Дефиниция на радиуса на вписана окръжност. Формула за радиуса на окръжност, вписана в триъгълник. Събиране и използване на лична информация

Кръг, вписан в триъгълник

Наличие на окръжност, вписана в триъгълник

Припомнете си определението бисектриса на ъгъла .

Определение 1 .Ъгъл бисектриса наречен лъч, който разделя ъгъл на две равни части.

Теорема 1 (Основно свойство на бисектрисата на ъгъла) . Всяка точка от ъглополовящата на ъгъла е на еднакво разстояние от страните на ъгъла (фиг. 1).

Ориз. един

Доказателство д лежаща върху ъглополовящата на ъгълаBAC , и DE и Д.Ф. отстрани на ъгъла (фиг. 1).правоъгълни триъгълници ADF и ADE равни защото имат еднакви остри ъглиDAF и DAE , и хипотенузата АД - общ. следователно,

D.F. = D.E.

Q.E.D.

Теорема 2 (теорема, обратна на теорема 1) . Ако някои , тогава той лежи на ъглополовящата на ъгъла (фиг. 2).

Ориз. 2

Доказателство . Помислете за произволна точкад лежи в ъгълаBAC и разположени на същото разстояние от страните на ъгъла. Отпадане от точкатад перпендикуляри DE и Д.Ф. отстрани на ъгъла (фиг. 2).правоъгълни триъгълници ADF и ADE равни , тъй като имат равни кракаД.Ф. и DE , и хипотенузата АД - общ. следователно,

Q.E.D.

Определение 2 . Кръгът се нарича кръг, вписан в ъгъл ако това са страните на този ъгъл.

Теорема 3 . Ако окръжност е вписана в ъгъл, тогава разстоянията от върха на ъгъла до точките на контакт на окръжността със страните на ъгъла са равни.

Доказателство . Нека точката д е центърът на окръжност, вписана в ъгълBAC , и точките Е и Ф - точки на допир на кръга със страните на ъгъла (фиг. 3).

Фиг.3

а , б , ° С - страни на триъгълник
 С -квадрат,

r – радиус на вписаната окръжност,
 стр - полупериметър

.

Вижте изхода на формулата

а – странична страна на равнобедрен триъгълник , 
 б - база, r – радиус на вписана окръжност

а r – радиус на вписана окръжност

Вижте изхода на формулата

,

където

,

тогава, в случай на равнобедрен триъгълник, когато

получаваме

което се изискваше.

Теорема 7 . За равенството

където а - страна на равностранен триъгълникr – радиус на вписаната окръжност (фиг. 8).

Ориз. осем

Доказателство .

,

тогава, в случай на равностранен триъгълник, когато

b=a,

получаваме

което се изискваше.

Коментирайте . Препоръчвам да се изведе като упражнение формулата за радиуса на окръжност, вписана в равностранен триъгълник директно, т.е. без употреба общи формулиза радиусите на вписаните окръжности произволен триъгълникили равнобедрен триъгълник.

Теорема 8 . За правоъгълен триъгълник, равенството

където а , б - катета на правоъгълен триъгълник, ° С – хипотенуза , r – радиус на вписаната окръжност.

Доказателство . Помислете за фигура 9.

Ориз. 9

Тъй като четириъгълникътCDOF е , която има съседни страниНАПРАВЕТЕ и НА са равни, то този правоъгълник е . следователно,

CB = CF \u003d r,

По силата на теорема 3 равенствата

Следователно, като вземем предвид и , получаваме

което се изискваше.

Подборка от задачи на тема „Кръг, вписан в триъгълник“.

1.

Кръг, вписан в равнобедрен триъгълник, разделя в точката на допир една от страните на два сегмента, чиито дължини са равни на 5 и 3, като се брои от върха срещу основата. Намерете периметъра на триъгълника.

2.

3

В триъгълник ABC AC=4, BC=3, ъгълът C е 90º. Намерете радиуса на вписаната окръжност.

4.

Катените на равнобедрен правоъгълен триъгълник са 2+. Намерете радиуса на окръжността, вписана в този триъгълник.

5.

Радиусът на окръжност, вписана в равнобедрен правоъгълен триъгълник, е 2. Намерете хипотенузата c на този триъгълник. Напишете c(-1) в отговора си.

Ето няколко задачи от изпита с решения.

Радиусът на окръжност, вписана в равнобедрен правоъгълен триъгълник, е . Намерете хипотенузата c на този триъгълник. Моля, посочете в отговора си.

Триъгълникът е правоъгълен и равнобедрен. Значи краката му са същите. Нека всеки крак е равен. Тогава хипотенузата е.

Пишем площта на триъгълник ABC по два начина:

Приравнявайки тези изрази, получаваме това. Тъй като, разбираме това. Тогава.

В отговор пишете.

Отговор:.

Задача 2.

1. Във всякакви две страни 10 см и 6 см (AB и BC). Намерете радиусите на описаната и вписаната окръжност
Проблемът се решава самостоятелно с коментиране.

Решение:


AT.

1) Намерете:
2) Докажете:и намерете CK
3) Намерете: радиусите на описаната и вписаната окръжност

Решение:


Задача 6.

Р радиусът на окръжност, вписана в квадрат е. Намерете радиуса на окръжността, описана около този квадрат.Дадено :

намирам: OS=?
Решение: в този случай проблемът може да бъде решен с помощта на Питагоровата теорема или формулата за R. Вторият случай ще бъде по-прост, тъй като формулата за R е извлечена от теоремата.


Задача 7.

Радиусът на окръжност, вписана в равнобедрен правоъгълен триъгълник, е 2. Намерете хипотенузатаС този триъгълник. Моля, посочете в отговора си.

S е площта на триъгълника

Не знаем нито страните на триъгълника, нито неговата площ. Нека да обозначим краката като x, тогава хипотенузата ще бъде равна на:

Площта на триъгълника ще бъде 0,5x 2 .

Средства


Така хипотенузата ще бъде:

Отговорът трябва да бъде написан:

Отговор: 4

Задача 8.

В триъгълник ABC, AC = 4, BC = 3, ъгъл ° Се равно на 90 0 . Намерете радиуса на вписаната окръжност.

Нека използваме формулата за радиуса на окръжност, вписана в триъгълник:

където a, b, c са страните на триъгълника

S е площта на триъгълника

Две страни са известни (това са катета), можем да изчислим третата (хипотенуза), можем да изчислим и площта.

Според питагоровата теорема:

Да намерим района:

По този начин:

Отговор: 1

Задача 9.

Страните на равнобедрен триъгълник са 5, основата е 6. Намерете радиуса на вписаната окръжност.

Нека използваме формулата за радиуса на окръжност, вписана в триъгълник:

където a, b, c са страните на триъгълника

S е площта на триъгълника

Всички страни са известни и площта е изчислена. Можем да го намерим с помощта на формулата на Херон:


Тогава

Да разгледаме окръжност, вписана в триъгълник (фиг. 302). Припомнете си, че центърът му O е поставен в пресечната точка на симетралите на вътрешните ъгли на триъгълника. Сегментите OA, OB, OS, свързващи O с върховете на триъгълника ABC, ще разделят триъгълника на три триъгълника:

AOB, BOS, SOA. Височината на всеки от тези триъгълници е равна на радиуса и следователно техните площи се изразяват като

Площта на целия триъгълник S е равна на сумата от тези три области:

където е полупериметърът на триъгълника. Оттук

Радиусът на вписаната окръжност е равен на съотношението на площта на триъгълника към неговия полупериметър.

За да получим формула за радиуса на описаната окръжност на триъгълник, доказваме следното твърдение.

Теорема а: Във всеки триъгълник страната е равна на диаметъра на описаната окръжност, умножен по синуса на противоположния ъгъл.

Доказателство. Да разгледаме произволен триъгълник ABC и описана около него окръжност, чийто радиус ще бъде обозначен с R (фиг. 303). Нека A е острият ъгъл на триъгълника. Нека начертаем радиусите OB, OS на окръжността и пуснем перпендикуляра OK от центъра му O към страната BC на триъгълника. Имайте предвид, че ъгълът a на триъгълник се измерва с половината от дъгата BC, за която ъгълът BOC е централен ъгъл. От тук става ясно, че . Следователно, от правоъгълен триъгълник SOK намираме , или , което трябваше да бъде доказано.

Дадената фиг. 303 и мотивите се отнасят до делото остър ъгълтриъгълник; не би било трудно да се извърши доказателството за случаите на прав и тъп ъгъл (четецът ще направи това сам), но може да се използва теоремата за синусите (218.3). Тъй като трябва да е къде

Синусовата теорема също е написана в. форма

и сравнението с обозначението (218.3) дава за

Радиусът на описаната окръжност е равен на отношението на произведението на трите страни на триъгълника към неговата четворна площ.

Задача. Намерете страните на равнобедрен триъгълник, ако неговите вписана и описана окръжност имат съответно радиуси

Решение. Нека напишем формули, изразяващи радиусите на вписаната и описаната окръжност на триъгълник:

За равнобедрен триъгълник със страна и основа площта се изразява с формулата

или, намалявайки фракцията с ненулев фактор , имаме

това води до квадратно уравнениеотносително

Има две решения:

Замествайки вместо израза му в някое от уравненията за или R, най-накрая намираме два отговора на нашия проблем:

Упражнения

1. Височина на правоъгълен триъгълник, изтеглен от връх прав ъгъл, delnt хипотенузата по отношение Намерете съотношението на всеки от краката към хипотенузата.

2. Основите на равнобедрен трапец, вписан в окръжност, са равни на a и b. Намерете радиуса на окръжността.

3. Два кръга се допират външно. Техните общи допирателни са наклонени към линията на центровете под ъгъл от 30°. Дължината на допирателната отсечка между допирните точки е 108 см. Намерете радиусите на окръжностите.

4. Катетите на правоъгълен триъгълник са равни на a и b. Намерете площта на триъгълник, чиито страни са височината и медианата на дадения триъгълник, изтеглени от върха на правия ъгъл, и отсечката на хипотенузата между точките на пресичането им с хипотенузата.

5. Страните на триъгълника са 13, 14, 15. Намерете проекцията на всяка от тях върху другите две.

6. В триъгълник страната и височините са известни.Намерете страните b и c.

7. Две страни на триъгълника и медиана са известни.Намерете третата страна на триъгълника.

8. Дадени са две страни на триъгълник и ъгъл а между тях: Намерете радиусите на вписаната и описаната окръжност.

9. Страните на триъгълника a, b, c са известни. Кои са отсечките, на които са разделени от точките на допир на вписаната окръжност със страните на триъгълника?


Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране на конкретно лице или за връзка с него.

Може да бъдете помолени да предоставите личната си информация по всяко време, когато се свържете с нас.

Следват някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме такава информация.

Каква лична информация събираме:

  • Когато подадете заявление на сайта, ние може да събираме различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и т.н.

Как използваме вашата лична информация:

  • Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
  • От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
  • Можем също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
  • Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация, за да администрираме такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме получената от вас информация на трети страни.

Изключения:

  • В случай, че е необходимо - в съответствие със закона, съдебния ред, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - разкрийте личната си информация. Може също да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за сигурност, правоприлагане или други причини от обществен интерес.
  • В случай на реорганизация, сливане или продажба, ние можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния правоприемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние предприемаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на ниво компания

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Ромбът е паралелограм с равни страни. Следователно, той наследява всички свойства на паралелограма. а именно:

  • Диагоналите на ромб са взаимно перпендикулярни.
  • Диагоналите на ромб са симетралите на вътрешните му ъгли.

Кръг може да бъде вписан в четириъгълник, ако и само ако сумите на противоположните страни са равни.
Следователно окръжност може да бъде вписана във всеки ромб. Центърът на вписаната окръжност съвпада с центъра на пресичане на диагоналите на ромба.
Радиусът на вписана окръжност в ромб може да се изрази по няколко начина

1 начин. Радиусът на вписаната окръжност в ромб през височината

Височината на ромб е равна на диаметъра на вписаната окръжност. Това следва от свойството на правоъгълника, който се образува от диаметъра на вписаната окръжност и височината на ромба - противоположните страни на правоъгълника са равни.

Следователно, формулата за радиуса на вписаната окръжност в ромб през височината:

2 начин. Радиус на вписана окръжност в ромб през диагоналите

Площта на ромб може да бъде изразена чрез радиуса на вписаната окръжност
, където Ре периметърът на ромба. Като знаем, че периметърът е сбор от всички страни на четириъгълник, имаме P= 4×ха.Тогава
Но площта на ромб също е половината от произведението на неговите диагонали
Приравнявайки правилните части от формулите за площи, имаме следното равенство
В резултат на това получаваме формула, която ни позволява да изчислим радиуса на вписаната окръжност в ромб през диагоналите

Пример за изчисляване на радиуса на окръжност, вписана в ромб, ако диагоналите са известни
Намерете радиуса на окръжност, вписана в ромб, ако е известно, че дължината на диагоналите е 30 cm и 40 cm
Позволявам ABCD- ромб, значи ACи BDнеговите диагонали. AC= 30 см , BD=40 см
Нека точката Ое центърът на вписаното в ромба ABCDкръг, тогава той също ще бъде точката на пресичане на неговите диагонали, разделяйки ги наполовина.


тъй като диагоналите на ромба се пресичат под прав ъгъл, тогава триъгълникът AOBправоъгълна. След това по теоремата на Питагор
, заместваме получените по-рано стойности във формулата

АБ= 25 см
Прилагайки изведената по-рано формула за радиуса на описаната окръжност към ромб, получаваме

3 начин. Радиусът на вписаната окръжност в ромба през отсечките m и n

точка Ф- точката на контакт на окръжността със страната на ромба, която го разделя на сегменти AFи bf. Позволявам AF=m, BF=n.
точка О- центърът на пресичане на диагоналите на ромба и центъра на вписаната в него окръжност.
триъгълник AOB- правоъгълна, тъй като диагоналите на ромба се пресичат под прав ъгъл.
, защото е радиусът, изтеглен към допирателната точка на окръжността. Следователно НА- височината на триъгълника AOBкъм хипотенузата. Тогава AFи bf-проекции на катета върху хипотенузата.
Височината в правоъгълен триъгълник, спусната до хипотенузата, е средната пропорционална между проекциите на катетите върху хипотенузата.

Формулата за радиуса на вписана окръжност в ромб през сегментите е равна на корен квадратен от произведението на тези сегменти, на които страната на ромба е разделена от допирателната точка на окръжността

Ако кръг се намира вътре в ъгъл и докосва страните му, той се нарича вписан в този ъгъл. Центърът на такава вписана окръжност се намира в бисектриса на този ъгъл.

Ако тя лежи вътре изпъкнал многоъгълники е в контакт с всичките си страни, се нарича вписан в изпъкнал многоъгълник.

Кръг, вписан в триъгълник

Кръг, вписан в триъгълник, докосва всяка страна на тази фигура само в една точка. В един триъгълник може да бъде вписан само един кръг.

Радиусът на такъв кръг ще зависи от следните параметри на триъгълника:

  1. Дължината на страните на триъгълник.
  2. Неговата област.
  3. Неговият периметър.
  4. Ъглите на триъгълник.

За да се изчисли радиусът на вписаната окръжност в триъгълник, не винаги е необходимо да се знаят всички параметри, изброени по-горе, тъй като те са свързани помежду си чрез тригонометрични функции.

Изчисляване с помощта на полупериметъра

  1. Ако дължините на всички страни са известни геометрична фигура(означаваме ги с буквите a, b и c), тогава ще трябва да изчислите радиуса, като извлечете квадратния корен.
  2. Започвайки изчисленията, е необходимо да добавите още една променлива към първоначалните данни - полупериметъра (p). Може да се изчисли като се съберат всички дължини и получената сума се раздели на 2. p = (a+b+c)/2. По този начин формулата за намиране на радиуса може да бъде значително опростена.
  3. По принцип формулата трябва да включва знака на радикала, под който е поставена дробта, знаменателят на тази дроб ще бъде стойността на полупериметъра p.
  4. Числителят на тази дроб ще бъде произведението на разликите (p-a)*(p-b)*(p-c)
  5. Така пълната форма на формулата ще бъде представена, както следва: r = √(p-a)*(p-b)*(p-c)/p).

Изчисляване, като се има предвид площта на триъгълник

Ако знаем площ на триъгълники дължините на всичките му страни, това ще ни позволи да намерим радиуса на кръга, който ни интересува, без да прибягваме до извличане на корени.

  1. Първо трябва да удвоите размера на площта.
  2. Резултатът се разделя на сбора от дължините на всички страни. Тогава формулата ще изглежда така: r = 2*S/(a+b+c).
  3. Ако използвате стойността на полупериметъра, можете да получите много проста формула: r \u003d S / p.

Изчисляване с помощта на тригонометрични функции

Ако условието на задачата съдържа дължината на една от страните, стойността на противоположния ъгъл и периметъра, можете да използвате тригонометрична функция- допирателна. В този случай формулата за изчисление ще изглежда така:

r \u003d (P / 2- a) * tg (α / 2), където r е желаният радиус, P е периметърът, a е стойността на дължината на една от страните, α е стойността на противоположната страна и ъгъла.

Радиусът на окръжността, който ще трябва да бъде вписан в правилен триъгълник, може да се намери по формулата r = a*√3/6.

Кръг, вписан в правоъгълен триъгълник

Можете да впишете в правоъгълен триъгълник само един кръг. Центърът на такава окръжност едновременно служи като пресечна точка на всички ъглополовящи. Тази геометрична фигура има някои отличителни черти, които трябва да се вземат предвид при изчисляване на радиуса на вписаната окръжност.

  1. Първо трябва да построите правоъгълен триъгълник с дадените параметри. Можете да построите такава фигура по размера на едната й страна и стойностите на два ъгъла или по две страни и ъгъла между тези страни. Всички тези параметри трябва да бъдат посочени в изявлението на задачата. Триъгълник се обозначава като ABC, като C е връх на правия ъгъл. Краката се означават с променливи, аи б, а хипотенузата е променлива С.
  2. За да се изгради класическа формула и да се изчисли радиусът на окръжността, е необходимо да се намерят размерите на всички страни на фигурата, описани в условието на задачата, и да се изчисли полупериметърът от тях. Ако условията дават размерите на два крака, те могат да се използват за изчисляване на стойността на хипотенузата въз основа на Питагоровата теорема.
  3. Ако размерът на един крак и един ъгъл са дадени в условието, е необходимо да се разбере дали този ъгъл е съседен или противоположен. В първия случай хипотенузата се намира с помощта на теоремата на синусите: с=a/sinСАВ, във втория случай се прилага косинусовата теорема с=a/cosCBA.
  4. Когато всички изчисления са завършени и размерите на всички страни са известни, полупериметърът се намира по формулата, описана по-горе.
  5. Знаейки стойността на полупериметъра, можете да намерите радиуса. Формулата е дроб. Неговият числител е произведение на разликите на полупериметъра и всяка от страните, а знаменателят е стойността на полупериметъра.

Трябва да се отбележи, че числителят на тази формула е индикатор за площта. В този случай формулата за намиране на радиуса е много по-проста - достатъчно е да разделите площта на половин периметър.

Възможно е също така да се определи площта на геометрична фигура, ако са известни и двата крака. Сборът от квадратите на тези катети е хипотенузата, след което се изчислява полупериметърът. Можете да изчислите площта, като умножите дължините на краката един по друг и разделите резултата на 2.

Ако условията дават дължините както на краката, така и на хипотенузата, можете да определите радиуса, като използвате много проста формула: за това дължините на краката се добавят, дължината на хипотенузата се изважда от полученото число. Резултатът трябва да бъде разделен наполовина.

Видео

От това видео ще научите как да намерите радиуса на окръжност, вписана в триъгълник.