Двустенният ъгъл е фигура, образувана от права линия. а и две полуравнини с обща граница а , които не принадлежат на същата равнина.
Направо а – двустенен ръб
а
В ежедневието често срещаме предмети, които имат формата на двустенен ъгъл. Такива обекти са двускатни покриви на сгради, полуотворена книга, стена на стая заедно с пода и др.
Две полуравнини - лица на двустенен ъгъл
Алгоритъм за построяване на линеен ъгъл.
Ъгъл ROK – линеен ъгъл на двустенния ъгъл P DE K.
Градусната мярка на двустенния ъгъл е градусната мярка на неговия линеен ъгъл.
Тристенни и многостенни ъгли
Въвеждане на определението за тристенен и многостенен ъгъл;
Запознайте се с различните видове многостенни ъгли;
Изучете свойствата на многостенните ъгли и научете как да ги прилагате при решаване на задачи.
МНОГОСТЪЛНИ ЪГЛИ
Повърхност, образувана от краен набор от равнинни ъгли А 1 S.A. 2 , А 2 S.A. 3 , …, А н -1 S.A. н , А н S.A. 1 с общ връх С, в който съседните ъгли нямат общи точки, с изключение на точките на общ лъч, а несъседните ъгли нямат общи точки, с изключение на общ връх, ще се нарича многостенна повърхност.
Фигурата, образувана от определената повърхност и една от двете части на пространството, ограничено от нея, се нарича многостенен ъгъл. Общ връх Снаречен връх на многостенен ъгъл. Лъчи S.A. 1 , …, S.A. нсе наричат ръбове на многостенен ъгъл, а самите равнинни ъгли А 1 S.A. 2 , А 2 S.A. 3 , …, А н -1 S.A. н , А н S.A. 1 – лица на многостенен ъгъл. Многостенният ъгъл е обозначен с буквите S.A. 1 … А н, указващ върха и точките по ръбовете му.
МНОГОСТЪЛНИ ЪГЛИ
В зависимост от броя на лицата многостенните ъгли биват тристенни, четиристенни, петоъгълни и др.
ТРИСТЪПНИ ЪГЛИ
Теорема. Всеки плосък ъгъл на тристенен ъгъл е по-малък от сбора на другите му два равнинни ъгъла.
В слайд режим отговорът се появява след щракване с мишката.
ТРИСТЪПНИ ЪГЛИ
С имота. Сумата от равнинните ъгли на тристенния ъгъл е по-малка от 360.
В слайд режим отговорът се появява след щракване с мишката.
ИЗПЪКНАЛИ МНОГОСТЪЛНИ ЪГЛИ
Многостенният ъгъл се нарича изпъкнал, ако е изпъкнала фигура, т.е., заедно с произволни две от своите точки, той изцяло съдържа сегмента, който ги свързва. Фигурата показва примери за изпъкнали и неизпъкнали многостенни ъгли.
Имот. Сумата от всички равнинни ъгли на изпъкнал многостенен ъгъл е по-малка от 360°.
Вертикални многостенни ъгли
Фигурите показват примери за тристенни, четиристенни и петоъгълни вертикални ъгли
Теорема. Вертикалните ъгли са равни.
Измерване на многостенни ъгли
Тъй като градусната стойност на развит двустенен ъгъл се измерва с градусната стойност на съответния линеен ъгъл и е равна на 180 °, ще приемем, че градусната стойност на цялото пространство, което се състои от два развити двустенни ъгъла, е равна на 360°. Размерът на полиедърния ъгъл, изразен в градуси, показва колко място заема даден полиедърен ъгъл. Например, тристенен ъгъл на куб заема една осма от пространството и следователно неговата градусна стойност е 360 o: 8 = 45 o. Триъгълен ъгъл в правилния н-гоналната призма е равна на половината от двустенния ъгъл при страничния ръб. Като се има предвид, че този двустенен ъгъл е равен, получаваме, че тристенният ъгъл на призмата е равен.
Упражнение 1
Може ли да има тристенен ъгъл с плоски ъгли: а) 30°, 60°, 20°; б) 45°, 45°, 90°; в) 30°, 45°, 60°?
В слайд режим отговорът се появява след щракване с мишката.
Без отговор;
Упражнение 2
Дайте примери за многостени, чиито лица, пресичащи се във върховете, образуват само: а) тристенни ъгли; б) четиристенни ъгли; в) петоъгълни ъгли.
В слайд режим отговорът се появява след щракване с мишката.
Отговор: а) тетраедър, куб, додекаедър;
б) октаедър;
в) икосаедър.
Упражнение 3
Двата равнинни ъгъла на тристенния ъгъл са 70° и 80°. Какви са границите на третия плосък ъгъл?
В слайд режим отговорът се появява след щракване с мишката.
Отговор: 10 o 
1. Фигурата показва многостен, всички двустенни ъгли на многостена са прави ъгли. Намерете разстоянието между върховете A и C2
Помислете за правоъгълен триъгълник, според Питагоровата теорема
3. Намерете ъгъла CAD2 на многостена, показан на фигурата. Всички двустенни ъгли на многостен са прави ъгли. Дайте отговора си в градуси.
Да разгледаме триъгълник CAD2, където AC = CD2 = AD2, тъй като те са диагонали на равни квадрати. Следователно триъгълникът CAD2 е равностранен, така че всичките му ъгли са равни на 60°.
4. Намерете ъгъла ABD на многостена, показан на фигурата. Всички двустенни ъгли на многостен са прави ъгли. Дайте отговора си в градуси.
Забележете, че ABCD е квадрат със страна 2, а BD е неговият диагонал.Това означава, че триъгълникът ABD е правоъгълен и равнобедрен, AB=AD. Ъгъл ABD е 45°.
5. Фигурата показва многостен, всички двустенни ъгли на многостена са прави ъгли. Намерете квадрата на разстоянието между върховете B2 и D3.
6. Фигурата показва многостен, всички двустенни ъгли на многостена са прави ъгли. Намерете квадрата на разстоянието между върховете A и C3.
7. Намерете ъгъл EAD2 на многостена, показан на фигурата. Всички двустенни ъгли на многостен са прави ъгли. Дайте отговора си в градуси.
Упражнение 5
В тристенен ъгъл два равнинни ъгъла са равни на 45°; двустенният ъгъл между тях е прав. Намерете третия ъгъл на равнината.
В слайд режим отговорът се появява след щракване с мишката.
Отговор: 6 0 o.
Упражнение 6
Равнинните ъгли на тристенния ъгъл са 60°, 60° и 90°. По ръбовете му от върха са разположени равни сегменти О.А. , O.B. , O.C. . Намерете двустенния ъгъл между равнината на 90° ъгъл и равнината ABC .
В слайд режим отговорът се появява след щракване с мишката.
Отговор: 9 0 o.
Упражнение 7
Всеки плосък ъгъл на тристенен ъгъл е 60°. На един от ръбовете му е отложена отсечка, равна на 3 cm от върха, и от края му е спуснат перпендикуляр към срещуположната страна. Намерете дължината на този перпендикуляр.
В слайд режим отговорът се появява след щракване с мишката.
Отговор: виж
Упражнение 8
Намерете геометричното място на вътрешните точки на тристенен ъгъл, еднакво отдалечени от лицата му.
В слайд режим отговорът се появява след щракване с мишката.
Отговор: Лъч, чийто връх е върхът на тристенен ъгъл, лежащ на пресечната линия на равнините, разделящи двустенните ъгли наполовина.
Упражнение 9
Намерете геометричното място на вътрешните точки на тристенен ъгъл, еднакво отдалечени от ръбовете му.
В слайд режим отговорът се появява след щракване с мишката.
Отговор: Лъч, чийто връх е върхът на тристенен ъгъл, лежащ на пресечната линия на равнини, минаващи през ъглополовящите на равнинни ъгли и перпендикулярни на равнините на тези ъгли.
Упражнение 10
Намерете приблизителните стойности на тристенните ъгли на тетраедъра.
За двустенните ъгли на тетраедър имаме:
Откъде идват 70 около 30?
За тристенните ъгли на тетраедър имаме:
В слайд режим отговорът се появява след щракване с мишката.
Отговор: 15 около 45".
Упражнение 11
Намерете приблизителните стойности на тетраедричните ъгли на октаедъра.
За двустенните ъгли на октаедъра имаме:
Откъде идва 109 o 30?
За тетраедричните ъгли на октаедъра имаме:
В слайд режим отговорът се появява след щракване с мишката.
Отговор: 38 около 56".
Упражнение 12
Намерете приблизителните стойности на пентаедричните ъгли на икосаедъра.
За двустенните ъгли на икосаедъра имаме:
Къде е 138 около 11".
За пентаедричните ъгли на икосаедъра имаме:
Отговор: 75 около 28".
В слайд режим отговорът се появява след щракване с мишката.
Упражнение 13
Намерете приблизителните стойности на тристенните ъгли на додекаедъра.
За двустенните ъгли на додекаедъра имаме:
Къде е 116 около 3 4".
За тристенните ъгли на додекаедъра имаме:
Отговор: 84 около 51 ".
В слайд режим отговорът се появява след щракване с мишката.
Упражнение 14
В правилна четириъгълна пирамида SABCDстраната на основата е 2 см, височината е 1 см. Намерете четиристранния ъгъл на върха на тази пирамида.
Решение: Посочените пирамиди разделят куба на шест равни пирамиди с върхове в центъра на куба. Следователно 4-странният ъгъл на върха на пирамидата е една шеста от ъгъла от 360 градуса, т.е. равен на 60 o.
В слайд режим отговорът се появява след щракване с мишката.
Отговор: 60 o.
Упражнение 15
В правилната триъгълна пирамида страничните ръбове са равни на 1, ъглите при върха са 90 градуса. Намерете триъгълния ъгъл при върха на тази пирамида.
Решение: Посочените пирамиди разделят октаедъра на осем равни пирамиди с върхове в центъра Ооктаедър. Следователно, тристранният ъгъл на върха на пирамидата е една осма от ъгъл от 360 градуса, т.е. равен на 45 o.
В слайд режим отговорът се появява след щракване с мишката.
Отговор: 45 o.
Упражнение 16
В правилна триъгълна пирамида страничните ръбове са равни на 1, а височината Намерете триъгълния ъгъл при върха на тази пирамида.
Решение: Посочените пирамиди разделят правилен тетраедър на четири равни пирамиди с върхове в центъра Отетраедър. Следователно, тристранният ъгъл на върха на пирамидата е една четвърт от ъгъл от 360 градуса, т.е. равен на 90 o.
В слайд режим отговорът се появява след щракване с мишката.
Тристенен и многостенен ъгъл: Тристенният ъгъл е фигура, образувана от три равнини, ограничена от три лъча, излизащи от една точка и не лежащи в същата равнина. Нека разгледаме някакъв плосък многоъгълник и точка, лежаща извън равнината на този многоъгълник. Нека начертаем лъчи от тази точка, минаващи през върховете на многоъгълника. Ще получим фигура, наречена многостенен ъгъл.
Тристенният ъгъл е част от пространството, ограничено от три плоски ъгъла с общ връх и по двойки общи страни, които не лежат в една равнина. Общият връх O на тези ъгли се нарича връх на тристенен ъгъл. Страните на ъглите се наричат ръбове, равнинните ъгли при върха на тристенния ъгъл се наричат негови лица. Всяка от трите двойки лица на тристенен ъгъл образува двустенен ъгъл от равнинни ъгли двустенен ъгъл
; + > ; + > 2. Сумата от равнинните ъгли на тристенен ъгъл е по-малка от 360 градуса равнинни ъгли α, β, γ, двустенни ъгли A, B, C, състав" title="Основни свойства на тристенен ъгъл 1. Всеки плосък ъгъл на тристенен ъгъл е по-малък от сумата на другите му два равнинни ъгъла + > ; + > ; + > 2. Сборът на равнинните ъгли на тристенен ъгъл е по-малък от 360 градуса α, β, γ равни ъгли, A, B, C двустенни ъгли, състав" class="link_thumb"> 4 !}Основни свойства на тристенния ъгъл 1. Всеки плосък ъгъл на тристенния ъгъл е по-малък от сумата на другите му два равнинни ъгъла. + > ; + > ; + > 2. Сумата от равнинните ъгли на тристенен ъгъл е по-малка от 360 градуса α, β, γ са равнинни ъгли, A, B, C са двустенни ъгли, образувани от равнините на ъглите β и γ, α и γ, α и β. 3. Първата косинусова теорема за тристенен ъгъл 4. Втората косинусова теорема за тристенен ъгъл ; + > ; + > 2. Сумата от равнинните ъгли на тристенен ъгъл е по-малка от 360 градуса α, β, γ равнинни ъгли, A, B, C двустенни ъгли, състав "> ; + > ; + > 2. Сумата от равнинни ъгли на тристенен ъгъл е по-малък от 360 градуса α, β, γ са равнинни ъгли, A, B, C са двустенни ъгли, образувани от равнините на ъглите β и γ, α и γ, α и β. 3. Първият косинусова теорема за тристенен ъгъл 4. Втората косинусова теорема за тристенен ъгъл"> ; + > ; + > 2. Сумата от равнинните ъгли на тристенен ъгъл е по-малка от 360 градуса равнинни ъгли α, β, γ, двустенни ъгли A, B, C, състав" title="Основни свойства на тристенен ъгъл 1. Всеки плосък ъгъл на тристенен ъгъл е по-малък от сумата на другите му два равнинни ъгъла + > ; + > ; + > 2. Сборът на равнинните ъгли на тристенен ъгъл е по-малък от 360 градуса α, β, γ равни ъгли, A, B, C двустенни ъгли, състав"> title="Основни свойства на тристенния ъгъл 1. Всеки плосък ъгъл на тристенния ъгъл е по-малък от сумата на другите два равнинни ъгъла. + > ; + > ; + > 2. Сумата от равнинните ъгли на тристенен ъгъл е по-малка от 360 градуса α, β, γ равнинни ъгли, A, B, C двустенни ъгли, състав"> !}
Лицата на полиедър са многоъгълниците, които го образуват. Ръбовете на многостена са страните на многоъгълниците. Върховете на полиедър са върховете на многоъгълник. Диагоналът на полиедър е сегмент, свързващ 2 върха, които не принадлежат на едно и също лице.
Многостенни ъгли. Повърхност, образувана от краен набор от равнинни ъгли A1SA2, A2SA3, ..., An-1SAn, AnSA1 с общ връх S, в който съседните ъгли нямат общи точки, освен точки от общ лъч, а несъседните ъгли имат няма общи точки, освен общ връх, ще го наричаме многостенна повърхност. Фигурата, образувана от определената повърхност и една от двете части на пространството, ограничено от нея, се нарича многостенен ъгъл. Общият връх S се нарича връх на многостенен ъгъл. Лъчите SA1, ..., SAn се наричат ръбове на многостенния ъгъл, а самите равнинни ъгли A1SA2, A2SA3, ..., An-1SAn, AnSA1 се наричат лица на многостенния ъгъл. Многостенният ъгъл се обозначава с буквите SA1...An, указващи върха и точките на неговите ръбове.
Слайд 1 от презентацията „Многостенен ъгъл“за уроци по геометрия на тема „Ъгли в пространството“Размери: 960 x 720 пиксела, формат: jpg. За да изтеглите безплатен слайд за използване в урок по геометрия, щракнете с десния бутон върху изображението и щракнете върху „Запазване на изображението като...“. Можете да изтеглите цялата презентация „Polyhedral Angle.ppt” в 329 KB zip архив.
Изтегляне на презентацияЪгли в пространството
“Ъгъл между прави в пространството” - В куб A...D1 намерете ъгъла между прави: AB1 и BC1. Ъгълът между прави линии в пространството. Отговор: 90o. Отговор: 45o. В куб A...D1 намерете ъгъла между правите: A1C1 и B1D1. В куба A...D1 намерете ъгъла между правите: AA1 и BC. Отговор: В куба A...D1 намерете ъгъла между правите: AA1 и BD1. В куба A...D1 намерете ъгъла между правите: AA1 и BC1.
„Вписан ъгъл“ – Да се изгради прав ъгъл? Равен на този? Теорема: Определение: Поддържа се. Практическа работа. Khasanova E.I., учител по математика, План на урока: Вписани ъгли. Доказателство: Дадено: Обобщение на урока. 8 клас. Б). Как ъглите AOB и ACB са подобни и различни? Общинска образователна институция "MSOSH № 16", Миас, Челябинска област.
"Многостенен ъгъл" - Измерване на многостенни ъгли. Двата равнинни ъгъла на тристенния ъгъл са 70° и 80°. Следователно, ? ASB+ ? BSC+ ? A.S.C.< 360° . Трехгранные углы. Таким образом, остается доказать неравенство?ASС < ?ASB + ?BSC. Доказательство аналогично доказательству соответствующего свойства для трехгранного угла.
“Съседни ъгли” - Дадени са: ?AOC и?BOC – съседни. Докажете: ?AOC + ?BOC = 180?. Съседни и вертикални ъгли. д. ° С. Теорема. Следствия от теоремата. b. И в съседство с разширения? Дадено произволно?(ab), различно от разширено. Определение. а. Урок 11. Сборът на съседните ъгли е 180?. Доказателство.
Слайд 1
Слайд 2
Теорема. В тристенния ъгъл сборът от равнинните ъгли е по-малък от 360 и сборът на всеки два от тях е по-голям от третия. Дадено е: Оabc – тристенен ъгъл; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Основното свойство на тристенния ъгъл. Докажете: + +< 360 ; 2) + > ; + > ; + > .
Слайд 3
Доказателство I. Нека< 90 ; < 90 ; (ABC) с. Тогда ОВС = 90 – < ОВА (следствие из формулы трех косинусов). Аналогично, ОАС = 90 – < ОAВ. Следовательно, = 180 – (ОАB + ОBA) < 180 – ((90 –) + (90 –)) = + . Если < 90 , то остальные два неравенства пункта 2) доказываются аналогично, а если 90 , то они – очевидны. Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: 2) + > ; + > ; + > .
Слайд 4
Формула за три косинуса. Последствия. 1) За изчисляване на ъгъла между права линия и равнина е приложима формулата: 2) Ъгълът между права линия и равнина е най-малкият от ъглите, които тази права линия образува с правите на тази равнина.
Слайд 5
II. Върху ръбовете на този ъгъл поставяме точки A’, B’ и C’ така, че |OA’| = |OB'| = |OC'| Тогава триъгълниците A’OB’, B’OC’ и C’OA’ са равнобедрени, а ъглите им при основи 1 – 6 са остри. За тристенни ъгли с върхове A’, B’ и C’ прилагаме неравенствата, доказани в параграф I: C’A’B’< 1 + 6; А’B’C’ < 2 + 3; B’С’А’ < 4 + 5. Сложим эти неравенства почленно, тогда 180 < (1 + 2) + (3 + 4) + (5 + 6) = = (180 –) + (180 –) + (180 –) + + < 360 . Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: + + < 360 ; 2) + > ; + > ; + > .
Слайд 6
III. Нека разгледаме лъч c’ – комплементарен на лъч c и за тристенния ъгъл Оabc’ използваме неравенството, доказано в параграф II за произволен тристенен ъгъл: (180 –) + (180 –) +< 360 + >. Другите две неравенства се доказват по подобен начин. Дадено е: Оabc – тристенен ъгъл; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Докажете: + +< 360 ; 2) + >; + > ; + > . с'
Слайд 7
Последица. В правилната триъгълна пирамида равнинният ъгъл при върха е по-малък от 120.
Слайд 8
Определение. Тристенните ъгли се наричат равни, ако всички съответстващи им равнинни и двустенни ъгли са равни. Признаци за равенство на тристенни ъгли. Тристенните ъгли са равни, ако имат съответно равни: два равнинни ъгъла и двустенен ъгъл между тях; 2) два двустенни ъгъла и плосък ъгъл между тях; 3) три плоски ъгъла; 4) три двустенни ъгъла. Ориз. 4б
Слайд 9
. . Даден е тристенен ъгъл Oabc. Позволявам< 90 ; < 90 ; тогда рассмотрим (ABC) с По теореме косинусов из CАВ: |AB|2 = |AC|2 + |BC|2 – 2|AC| |BC| cos Аналог теоремы косинусов Аналогично, из OАВ: |AB|2 = |AO|2 + |BO|2 – 2|AO| |BO| cos . Вычтем из второго равенства первое и учтем, что |AO|2 – |AC|2 = |CO|2 = |BO|2 – |BC|2: 2|CO|2 – 2|AO| |BO| cos + 2|AC| |BC| = 0 . ; ; ; тогда cos = cos cos + sin sin cos Заменим:
Слайд 10
II. Нека > 90 ; > 90, тогава разгледайте лъча c’, допълващ c, и съответния тристенен ъгъл Oabc’, в който равнинните ъгли – и – са остри, а равнинният ъгъл и двустенният ъгъл са еднакви. Според I.: cos = cos(–) cos(–) + sin(–) sin(–) cos cos = cos cos + sin sin cos
