Kratak pregled teorijske problematike diferenciranog kredita
Za studente 1. godine
Specijalnost 02.23.03 “Održavanje i popravak motornih vozila”
Jednadžba. Korijen jednadžbe. Što znači "riješiti jednadžbu"?
Jednadžba je jednakost koja sadrži varijablu.
Korijen jednadžbe je vrijednost varijable koja, kada se zamijeni u jednadžbu, pretvara je u pravu numeričku jednakost.
Rješavanje jednadžbe znači pronaći sve njezine korijene ili dokazati da korijena nema.
Sustav jednadžbi je skup dviju ili više jednadžbi s dvije ili više nepoznanica; Štoviše, rješenje jedne od jednadžbi istovremeno je i rješenje svih ostalih.
Vrste jednadžbi i njihova rješenja: linearne, kvadratne.
Linearne jednadžbe su jednadžbe oblika: ax + b = 0, gdje su a i b neke konstante. Ako a nije jednako nuli, tada jednadžba ima jedan korijen: x = - b: a. Ako je a jednako nuli, a b jednako nuli, tada je korijen jednadžbe ax + b = 0 bilo koji broj. Ako je a jednako nuli, a b nije jednako nuli, tada jednadžba ax + b = 0 nema korijena.
Metode rješavanja linearnih jednadžbi
1) transformacije identiteta
2) grafička metoda.
Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika sjekira 2 + bx + c= 0, gdje su koeficijenti a, b I c- proizvoljni brojevi, s a ≠ 0.
Neka je dana kvadratna jednadžba sjekira 2 + bx + c= 0. Tada je diskriminant broj D = b 2 − 4ak.
1. Ako D < 0, корней нет;
2. Ako D= 0, postoji točno jedan korijen;
3. Ako D> 0, bit će dva korijena.
Ako je diskriminant D > 0, korijeni se mogu pronaći pomoću formula: Korijeni kvadratne jednadžbe. Sada prijeđimo na samo rješenje. Ako diskriminant D> 0, korijeni se mogu pronaći pomoću formula:
Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi
Opći oblik rješenja jednadžbe cos x = a, gdje je | a | ≤ 1, određeno formulom:
x = ± arccos(a) + 2πk, k ∈ Z (cijeli brojevi), s | a | > 1 jednadžba cos x = a nema rješenja među realnim brojevima.
Opći oblik rješenja jednadžbe sin x = a, gdje je | a | ≤ 1, određeno formulom:
x = (- 1)k · arcsin(a) + πk, k ∈ Z (cijeli brojevi), s | a | > 1 jednadžba sin x = a nema rješenja među realnim brojevima.
Opći oblik rješenja jednadžbe tg x = a određen je formulom:
x = arctan(a) + πk, k ∈ Z (cijeli brojevi).
Opći oblik rješenja jednadžbe cot x = a određen je formulom:
x = arcctg(a) + πk, k ∈ Z (cijeli brojevi).
Rješavanje linearnih trigonometrijskih jednadžbi
Linearne trigonometrijske jednadžbe imaju oblik k*f(x) + b = 0, gdje je f(x) trigonometrijska funkcija, a k i b realni brojevi.
Da bi se riješila jednadžba, ona se reducira na najjednostavniji oblik pomoću identičnih transformacija
Rješavanje linearno kombiniranih trigonometrijskih jednadžbi
Linearne kombinirane trigonometrijske jednadžbe imaju oblik f(kx + b) = a, gdje je f(x) trigonometrijska funkcija, a, k i b realni brojevi.
Za rješavanje jednadžbe uvodi se nova varijabla y = kx + b. Dobivena najjednostavnija trigonometrijska jednadžba rješava se za y i vrši se obrnuta zamjena.
Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi pomoću redukcijskih formula
Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi pomoću trigonometrijskih identiteta
Kod rješavanja trigonometrijskih jednadžbi koje nisu najjednostavnije izvode se identične transformacije pomoću sljedećih formula:
Rješavanje kvadratnih trigonometrijskih jednadžbi
Posebnosti jednadžbi koje se svode na kvadratne:
Jednadžba sadrži trigonometrijske funkcije jednog argumenta ili se lako svode na jedan argument.
U jednadžbi postoji samo jedna trigonometrijska funkcija ili se sve funkcije mogu svesti na jednu.
Algoritam rješenja:
Zamjena u tijeku.
Izraz se pretvara.
Unesite oznaku (na primjer, sinx = y).
Rješava se kvadratna jednadžba.
Zamjenjuje se vrijednost navedene veličine i rješava trigonometrijska jednadžba
Glavne metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi su: svođenje jednadžbi na najjednostavnije (pomoću trigonometrijskih formula), uvođenje novih varijabli i rastavljanje na faktore. Pogledajmo njihovu upotrebu s primjerima. Obratiti pozornost na format pisanja rješenja trigonometrijskih jednadžbi.
Nužan uvjet za uspješno rješavanje trigonometrijskih jednadžbi je poznavanje trigonometrijskih formula (tema 13 rada 6).
Primjeri.
1. Jednadžbe svedene na najjednostavnije.
1) Riješite jednadžbu
Riješenje:
Odgovor:
2) Pronađite korijene jednadžbe
(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, koji pripada segmentu.
Riješenje:
Odgovor:
2. Jednadžbe koje se svode na kvadratne.
1) Riješite jednadžbu 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.
Riješenje: Koristeći formulu sin 2 x = 1 – cos 2 x, dobivamo
Odgovor:
2) Riješite jednadžbu cos 2x = 1 + 4 cosx.
Riješenje: Koristeći formulu cos 2x = 2 cos 2 x – 1, dobivamo
Odgovor:
3) Riješite jednadžbu tgx – 2ctgx + 1 = 0
Riješenje:
Odgovor:
3. Homogene jednadžbe
1) Riješite jednadžbu 2sinx – 3cosx = 0
Rješenje: Neka je cosx = 0, tada je 2sinx = 0 i sinx = 0 – kontradikcija s činjenicom da je sin 2 x + cos 2 x = 1. To znači da je cosx ≠ 0 i jednadžbu možemo podijeliti s cosx. Dobivamo
Odgovor:
2) Riješite jednadžbu 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x
Riješenje:
Koristimo formule 1 = sin 2 x + cos 2 x i sin 2x = 2 sinxcosx, dobivamo
sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0
Neka je cosx = 0, tada je sin 2 x = 0 i sinx = 0 – kontradikcija s činjenicom da je sin 2 x + cos 2 x = 1.
To znači cosx ≠ 0 i možemo podijeliti jednadžbu s cos 2 x .
Dobivamo
tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Označimo tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2=2
a) tgx = 4, x= arctan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x= arctan2 + 2 k, k .
Odgovor: arctg4 + 2 k, arctan2 + 2 k, k
4. Jednadžbe oblika a sinx + b cosx = s, s≠ 0.
1) Riješite jednadžbu.
Riješenje:
Odgovor:
5. Jednadžbe rješavane faktoriziranjem.
1) Riješite jednadžbu sin2x – sinx = 0.
Korijen jednadžbe f (x) = φ ( x) može poslužiti samo kao broj 0. Provjerimo ovo:
cos 0 = 0 + 1 – jednakost je istinita.
Broj 0 je jedini korijen ove jednadžbe.
Odgovor: 0.
Pri rješavanju mnogih matematički problemi, posebno onih koji se javljaju prije 10. razreda, jasno je definiran redoslijed radnji koje će dovesti do cilja. Takvi problemi uključuju, na primjer, linearne i kvadratne jednadžbe, linearne i kvadratne nejednadžbe, frakcijske jednadžbe i jednadžbe koje se svode na kvadratne. Princip uspješnog rješavanja svakog od navedenih problema je sljedeći: potrebno je utvrditi koju vrstu problema rješavate, zapamtiti potreban redoslijed radnji koje će dovesti do željenog rezultata, tj. odgovorite i slijedite ove korake.
Očito je da uspjeh ili neuspjeh u rješavanju određenog problema ovisi uglavnom o tome koliko je ispravno određena vrsta jednadžbe koja se rješava, koliko je ispravno reproduciran slijed svih faza njezina rješenja. Naravno, u ovom slučaju potrebno je imati vještine za izvođenje identičnih transformacija i izračuna.
Drugačija je situacija sa trigonometrijske jednadžbe. Nije uopće teško utvrditi činjenicu da je jednadžba trigonometrijska. Poteškoće nastaju pri određivanju slijeda radnji koje bi dovele do točnog odgovora.
Ponekad je teško odrediti njegovu vrstu na temelju izgleda jednadžbe. A bez poznavanja vrste jednadžbe, gotovo je nemoguće odabrati pravu među nekoliko desetaka trigonometrijskih formula.
Da biste riješili trigonometrijsku jednadžbu, morate pokušati:
1. dovesti sve funkcije uključene u jednadžbu pod “iste kutove”;
2. dovesti jednadžbu do “identičnih funkcija”;
3. faktorizirati lijevu stranu jednadžbe, itd.
Razmotrimo osnovne metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi.
I. Svođenje na najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe
Dijagram rješenja
Korak 1. Izrazi trigonometrijsku funkciju preko poznatih komponenti.
Korak 2. Pronađite argument funkcije pomoću formula:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ÊZ.
sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Ê Z.
tan x = a; x = arctan a + πn, n Ê Z.
ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Ê Z.
3. korak Pronađite nepoznatu varijablu.
Primjer.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Riješenje.
1) cos(3x – π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Ê Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Ê Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Ê Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.
Odgovor: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.
II. Zamjena varijable
Dijagram rješenja
Korak 1. Reducirajte jednadžbu na algebarski oblik s obzirom na jednu od trigonometrijskih funkcija.
Korak 2. Rezultirajuću funkciju označimo varijablom t (po potrebi uvesti ograničenja na t).
3. korak Zapiši i riješi dobivenu algebarsku jednadžbu.
Korak 4. Napravite obrnutu zamjenu.
Korak 5. Riješite najjednostavniju trigonometrijsku jednadžbu.
Primjer.
2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.
Riješenje.
1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;
2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.
2) Neka je sin (x/2) = t, gdje je |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 ili e = -3/2, ne zadovoljava uvjet |t| ≤ 1.
4) sin(x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Ê Z;
x = π + 4πn, n Ê Z.
Odgovor: x = π + 4πn, n Ê Z.
III. Metoda redukcije reda jednadžbi
Dijagram rješenja
Korak 1. Zamijenite ovu jednadžbu linearnom, koristeći formulu za smanjenje stupnja:
sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);
cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);
tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).
Korak 2. Riješite dobivenu jednadžbu metodama I. i II.
Primjer.
cos 2x + cos 2 x = 5/4.
Riješenje.
1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Ê Z;
x = ±π/6 + πn, n Ê Z.
Odgovor: x = ±π/6 + πn, n Ê Z.
IV. Homogene jednadžbe
Dijagram rješenja
Korak 1. Svedite ovu jednadžbu na oblik
a) a sin x + b cos x = 0 (homogena jednadžba prvog stupnja)
ili na pogled
b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogena jednadžba drugog stupnja).
Korak 2. Podijelite obje strane jednadžbe s
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
i dobijte jednadžbu za tan x:
a) a tan x + b = 0;
b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.
3. korak Riješite jednadžbu poznatim metodama.
Primjer.
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.
Riješenje.
1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.
3) Neka je tg x = t, dakle
t 2 + 3t – 4 = 0;
t = 1 ili t = -4, što znači
tg x = 1 ili tg x = -4.
Iz prve jednadžbe x = π/4 + πn, n Ê Z; iz druge jednadžbe x = -arctg 4 + πk, k Ê Z.
Odgovor: x = π/4 + πn, n Ê Z; x = -arctg 4 + πk, k Ê Z.
V. Metoda transformacije jednadžbe pomoću trigonometrijskih formula
Dijagram rješenja
Korak 1. Koristeći sve moguće trigonometrijske formule svedite ovu jednadžbu na jednadžbu riješenu metodama I, II, III, IV.
Korak 2. Riješite dobivenu jednadžbu poznatim metodama.
Primjer.
sin x + sin 2x + sin 3x = 0.
Riješenje.
1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 ili 2cos x + 1 = 0;
Iz prve jednadžbe 2x = π/2 + πn, n Ê Z; iz druge jednadžbe cos x = -1/2.
Imamo x = π/4 + πn/2, n Ê Z; iz druge jednadžbe x = ±(π – π/3) + 2πk, k Ê Z.
Kao rezultat, x = π/4 + πn/2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.
Odgovor: x = π/4 + πn/2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.
Sposobnost i vještina rješavanja trigonometrijskih jednadžbi vrlo je 
važno, njihov razvoj zahtijeva značajan napor, kako od strane učenika tako i od strane nastavnika.
Mnogi problemi stereometrije, fizike itd. povezani su s rješavanjem trigonometrijskih jednadžbi. Proces rješavanja takvih problema utjelovljuje mnoga znanja i vještine koje se stječu proučavanjem elemenata trigonometrije.
Trigonometrijske jednadžbe zauzimaju važno mjesto u procesu učenja matematike i osobnog razvoja općenito.
Još uvijek imate pitanja? Ne znate kako riješiti trigonometrijske jednadžbe?
Za pomoć od mentora, registrirajte se.
Prvi sat je besplatan!
web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.
MOSKVSKI ODJEL ZA OBRAZOVANJE
DRŽAVNI PRORAČUN STRUČ
OBRAZOVNA USTANOVA u Moskvi
"Politehnička škola br. 47 nazvana po V.G. Fedorovu"
Lekcija
u disciplini Matematika
"Trigonometrijske jednadžbe svedene na kvadratne"
Učitelj, nastavnik, profesor
Protasevich Olga Nikolaevna
PROFESIJA: Hardverski i softverski inženjer
DISCIPLINA: Matematika
DOBRO : 1
SEMESTAR : 2
SKUPINA :
Tema lekcije:
"Trigonometrijske jednadžbe svedene na kvadratne jednadžbe."
Vrsta lekcije: kombinirani sat
Format lekcije: kolektivna obuka po metodici V.K. Djačenko
(obrazovanje u sustavima malih grupa)
Ciljevi lekcije:
Edukativni – razmotriti opće pristupe, sažeti podatke o vrstama i metodama rješavanja trigonometrijskih jednadžbi koje se mogu svesti na kvadratne; razvijati vještine i sposobnosti primjene znanja pri rješavanju osnovnih jednadžbi i primjene stečenih znanja u profesionalnim aktivnostima.
Razvojni – promicati razvojlogičko razmišljanje učenika, razvijati sposobnosti analiziranja, zaključivanja, uspoređivanja, zaključivanja, shvaćanja gradiva;
Edukativni – poticanje spoznajnog interesa, elemenata kulture komuniciranja, poticanje učenika na prevladavanje poteškoća u procesu misaone aktivnosti, razvijanje sposobnosti za rad u radnom i odgojnom kolektivu.
Cilj lekcije:
Upoznati studente s glavnim vrstama i metodama rješavanja trigonometrijskih jednadžbi koje se mogu svesti na kvadratne.
Podrška (resursi):
Hardver: računalo, multimedijski projektor.
Softver:MicrosoftExcel.
Osnovni koncepti:
Kvadratna jednadžba; jednostavne trigonometrijske jednadžbe; inverzne trigonometrijske funkcije; trigonometrijske jednadžbe svedene na kvadratne.
Književnost:
Bashmakov M.I. Matematika: udžbenik za osnovno i srednje strukovno obrazovanje – M.; "Akademija", 2010. - 256 str.
Djačenko V.K.; „Narodno obrazovanje“, 2001. - 496 s.
Metodička literatura:
Bashmakov M.I. Matematika: knjiga za nastavnike. Metodički priručnik M.; « Akademija", 2013. - 224 str.
Elektronički izvori:
Materijali stranicedruštveni i pedagoški pokret za stvaranje kolektivnog načina poučavanja:www.kco-kras.ru.
Koraci lekcije
Organiziranje vremena.
Provjera domaće zadaće.
Obnavljanje temeljnih znanja.
Učenje novog gradiva.
Konsolidacija i sistematizacija stečenog znanja.
Odraz. Sažimajući. Domaća zadaća.
Tijekom nastave
Organiziranje vremena.
Učitelj postavlja ciljeve lekcije učenicima:
1) Uvesti glavne vrste trigonometrijskih jednadžbi koje se mogu svesti na kvadratne;
2) Uvesti standardne metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi koje se mogu svesti na kvadratne.
3) Naučiti kako primijeniti stečena znanja i vještine za rješavanje standardnih jednadžbi;
4) Naučiti kako raditi s informacijama prezentiranim u različitim oblicima, ostvariti međusobnu kontrolu i samokontrolu te primijeniti stečena znanja u profesionalnim aktivnostima.
II . Provjera domaće zadaće.
Nastavnik uključuje prezentaciju „Domaća zadaća“ prema kojoj učenici samostalno provjeravaju svoju zadaću i po potrebi unose dopune i ispravke u zadaću.
Na zahtjev učenika, nastavnik komentira rješenja jednadžbi koje su izazvale poteškoće, nakon čega objavljuje imena učenika koji na kraju sata predaju svoje bilježnice na provjeru.
№ 1
Odgovor:
№ 2
Odgovor:
№ 3
Odgovor:
№ 4
jer tada jednadžba nema korijena
Odgovor: nema korijena
№ 5
Odgovor:
№ 6
Odgovor:
III . Obnavljanje temeljnih znanja.
Nastavnik formira grupe/parove za učenje i predlaže pomoću ponuđenih obrazaca uspostavljanje korespondencije između jednadžbi i odgovora: „Pred vama je slajd s obrazovnim zadatkom. Povežite jednadžbe (lijeva strana tablice) s odgovorima (desna strana tablice). Zapišite brojeve točnih parova tvrdnji u svoju bilježnicu.”
Navedeni zadaci duplicirani su u uključenoj prezentaciji.
Podudaranje
p/p
Jednadžba
p/p
Odgovor
bez korijena
Na kraju rada nastavnik frontalno intervjuira predstavnike skupine, nakon čega okreće prezentacijsku stranicu s točnim rješenjima.
Pravi odgovori
p/p
Jednadžba
p/p
Odgovor
bez korijena
bez korijena
11.
13.
10.
12.
IV . Učenje novog gradiva.
Nastavnik uključuje prezentaciju novog materijala „Trigonometrijske jednadžbe svedene na kvadratne. Vrste jednadžbi i metode za njihovo rješavanje.”
Poziva učenike da zapišu potrebne točke i počinje komentirati svaki slajd, nakon čega uključuje prezentaciju.
Predstavimo koncept:
Opći pogled na kvadratnu jednadžbu:
1 vrsta trigonometrijskih jednadžbi koje se mogu svesti na kvadratne jednadžbe – jednadžbe koje su algebarske u odnosu na jednu od trigonometrijskih funkcija.
Nastavnik objašnjava rješenja.
1. Izravna zamjena
Zamjena ,
I
bez korijena
Odgovor:
Jednadžbe oblika imaju slično rješenje
Zamjena
Zamjena
2. Jednadžbe koje zahtijevaju pretvorbu pomoću formule trigonometrijske jedinice
Zamjena , tada jednadžba poprima oblik
I
bez korijena
Odgovor:
Jednadžbe oblika imaju slično rješenje:
mi ćemo zamijeniti , pomoću formule trigonometrijske jedinice
.
Dobivamo jednadžbu koja sadrži samo jednu trigonometrijsku funkciju :
Zamjena
3. Jednadžbe koje zahtijevaju transformaciju pomoću formule veze tgx I S tgx
Primjenjujemo formulu:
Pomnožimo jednadžbu s
Zamjena , tada jednadžba poprima oblik
I
Odgovor:
Tip 2 trigonometrijske jednadžbe svodeći na kvadratne jednadžbe– homogene jednadžbe u kojima svaki član ima isti stupanj.
Podijelite jednadžbu s
Zamjena , tada jednadžba poprima oblik
I
Odgovor:
Nastavnik predlaže sažimanje izloženog gradiva i postavlja pitanja: „Na koliko vrsta se dijele trigonometrijske jednadžbe koje se mogu svesti na kvadratne jednadžbe? Njihovo ime? Navedite načine rješavanja trigonometrijskih jednadžbi koje se mogu svesti na kvadratne.”
Nastavnik vodi radnje učenika u stvaranju algoritma za rješavanje jednadžbi ove vrste.
Trigonometrijske jednadžbe koje se svode na kvadratne jednadžbe dijele se u dvije glavne vrste:
tgx I S tgx :
Tip 2 – homogene jednadžbe u kojima svaki član ima isti stupanj:
Učitelj pravi prilagođeni Algoritam rješenja:
1. Odredite vrstu jednadžbe. Ako je potrebno, preuredite jednadžbu tako da sadrži samo jednu trigonometrijsku funkciju. Da biste to učinili, odaberite željenu formulu: ili ili podijeliti na
2. Uvodi se zamjena (npr, sinx = t , cosx = t , tgx = t ).
5. Zapiši odgovor.
Za učvršćivanje stečenog znanja, učitelj predlaže uspostavljanje korespondencije između jednadžbi i mogućih metoda njihovog rješavanja: „Pred vama je slajd sa zadatkom za vježbanje.
1. Klasificirajte jednadžbe prema metodama rješavanja prema donjoj tablici
(tiskane verzije tablice nalaze se na vašim stolovima).
2. Unesite broj metode rješenja u odgovarajući okvir.
Popunite tablicu".
Rad se odvija u paru.
p/p
Jednadžba
metoda
Metode:
1) Unesite novu varijablu.
2) Unesite novu varijablu
3) Unesite novu varijablu.
4) Transformirajte jednadžbu pomoću formule, unesite novu varijablu.
5) Transformirajte jednadžbu primjenom formule, uvedite novu varijablu.
6) Podijelite svaki član jednadžbe s, uvedite novu varijablu.
7) Pretvorite jednadžbu pomoću formule, pomnožite članove jednadžbe s, unesite novu varijablu.
Zadatak se provjerava u obliku frontalnog razgovora.
Učitelj: „Pred vama je slajd s točnim odgovorima na obrazovni zadatak. . Provjerite provjerom točnih odgovora na zadatak učenja. Poradite na greškama u svojoj bilježnici."
Listovi sa zadacima skupljaju se na kraju lekcije.
p/p
Jednadžba
metoda
2
4
2
1
7
1
3
5
6
3
6
2
6
VI . Konsolidacija i sistematizacija stečenog znanja.
Učitelj poziva učenike da nastave rad u skupinama.
Učitelj: “Riješite jednadžbe. Provjerite rezultat u editoru Microsoft Excel . Po završetku rješavanja, predstavnik grupe izlazi na ploču i predstavlja rješenje jednadžbe koju je grupa ispunila.” Nastavnik provjerava rješenje, ocjenjuje rad grupe i po potrebi ukazuje na pogreške.”
Učitelj, nastavnik, profesor:
1 ) Raspravljajte o rješenjima kao grupa.
2) Rješenje i dobiveni odgovor zapišite u svoju bilježnicu.
3) Provjerite rezultat u editoru Microsoft Excel .
4) Obavijestite svog učitelja da ste spremni.
5) Objasnite svoju odluku napisom na ploču članovima drugih grupa.
6) Zamišljeno slušajte govore svojih drugova, postavljajte pitanja ako je potrebno.
Pozivaju se studijske grupe koje su u cijelosti riješile zadatke da dopune zadatke ostalih grupa. Uspješne grupe nagrađuju se povećanjem konačnog rezultata za jednu jedinicu.
Prva grupa:
Primjenjujemo formulu:
I
bez korijena
jer
Odgovor:
Druga grupa:
Primjenjujemo formulu:
Zamjena, tada jednadžba postaje
I
Odgovor: ;
Treća grupa:
Primjenjujemo formulu:
Pomnožimo jednadžbu s
Zamjena, tada jednadžba postaje
I
Odgovor:
Četvrta grupa:
Podijelite jednadžbu s
Zamjena, tada jednadžba postaje
I
Odgovor:
Peta grupa:
Zamjena, tada jednadžba postaje
I
Odgovor:; .
VII . Odraz. Sažimajući. Domaća zadaća.
Učitelj: Rezimirajmo vaš rad, povezujući rezultate vaših aktivnosti s vašim ciljem.
Da ponovimo koncepti:
“Trigonometrijske jednadžbe koje se transformacijom i promjenom varijable svode na kvadratne jednadžbe nazivamo trigonometrijskim jednadžbama koje se mogu svesti na kvadratne jednadžbe.”
Tip 1 – jednadžbe, algebarske u odnosu na jednu od trigonometrijskih funkcija:
- izravna supstitucija - zamjena ili;
- jednadžbe koje zahtijevaju pretvorbu pomoću formule trigonometrijske jedinice;
- jednadžbe koje zahtijevaju transformaciju prema formuli veze tgx i sa tgx :
Tip 2 – homogene jednadžbe u kojima svaki član ima isti stupanj: podijelite jednadžbu s, a zatim zamijenite.
Algoritam rješenja:
1. Odredite vrstu jednadžbe. Ako je potrebno, preuredite jednadžbu tako da sadrži samo jednu trigonometrijsku funkciju.
Da biste to učinili, odaberite željenu formulu:
ili ili podijeliti na
2. Uvodi se zamjena (na primjer, sinx = t , cosx = t , tgx = t ).
3. Riješite kvadratnu jednadžbu.
4. Izvršena je obrnuta zamjena i riješena najjednostavnija trigonometrijska jednadžba.
5. Zapiši odgovor.
Nastavnik ocjenjuje rad studenata i nastavnih grupa te objavljuje ocjene.
Učitelj: „Zapišite domaću zadaću: Bashmakov M.I. Matematika: udžbenik za osnovnu i srednju stručnu spremu. obrazovanje – M.; "Akademija", 2010. Str. 114-115 (prikaz, ostalo). U broju 10 riješite jednadžbe broj 4,5,7,9. str 118. Provjerite rezultat u editoru Microsoft Excel ».
Možete naručiti detaljno rješenje vašeg problema!!!
Jednadžba koja sadrži nepoznanicu ispod predznaka trigonometrijske funkcije (`sin x, cos x, tan x` ili `ctg x`) naziva se trigonometrijska jednadžba, a njihove formule ćemo dalje razmatrati.
Najjednostavnije jednadžbe su `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, gdje je `x` kut koji treba pronaći, `a` je bilo koji broj. Zapišimo formule korijena za svaku od njih.
1. Jednadžba `sin x=a`.
Za `|a|>1` nema rješenja.
Kada `|a| \leq 1` ima beskonačan broj rješenja.
Korijenska formula: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Jednadžba `cos x=a`
Za `|a|>1` - kao u slučaju sinusa, nema rješenja među realnim brojevima.
Kada `|a| \leq 1` ima beskonačan broj rješenja.
Korijenska formula: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Posebni slučajevi za sinus i kosinus u grafovima. 
3. Jednadžba `tg x=a`
Ima beskonačan broj rješenja za bilo koju vrijednost `a`.
Korijenska formula: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Jednadžba `ctg x=a`
Također ima beskonačan broj rješenja za bilo koju vrijednost `a`.
Korijenska formula: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Formule za korijene trigonometrijskih jednadžbi u tablici
Za sinus: 
Za kosinus: 
Za tangens i kotangens: 
Formule za rješavanje jednadžbi koje sadrže inverzne trigonometrijske funkcije:
Metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi
Rješavanje bilo koje trigonometrijske jednadžbe sastoji se od dvije faze:
- uz pomoć pretvaranja u najjednostavnije;
- riješiti najjednostavniju jednadžbu dobivenu korištenjem korijenskih formula i gore napisanih tablica.
Pogledajmo glavne metode rješenja koristeći primjere.
Algebarska metoda.
Ova metoda uključuje zamjenu varijable i njezinu zamjenu u jednakost.
Primjer. Riješite jednadžbu: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
izvršite zamjenu: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, zatim `2y^2-3y+1=0`,
nalazimo korijene: `y_1=1, y_2=1/2`, iz čega slijede dva slučaja:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Odgovor: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Faktorizacija.
Primjer. Riješite jednadžbu: `sin x+cos x=1`.
Riješenje. Pomaknimo sve članove jednakosti ulijevo: `sin x+cos x-1=0`. Koristeći , transformiramo i faktoriziramo lijevu stranu:
`sin x — 2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Odgovor: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Svođenje na homogenu jednadžbu
Prvo, trebate reducirati ovu trigonometrijsku jednadžbu na jedan od dva oblika:
`a sin x+b cos x=0` (homogena jednadžba prvog stupnja) ili `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogena jednadžba drugog stupnja).
Zatim podijelite oba dijela s `cos x \ne 0` - za prvi slučaj, i s `cos^2 x \ne 0` - za drugi. Dobivamo jednadžbe za `tg x`: `a tg x+b=0` i `a tg^2 x + b tg x +c =0`, koje je potrebno riješiti poznatim metodama.
Primjer. Riješite jednadžbu: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.
Riješenje. Zapišimo desnu stranu kao `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.
Ovo je homogena trigonometrijska jednadžba drugog stupnja, lijevu i desnu stranu podijelimo sa `cos^2 x \ne 0`, dobijemo:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`
`tg^2 x+tg x — 2=0`. Uvedimo zamjenu `tg x=t`, što rezultira `t^2 + t - 2=0`. Korijeni ove jednadžbe su "t_1=-2" i "t_2=1". Zatim:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \u Z`.
Odgovor. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \u Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \u Z`.
Prelazak na polukut
Primjer. Riješite jednadžbu: `11 sin x - 2 cos x = 10`.
Riješenje. Primijenimo formule dvostrukog kuta, što rezultira: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`
`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`
Primjenom gore opisane algebarske metode dobivamo:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \u Z`.
Odgovor. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Uvođenje pomoćnog kuta
U trigonometrijskoj jednadžbi `a sin x + b cos x =c`, gdje su a,b,c koeficijenti, a x varijabla, podijelite obje strane sa `sqrt (a^2+b^2)`:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.
Koeficijenti na lijevoj strani imaju svojstva sinusa i kosinusa, naime zbroj njihovih kvadrata jednak je 1 i njihovi moduli nisu veći od 1. Označimo ih na sljedeći način: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, tada:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Pogledajmo pobliže sljedeći primjer:
Primjer. Riješite jednadžbu: `3 sin x+4 cos x=2`.
Riješenje. Podijelimo obje strane jednakosti sa `sqrt (3^2+4^2)`, dobivamo:
`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`
`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.
Označimo `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Budući da je `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, tada uzimamo `\varphi=arcsin 4/5` kao pomoćni kut. Zatim našu jednakost zapišemo u obliku:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Primjenjujući formulu za zbroj kutova za sinus, svoju jednakost zapisujemo u sljedećem obliku:
`sin (x+\varphi)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Odgovor. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Razlomljene racionalne trigonometrijske jednadžbe
To su jednakosti s razlomcima čiji brojnici i nazivnici sadrže trigonometrijske funkcije.
Primjer. Riješite jednadžbu. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.
Riješenje. Pomnožite i podijelite desnu stranu jednakosti s "(1+cos x)". Kao rezultat dobivamo:
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`
S obzirom da nazivnik ne može biti jednak nuli, dobivamo `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.
Izjednačimo brojnik razlomka s nulom: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Zatim `sin x=0` ili `1-sin x=0`.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.
S obzirom da je ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, rješenja su `x=2\pi n, n \in Z` i `x=\pi /2+2\pi n` , `n \u Z`.
Odgovor. `x=2\pi n`, `n \u Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \u Z`.
Trigonometrija, a posebno trigonometrijske jednadžbe, koriste se u gotovo svim područjima geometrije, fizike i tehnike. Učenje počinje u 10. razredu, uvijek postoje zadaci za Jedinstveni državni ispit, pa pokušajte zapamtiti sve formule trigonometrijskih jednadžbi - sigurno će vam biti od koristi!
Međutim, ne morate ih čak ni pamtiti, glavna stvar je razumjeti suštinu i moći je izvesti. Nije tako teško kao što se čini. Uvjerite se i sami gledajući video.
