………
Аn - случайната величина X е приела стойност An.
Очевидно е, че сумата от събития A1 A2, . , An е надеждно събитие, тъй като случайната променлива трябва да приеме поне една от стойностите x1, x2, xn.
Следователно P (A1 È A2 È . È An) = 1.
В допълнение, събитията A1, A2, ., An са непоследователни, тъй като случайна променлива по време на един експеримент може да приеме само една от стойностите x1, x2, ., xn. Използвайки теоремата за добавяне за несъвместими събития, получаваме
P(A1)+P(A2)+ .+P(An)=1,
т.е. p1+p2+. +pn = 1, или накратко,
Следователно сумата от всички числа, разположени във втория ред на таблица 1, която дава закона за разпределение на случайната величина X, трябва да бъде равна на единица.
ПРИМЕР 1. Нека случайната променлива X е броят точки, получени при хвърляне на зар. Намерете закона за разпределение (в таблична форма).
Случайната променлива X приема стойности
x1=1, x2=2, …, x6=6
с вероятности
р1= р2 = … = р6 =
Законът за разпределение е даден от таблицата:
таблица 2
ПРИМЕР 2.Биномиално разпределение. Нека разгледаме случайна променлива X - броят на появяванията на събитие A в поредица от независими експерименти, във всеки от които A се появява с вероятност p.
Случайната променлива X очевидно може да приеме една от следните стойности:
0, 1, 2, ., k, ., n.
Вероятността случайната променлива X да приеме стойност, равна на k, се определя от формулата на Бернули:
Рn(k)= където q=1- р.
Това разпределение на случайна променлива се нарича биномно разпределение или разпределение на Бернули. Разпределението на Бернули е напълно специфицирано от два параметъра: броя n на всички експерименти и вероятността p, с която дадено събитие се случва във всеки отделен експеримент.
Условието за биномиалното разпределение приема формата:
За да се докаже валидността на това равенство е достатъчно в тъждеството
(q+px)n= 
поставете x=1.
ПРИМЕР 3.Поасоново разпределение. Това е името на вероятностното разпределение на формата:
Р(k)= 
.
Определя се от един единствен (положителен) параметър a. Ако ξ е случайна променлива с разпределение на Поасон, тогава съответният параметър a е средната стойност на тази случайна променлива:
a=Mξ=, където M е математическото очакване.
Случайната променлива е:
ПРИМЕР 4.Експоненциално разпределение.
Ако времето е случайна променлива, нека я обозначим с τ, така че
където 0<λ=const, t ³ 0, причем, если t=0, то P(t)=0.
Средната стойност на случайната променлива t е:
Плътността на разпределение има формата:
4) Нормално разпределение
Нека са независими, еднакво разпределени случайни променливи и нека 
Ако членовете са достатъчно малки и числото n е достатъчно голямо, ако за n à ∞ математическото очакване на случайната променлива Mξ и дисперсията Dξ, равна на Dξ=M(ξ–Mξ)2, са такива, че Mξ~a, Dξ ~σ2, тогава
- нормално или гаусово разпределение
.
5) Геометрично разпределение. Нека означим с ξ броя на изпитанията, предхождащи появата на първия „успех“. Ако приемем, че всеки тест продължава единица време, тогава можем да считаме ξ за времето на изчакване до първия „успех“. Разпределението изглежда така:
Р(k)=p(1-p)k, (k=0, 1, 2) p>0
6) Хипергеометрично разпределение.
Има N обекта, сред които n са „специални обекти“. Измежду всички обекти произволно се избират k-обекти. Намерете вероятността сред избраните обекти да има равни на r - „специални обекти“. Разпределението изглежда така:
7) Разпределение на Паскал.
Нека x е общият брой на „провалите“, предхождащи пристигането на r-тия „успех“. Разпределението изглежда така:
Функцията на разпределение има формата:
Равновероятностното разпределение предполага, че случайната променлива x може да приеме произволна стойност в интервала с еднаква вероятност. Плътността на разпределение се изчислява като 
Графиките на плътността на разпределението и функцията на разпределение са представени по-долу.
Преди да обясним понятието „бял шум“, е необходимо да дадем редица определения.
Случайна функция е функция на неслучаен аргумент t, който за всяка фиксирана стойност на аргумента е случайна променлива. Например, ако U е случайна променлива, тогава функцията X(t)=t2U е случайна.
Напречното сечение на произволна функция е случайна променлива, съответстваща на фиксирана стойност на аргумента на произволната функция. По този начин една случайна функция може да се разглежда като набор от случайни променливи (X(t)), в зависимост от параметъра t.
