Определение 1
Съвкупността от всички антипроизводни дадена функция$y=f(x)$, дефиниран на определен сегмент, се нарича неопределен интеграл на дадена функция $y=f(x)$. Неопределеният интеграл се обозначава със символа $\int f(x)dx $.
Коментирайте
Дефиниция 2 може да се напише по следния начин:
\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]
Не всяка ирационална функция може да бъде изразена като интеграл по отношение на елементарни функции. Повечето от тези интеграли обаче могат да бъдат намалени чрез заместване на интеграли на рационални функции, които могат да бъдат изразени чрез елементарни функции.
$\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $;
$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac(ax+b)(cx +d) \right)^(r/s) \right)dx $;
$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $.
аз
При намиране на интеграл от вида $\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $ е необходимо да се извърши следното заместване:
С това заместване всяка дробна степен на променливата $x$ се изразява чрез цяла степен на променливата $t$. В резултат на това подинтегралната функция се трансформира в рационална функция на променливата $t$.
Пример 1
Извършете интеграция:
\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) .\]
Решение:
$k=4$ е общият знаменател на дробите $\frac(1)(2) ,\, \, \frac(3)(4) $.
\ \[\begin(array)(l) (\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =4\int \frac(t^(2) ) (t^(3) +1) \cdot t^(3) dt =4\int \frac(t^(5) )(t^(3) +1) dt =4\int \left(t^( 2) -\frac(t^(2) )(t^(3) +1) \right)dt =4\int t^(2) dt -4\int \frac(t^(2) )(t ^(3) +1) dt =\frac(4)(3) \cdot t^(3) -) \\ (-\frac(4)(3) \cdot \ln |t^(3) +1 |+C)\край (масив)\]
\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =\frac(4)(3) \cdot \left+C\]
II
При намиране на интеграл от формата $\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac (ax+ b)(cx+d) \right)^(r/s) \right)dx $ е необходимо да се извърши следното заместване:
където $k$ е общият знаменател на дробите $\frac(m)(n) ,...,\frac(r)(s) $.
В резултат на това заместване функцията под интегранд се трансформира в рационална функция на променливата $t$.
Пример 2
Извършете интеграция:
\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx .\]
Решение:
Нека направим следната замяна:
\ \[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =\int \frac(t^(2) )(t^(2) -4) dt =2\int \left(1 +\frac(4)(t^(2) -4) \right)dt =2\int dt +8\int \frac(dt)(t^(2) -4) =2t+2\ln \left |\frac(t-2)(t+2) \right|+C\]
След като извършим обратното заместване, получаваме крайния резултат:
\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =2\sqrt(x+4) +2\ln \left|\frac(\sqrt(x+4) -2)(\ sqrt(x+4) +2) \right|+C.\]
III
При намиране на интеграл от формата $\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $ се извършва така нареченото заместване на Ойлер (едно от трите възможни замествания е използвани).
Първата смяна на Ойлер
За случая $a>
Като вземем знака „+“ пред $\sqrt(a) $, получаваме
Пример 3
Извършете интеграция:
\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) .\]
Решение:
Нека направим следното заместване (случай $a=1>0$):
\[\sqrt(x^(2) +c) =-x+t,\, \, x=\frac(t^(2) -c)(2t) ,\, \, dx=\frac(t ^(2) +c)(2t^(2) ) dt,\, \, \sqrt(x^(2) +c) =-\frac(t^(2) -c)(2t) +t= \frac(t^(2) +c)(2t) .\] \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\int \frac(\frac(t^ (2) +c)(2t^(2) ) dt)(\frac(t^(2) +c)(2t) ) =\int \frac(dt)(t) =\ln |t|+C \]
След като извършим обратното заместване, получаваме крайния резултат:
\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\ln |\sqrt(x^(2) +c) +x|+C.\]
Втора смяна на Ойлер
За случая $c>0$ е необходимо да се извърши следната замяна:
Като вземем знака „+“ пред $\sqrt(c) $, получаваме
Пример 4
Извършете интеграция:
\[\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx .\]
Решение:
Нека направим следната замяна:
\[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1.\]
\ \[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1=\frac(t^(2) -t+1)(1-t^(2) ) \] \
$\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx = \int \frac((-2t^(2) +t)^(2) (1-t)^(2) (1-t^(2))(2t^(2) -2t+2))( (1-t^(2))^(2) (2t-1)^(2) (t^(2) -t+1)(1-t^(2))^(2) ) dt =\ int \frac(t^(2) )(1-t^(2) ) dt =-2t+\ln \left|\frac(1+t)(1-t) \right|+C$ След като направих обратното заместване, получаваме крайния резултат:
\[\begin(array)(l) (\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x +x^(2) ) dx =-2\cdot \frac(\sqrt(1+x+x^(2) ) -1)(x) +\ln \left|\frac(x+\sqrt(1 + x+x^(2) ) -1)(x-\sqrt(1+x+x^(2) ) +1) \right|+C=-2\cdot \frac(\sqrt(1+x + x^(2) ) -1)(x) +) \\ (+\ln \left|2x+2\sqrt(1+x+x^(2) ) +1\right|+C) \end ( масив)\]
Третата смяна на Ойлер
Под ирационаленразбирайте израз, в който независимата променлива %%x%% или полиномът %%P_n(x)%% от степен %%n \in \mathbb(N)%% е включен под знака радикален(от латински корен- корен), т.е. повдигнати на дробна степен. Чрез замяна на променлива, някои класове интегранти, които са ирационални по отношение на %%x%%, могат да бъдат редуцирани до рационални изрази по отношение на нова променлива.
Концепцията за рационална функция на една променлива може да се разшири до множество аргументи. Ако за всеки аргумент %%u, v, \dotsc, w%% при изчисляване на стойността на функция са предвидени само аритметични операции и повдигане на цяло число, тогава говорим за рационална функция на тези аргументи, която обикновено е означен като %%R(u, v, \ dotsc, w)%%. Самите аргументи на такава функция могат да бъдат функции на независимата променлива %%x%%, включително радикали от формата %%\sqrt[n](x), n \in \mathbb(N)%%. Например рационалната функция $$ R(u,v,w) = \frac(u + v^2)(w) $$ с %%u = x, v = \sqrt(x)%% и %% w = \sqrt(x^2 + 1)%% е рационална функция на $$ R\left(x, \sqrt(x), \sqrt(x^2+1)\right) = \frac(x + \sqrt(x ^2))(\sqrt(x^2 + 1)) = f(x) $$ от %%x%% и радикали %%\sqrt(x)%% и %%\sqrt(x ^2 + 1 )%%, докато функцията %%f(x)%% ще бъде ирационална (алгебрична) функция на една независима променлива %%x%%.
Нека разгледаме интеграли от формата %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%%. Такива интеграли се рационализират чрез замяна на променливата %%t = \sqrt[n](x)%%, след това %%x = t^n, \mathrm(d)x = nt^(n-1)%%.
Пример 1
Намерете %%\displaystyle\int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x))%%.
Интегрантът на желания аргумент се записва като функция на радикали от степен %%2%% и %%3%%. Тъй като най-малкото общо кратно на %%2%% и %%3%% е %%6%%, този интеграл е интеграл от тип %%\int R(x, \sqrt(x)) \mathrm(d) x %% и може да се рационализира чрез замяна на %%\sqrt(x) = t%%. Тогава %%x = t^6, \mathrm(d)x = 6t \mathrm(d)t, \sqrt(x) = t^3, \sqrt(x) =t^2%%. Следователно $$ \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) = \int \frac(6t^5 \mathrm(d)t)(t^3 + t^2) = 6\int\frac(t^3)(t+1)\mathrm(d)t. $$ Да вземем %%t + 1 = z, \mathrm(d)t = \mathrm(d)z, z = t + 1 = \sqrt(x) + 1%% и $$ \begin(array)( ll ) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) &= 6\int\frac((z-1)^3)(z) \mathrm(d ) t = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrm(d)z + 18\int \mathrm(d)z -6\int\frac(\mathrm(d)z)( z ) = \\ &= 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \left(\sqrt(x) + 1\right)^3 - 9 \left(\sqrt(x) + 1\right)^2 + \\ &+~ 18 \left( \sqrt(x) + 1\надясно) - 6 \ln\наляво|\sqrt(x) + 1\надясно| + C \край (масив) $$
Интегралите от формата %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% са специален случай на дробни линейни ирационалности, т.е. интеграли от формата %%\displaystyle\int R\left(x, \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))\right) \mathrm(d)x%%, където %% ad - bc \neq 0%%, което може да се рационализира чрез замяна на променливата %%t = \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))%%, тогава %%x = \dfrac (dt^n - b)(a - ct^n)%%. Тогава $$ \mathrm(d)x = \frac(n t^(n-1)(ad - bc))(\left(a - ct^n\right)^2)\mathrm(d)t. $$
Пример 2
Намерете %%\displaystyle\int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\dfrac(\mathrm(d)x)(x + 1)%%.
Нека вземем %%t = \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))%%, тогава %%x = \dfrac(1 - t^2)(1 + t^2)%%, $ $ \begin(array)(l) \mathrm(d)x = -\frac(4t\mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2), \\ 1 + x = \ frac(2)(1 + t^2), \\ \frac(1)(x + 1) = \frac(1 + t^2)(2). \end(array) $$ Следователно, $$ \begin(array)(l) \int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\frac(\mathrm(d)x)(x + 1) = \\ = \frac(t(1 + t^2))(2)\left(-\frac(4t \mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2 )\right) = \\ = -2\int \frac(t^2\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2\int \mathrm(d)t + 2\int \frac(\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2t + \text(arctg)~t + C = \\ = -2\sqrt(\dfrac(1 -x)( 1 + x)) + \text(arctg)~\sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x)) + C. \end(array) $$
Нека разгледаме интеграли от формата %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%%. В най-простите случаи такива интеграли се свеждат до таблични, ако след изолиране на пълния квадрат се направи промяна на променливите.
Пример 3
Намерете интеграла %%\displaystyle\int \dfrac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5))%%.
Като се има предвид, че %%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1%%, вземаме %%t = x + 2, \mathrm(d)x = \mathrm(d)t%%, след това $$ \begin(array)(ll) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5)) &= \int \frac(\mathrm(d)t) (\sqrt(t^2 + 1)) = \\ &= \ln\left|t + \sqrt(t^2 + 1)\right| + C = \\ &= \ln\left|x + 2 + \sqrt(x^2 + 4x + 5)\right| + C. \край (масив) $$
В по-сложни случаи се използват интеграли от вида %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%%
Универсално решение ирационални уравненияне, тъй като техният клас се различава по брой. Статията ще подчертае характерни типове уравнения със заместване, използвайки метода на интегриране.
За да се използва методът на директно интегриране, е необходимо да се изчислят неопределени интеграли от вида ∫ k x + b p d x , където p е рационална дроб, k и b са реални коефициенти.
Пример 1
Намерете и изчислете първопроизводните на функцията y = 1 3 x - 1 3 .
Решение
Съгласно правилото за интегриране е необходимо да се приложи формулата ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C, а таблицата с първоизводни показва, че има готово решение на тази функция . Разбираме това
∫ d x 3 x - 1 3 = ∫ (3 x - 1) - 1 3 d x = 1 3 1 - 1 3 + 1 (3 x - 1) - 1 3 + 1 + C = = 1 2 (3 x - 1 ) 2 3 + C
Отговор:∫ d x 3 x - 1 3 = 1 2 (3 x - 1) 2 3 + C .
Има случаи, когато е възможно да се използва методът на субсумиране на диференциален знак. Това се решава чрез принципа на намиране на неопределени интеграли от формата ∫ f " (x) · (f (x)) p d x , когато стойността на p се счита за рационална дроб.
Пример 2
Намерете неопределения интеграл ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x .
Решение
Обърнете внимание, че d x 3 + 5 x - 7 = x 3 + 5 x - 7 "d x = (3 x 2 + 5) d x. Тогава е необходимо да включим диференциалния знак, като използваме таблици с първоизводни. Получаваме, че
∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 (3 x 2 + 5) d x = = ∫ (x 3 + 5 x - 7 ) - 7 6 d (x 3 + 5 x - 7) = x 3 + 5 x - 7 = z = = ∫ z - 7 6 d z = 1 - 7 6 + 1 z - 7 6 + 1 + C = - 6 z - 1 6 + C = z = x 3 + 5 x - 7 = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C
Отговор:∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C .
Решаването на неопределени интеграли включва формула от вида ∫ d x x 2 + p x + q, където p и q са реални коефициенти. След това трябва да изберете пълен квадрат от под корена. Разбираме това
x 2 + p x + q = x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = x + p 2 2 + 4 q - p 2 4
Прилагайки формулата, намираща се в таблицата на неопределените интеграли, получаваме:
∫ d x x 2 ± α = ln x + x 2 ± α + C
След това се изчислява интегралът:
∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = = ln x + p 2 + x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 + C = = ln x + p 2 + x 2 + p x + q + C
Пример 3
Намерете неопределения интеграл от вида ∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 .
Решение
За да изчислите, трябва да извадите числото 2 и да го поставите пред радикала:
∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 = ∫ d x 2 x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2
Изберете пълен квадрат в радикален израз. Разбираме това
x 2 + 3 2 x - 1 2 = x 2 + 3 2 x + 3 4 2 - 3 4 2 - 1 2 = x + 3 4 2 - 17 16
Тогава получаваме неопределен интеграл от вида 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x + 3 4 2 - 17 16 = = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + С
Отговор: d x x 2 + 3 x - 1 = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C
По подобен начин се извършва интегрирането на ирационални функции. Приложимо за функции от вида y = 1 - x 2 + p x + q.
Пример 4
Намерете неопределения интеграл ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 .
Решение
Първо трябва да извлечете квадрата на знаменателя на израза от под корена.
∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - x 2 - 4 x - 5 = = ∫ d x - x 2 - 4 x + 4 - 4 - 5 = ∫ d x - x - 2 2 - 9 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9
Интегралът на таблицата има формата ∫ d x a 2 - x 2 = a r c sin x a + C, тогава получаваме, че ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9 = a r c sin x - 2 3 +C
Отговор:∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = a r c sin x - 2 3 + C .
Процесът на намиране на противопроизводни ирационални функции под формата y = M x + N x 2 + p x + q, където съществуващите M, N, p, q са реални коефициенти и са подобни на интегрирането на прости дроби от трети тип . Тази трансформация има няколко етапа:
сумиране на диференциала под корена, изолиране на пълния квадрат на израза под корена, използване на таблични формули.
Пример 5
Намерете първопроизводните на функцията y = x + 2 x 2 - 3 x + 1.
Решение
От условието имаме, че d (x 2 - 3 x + 1) = (2 x - 3) d x и x + 2 = 1 2 (2 x - 3) + 7 2, тогава (x + 2) d x = 1 2 (2 x - 3) + 7 2 d x = 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 d x .
Нека изчислим интеграла: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = 1 2 ∫ d (x 2 - 3 x + 1) x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ∫ d x x 2 - 3 x + 1 = = 1 2 ∫ (x 2 - 3 x + 1) - 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ∫ d x x - 3 2 2 - 5 4 = = 1 2 1 - 1 2 + 1 x 2 - 3 x + 1 - 1 2 + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x - 3 2 - 5 4 + C = = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C
Отговор:∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C .
Търсенето на неопределени интеграли на функцията ∫ x m (a + b x n) p d x се извършва чрез метода на заместване.
За да се реши, е необходимо да се въведат нови променливи:
- Когато p е цяло число, тогава се разглежда x = z N и N е общият знаменател за m, n.
- Когато m + 1 n е цяло число, тогава a + b x n = z N и N е знаменателят на p.
- Когато m + 1 n + p е цяло число, тогава се изисква променливата a x - n + b = z N, а N е знаменателят на числото p.
Намерете определения интеграл ∫ 1 x 2 x - 9 d x .
Решение
Получаваме, че ∫ 1 x 2 x - 9 d x = ∫ x - 1 · (- 9 + 2 x 1) - 1 2 d x . От това следва, че m = - 1, n = 1, p = - 1 2, тогава m + 1 n = - 1 + 1 1 = 0 е цяло число. Можете да въведете нова променлива от формата - 9 + 2 x = z 2. Необходимо е да се изрази x чрез z. Като изход получаваме това
9 + 2 x = z 2 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = z 2 + 9 2 " d z = z d z - 9 + 2 x = z
Необходимо е да се направи заместване в дадения интеграл. Ние имаме това
∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 z = 2 ∫ d z z 2 + 9 = = 2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C
Отговор:∫ d x x 2 x - 9 = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C .
За опростяване на решението на ирационални уравнения се използват основни методи за интегриране.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
Този раздел ще обсъди метода за интегриране на рационални функции. 7.1. Кратка информацияотносно рационалните функции Най-простата рационална функция е полином от десета степен, т.е. функция от вида където са реални константи, а a0 Ф 0. Полиномът Qn(x), чийто коефициент a0 = 1, се нарича редуциран. Реално число b се нарича корен на полинома Qn(z), ако Q„(b) = 0. Известно е, че всеки полином Qn(x) с реални коефициенти се разлага еднозначно на реални множители от вида където p, q са реални коефициенти, а квадратичните множители нямат реални корени и следователно не могат да бъдат разложими на реални линейни множители. Чрез комбиниране на идентични фактори (ако има такива) и приемане, за простота, че полиномът Qn(x) е редуциран, можем да запишем разлагането му на множители във формата където са естествени числа. Тъй като степента на полинома Qn(x) е равна на n, тогава сумата от всички показатели a, /3,..., A, добавени към двойната сума на всички показатели ω,..., q, е равна до n: Коренът a на полином се нарича прост или единичен, ако a = 1, и кратен, ако a > 1; числото а се нарича кратност на корена а. Същото важи и за другите корени на полинома. Рационална функция f(x) или рационална дроб е отношението на два полинома и се приема, че полиномите Pm(x) и Qn(x) нямат общи множители. Рационална дроб се нарича правилна, ако степента на многочлена в числителя е по-малка от степента на полинома в знаменателя, т.е. Ако m n, тогава рационалната дроб се нарича неправилна дроб и в този случай, разделяйки числителя на знаменателя според правилото за деление на полиноми, тя може да бъде представена във формата където са някои полиноми, а ^^ е правилно рационална дроб. Пример 1. Рационалната дроб е неправилна дроб. Разделяйки с „ъгъл“, имаме Следователно. Тук. и е правилна дроб. Определение. Най-простите (или елементарни) дроби се наричат рационални дробиследните четири типа: където - реални числа, Да се - естествено число, по-голямо или равно на 2, и квадратният тричлен x2 + px + q няма реални корени, така че -2 _2 е неговият дискриминант.В алгебрата е доказана следната теорема. Теорема 3. Правилна рационална дроб с реални коефициенти, чийто знаменател има вида Qn(x) се разлага по уникален начин в сбора на простите дроби по правилото Интегриране на рационални функции Кратка информация за рационални функции Интегриране на прости дроби Общ случай Интегриране на ирационални функции Първо заместване на Ойлер Второ заместване на Ойлер Трето заместване на Ойлер В това разширение има някои реални константи, някои от които могат да бъдат равни на нула. За да се намерят тези константи, дясната страна на равенството (I) се привежда към общ знаменател и след това коефициентите при същите степени на x в числителите на лявата и дясната страна се приравняват. Това дава системата линейни уравнения, от които се намират търсените константи. . Този метод за намиране на неизвестни константи се нарича метод на неопределени коефициенти. Понякога е по-удобно да се използва друг метод за намиране на неизвестни константи, който се състои в това, че след приравняване на числителите се получава идентичност по отношение на x, в която на аргумента x се дават някои стойности, например стойностите от корените, което води до уравнения за намиране на константите. Особено удобно е, ако знаменателят Q„(x) има само реални прости корени. Пример 2. Разлагаме рационалната дроб на по-прости дроби.Тази дроб е правилна. Ние разлагаме знаменателя на умножения: Тъй като корените на знаменателя са реални и различни, тогава, въз основа на формула (1), разлагането на дробта на най-простото ще има формата: Намаляване на правилната чест „на това равенство до общ знаменател и приравнявайки числителите от лявата и дясната му страна, получаваме тъждеството или Намираме неизвестни коефициенти A. 2?, C по два начина. Първи начин. Приравняване на коефициентите при еднакви степени на x, т.в. с (свободен термин) и лявата и дясната страна на идентичността, получаваме линейна системауравнения за намиране на неизвестни коефициенти A, B, C: Тази система има единствено решение C Втори метод. Тъй като корените на знаменателя са разкъсани при i 0, получаваме 2 = 2A, откъдето A * 1; g i 1, получаваме -1 * -B, от което 5 * 1; x i 2, получаваме 2 = 2C. откъдето C» 1, а търсеното разширение има вида 3. Rehlozhnt не най-простите дроби рационална дроб 4 Разлагаме полинома, който е в обратна посока, на множители: . Знаменателят има два различни реални корена: x\ = 0 кратност на кратност 3. Следователно разлагането на тази дроб не е най-простото: Привеждайки дясната страна до общ знаменател, намираме или Първият метод. Приравняване на коефициентите за едни и същи степени на x в лявата и дясната страна на последната идентичност. получаваме линейна система от уравнения.Тази система има уникално решение и необходимото разширение ще бъде вторият метод. В полученото тъждество, като поставим x = 0, получаваме 1 a A2, или A2 = 1; поле* gay x = -1, получаваме -3 i B), или Bj i -3. При заместване на намерените стойности на коефициентите A\ и B) и идентичността ще приеме формата или Поставяне на x = 0, а след това x = -I. намираме, че = 0, B2 = 0 и. това означава B\ = 0. Така отново получаваме Пример 4. Разгънете рационалната дроб 4 на по-прости дроби.Знаменателят на дробта няма реални корени, тъй като функцията x2 + 1 не е равна на нула за никакви реални стойности от х. Следователно разлагането в прости дроби трябва да има формата От тук получаваме или. Приравнявайки коефициентите на синаксовите степени на x в лявата и дясната страна на последното равенство, ще имаме къде намираме и, следователно, Трябва да се отбележи, че в някои случаи разлагането на прости дроби може да се получи по-бързо и по-лесно чрез действие по някакъв друг начин, без да се използва методът на неопределените коефициенти Например, за да получите разлагането на дробта в пример 3, можете да събирате и изваждате в числителя 3x2 и да разделяте, както е посочено по-долу. 7.2. Интегриране на прости дроби, Както бе споменато по-горе, всяка неправилна рационална дроб може да бъде представена като сбор от някакъв полином и правилна рационална дроб (§7) и това представяне е уникално. Интегрирането на полином не е трудно, така че разгледайте въпроса за интегрирането на правилна рационална дроб. Тъй като всяка правилна рационална дроб може да бъде представена като сбор от прости дроби, нейното интегриране се свежда до интегриране на прости дроби. Нека сега разгледаме въпроса за тяхната интеграция. III. За да намерим интеграла на най-простата дроб от третия тип, ние изолираме пълния квадрат на бинома от квадратния трином: Тъй като вторият член е равен на a2, където и след това правим заместването. След това, като вземем предвид линейните свойства на интеграла, намираме: Пример 5. Намерете интеграла 4 Функцията интегранд е най-простата дроб от трети тип, тъй като квадратният трином x1 + Ax + 6 няма реални корени (неговият дискриминант е отрицателна: , а числителят съдържа полином от първа степен. Следователно процедираме по следния начин: 1) изберете точен квадрат в знаменателя 2) направете заместване (тук 3) с * един интеграл За да намерите интеграла на най-простата дроб от четвъртия тип, поставяме, както по-горе, . След това получаваме интеграла от дясната страна, обозначен с A, и го трансформираме по следния начин: Интегралът от дясната страна се интегрира по части, като се предполага откъде или Интегриране на рационални функции Кратка информация за рационални функции Интегриране на прости дроби Общ случай Интегриране на ирационални функции Първо заместване на Ойлер Второ заместване на Ойлер Трето заместване Ойлер Получихме така наречената рекурентна формула, която ни позволява да намерим интеграла Jk за всяко k = 2, 3,.... Наистина, интегралът J\ е табличен: Вмъквайки формулата за рекурентност, намираме. Знаейки и поставяйки A = 3, можем лесно да намерим Jj и т.н. В крайния резултат, замествайки навсякъде вместо t и a техните изрази чрез x и коефициенти p и q, получаваме за първоначалния интеграл неговия израз чрез x и дадените числа M, LG, p, q. Пример 8. Нов интеграл „Интегралната функция е най-простата дроб от четвърти тип, тъй като дискриминантът на квадратен тричлен е отрицателен, т.е. Това означава, че знаменателят няма реални корени, а числителят е полином от 1-ва степен. 1) Избираме пълен квадрат в знаменателя 2) Правим заместване: Интегралът ще приеме формата: Поставяйки във формулата за повторение * = 2, a3 = 1. ще имаме и следователно търсеният интеграл е равен на Връщайки се към променливата x, накрая получаваме 7.3. Общ случай От резултатите от параграфи. 1 и 2 на този раздел непосредствено следва важна теорема. Теорема! 4. Неопределеният интеграл на всяка рационална функция винаги съществува (на интервали, в които знаменателят на дробта Q„(x) φ 0) и се изразява чрез краен брой елементарни функции, а именно, той е алгебрична сума, членовете от които могат да се умножават само , рационални дроби, естествени логаритми и арктангенси. И така, да намерите неопределен интеграл от дробно-рационална функция трябва да се процедира по следния начин: 1) ако рационалната дроб е неправилна, тогава чрез разделяне на числителя на знаменателя цялата част се изолира, т.е. тази функция се представя като сума от полином и правилна рационална дроб; 2) след това знаменателят на получената правилна дроб се разлага на произведението на линейни и квадратни множители; 3) тази правилна дроб се разлага на сбора от простите дроби; 4) използвайки линейността на интеграла и формулите от стъпка 2, интегралите на всеки член се намират отделно. Пример 7. Намерете интеграла M Тъй като знаменателят е полином от трети ред, функцията интегранд е неправилна дроб. Открояваме цялата част в него: Следователно ще имаме. Знаменателят на правилна дроб има phi различни реални корени: и следователно нейното разлагане на прости дроби има формата Следователно намираме. Давайки на аргумента x стойности, равни на корените на знаменателя, намираме от тази идентичност, че: Следователно търсеният интеграл ще бъде равен на Пример 8. Намерете интеграла 4 Интеграндът е правилна дроб, чийто знаменател има два различни реални корена: x - O кратност от 1 и x = 1 от кратност 3, Следователно, разширяването на интегранд в прости дроби има формата Привеждане на дясната страна на това равенство към общ знаменател и намаляване на двете страни на равенството чрез този знаменател получаваме или. Приравняваме коефициентите за едни и същи степени на х от лявата и дясната страна на тази идентичност: Оттук намираме. Замествайки намерените стойности на коефициентите в разширението, ще имаме Интегрирайки, намираме: Пример 9. Намерете интеграла 4 Знаменателят на фракцията няма реални корени. Следователно, разширяването на интегранта в прости дроби има формата Следователно или Приравнявайки коефициентите за едни и същи степени на x от лявата и дясната страна на тази идентичност, ще имаме откъде намираме и, следователно, Забележка. В дадения пример функцията интегранд може да бъде представена като сбор от прости дроби по по-прост начин, а именно в числителя на дробта избираме двоичния код, който е в знаменателя, след което извършваме почленно деление : §8. Интегриране на ирационални функции Функция от вида, където Pm и £?„ са полиноми от тип степен, съответно, в променливите uub2,... се нарича рационална функция на ubu2j... Например, полином от втора степен в две променливи u\ и u2 има формата където - някои реални константи и Пример 1, Функцията е рационална функция на променливите r и y, тъй като представлява отношението на полином от трета степен и полином на пета степен, но не е тисова функция. В случай, че променливите от своя страна са функции на променливата w: тогава функцията ] се нарича рационална функция на функциите от примера. Функцията е рационална функция на r и rvdikvlv Pryaivr 3. Функция на формата не е рационална функция на x и радикала y/r1 + 1, но е рационална функция на функции. Както показват примерите, интегралите на ирационалните функциите не винаги се изразяват чрез елементарни функции. Например интегралите, които често се срещат в приложенията, не са изразени чрез елементарни функции; тези интеграли се наричат съответно елиптични интеграли от първи и втори род. Нека разгледаме тези случаи, когато интегрирането на ирационални функции може да бъде сведено с помощта на някои замествания до интегрирането на рационални функции. 1. Нека е необходимо да се намери интегралът, където R(x, y) е рационална функция на своите аргументи x и y; m £ 2 - естествено число; a, 6, c, d са реални константи, които отговарят на условието ad - bc ^ O (за ad - be = 0, коефициентите a и b са пропорционални на коефициентите c и d и следователно връзката не зависи от x ; това означава, че в този случай интегралната функция ще бъде рационална функция на променливата x, чието интегриране беше обсъдено по-рано). Нека направим промяна на променливата в този интеграл, поставяйки Следователно изразяваме променливата x чрез нова променлива.Имаме x = - рационална функция на t. След това намираме или, след опростяване, Следователно, където L1 (t) е рационална функция от *, тъй като рационалната основа на рационална функция, както и продуктът на рационалните функции, са рационални функции. Ние знаем как да интегрираме рационални функции. Нека Тогава търсеният интеграл е равен на At. IvYti integral 4 Функцията под интегранд* е рационална функция на. Следователно задаваме t = Тогава Интегриране на рационални функции Кратка информация за рационални функции Интегриране на прости дроби Общ случай Интегриране на ирационални функции Първо заместване на Ойлер Второ заместване на Ойлер Трето заместване на Ойлер Така получаваме Primar 5. Намерете интеграла Общ знаменател дробни показатели степени на x е 12, така че интегрантът може да бъде представен като 1 _ 1_, което показва, че е рационална функция на: Като вземем това предвид, нека поставим. Следователно 2. Нека разгледаме intephs от формата, където подинтегралната функция е такава, че замествайки радикала \/ax2 + bx + c в нея с y, получаваме функцията R(x) y) - рационална по отношение към двата аргумента x и y. Този интеграл се редуцира до интеграла на рационална функция на друга променлива чрез замествания на Ойлер. 8.1. Първото заместване на Ойлер Нека коефициентът a > 0. Задаваме или От тук намираме x като рационална функция на u, следователно, По този начин, посоченото заместване се изразява рационално чрез *. Затова ще имаме забележка. Първото заместване на Ойлер също може да бъде взето във формата Пример 6. Намерете интеграла, който ще намерим Следователно, ще имаме dx заместване на Ойлер, покажете, че Y 8.2. Второто заместване на Ойлер Нека триномът ax2 + bx + c има различни реални корени R] и x2 (коефициентът може да има произволен знак). В този случай приемаме, че Тъй като получаваме Тъй като x, dxn y / ax2 + be + c са изразени рационално чрез t, тогава първоначалният интеграл се редуцира до интеграла на рационална функция, т.е. където Проблем. Използвайки първото заместване на Ойлер, покажете, че това е рационална функция на t. Пример 7. Намерете интегралната dx M функция ] - x1 има различни реални корени. Следователно прилагаме второто заместване на Ойлер Оттук намираме Заместване на намерените изрази в Given? получаваме 8.3. Третото подсъстояние на Ойлер Нека коефициентът c > 0. Правим промяна на променливата чрез задаване. Обърнете внимание, че за да се намали интегралът до интеграл на рационална функция, първото и второто заместване на Ойлер са достатъчни. Наистина, ако дискриминантът b2 -4ac > 0, тогава корените на квадратния трином ax + bx + c са реални и в този случай се прилага второто заместване на Ойлер. Ако, тогава знакът на тринома ax2 + bx + c съвпада със знака на коефициента a и тъй като триномът трябва да е положителен, тогава a > 0. В този случай е приложимо първото заместване на Ойлер. За да намерите интеграли от типа, посочен по-горе, не винаги е препоръчително да използвате заместванията на Ойлер, тъй като за тях е възможно да се намерят други методи на интегриране, които водят до целта по-бързо. Нека разгледаме някои от тези интеграли. 1. За да намерите интеграли на формата, изолирайте идеалния квадрат от квадрата на тития тричлен: където След това направете заместване и открийте мястото, където коефициентите a и P имат различни знаци или и двата са положителни. За, а също и за a > 0, интегралът ще бъде намален до логаритъм и ако е така, до арксинус. При. Тогава намерете imtegral 4 Sokak. Ако приемем, получаваме Prmmar 9. Намерете. Ако приемем x -, ще имаме 2. Интегралът на формата се редуцира до интеграла y от стъпка 1, както следва. Като се има предвид, че производната ()" = 2, ние го подчертаваме в числителя: 4 Ние идентифицираме производната на радикалния израз в числителя. Тъй като (x, тогава ще имаме, като вземем предвид резултата от пример 9, 3. Интеграли от вида, където P„(x) е полином на n -та степен, могат да бъдат намерени по метода на неопределените коефициенти, който се състои от следното: Да приемем, че равенството е валидно. Пример 10. Мощен интеграл, където Qn-i (s) е полином от (n - 1) степен с неопределени коефициенти: За да намерим неизвестните коефициенти | диференцираме двете страни на (1): След това редуцираме дясната страна на равенството (2) до общ знаменател, равен на знаменател на лявата страна, т.е. y/ax2 + bx + c, намалявайки двете страни на (2), чрез което получаваме идентичността, в двете страни на която съдържат полиноми от степен n. Приравнявайки коефициентите за еднакви степени на x в лявата и дясната страна на (3), получаваме n + 1 уравнения, от които намираме необходимите коефициенти j4*(fc = 0,1,2,..., n ) Замествайки техните стойности в дясната страна на (1) и намирайки интеграла + c, получаваме отговора за този интеграл. Пример 11. Намерете интеграла Нека сложим Разграничавайки двата костюма на равенството, ще имаме Привеждане на дясната страна към общ знаменател и намаляване на двете страни с него, получаваме идентичността или. Приравнявайки коефициентите при еднакви степени на x, стигаме до система от уравнения, от която намираме = След това намираме интеграла от дясната страна на равенството (4): Следователно, търсеният интеграл ще бъде равен на
The онлайн калкулаторслужи за изчисляване на интеграли на ирационални дроби от вида , , .
Позволявам 
– рационална функция на 
Тази функция и следователно нейният интеграл се рационализира чрез заместване на x=t r, където r е най-малкото общо кратно на числата r 1, r 2,…, r n. Тогава dx=rt r -1 и под интеграла има рационална функция на t. По същия начин, ако интеграндът 
е рационална функция на 
, тогава функцията интегранд се рационализира чрез заместване, където t е най-малкото общо кратно на числата r 1 , r 2 ,…, r n . След това, замествайки в оригиналния израз, получаваме рационална функция на t.
Пример. Изчисли. Най-малкото общо кратно на 2 и 3 е 6. Следователно, ние правим замяната x = t 6. Тогава dx = 6t 5 dt и 
Интегриране на ирационални функции
Пример №1. Изчислете определения интеграл на ирационална функция:
Решение. Интеграл от вида R(x α1, x α2,..., x αk)dx, където R е рационална функция от x αi, α i =p i /q i - рационални дроби (i = 1,2,... , k) , се редуцира до интеграла на рационална функция с помощта на заместването x = t q, където q е най-малкото общо кратно (LCM) на знаменателите на дробите a 1, a 2,..., a k. В нашия случай a 1 = 2, a 2 = 3, a 3 = 6, така че най-малкото общо кратно на техните знаменатели е q = LCM(2,3,6) = 6. Замяната на променливата x = t 6 води до интегралът на дробната рационална функция, който се изчислява, както е описано в примера:
