Сборът от ъглите на n-ъгълник Теорема. Сумата от ъглите на изпъкнал n-ъгълник е 180 o (n-2). Доказателство. От някакъв връх на изпъкнал n-ъгълник извеждаме всичките му диагонали. Тогава n-ъгълникът ще се раздели на n-2 триъгълника. Във всеки триъгълник сумата от ъглите е 180 o и тези ъгли съставляват ъглите на n-ъгълника. Следователно, сумата от ъглите на n-ъгълник е 180 o (n-2).
Вторият метод за доказателство Теорема. Сумата от ъглите на изпъкнал n-ъгълник е 180 o (n-2). Доказателство 2. Нека O е вътрешна точка на изпъкнал n-ъгълник A 1 …A n. Свържете го с върховете на този многоъгълник. Тогава n-ъгълникът ще бъде разделен на n триъгълника. Във всеки триъгълник сумата от ъглите е 180 o. Тези ъгли съставляват ъглите на n-ъгълника и още 360 o. Следователно, сумата от ъглите на n-ъгълник е 180 o (n-2).
Упражнение 3 Докажете, че сумата от външните ъгли на изпъкнал n-ъгълник е 360 o. Доказателство. Външният ъгъл на изпъкнал многоъгълник е 180° минус съответният вътрешен ъгъл. Следователно, сумата от външните ъгли на изпъкнал n-ъгъл е 180 o n минус сумата от вътрешните ъгли. Тъй като сумата от вътрешните ъгли на изпъкнал n-ъгъл е 180 o (n-2), тогава сумата от външните ъгли ще бъде 180 o n o (n-2) = 360 o.
Упражнение 4 Какви са ъглите на правилния: а) триъгълник; б) четириъгълник; в) петоъгълник; г) шестоъгълник; д) осмоъгълник; д) десетоъгълник; ж) двадесетъгълник? Отговор: а) 60 o; б) 90 o; в) 108 o; г) 120 o; д) 135 o; е) 144 o; g) 150 o.
Упражнение 12* Кое е най-голямото число остри ъглиможе да има изпъкнал n-ъгълник? Решение. Тъй като сумата от външните ъгли на изпъкнал многоъгълник е 360 o, тогава изпъкналият многоъгълник не може да има повече от три тъпи ъгъла, следователно не може да има повече от три вътрешни остри ъгъла. Отговор. 3.
прекъсната линия
Определение
прекъсната линия, или по-кратко, прекъсната линия, се нарича крайна последователност от сегменти, така че един от краищата на първия сегмент служи като край на втория, другият край на втория сегмент служи като край на третия и т.н. В този случай съседните сегменти не лежат на една и съща права линия. Тези сегменти се наричат полилинейни връзки.
Видове прекъсната линия
Прекъснатата линия се нарича затворенако началото на първия сегмент съвпада с края на последния.
Прекъснатата линия може да се пресече, да се докосне, да се облегне на себе си. Ако няма такива сингулярности, тогава такава прекъсната линия се нарича просто.
многоъгълници
Определение
Проста затворена полилиния, заедно с част от равнината, ограничена от нея, се нарича многоъгълник.
Коментирайте
На всеки връх на многоъгълник, неговите страни определят някакъв ъгъл на многоъгълника. Тя може да бъде или по-малко от разгърната, или повече от разгърната.
Имот
Всеки многоъгълник има ъгъл по-малък от $180^\circ$.
Доказателство
Нека е даден многоъгълник $P$.
Нека начертаем някаква права линия, която не я пресича. Ще го преместим успоредно на страната на многоъгълника. В даден момент за първи път получаваме права $a$, която има поне една обща точка с многоъгълника $P$. Многоъгълникът лежи от едната страна на тази права (при това някои от точките му лежат на правата $a$).
Редът $a$ съдържа поне един връх на многоъгълника. Двете му страни се събират в него, разположени от една и съща страна на правата $a$ (включително случая, когато една от тях лежи на тази права). Така че при този връх ъгълът е по-малък от развития.
Определение
Многоъгълникът се нарича изпъкналако лежи от едната страна на всеки ред, съдържащ неговата страна. Ако многоъгълникът не е изпъкнал, той се нарича неизпъкнал.
Коментирайте
Изпъкнал многоъгълник е пресечната точка на полуравнини, ограничени от линии, които съдържат страните на многоъгълника.
Свойства на изпъкнал многоъгълник
Изпъкнал многоъгълник има всички ъгли, по-малки от $180^\circ$.
Отсечка, свързваща произволни две точки от изпъкнал многоъгълник (в частност всеки от неговите диагонали), се съдържа в този многоъгълник.
Доказателство
Нека докажем първото свойство
Вземете всеки ъгъл $A$ на изпъкнал многоъгълник $P$ и неговата страна $a$, идваща от върха $A$. Нека $l$ е ред, съдържащ страна $a$. Тъй като многоъгълникът $P$ е изпъкнал, той лежи от едната страна на правата $l$. Следователно неговият ъгъл $A$ също лежи от същата страна на тази права. Следователно ъгълът $A$ е по-малък от изправения ъгъл, тоест по-малък от $180^\circ$.
Нека докажем второто свойство
Вземете произволни две точки $A$ и $B$ от изпъкнал многоъгълник $P$. Многоъгълникът $P$ е пресечната точка на няколко полуравнини. Сегментът $AB$ се съдържа във всяка от тези полуравнини. Следователно, той също се съдържа в многоъгълника $P$.
Определение
Диагонален многоъгълниксе нарича сегмент, свързващ неговите несъседни върхове.
Теорема (за броя на диагоналите на n-ъгълник)
Броят на диагоналите на изпъкнал $n$-ъгъл се изчислява по формулата $\dfrac(n(n-3))(2)$.
Доказателство
От всеки връх на n-ъгълник може да се начертаят $n-3$ диагонали (не може да се начертае диагонал към съседните върхове и към самия този връх). Ако преброим всички такива възможни сегменти, тогава ще има $n\cdot(n-3)$, тъй като има $n$ върхове. Но всеки диагонал ще се брои два пъти. По този начин, броят на диагоналите на n-ъгълник е $\dfrac(n(n-3))(2)$.
Теорема (за сумата от ъглите на n-ъгълник)
Сумата от ъглите на изпъкнал $n$-ъгълник е $180^\circ(n-2)$.
Доказателство
Помислете за $n$-ъгълника $A_1A_2A_3\ldots A_n$.
Вземете произволна точка $O$ вътре в този многоъгълник.
Сумата от ъглите на всички триъгълници $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, \ldots, $A_(n-1)OA_n$ е $180^\circ\cdot n$.
От друга страна, тази сума е сумата от всички вътрешни ъгли на многоъгълника и общия ъгъл $\angle O=\angle 1+\angle 2+\angle 3+\ldots=30^\circ$.
Тогава сумата от ъглите на разглеждания $n$-ъгъл е равна на $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.
Последица
Сумата от ъглите на неизпъкнал $n$-ъгълник е $180^\circ(n-2)$.
Доказателство
Да разгледаме многоъгълник $A_1A_2\ldots A_n$, чийто единствен ъгъл $\angle A_2$ е неизпъкнал, т.е. $\angle A_2>180^\circ$.
Да обозначим сумата от неговия улов $S$.
Свържете точките $A_1A_3$ и разгледайте многоъгълника $A_1A_3\ldots A_n$.
Сумата от ъглите на този многоъгълник е:
$180^\circ\cdot(n-1-2)=S-\ъгъл A_2+\ъгъл 1+\ъгъл 2=S-\ъгъл A_2+180^\circ-\angle A_1A_2A_3=S+180^\circ-( \angle A_1A_2A_3+\angle A_2)=S+180^\circ-360^\circ$.
Следователно, $S=180^\circ\cdot(n-1-2)+180^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.
Ако оригиналният многоъгълник има повече от един неизпъкнал ъгъл, тогава описаната по-горе операция може да се извърши с всеки такъв ъгъл, което ще доведе до доказване на твърдението.
Теорема (за сумата от външните ъгли на изпъкнал n-ъгъл)
Сумата от външните ъгли на изпъкнал $n$-ъгъл е $360^\circ$.
Доказателство
Външният ъгъл при връх $A_1$ е $180^\circ-\angle A_1$.
Сумата от всички външни ъгли е:
$\sum\limits_(n)(180^\circ-\angle A_n)=n\cdot180^\circ - \sum\limits_(n)A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n -2)=360^\circ$.
Вътрешен ъгъл на многоъгълнике ъгълът, образуван от две съседни страни на многоъгълник. Например, ∠ ABCе вътрешен ъгъл.
Външен ъгъл на многоъгълнике ъгълът, образуван от едната страна на многоъгълника и продължението на другата страна. Например, ∠ LBCе външният ъгъл.
Броят на ъглите на многоъгълника винаги е равен на броя на страните му. Това се отнася както за вътрешни, така и за външни ъгли. Въпреки че е възможно да се построят два равни външни ъгъла за всеки връх на многоъгълника, винаги се взема предвид само един от тях. Следователно, за да намерите броя на ъглите на всеки многоъгълник, трябва да преброите броя на неговите страни.
сума от вътрешни ъгли
Сборът от вътрешните ъгли на изпъкнал многоъгълник е равен на произведението от 180° и броя на страните без две.
с = 2д(н - 2)
където се сумата от ъглите, 2 д- два прави ъгъла (т.е. 2 90 = 180°), и н- броят на страните.
Ако плъзнем отгоре Амногоъгълник А Б В Г Д Евсички възможни диагонали, след това го разделяме на триъгълници, чийто брой ще бъде два по-малък от страните на многоъгълника:
Следователно сумата от ъглите на многоъгълника ще бъде равна на сумата от ъглите на всички получени триъгълници. Тъй като сборът от ъглите на всеки триъгълник е 180° (2 д), тогава сумата от ъглите на всички триъгълници ще бъде равна на произведението на 2 дза техния брой:
с = 2д(н- 2) = 180 4 = 720°
От тази формула следва, че сумата от вътрешните ъгли е постоянна стойности зависи от броя на страните на многоъгълника.
Сбор от външни ъгли
Сумата от външните ъгли на изпъкнал многоъгълник е 360° (или 4 д).
с = 4д
където се сумата от външните ъгли, 4 д- четири прави ъгъла (т.е. 4 90 = 360°).
Сборът от външните и вътрешните ъгли във всеки връх на многоъгълника е 180° (2 д), тъй като те са съседни ъгли. Например, ∠ 1 и ∠ 2 :
Следователно, ако многоъгълникът има нпартии (и нвърхове), след това сумата от външните и вътрешните ъгли за всички нвърховете ще бъдат равни на 2 дн. Така че от тази сума 2 днза да получите само сумата от външните ъгли, е необходимо да извадите сумата от вътрешните ъгли от нея, тоест 2 д(н - 2):
с = 2дн - 2д(н - 2) = 2дн - 2дн + 4д = 4д
Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.
Събиране и използване на лична информация
Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране на конкретно лице или за връзка с него.
Може да бъдете помолени да предоставите личната си информация по всяко време, когато се свържете с нас.
Следват някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме такава информация.
Каква лична информация събираме:
- Когато подадете заявление на сайта, ние може да събираме различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и т.н.
Как използваме вашата лична информация:
- Събрани от нас лична информацияни позволява да се свържем с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
- От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
- Можем също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
- Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация, за да администрираме такива програми.
Разкриване на трети страни
Ние не разкриваме получената от вас информация на трети страни.
Изключения:
- В случай, че е необходимо - в съответствие със закона, съдебния ред, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - разкрийте личната си информация. Може също да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за сигурност, правоприлагане или други причини от обществен интерес.
- В случай на реорганизация, сливане или продажба, ние можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния правоприемник на трета страна.
Защита на личната информация
Ние предприемаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.
Поддържане на вашата поверителност на ниво компания
За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.
