Gabriel Kramer je švicarski matematičar, učenik i prijatelj Johanna Bernoullija, jednog od tvoraca linearne algebre. Cramer je razmatrao sustav proizvoljnog broja linearnih jednadžbi s kvadratnom matricom. Rješenje sustava prikazao je kao stupac razlomaka sa zajedničkim nazivnikom – determinantom matrice. Cramerova metoda temelji se na korištenju determinanti u rješavanju sustava linearnih jednadžbi, što značajno ubrzava proces rješavanja. Ova metoda se može koristiti za rješavanje sustava od onoliko linearnih jednadžbi koliko ima nepoznanica u svakoj jednadžbi. Glavna stvar je da determinanta sustava nije jednaka "0", tada se Cramerova metoda može koristiti u rješenju, ako je "0" - ova metoda se ne može koristiti. Ova se metoda također može koristiti za rješavanje sustava linearnih jednadžbi s jedinstvenim rješenjem.
Cramerov teorem. Ako je determinanta sustava različita od nule, tada sustav linearnih jednadžbi ima jedno jedinstveno rješenje, a nepoznanica je jednaka omjeru determinanti. Nazivnik sadrži determinantu sustava, a brojnik determinantu dobivenu iz determinante sustava zamjenom koeficijenata te nepoznanice slobodnim članovima. Ovaj teorem vrijedi za sustav linearnih jednadžbi bilo kojeg reda.
Pretpostavimo da nam je dan SLAE ovog tipa:
\[\lijevo\(\početak(matrica) 3x_1 + 2x_2 =1\\ x_1 + 4x_2 = -3 \kraj(matrica)\desno.\]
Prema Cramerovom teoremu dobivamo:
Odgovor: \
Gdje mogu riješiti jednadžbu pomoću Cramerove metode pomoću mrežnog rješavača?
Jednadžbu možete riješiti na našoj web stranici https://site. Besplatni mrežni rješavač omogućit će vam rješavanje mrežnih jednadžbi bilo koje složenosti u nekoliko sekundi. Sve što trebate učiniti je jednostavno unijeti svoje podatke u Solver. Također možete pogledati video upute i naučiti kako riješiti jednadžbu na našoj web stranici. A ako još uvijek imate pitanja, možete ih postaviti u našoj VKontakte grupi http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se našoj grupi, uvijek ćemo vam rado pomoći.
Metode Kramer I Gauss- jedna od najpopularnijih metoda rješenja SLAU. Osim toga, u nekim slučajevima preporučljivo je koristiti posebne metode. Sesija je blizu, a sada je vrijeme da ih ponovite ili savladate od nule. Danas ćemo pogledati rješenje pomoću Cramerove metode. Uostalom, rješavanje sustava linearnih jednadžbi Cramerovom metodom vrlo je korisna vještina.
Sustavi linearnih algebarskih jednadžbi
Sustav linearnih algebarskih jednadžbi je sustav jednadžbi oblika:
Skup vrijednosti x , u kojem se jednadžbe sustava pretvaraju u identitete, nazivamo rješenjem sustava, a I b su realni koeficijenti. Jednostavan sustav koji se sastoji od dvije jednadžbe s dvije nepoznanice može se riješiti u vašoj glavi ili izražavanjem jedne varijable kroz drugu. Ali u SLAE-u može postojati puno više od dvije varijable (xes), a ovdje jednostavne školske manipulacije nisu dovoljne. Što uraditi? Na primjer, riješite SLAE pomoću Cramerove metode!
Dakle, neka se sustav sastoji od n jednadžbe sa n nepoznato.
Takav sustav može se prepisati u matričnom obliku
Ovdje A – glavna matrica sustava, x I B , redom, matrice stupaca nepoznatih varijabli i slobodnih članova.
Rješavanje SLAE Cramerovom metodom
Ako determinanta glavne matrice nije jednaka nuli (matrica je nesingularna), sustav se može riješiti pomoću Cramerove metode.
Prema Cramerovoj metodi, rješenje se nalazi pomoću formula:
Ovdje delta je determinanta glavne matrice, i delta x nth – determinanta dobivena iz determinante glavne matrice zamjenom n-tog stupca stupcem slobodnih članova.
To je cijela bit Cramer metode. Zamjena vrijednosti pronađenih pomoću gornjih formula x u željeni sustav, uvjereni smo u ispravnost (ili obrnuto) našeg rješenja. Kako bismo vam pomogli da brzo shvatite bit, u nastavku dajemo primjer detaljnog rješenja SLAE pomoću Cramerove metode:
Čak i ako ne uspijete prvi put, nemojte se obeshrabriti! Uz malo vježbe, počet ćete razbijati SLAU-ove kao orahe. Štoviše, sada apsolutno nije potrebno proučavati bilježnicu, rješavati glomazne izračune i popunjavati jezgru. Možete jednostavno riješiti SLAE koristeći Cramerovu metodu online, samo zamjenom koeficijenata u gotov obrazac. Možete isprobati online kalkulator rješenja pomoću Cramerove metode, na primjer, na ovoj web stranici.
A ako se sustav pokaže tvrdoglavim i ne odustaje, uvijek se za pomoć možete obratiti našim autorima, npr. Ako postoji barem 100 nepoznanica u sustavu, sigurno ćemo to riješiti ispravno i na vrijeme!
Cramerova metoda temelji se na korištenju determinanti u rješavanju sustava linearnih jednadžbi. To značajno ubrzava proces rješenja.
Cramerova metoda može se koristiti za rješavanje sustava od onoliko linearnih jednadžbi koliko ima nepoznanica u svakoj jednadžbi. Ako determinanta sustava nije jednaka nuli, onda se Cramerova metoda može koristiti u rješenju, ali ako je jednaka nuli, onda ne može. Osim toga, Cramerova metoda može se koristiti za rješavanje sustava linearnih jednadžbi koje imaju jedinstveno rješenje.
Definicija. Determinanta sastavljena od koeficijenata za nepoznanice naziva se determinanta sustava i označava se (delta).
Odrednice
dobivaju se zamjenom koeficijenata odgovarajućih nepoznanica slobodnim članovima:
;
.
Cramerov teorem. Ako je determinanta sustava različita od nule, tada sustav linearnih jednadžbi ima jedno jedinstveno rješenje, a nepoznanica je jednaka omjeru determinanti. Nazivnik sadrži determinantu sustava, a brojnik determinantu dobivenu iz determinante sustava zamjenom koeficijenata te nepoznanice slobodnim članovima. Ovaj teorem vrijedi za sustav linearnih jednadžbi bilo kojeg reda.
Primjer 1. Riješite sustav linearnih jednadžbi:
Prema Cramerov teorem imamo:
Dakle, rješenje sustava (2):
online kalkulator, Cramerova metoda rješavanja.
Tri slučaja rješavanja sustava linearnih jednadžbi
Kao što je jasno iz Cramerov teorem, pri rješavanju sustava linearnih jednadžbi mogu se pojaviti tri slučaja:
Prvi slučaj: sustav linearnih jednadžbi ima jedinstveno rješenje
(sustav je dosljedan i određen)
Drugi slučaj: sustav linearnih jednadžbi ima beskonačan broj rješenja
(sustav je konzistentan i nesiguran)
** 
,
oni. koeficijenti nepoznanica i slobodni članovi su proporcionalni.
Treći slučaj: sustav linearnih jednadžbi nema rješenja
(sustav je nedosljedan)
Dakle sustav m linearne jednadžbe sa n nazvane varijable nekompatibilan, ako ona nema niti jedno rješenje, i spojnica, ako ima barem jedno rješenje. Simultani sustav jednadžbi koji ima samo jedno rješenje naziva se određeni, i više od jednog – neizvjestan.
Primjeri rješavanja sustava linearnih jednadžbi Cramerovom metodom
Neka sustav bude dan
.
Na temelju Cramerovog teorema
………….
,
Gdje 
-
sustavna odrednica. Ostale determinante dobivamo zamjenom stupca s koeficijentima odgovarajuće varijable (nepoznate) slobodnim članovima:
Primjer 2.
Dakle, sustav je određen. Da bismo pronašli njegovo rješenje, izračunavamo determinante
Koristeći Cramerove formule nalazimo:
Dakle, (1; 0; -1) je jedino rješenje sustava.
Za provjeru rješenja sustava jednadžbi 3 X 3 i 4 X 4, možete koristiti online kalkulator koristeći Cramerovu metodu rješavanja.
Ako u sustavu linearnih jednadžbi nema varijabli u jednoj ili više jednadžbi, tada su u determinanti odgovarajući elementi jednaki nuli! Ovo je sljedeći primjer.
Primjer 3. Cramerovom metodom riješite sustav linearnih jednadžbi:
.
Riješenje. Nalazimo determinantu sustava:
Pažljivo pogledajte sustav jednadžbi i determinantu sustava te ponovite odgovor na pitanje u kojim slučajevima je jedan ili više elemenata determinante jednako nuli. Dakle, determinanta nije jednaka nuli, stoga je sustav određen. Da bismo pronašli njegovo rješenje, izračunavamo determinante za nepoznanice
Koristeći Cramerove formule nalazimo:
Dakle, rješenje sustava je (2; -1; 1).
Za provjeru rješenja sustava jednadžbi 3 X 3 i 4 X 4, možete koristiti online kalkulator koristeći Cramerovu metodu rješavanja.
Vrh stranice
Nastavljamo zajedno rješavati sustave Cramerovom metodom
Kao što je već rečeno, ako je determinanta sustava jednaka nuli, a determinante nepoznanica nisu jednake nuli, sustav je nekonzistentan, odnosno nema rješenja. Ilustrirajmo sljedećim primjerom.
Primjer 6. Cramerovom metodom riješite sustav linearnih jednadžbi:
Riješenje. Nalazimo determinantu sustava:
Determinanta sustava jednaka je nuli, stoga je sustav linearnih jednadžbi ili nekonzistentan i određen, ili je nekonzistentan, odnosno nema rješenja. Da pojasnimo, izračunavamo determinante za nepoznanice
Determinante nepoznanica nisu jednake nuli, pa je sustav nekonzistentan, odnosno nema rješenja.
Za provjeru rješenja sustava jednadžbi 3 X 3 i 4 X 4, možete koristiti online kalkulator koristeći Cramerovu metodu rješavanja.
U zadacima koji uključuju sustave linearnih jednadžbi postoje i oni u kojima se uz slova koja označavaju varijable nalaze i druga slova. Ova slova predstavljaju broj, najčešće pravi. U praksi do takvih jednadžbi i sustava jednadžbi dovode problemi traženja općih svojstava bilo koje pojave ili objekta. Odnosno, izumili ste neki novi materijal ili uređaj, a za opis njegovih svojstava, koja su uobičajena bez obzira na veličinu ili količinu uzorka, trebate riješiti sustav linearnih jednadžbi, gdje umjesto nekih koeficijenata za varijable postoje slova. Ne morate daleko tražiti primjere.
Sljedeći primjer je za sličan problem, samo se povećava broj jednadžbi, varijabli i slova koja označavaju određeni realni broj.
Primjer 8. Cramerovom metodom riješite sustav linearnih jednadžbi:
Riješenje. Nalazimo determinantu sustava:
Pronalaženje determinanti za nepoznanice
U prvom dijelu smo se osvrnuli na teorijsko gradivo, metodu supstitucije, kao i metodu počlanog zbrajanja jednadžbi sustava. Preporučam svima koji su stranici pristupili putem ove stranice da pročitaju prvi dio. Možda će nekim posjetiteljima gradivo biti prejednostavno, ali u procesu rješavanja sustava linearnih jednadžbi iznio sam niz vrlo važnih komentara i zaključaka koji se tiču rješavanja matematičkih problema općenito.
Sada ćemo analizirati Cramerovo pravilo, kao i rješavanje sustava linearnih jednadžbi pomoću inverzne matrice (metoda matrice). Svi materijali predstavljeni su jednostavno, detaljno i jasno; gotovo svi čitatelji moći će naučiti kako riješiti sustave koristeći gore navedene metode.
Prvo ćemo pobliže pogledati Cramerovo pravilo za sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice. Za što? – Uostalom, najjednostavniji sustav može se riješiti školskom metodom, metodom zbrajanja pojmova!
Činjenica je da se, iako ponekad, dogodi takav zadatak - riješiti sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice koristeći Cramerove formule. Drugo, jednostavniji primjer pomoći će vam da shvatite kako koristiti Cramerovo pravilo za složeniji slučaj - sustav od tri jednadžbe s tri nepoznanice.
Osim toga, postoje sustavi linearnih jednadžbi s dvije varijable, koje je preporučljivo rješavati pomoću Cramerovog pravila!
Razmotrimo sustav jednadžbi
U prvom koraku izračunavamo determinantu, tzv glavna odrednica sustava.
Gaussova metoda.
Ako , tada sustav ima jedinstveno rješenje, a da bismo pronašli korijene moramo izračunati još dvije determinante:
I
U praksi se gornji kvalifikatori mogu označavati i latiničnim slovom.
Korijene jednadžbe nalazimo pomoću formula:
,
Primjer 7
Riješite sustav linearnih jednadžbi 
Riješenje: Vidimo da su koeficijenti jednadžbe prilično veliki; Zarez je prilično rijedak gost u praktičnim zadacima iz matematike, ja sam ovaj sustav preuzeo iz jednog ekonometrijskog problema.
Kako riješiti takav sustav? Možete pokušati izraziti jednu varijablu u terminima druge, ali u ovom slučaju vjerojatno ćete završiti s užasnim otmjenim razlomcima s kojima je izuzetno nezgodno raditi, a dizajn rješenja izgledat će jednostavno užasno. Možete pomnožiti drugu jednadžbu sa 6 i oduzimati član po član, ali i ovdje će se pojaviti isti razlomci.
Što uraditi? U takvim slučajevima u pomoć dolaze Cramerove formule.
;
;
Odgovor: ,
Oba korijena imaju beskonačne repove i nalaze se približno, što je sasvim prihvatljivo (pa čak i uobičajeno) za probleme ekonometrije.
Komentari ovdje nisu potrebni, budući da se zadatak rješava pomoću gotovih formula, ali postoji jedno upozorenje. Kada koristite ovu metodu, obvezno Fragment dizajna zadatka je sljedeći fragment: "To znači da sustav ima jedinstveno rješenje". U protivnom vas recenzent može kazniti zbog nepoštivanja Cramerovog teorema.
Ne bi bilo suvišno provjeriti, što se može prikladno provesti na kalkulatoru: zamijenimo približne vrijednosti u lijevu stranu svake jednadžbe sustava. Kao rezultat toga, s malom greškom, trebali biste dobiti brojeve koji su na desnim stranama.
Primjer 8
Odgovor predstavite običnim nepravim razlomcima. Provjerite.
Ovo je primjer za samostalno rješavanje (primjer konačnog dizajna i odgovor na kraju lekcije).
Prijeđimo na razmatranje Cramerovog pravila za sustav od tri jednadžbe s tri nepoznanice: 
Nalazimo glavnu odrednicu sustava: 
Ako je , tada sustav ima beskonačno mnogo rješenja ili je nekonzistentan (nema rješenja). U ovom slučaju, Cramerovo pravilo neće pomoći; trebate koristiti Gaussovu metodu.
Ako , tada sustav ima jedinstveno rješenje i da bismo pronašli korijene moramo izračunati još tri determinante: 
, 
, 
I na kraju, odgovor se izračunava pomoću formula: 
Kao što vidite, slučaj "tri po tri" u osnovi se ne razlikuje od slučaja "dva po dva"; stupac slobodnih pojmova sekvencijalno "šeta" slijeva nadesno duž stupaca glavne determinante.
Primjer 9
Riješite sustav pomoću Cramerovih formula. 
Riješenje: Riješimo sustav pomoću Cramerovih formula. 
, što znači da sustav ima jedinstveno rješenje.
Odgovor: 
.
Zapravo, ovdje se opet nema što posebno komentirati, budući da rješenje slijedi gotove formule. Ali ima par komentara.
Dešava se da se kao rezultat izračuna dobiju "loši" nesvodljivi razlomci, na primjer: .
Preporučujem sljedeći algoritam "liječenja". Ako nemate računalo pri ruci, učinite ovo:
1) Možda postoji greška u izračunima. Čim naiđete na "loš" razlomak, odmah morate provjeriti Je li uvjet ispravno prepisan?. Ako je uvjet prepisan bez grešaka, tada morate ponovno izračunati determinante koristeći proširenje u drugom retku (stupcu).
2) Ako se kao rezultat provjere ne otkriju greške, najvjerojatnije je došlo do tipfelera u uvjetima zadatka. U tom slučaju smireno i PAŽLJIVO odradite zadatak do kraja, a zatim svakako provjerite a mi ga nakon odluke sastavljamo na čistom listu. Naravno, provjera razlomaka je neugodan zadatak, ali će biti razoružavajući argument za učitelja koji jako voli dati minus za svako sranje poput . Kako postupati s razlomcima detaljno je opisano u odgovoru na primjer 8.
Ako imate računalo pri ruci, upotrijebite automatizirani program za provjeru, koji se može besplatno preuzeti na samom početku lekcije. Usput, najisplativije je koristiti program odmah (čak i prije pokretanja rješenja); odmah ćete vidjeti međukorak u kojem ste pogriješili! Isti kalkulator automatski izračunava rješenje sustava matričnom metodom.
Druga primjedba. S vremena na vrijeme postoje sustavi u kojima neke varijable nedostaju, na primjer: 
Ovdje u prvoj jednadžbi nema varijable, u drugoj nema varijable. U takvim slučajevima vrlo je važno pravilno i PAŽLJIVO zapisati glavnu odrednicu: 
– nule se stavljaju na mjesto varijabli koje nedostaju.
Inače, racionalno je otvarati determinante s nulama prema retku (stupcu) u kojem se nalazi nula, jer je primjetno manje izračuna.
Primjer 10
Riješite sustav pomoću Cramerovih formula. 
Ovo je primjer za samostalno rješenje (uzorak konačnog dizajna i odgovor na kraju lekcije).
Za slučaj sustava od 4 jednadžbe s 4 nepoznanice, Cramerove formule su napisane prema sličnim principima. Živi primjer možete vidjeti u lekciji Svojstva determinanti. Smanjenje reda determinante – pet determinanti 4. reda je sasvim rješivo. Iako zadatak već jako podsjeća na profesorovu cipelu na prsima sretnog studenta.
Rješavanje sustava pomoću inverzne matrice
Metoda inverzne matrice je u biti poseban slučaj matrična jednadžba(Vidi primjer br. 3 navedene lekcije).
Da biste proučavali ovaj odjeljak, morate biti sposobni proširiti determinante, pronaći inverz matrice i izvesti množenje matrice. Relevantne poveznice bit će davane kako objašnjenja budu napredovala.
Primjer 11
Riješite sustav matričnom metodom 
Riješenje: Zapišimo sustav u matričnom obliku:
, Gdje 
Molimo pogledajte sustav jednadžbi i matrica. Mislim da svi razumiju princip po kojem zapisujemo elemente u matrice. Jedini komentar: ako neke varijable nedostaju u jednadžbama, onda bi se nule morale staviti na odgovarajuća mjesta u matrici.
Inverznu matricu nalazimo pomoću formule:
, gdje je transponirana matrica algebarskih komplemenata odgovarajućih elemenata matrice.
Prvo, pogledajmo determinantu:
Ovdje je determinanta proširena na prvi red.
Pažnja! Ako je , tada inverzna matrica ne postoji i sustav je nemoguće riješiti matričnom metodom. U ovom slučaju sustav se rješava metodom eliminacije nepoznanica (Gaussova metoda).
Sada trebamo izračunati 9 minora i upisati ih u matricu minora 
Referenca: Korisno je znati značenje dvostrukih indeksa u linearnoj algebri. Prva znamenka je broj linije u kojoj se element nalazi. Druga znamenka je broj kolone u kojoj se element nalazi: 
To jest, dvostruki indeks označava da je element u prvom retku, trećem stupcu i, na primjer, element je u 3 retku, 2 stupcu
2. Rješavanje sustava jednadžbi matričnom metodom (pomoću inverzne matrice).
3. Gaussova metoda za rješavanje sustava jednadžbi.
Cramerova metoda.
Cramerova metoda koristi se za rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi ( SLAU).
Formule na primjeru sustava dviju jednadžbi s dvije varijable.
dano: Riješite sustav Cramerovom metodom
Što se tiče varijabli x I na.
Riješenje:
Nađimo determinantu matrice, sastavljenu od koeficijenata sustava Izračun determinanti. : 
Primijenimo Cramerove formule i pronađimo vrijednosti varijabli: 
I 
.
Primjer 1:
Riješite sustav jednadžbi:
u vezi s varijablama x I na.
Riješenje:
Zamijenimo prvi stupac u ovoj determinanti stupcem koeficijenata s desne strane sustava i pronađimo njegovu vrijednost: 
Učinimo sličnu stvar, zamjenjujući drugi stupac u prvoj determinanti: 
Primjenjivo Cramerove formule i pronađite vrijednosti varijabli:
i .
Odgovor: 
Komentar: Ova metoda može riješiti sustave viših dimenzija.
Komentar: Ako se pokaže da se , i ne može podijeliti s nulom, onda kažu da sustav nema jedinstveno rješenje. U tom slučaju sustav ili ima beskonačno mnogo rješenja ili uopće nema rješenja.
Primjer 2(beskonačan broj rješenja):
Riješite sustav jednadžbi:
u vezi s varijablama x I na.
Riješenje:
Nađimo determinantu matrice, sastavljenu od koeficijenata sustava: 
Rješavanje sustava metodom supstitucije. 
Prva od jednadžbi sustava je jednakost koja vrijedi za bilo koju vrijednost varijabli (jer je 4 uvijek jednako 4). To znači da je preostala samo jedna jednadžba. Ovo je jednadžba za odnos između varijabli.
Otkrili smo da je rješenje sustava bilo koji par vrijednosti varijabli međusobno povezanih jednakošću.
Opće rješenje bit će napisano na sljedeći način: 
Pojedinačna rješenja mogu se odrediti odabirom proizvoljne vrijednosti y i izračunavanjem x iz ove jednakosti veza. 
itd.
Takvih rješenja ima beskonačno mnogo.
Odgovor: zajednička odluka
Privatna rješenja:
Primjer 3(nema rješenja, sustav je nekompatibilan):
Riješite sustav jednadžbi:
Riješenje:
Nađimo determinantu matrice, sastavljenu od koeficijenata sustava: 
Cramerove formule se ne mogu koristiti. Riješimo ovaj sustav metodom supstitucije 
Druga jednadžba sustava je jednakost koja nije istinita ni za jednu vrijednost varijabli (naravno, budući da -15 nije jednako 2). Ako jedna od jednadžbi sustava nije istinita ni za jednu vrijednost varijable, tada cijeli sustav nema rješenja.
Odgovor: nema rješenja
