Двустенният ъгъл е фигура, образувана от права линия. а и две полуравнини с обща граница а не принадлежащи към една и съща равнина.
Направо а – двустенен ръб
а
В ежедневието често срещаме предмети, които имат формата на двустенен ъгъл. Такива обекти са двускатните покриви на сгради, полуотворена книга, стена на стая заедно с пода и др.
Две полуравнини - лица на двустенен ъгъл
Алгоритъм за построяване на линеен ъгъл.
Ъгъл ROK е линейният ъгъл на двустенния ъгъл P DE K.
Градусната мярка на двустенния ъгъл е градусната мярка на неговия линеен ъгъл.
Тристенни и многостенни ъгли
Въвеждане на определението за тристенен и многостенен ъгъл;
Да се запознаят с различните видове многостенни ъгли;
Да изучава свойствата на многостенните ъгли и да се научи как да ги прилага при решаване на задачи.
МНОГОСТЪРНИ ЪГЛИ
Повърхност, образувана от краен набор от плоски ъгли А 1 SA 2 , А 2 SA 3 , …, А н -1 SA н , А н SA 1 с общ връх С, в който съседните ъгли нямат общи точки, с изключение на точките на общ лъч, а несъседните ъгли нямат общи точки, с изключение на общ връх, ще се нарича многостенна повърхност.
Фигурата, образувана от посочената повърхност и една от двете части на пространството, ограничено от нея, се нарича многостенен ъгъл. общ връх Ссе нарича връх на многостенния ъгъл. Лъчи SA 1 , …, SA нсе наричат ръбове на многостенен ъгъл, а самите равнинни ъгли А 1 SA 2 , А 2 SA 3 , …, А н -1 SA н , А н SA 1 - лица на многостенен ъгъл. Многостенният ъгъл се обозначава с буквите SA 1 … А н, указващ върха и точките по ръбовете му.
МНОГОСТЪРНИ ЪГЛИ
В зависимост от броя на лицата многостенните ъгли биват тристенни, четиристенни, петостенни и др.
ТРИСТЪРНИ ЪГЛИ
Теорема. Всеки плосък ъгъл на тристенен ъгъл е по-малък от сбора на другите му два плоски ъгъла.
В слайд режим отговорът се появява след щракване с мишката.
ТРИСТЪРНИ ЪГЛИ
С имущество. Сумата от равнинните ъгли на тристенния ъгъл е по-малка от 360.
В слайд режим отговорът се появява след щракване с мишката.
ИЗПЪКНАЛИ МНОГОСТЪРНИ ЪГЛИ
Многостенният ъгъл се нарича изпъкнал, ако е изпъкнала фигура, т.е., заедно с произволни две от своите точки, той изцяло съдържа сегмента, който ги свързва. Фигурата показва примери за изпъкнали и неизпъкнали многостенни ъгли.
Имот. Сумата от всички равнинни ъгли на изпъкнал многостенен ъгъл е по-малка от 360°.
Вертикални многостенни ъгли
Фигурите показват примери за тристенни, четиристенни и петстенни вертикални ъгли
Теорема. Вертикалните ъгли са равни.
Измерване на многостенни ъгли
Тъй като градусната стойност на развит двустенен ъгъл се измерва с градусната стойност на съответния линеен ъгъл и е равна на 180 o, ще приемем, че градусната стойност на цялото пространство, което се състои от два развити двустенни ъгъла, е 360 o . Стойността на многостенния ъгъл, изразена в градуси, показва каква част от пространството заема дадения многостенен ъгъл. Например, тристенният ъгъл на куб заема една осма от пространството и следователно стойността на градуса му е 360 o: 8 \u003d 45 o. тристенен ъгъл в правилен н-ъгловата призма е равна на половината от двустенния ъгъл при страничния ръб. Като се има предвид, че този двустенен ъгъл е равен, получаваме, че тристенният ъгъл на призмата е равен.
Упражнение 1
Може ли да има тристенен ъгъл с плоски ъгли: а) 30°, 60°, 20°; б) 45°, 45°, 90°; в) 30°, 45°, 60°?
В слайд режим отговорът се появява след щракване с мишката.
Без отговор;
Упражнение 2
Дайте примери за многостени, чиито лица, пресичащи се във върховете, образуват само: а) тристенни ъгли; б) тетраедрични ъгли; в) петстранни ъгли.
В слайд режим отговорът се появява след щракване с мишката.
Отговор: а) тетраедър, куб, додекаедър;
б) октаедър;
в) икосаедър.
Упражнение 3
Двата равнинни ъгъла на тристенния ъгъл са 70° и 80°. Каква е границата на третия плосък ъгъл?
В слайд режим отговорът се появява след щракване с мишката.
Отговор: 10 o 
1. Фигурата показва многостен, всички двустенни ъгли на многостена са прави. Намерете разстоянието между върховете A и C2
Помислете за правоъгълен триъгълник по Питагоровата теорема
3. Намерете ъгъла CAD2 на многостена, показан на фигурата. Всички двустенни ъгли на многостен са прави. Дайте отговора си в градуси.
Да разгледаме триъгълник CAD2, където AC = CD2 = AD2, тъй като те са диагонали на равни квадрати.Следователно триъгълник CAD2 е равностранен, така че всичките му ъгли са равни на 60°.
4. Намерете ъгъла ABD на многостена, показан на фигурата. Всички двустенни ъгли на многостен са прави. Дайте отговора си в градуси.
Забележете, че ABCD е квадрат със страна 2, а BD е неговият диагонал.Оттук триъгълникът ABD е правоъгълен и равнобедрен, AB=AD. Ъгъл ABD е 45°.
5. Фигурата показва многостен, всички двустенни ъгли на многостена са прави. Намерете квадрата на разстоянието между върховете B2 и D3.
6. Фигурата показва многостен, всички двустенни ъгли на многостена са прави. Намерете квадрата на разстоянието между върховете A и C3.
7. Намерете ъгъла EAD2 на многостена, показан на фигурата. Всички двустенни ъгли на многостен са прави. Дайте отговора си в градуси.
Упражнение 5
В тристенния ъгъл два равнинни ъгъла са 45° всеки; двустенният ъгъл между тях е прав. Намерете третия плосък ъгъл.
В слайд режим отговорът се появява след щракване с мишката.
Отговор: 6 0 около.
Упражнение 6
Равнинните ъгли на тристенния ъгъл са 60°, 60° и 90°. По краищата му отгоре се полагат равни сегменти ОА , ОВ , OC . Намерете двустенния ъгъл между равнината на 90° ъгъл и равнината ABC .
В слайд режим отговорът се появява след щракване с мишката.
Отговор: 9 0 o.
Упражнение 7
Всеки плосък ъгъл на тристенен ъгъл е 60°. На един от ръбовете му от върха се откъсва отсечка, равна на 3 cm, а от края му към противоположната страна се спуска перпендикуляр. Намерете дължината на този перпендикуляр.
В слайд режим отговорът се появява след щракване с мишката.
Отговор: виж
Упражнение 8
Намерете геометричното място на вътрешните точки на тристенен ъгъл, еднакво отдалечени от лицата му.
В слайд режим отговорът се появява след щракване с мишката.
Отговор: Лъч, чийто връх е върхът на тристенен ъгъл, лежащ на пресечната линия на равнините, разделящи двустенните ъгли наполовина.
Упражнение 9
Намерете геометричното място на вътрешните точки на тристенен ъгъл, еднакво отдалечени от ръбовете му.
В слайд режим отговорът се появява след щракване с мишката.
Отговор: Лъч, чийто връх е върхът на тристенен ъгъл, лежащ върху линията на пресичане на равнини, минаващи през ъглополовящите на равнинни ъгли и перпендикулярни на равнините на тези ъгли.
Упражнение 10
Намерете приблизителните стойности на тристенните ъгли на тетраедъра.
За двустенните ъгли на тетраедъра имаме:
Откъде 70 около 30".
За тристенните ъгли на тетраедъра имаме:
В слайд режим отговорът се появява след щракване с мишката.
Отговор: 15 около 45".
Упражнение 11
Намерете приблизителните стойности на тетраедричните ъгли на октаедъра.
За двустенните ъгли на октаедъра имаме:
Откъдето 109 около 30".
За тетраедричните ъгли на октаедъра имаме:
В слайд режим отговорът се появява след щракване с мишката.
Отговор: 38 около 56 ".
Упражнение 12
Намерете приблизителните стойности на петстранните ъгли на икосаедъра.
За двустенните ъгли на икосаедъра имаме:
Откъде 138 около 11".
За петстранните ъгли на икосаедъра имаме:
Отговор: 75 около 28 ".
В слайд режим отговорът се появява след щракване с мишката.
Упражнение 13
Намерете приблизителните стойности на тристенните ъгли на додекаедъра.
За двустенните ъгли на додекаедъра имаме:
Откъдето 116 около 3 4".
За тристенните ъгли на додекаедъра имаме:
Отговор: 84 около 51 ".
В слайд режим отговорът се появява след щракване с мишката.
Упражнение 14
В правилна четириъгълна пирамида SABCDстраната на основата е 2 см, височината е 1 см. Намерете четиристранния ъгъл на върха на тази пирамида.
Решение: Тези пирамиди разделят куба на шест равни пирамиди с върхове в центъра на куба. Следователно 4-странният ъгъл при върха на пирамидата е една шеста от ъгъла от 360 o, т.е. равен на 60 o.
В слайд режим отговорът се появява след щракване с мишката.
Отговор: 60 около.
Упражнение 15
В правилна триъгълна пирамида страничните ръбове са равни на 1, ъглите на върха са 90o. Намерете тристенния ъгъл на върха на тази пирамида.
Решение: Тези пирамиди разбиват октаедъра на осем равни пирамиди с върхове в центъра Ооктаедър. Следователно 3-странният ъгъл на върха на пирамидата е една осма от ъгъла от 360 o, т.е. равен на 45 o.
В слайд режим отговорът се появява след щракване с мишката.
Отговор: 45 o.
Упражнение 16
В правилна триъгълна пирамида страничните ръбове са равни на 1, а височината Намерете тристенния ъгъл на върха на тази пирамида.
Решение: Посочените пирамиди разделят правилния тетраедър на четири равни пирамиди с върхове в центъра Отетраедър. Следователно 3-странният ъгъл при върха на пирамидата е една четвърт от ъгъла от 360 o, т.е. равен на 90 o.
В слайд режим отговорът се появява след щракване с мишката.
Тристенен и многостенен ъгъл: Тристенният ъгъл е фигура, образувана от три равнини, ограничени от три лъча, излизащи от една точка и не лежащи в една равнина. Да разгледаме някакъв плосък многоъгълник и точка, лежаща извън равнината на този многоъгълник. Нека начертаем от тази точка лъчите, минаващи през върховете на многоъгълника. Получаваме фигура, наречена многостенен ъгъл.
Тристенният ъгъл е част от пространството, ограничено от три плоски ъгъла с общ връх и по двойки общи страни, които не лежат в една равнина. Общият връх O на тези ъгли се нарича връх на тристенния ъгъл. Страните на ъглите се наричат ръбове, плоските ъгли на върха на тристенния ъгъл се наричат неговите лица. Всяка от трите двойки лица на тристенен ъгъл образува двустенен ъгъл с плоски ъгли
; + > ; + > 2. Сумата от равнинните ъгли на тристенен ъгъл е по-малка от 360 градуса α, β, γ равнинни ъгли, A, B, C двустенни ъгли, състав" title="Основни свойства на тристенен ъгъл 1 , Всеки плосък ъгъл на тристенен ъгъл е по-малък от сумата + > ; + > ; + > 2. Сумата от равнинните ъгли на тристенен ъгъл е по-малка от 360 градуса α, β, γ са равнинни ъгли, A, B , C са двустенни ъгли, състоящи се" class="link_thumb"> 4 !}Основни свойства на тристенния ъгъл 1. Всеки плосък ъгъл на тристенния ъгъл е по-малък от сбора на другите му два плоски ъгъла. + > ; + > ; + > 2. Сумата от равнинните ъгли на тристенен ъгъл е по-малка от 360 градуса. 3. Първа косинусова теорема за тристенен ъгъл 4. Втора косинусова теорема за тристенен ъгъл ; + > ; + > 2. Сумата от равнинните ъгли на тристенен ъгъл е по-малка от 360 градуса α, β, γ равнинни ъгли, A, B, C двустенни ъгли, състав ">; + > ; + > 2. Сумата от равнинните ъгли на тристенен ъгъл е по-малък от 360 градуса α, β , γ са равнинни ъгли, A, B, C са двустенни ъгли, образувани от равнините на ъглите β и γ, α и γ, α и β 3. Първата косинусова теорема за тристенен ъгъл 4. Втората косинусова теорема за тристенен ъгъл + > ; + > 2. Сумата от равнинните ъгли на тристенен ъгъл е по-малка от 360 градуса α, β, γ равнинни ъгли, A, B, C двустенни ъгли, състав" title="Основни свойства на тристенен ъгъл 1 , Всеки плосък ъгъл на тристенен ъгъл е по-малък от сумата + > ; + > ; + > 2. Сумата от равнинните ъгли на тристенен ъгъл е по-малка от 360 градуса α, β, γ са равнинни ъгли, A, B , C са двустенни ъгли, състоящи се"> title="Основни свойства на тристенния ъгъл 1. Всеки плосък ъгъл на тристенния ъгъл е по-малък от сбора на другите му два плоски ъгъла. + > ; + > ; + > 2. Сумата от равнинните ъгли на тристенен ъгъл е по-малка от 360 градуса α, β, γ са равнинни ъгли, A, B, C са двустенни ъгли, състоящи се от"> !}
Лицата на полиедър са многоъгълниците, които го образуват. Ръбовете на многостена са страните на многоъгълниците. Върховете на полиедър са върховете на многоъгълник. Диагоналът на полиедър е сегмент, свързващ 2 върха, които не принадлежат на едно и също лице.
Многостранни ъгли. Повърхност, образувана от краен набор от равни ъгли A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 с общ връх S, в който съседните ъгли нямат общи точки, с изключение на точките на общ лъч, и не- съседните ъгли нямат общи точки, с изключение на общ връх, ще се нарича многостенна повърхност. Фигурата, образувана от посочената повърхност и една от двете части на пространството, ограничено от нея, се нарича многостенен ъгъл. Общият връх S се нарича връх на многостенния ъгъл. Лъчите SA1, …, SAn се наричат ръбове на многостенния ъгъл, а самите равнинни ъгли A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 се наричат лица на многостенния ъгъл. Многостенният ъгъл се обозначава с буквите SA1…An, указващи върха и точките на неговите ръбове.
Слайд 1 от презентацията "Многостенен ъгъл"към уроците по геометрия по темата "Ъгли в пространството"Размери: 960 x 720 пиксела, формат: jpg. За да изтеглите безплатен слайд за използване в урок по геометрия, щракнете с десния бутон върху изображението и щракнете върху „Запазване на изображението като...“. Можете да изтеглите цялата презентация "Polyhedral angle.ppt" в 329 KB zip архив.
Изтегляне на презентацияЪгли в пространството
"Ъгълът между линиите в пространството" - В куба A ... D1 намерете ъгъла между линиите: AB1 и BC1. Ъгъл между линиите в пространството. Отговор: 90o. Отговор: 45o. В куб A…D1 намерете ъгъла между правите: A1C1 и B1D1. В куб A…D1 намерете ъгъла между правите: AA1 и BC. Отговор: В куба A…D1 намерете ъгъла между правите: AA1 и BD1. В куб A…D1 намерете ъгъла между правите: AA1 и BC1.
"Вписан ъгъл" - Да се построи прав ъгъл? Равен на този? Теорема: Определение: Въз основа на. Практическа работа. Khasanova E.I., учител по математика, План на урока: Вписани ъгли. Доказателство: Дадено: Обобщение на урока. 8 клас. Б). По какво си приличат и по какво се различават ъглите AOB и DAB? MOU "MSOSh № 16", Миас, Челябинска област.
"Многостенен ъгъл" - Измерване на многостенни ъгли. Двата равнинни ъгъла на тристенния ъгъл са 70° и 80°. Следователно, ? ASB+? BSC+? ASC< 360° . Трехгранные углы. Таким образом, остается доказать неравенство?ASС < ?ASB + ?BSC. Доказательство аналогично доказательству соответствующего свойства для трехгранного угла.
„Съседни ъгли“ – дадени: ?AOC и? BOC са съседни. Докажете: ?AOC + ?BOC = 180?. Съседни и вертикални ъгли. д. ° С. Теорема. Следствия от теоремата. b. И в съседство с разгърнатия? Дадено е произволно?(ab), различно от разширеното. Определение. а. Урок 11 Доказателство.
слайд 1
слайд 2
Теорема. В тристенния ъгъл сборът от равнинните ъгли е по-малък от 360 и сборът на всеки два от тях е по-голям от третия. Дадено е: Оabc – тристенен ъгъл; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Основно свойство на тристенния ъгъл. Докажете: ++< 360 ; 2) + > ; + > ; + > .
слайд 3
Доказателство I. Нека< 90 ; < 90 ; (ABC) с. Тогда ОВС = 90 – < ОВА (следствие из формулы трех косинусов). Аналогично, ОАС = 90 – < ОAВ. Следовательно, = 180 – (ОАB + ОBA) < 180 – ((90 –) + (90 –)) = + . Если < 90 , то остальные два неравенства пункта 2) доказываются аналогично, а если 90 , то они – очевидны. Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: 2) + > ; + > ; + > .
слайд 4
Формула от три косинуса. Последствия. 1) За изчисляване на ъгъла между права и равнина е приложима формулата: 2) Ъгълът между права и равнина е най-малкият от ъглите, които тази права образува с правите на тази равнина.
слайд 5
II. На ръбовете на дадения ъгъл отделяме точки A’, B’ и C’ така, че |OA’| = |OB'| = |OC'| Тогава триъгълниците A'OB', B'OC' и C'OA' са равнобедрени, а ъглите им при основи 1 - 6 са остри. За тристенни ъгли с върхове A', B' и C' прилагаме неравенствата, доказани в параграф I: C'A'B'< 1 + 6; А’B’C’ < 2 + 3; B’С’А’ < 4 + 5. Сложим эти неравенства почленно, тогда 180 < (1 + 2) + (3 + 4) + (5 + 6) = = (180 –) + (180 –) + (180 –) + + < 360 . Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: + + < 360 ; 2) + > ; + > ; + > .
слайд 6
III. Разгледайте лъча c’, който е комплементарен на лъча c, и за тристенния ъгъл Oabc’ използваме неравенството, доказано в параграф II за произволен тристенен ъгъл: (180 –) + (180 –) +< 360 + >. Другите две неравенства се доказват по подобен начин. Дадено е: Оabc – тристенен ъгъл; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Докажете: ++< 360 ; 2) + >; + > ; + > . с'
Слайд 7
Последица. В правилната триъгълна пирамида плоският ъгъл при върха е по-малък от 120.
Слайд 8
Определение. Тристенните ъгли се наричат равни, ако всички съответстващи им равнинни и двустенни ъгли са равни. Признаци за равенство на тристенни ъгли. Тристенните ъгли са равни, ако са равни съответно: два равнинни ъгъла и двустенен ъгъл между тях; 2) два двустенни ъгъла и плосък ъгъл между тях; 3) три плоски ъгъла; 4) три двустенни ъгъла. Ориз. 4б
Слайд 9
. . Даден е тристенен ъгъл Oabc. Позволявам< 90 ; < 90 ; тогда рассмотрим (ABC) с По теореме косинусов из CАВ: |AB|2 = |AC|2 + |BC|2 – 2|AC| |BC| cos Аналог теоремы косинусов Аналогично, из OАВ: |AB|2 = |AO|2 + |BO|2 – 2|AO| |BO| cos . Вычтем из второго равенства первое и учтем, что |AO|2 – |AC|2 = |CO|2 = |BO|2 – |BC|2: 2|CO|2 – 2|AO| |BO| cos + 2|AC| |BC| = 0 . ; ; ; тогда cos = cos cos + sin sin cos Заменим:
слайд 10
II. Нека > 90 ; > 90 , тогава разгледайте лъча c', допълващ c, и съответния тристенен ъгъл Oabc', в който равнинните ъгли - и - са остри, а равнинният ъгъл и двустенният ъгъл са еднакви. Според I .: cos \u003d cos (-) cos (-) + sin (-) sin (-) cos cos \u003d cos cos + sin sin cos
