Reći ćemo da je prirodan broj ali više nego prirodni broj b(i odrediti a > b) ako postoji pozitivan cijeli broj k takav da je a = b + k.

Teorem 1. Jedan nije veći od bilo kojeg prirodnog broja.

Doista, uvjet 1 > a podrazumijeva 1 = a + k, što je nemoguće: za k = 1 dobivamo 1 = a / , što je u suprotnosti s prvim aksiomom prirodni brojevi; za k ¹ 1 nalazimo njegov prethodnik i opet dolazimo do iste kontradikcije.

Ovaj "veći" odnos je antirefleksivan(nije istina da je a > a) i tranzitivan(a > b /\ b > c => a > c), tj strogi odnos reda. Štoviše, ova relacija je relacija linearnog reda, odnosno za skup prirodnih brojeva vrijedi teorem o trihotomiji:

Teorem o trihotomiji: Za bilo koja dva prirodna broja, jedna i samo jedna od sljedeće tri tvrdnje je točna:

Dokaz: Prvo, pokazujemo da nijedna dva od tri uvjeta nisu istovremeno zadovoljena. Pretpostavimo da su zadovoljeni uvjeti 1 i 2. Tada

a = b + k, b = a + n => a = a + (n + k) => a > a,

što proturječi antirefleksivnosti "većeg" odnosa. Slično se utvrđuje nespojivost uvjeta 2 i 3, uvjeta 1 i 3.

Dokažimo sada da je jedan od tri uvjeta nužno istinit za sve brojeve a i b. Koristimo se matematičkom indukcijom na b. Za b = 1, ovisno o a: ili a = 1 = b, ili postoji prethodnik za a, tada

a = c / = c + 1 = 1 + c = b + c => a > b.

Dakle, za b = 1, tvrdnja teorema je točna. Postavimo induktivnu pretpostavku da teorem vrijedi za neki x, odnosno da je x usporediv s brojem a, odnosno moguće su tri opcije: ili a > x, ili x > a, ili x = a. Zatim dokazujemo da je x / također usporediv s a. U prvom slučaju, a > x, odnosno a = x + k. Ovisno o tome je li zadani k jednak 1 ili ne, dobivamo

a) a \u003d x + 1 \u003d x / (teorem vrijedi)

b) a \u003d x + c / \u003d x + c + 1 \u003d x + 1 + c \u003d x / + c => a > x /.

U drugom slučaju x > a, ali tada

x / \u003d (a + m) +1 \u003d a + (m + 1),

tj. x / > a. Slično, za x \u003d a, x / \u003d x + 1 \u003d a + 1, odnosno opet x /\u003e a. Teorem je potpuno dokazan.

Sada možemo uvesti pojmove<, £, ³.

a< b ó b >a;

a £ b o a< b \/ a = b

a ³ b ó a > b \/ a = b.

Svojstva monotonosti:

Za operaciju dodavanja:

1) a > b => a + c > b + c;

2) a + c > b + c => a > b;

3) a > b / \ c > d=> a + c > b + d.

<, £, ³.

Za operaciju množenja:

4) a > b => a×c > b×c;

5) Zakon redukcije: ac = bc => a = b

6) ac > bc => a > b;

7) a > b / \ c > d=> ac > bd.

Ista svojstva vrijede i za druge znakove.<, £, ³.

Navodimo kao primjer dokaze svojstava 4 i 5. Budući da je a > b, prema definiciji a = b + k, tada je a × c = (b + k) × c = b × c + k × c, što znači da a ×c > b×c, a svojstvo 4 je dokazano. Svojstvo 5 ćemo dokazati kontradikcijom. Neka je ac = bc, ali pretpostavimo da je a ≠ b, ali tada, prema teoremu o trihotomiji, ili a > b ili b > a, ali to znači, prema svojstvu 4, da ili ac > bc, ili bc > ac, što proturječi uvjetu (ac = bc).

Teorem diskretnosti. Prirodni broj se ne može umetnuti između dva susjedna prirodna broja:

(" a, x n N) nije istina da a< x < a /

Dokaz(metoda kontradikcije). Neka a< x < a / . Тогда х = а + k,

a / = x + n = a + k + n => a + 1 = a + k + n => 1 = k + n.

Posljednja jednakost je nemoguća, jer je u suprotnosti s teoremom da jedinica nije veća od bilo kojeg prirodnog broja.

Arhimedov Terem. Za sve prirodne brojeve a i b postoji prirodan broj n takav da je a< bn.

Dokažimo indukcijom na b. Za b = 1, n = a / . Postavljamo induktivnu pretpostavku da za b = k postoji traženi n, odnosno a< kn. Но тогда тем более a < k / n = kn + k. Теорема доказана.

Najmanji element skupa M nazvat ćemo element s n M takav da za bilo koji element m n M vrijedi sljedeća nejednakost: s ≤ m.

Teorem o najmanjem elementu. Svaki neprazan podskup skupa prirodnih brojeva ima najmanji element.

Dokaz: Ako je M podskup od N koji sadrži 1, tada će 1 biti samo željeni najmanji element. Ako 1 nije uključeno u skup M, onda razmotrite pomoćni skup A koji se sastoji od svih prirodnih brojeva manjih od svih prirodnih brojeva iz skupa M:

A = (a O N| (" m O M) a< m}.

Iz ove konstrukcije posebno proizlazi da skupovi A i M nemaju zajednički elementi. Osim toga, A nije prazan, budući da 1 Î A. B A također ima element b takav da je b / W A. Doista, kad ne bi postojao takav element, tada bi se aksiomom indukcije moglo dokazati da je A = N, ali tada bi M bilo prazno, što ne odgovara hipotezi teorema. Element b / = c bit će samo najmanji element u skupu M. Doista, c £ m za bilo koji m nM (da to nije slučaj, tada bi nejednakost c > m vrijedila za barem jedan pozitivan cijeli broj m, ali b n A , dakle b< m < c = b / , что противоречит теореме о дискретности). Кроме того, с не может быть строго меньше всех элементов множества М, иначе с Î А, что противоречит его выбору. Таким образом, с равен хотя бы одному элементу из М, а значит с Î М, то есть действительно с – наименьший элемент множества М. Теорема доказана.

Imajte na umu da svaki podskup skupa prirodnih brojeva nema najveći element, ali ako je ovaj podskup konačan, tada ima i najveći element. Vrijedi i obrnuto. Ako podskup skupa prirodnih brojeva ima najveći element, onda je taj podskup konačan. Moguće je dokazati još općenitiju tvrdnju: neprazan podskup skupa prirodnih brojeva omeđen je odozgo ako i samo ako je konačan (ima najveći element).

Zadaci za neovisno rješenje

broj 1.8. Dokažite da je relacija "veće od" antirefleksivna i tranzitivna na skupu prirodnih brojeva.

broj 1.9. Dokažite svojstva monotonosti 1, 2, 3, 6, 7 iz ovog odjeljka.

broj 1.10. Dokažite nejednakosti za sve prirodne n

a) 5n > 7n – 3;

b) 2n +2 ​​> 2n + 5;

Kao što znate, skup prirodnih brojeva može se urediti pomoću relacije "manje od". Ali pravila za konstruiranje aksiomatske teorije zahtijevaju da se taj odnos ne samo definira, nego i da se radi na temelju pojmova koji su već definirani u danoj teoriji. To se može učiniti definiranjem omjera "manje od" zbrajanjem.

Definicija. Broj a je manji od broja b (a< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.

Pod tim uvjetima se također kaže da broj b više a i napiši b > a.

Teorem 12. Za bilo koje prirodne brojeve a i b odvija se jedna i samo jedna od sljedeća tri odnosa: a = b, a > b, a < b.

Dokaz ovog teorema izostavljamo.. Iz ovog teorema slijedi da ako

a ¹ b, ili a< b, ili a > b oni. relacija "manje od" ima svojstvo povezanosti.

Teorem 13. Ako je a a< b i b< с. zatim a< с.

Dokaz. Ovaj teorem izražava svojstvo tranzitivnosti relacije "manje od".

Jer a< b i b< с. onda, prema definiciji relacije "manje od", postoje takvi prirodni brojevi do i što b = a + k i c = b + I. Ali onda c = (a + k)+ / i na temelju svojstva asocijativnosti zbrajanja dobivamo: c = a + (k +/). Jer k + I - prirodni broj, dakle, prema definiciji "manje od", a< с.

Teorem 14. Ako je a a< b, nije istina da b< а. Dokaz. Ovaj teorem izražava svojstvo antisimetrija"manje" odnos.

Prvo dokažimo to za bilo koji prirodan broj a ne ti-!>! ■ )njezin stav a< a. Pretpostavimo suprotno, tj. što a< а javlja se. Zatim, prema definiciji relacije "manje od", postoji takav prirodan broj S,što a+ S= a, a to je u suprotnosti s teoremom 6.

Dokažimo sada da ako a< b, onda to nije istina b < a. Pretpostavimo suprotno, tj. što ako a< b , onda b< а izvedena. Ali iz ovih jednakosti, prema teoremu 12, imamo a< а, što je nemoguće.

Budući da je relacija “manje od” koju smo definirali antisimetrična i tranzitivna i ima svojstvo povezanosti, to je odnos linearnog reda i skup prirodnih brojeva linearno uređeni skup.

Iz definicije "manje od" i njegovih svojstava mogu se zaključiti poznata svojstva skupa prirodnih brojeva.

Teorem 15. Od svih prirodnih brojeva, jedan je najmanji broj, t.j. ja< а для любого натурального числа a¹1.

Dokaz. Neka a - bilo koji prirodni broj. Tada su moguća dva slučaja: a = 1 i a ¹ 1. Ako a = 1, onda postoji prirodan broj b, slijedi a: a \u003d b " \u003d b + I = 1 + b, tj. prema definiciji "manje od", 1< a. Stoga je svaki prirodni broj jednak 1 ili veći od 1. Ili, jedan je najmanji prirodni broj.

Relacija "manje od" povezana je sa zbrajanjem i množenjem brojeva svojstvima monotonosti.

Teorem 16.

a = b => a + c = b + c i a c = b c;

a< b =>a + c< b + с и ас < bс;

a > b => a + c > b + c i ac > bc.

Dokaz. 1) Valjanost ove tvrdnje proizlazi iz jedinstvenosti zbrajanja i množenja.

2) Ako a< b, onda postoji prirodan broj k,što a + k = b.
Zatim b+ c = (a + k) + c = a + (k + c) = a + (c+ do)= (a + c) + k. Jednakost b+ c = (a + c) + k znači da a + c< b + S.

Na isti način se dokazuje da a< b =>as< bс.

3) Dokaz je sličan.

Teorem 17(konverzno s teoremom 16).

1) a+ c = b + c ili ac ~ bc-Þ a = b

2) a + c< Ь + с ili as< prije KristaÞ a< Ь:

3) a + c > b+ sa ili ac > prÞ a > b.

Dokaz. Dokažimo, na primjer, to as< bс trebao bi a< b Pretpostavimo suprotno, tj. da zaključak teorema ne vrijedi. Onda ne može biti a = b. jer bi tada vrijedila jednakost ac = bc(Teorem 16); ne može biti a> b, jer bi onda ac > pr(Teorem!6). Stoga, prema teoremu 12, a< b.

Iz teorema 16 i 17 mogu se izvesti dobro poznata pravila za zbrajanje i množenje nejednadžbi po članu. Ispuštamo ih.

Teorem 18. Za bilo koje prirodne brojeve a i b; postoji prirodan broj n takav da n b> a.

Dokaz. Za bilo koga a postoji takav broj P, što n > a. Da biste to učinili, dovoljno je uzeti n = a + 1. Množenje pojma po član nejednakosti P> a i b> 1, dobivamo pb > a.

Razmatrana svojstva relacije "manje od" podrazumijevaju bitna obilježja skupa prirodnih brojeva, koje prikazujemo bez dokaza.

1. Ne za bilo koji prirodni broj a nema takvog prirodnog broja P,što a< п < а + 1. Ovo svojstvo se zove imovine
diskretnost skupovi prirodnih brojeva i brojevi a i a + 1 nazvao susjedni.

2. Svaki neprazan podskup prirodnih brojeva sadrži
najmanji broj.

3. Ako M- neprazan podskup skupa prirodnih brojeva
i postoji broj b, da za sve brojeve x iz M ne izvodi
jednakost x< b, zatim u mnoštvu M je najveći broj.

Ilustrirajmo svojstva 2 i 3 na primjeru. Neka M je skup dvoznamenkastih brojeva. Jer M je podskup prirodnih brojeva i za sve brojeve ovog skupa nejednakost x< 100, то в множестве M je najveći broj 99. Najmanji broj sadržan u zadanom skupu M, - broj 10.

Dakle, relacija "manje od" omogućila nam je da razmotrimo (i u nekim slučajevima dokažemo) značajan broj svojstava skupa prirodnih brojeva. Konkretno, linearno je uređena, diskretna, ima najmanji broj 1.

S omjerom "manje" ("veće") za prirodne brojeve mlađi učenici upoznaju se na samom početku obuke. I često se, uz njezino teoretsko tumačenje skupova, implicitno koristi definicija koju smo dali u okviru aksiomatske teorije. Na primjer, učenici mogu objasniti da je 9 > 7 jer je 9 7+2. Često i implicitno korištenje svojstava monotonosti zbrajanja i množenja. Na primjer, djeca objašnjavaju da je „6 + 2< 6 + 3, так как 2 < 3».

Vježbe

1 Zašto se skup prirodnih brojeva ne može poredati odnosom "odmah slijedi"?

Formulirajte definiciju odnosa a > b i dokazati da je tranzitivan i antisimetričan.

3. Dokaži da ako a, b, c su prirodni brojevi, onda:

a) a< b Þ ас < bс;

b) a+ S< b + su> a< Ь.

4. Koje teoreme o monotonosti zbrajanja i množenja mogu
koristiti mlađih školaraca, izvršavajući zadatak "Usporedi bez izvođenja izračuna":

a) 27 + 8 ... 27 + 18;

b) 27-8 ... 27-18.

5. Koja svojstva skupa prirodnih brojeva implicitno koriste mlađi učenici pri izvođenju sljedećih zadataka:

A) Zapiši brojeve koji su veći od 65 i manji od 75.

B) Imenuj prethodni i sljedeći broj u odnosu na broj 300 (800,609,999).

C) Koji je najmanji, a koji najveći troznamenkasti broj.

Oduzimanje

U aksiomatskoj konstrukciji teorije prirodnih brojeva oduzimanje se obično definira kao inverzna operacija zbrajanja.

Definicija. Oduzimanje prirodnih brojeva a i b je operacija koja zadovoljava uvjet: a - b \u003d c ako i samo ako je b + c \u003d a.

Broj a - b naziva se razlika između brojeva a i b, broj a- smanjenje, broj b- oduzeti.

Teorem 19. Razlika prirodnih brojeva a- b postoji ako i samo ako b< а.

Dokaz. Neka razlika a- b postoji. Zatim, prema definiciji razlike, postoji prirodan broj S,što b + c = a, a to znači da b< а.

Ako b< а, tada, prema definiciji relacije "manje od", postoji prirodan broj c takav da b + c = a. Zatim, prema definiciji razlike, c \u003d a - b, oni. razlika a - b postoji.

Teorem 20. Ako je razlika prirodnih brojeva a i b postoji, onda je jedinstven.

Dokaz. Pretpostavimo da postoje dvije različite vrijednosti razlike između brojeva a i b;: a - b= c₁ i a - b= c₂, i c₁ ¹ c₂ . Tada, po definiciji razlike, imamo: a = b + c₁, i a = b + c₂ : . Otuda slijedi da b+ c ₁ = b + c₂ : i na temelju teorema 17 zaključujemo, c₁ = c₂.. Došli smo do kontradikcije s pretpostavkom, što znači da je netočna, a ovaj teorem je istinit.

Na temelju definicije razlike prirodnih brojeva i uvjeta za njezino postojanje moguće je potkrijepiti poznata pravila za oduzimanje broja od zbroja i zbroja od broja.

Teorem 21. Neka a. b i S- cijeli brojevi.

što ako a > c, tada (a + b) - c = (a - c) + b.

b) Ako b > c. tada (a + b) - c - a + (b - c).

c) Ako a > c i b > c. tada možete koristiti bilo koju od ovih formula.
Dokaz. U slučaju a) razlika brojeva a i c postoji jer a > c. Označimo ga sa x: a - c \u003d x. gdje a = c + x. Ako je a (a+ b) - c = y. onda, prema definiciji razlike, a+ b = S+ na. Zamijenimo ovu jednakost umjesto a izraz c + x:(c + x) + b = c + y. Koristimo svojstvo asocijativnosti zbrajanja: c + (x + b) = c+ na. Ovu jednakost transformiramo na temelju svojstva monotonosti zbrajanja, dobivamo:

x + b = y..Zamjena x u ovoj jednadžbi s izrazom a - c, imat će (a - G) + b = y. Tako smo dokazali da ako a > c, tada (a + b) - c = (a - c) + b

Dokaz se provodi slično u slučaju b).

Dokazani teorem može se formulirati kao pravilo koje se lako pamti: da bi se oduzeo broj od zbroja, dovoljno je taj broj oduzeti od jednog člana zbroja i dobivenom rezultatu dodati drugi član.

Teorem 22. Neka a, b i c - cijeli brojevi. Ako je a a > b+ c, dakle a- (b + c) = (a - b) - c ili a - (b + c) \u003d (a - c) - b.

Dokaz ove teorije sličan je dokazu teorema 21.

Teorem 22 može se formulirati u pravilu, da bi se od broja oduzeo zbroj brojeva, dovoljno je od tog broja oduzeti sukcesivno svaki član jedan za drugim.

NA osnovno obrazovanje matematička definicija oduzimanja kao obrnutog zbrajanja, in opći pogled, u pravilu se ne daje, ali se stalno koristi, počevši od izvođenja operacija nad jednoznamenkastim brojevima. Učenici bi trebali biti svjesni da je oduzimanje povezano sa zbrajanjem i koristiti taj odnos pri računanju. Oduzimajući, na primjer, broj 16 od broja 40, učenici razmišljaju na sljedeći način: „Oduzmite broj 16 od 40 – što znači pronaći broj koji, kada se doda broju 16, daje 40; ovaj će broj biti 24, budući da je 24 + 16 = 40. Dakle. 40 - 16 = 24".

Pravila za oduzimanje broja od zbroja i zbroja od broja u osnovnom kolegiju matematike su teorijske osnove razne metode izračunavanja. Na primjer, vrijednost izraza (40 + 16) - 10 može se pronaći ne samo izračunavanjem zbroja u zagradama, a zatim oduzimanjem broja 10 od njega, već i na ovaj način;

a) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:

b) (40 + 16) - 10 = 40 + (16- 10) = 40 + 6 = 46.

Vježbe

1. Je li točno da se svaki prirodni broj dobiva od neposrednog sljedećeg oduzimanjem jedan?

2. Koja je osobitost logičke strukture Teorema 19? Može li se formulirati riječima "potrebno i dovoljno"?

3. Dokažite da:

što ako b > c, zatim (a + b) - c \u003d a + (b - c);

b) ako a > b + c, onda a - (b+ c) = (a - b) - c.

4. Da li je moguće, bez izvođenja proračuna, reći koji će izrazi biti jednaki:

a) (50 + 16) - 14; d) 50 + (16 -14 ),

b) (50 - 14) + 16; e) 50 - (16 - 14);
c) (50 - 14) - 16, f) (50 + 14) - 16.

a) 50 - (16 + 14); d) (50 - 14) + 16;

b) (50 - 16) + 14; e) (50 - 14) - 16;

c) (50 - 16) - 14; e) 50 - 16 - 14.

5. Koja svojstva oduzimanja su teorijska osnova sljedećih metoda računanja koje se proučavaju u početnom kolegiju matematike:

12 - 2-3 12 -5 = 7

b) 16-7 \u003d 16-6 - P;

c) 48 - 30 \u003d (40 + 8) - 30 \u003d 40 + 8 \u003d 18;

d) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.

6. Opišite moguće načine izračunavanja vrijednosti izraza oblika. a - b- S i ilustrirajte ih konkretnim primjerima.

7. Dokažite da za b< а a svaka prirodna c jednakost (a - b) c \u003d ac - bc.

Uputa. Dokaz se temelji na Aksiomu 4.

8. Odredite vrijednost izraza bez izvođenja pismenih izračuna. Obrazložite odgovore.

a) 7865 × 6 - 7865 × 5: b) 957 × 11 - 957; c) 12 × 36 - 7 × 36.

Podjela

U aksiomatskoj konstrukciji teorije prirodnih brojeva dijeljenje se obično definira kao inverzna operacija množenja.

Definicija. Dijeljenje prirodnih brojeva a i b je operacija koja zadovoljava uvjet: a: b = c ako i samo ako, do kada b× c = a.

Broj a:b pozvao privatni brojevima a i b, broj a djeljiv, broj b- razdjelnik.

Kao što je poznato, podjela na skup prirodnih brojeva ne postoji uvijek i ne postoji tako prikladan kriterij za postojanje kvocijenta kao što postoji za razliku. Postoji samo nužan uvjet za postojanje posebnog.

Teorem 23. Da bi postojao kvocijent dva prirodna broja a i b, potrebno je da b< а.

Dokaz. Neka je kvocijent prirodnih brojeva a i b postoji, tj. postoji prirodan broj c takav da bc = a. Budući da za bilo koji prirodni broj 1 vrijedi nejednakost 1 £ S, zatim, množenjem oba njegova dijela prirodnim brojem b, dobivamo b£ prije Krista. Ali prije Krista \u003d a, posljedično, b£ a.

Teorem 24. Ako je kvocijent prirodnih brojeva a i b postoji, onda je jedinstven.

Dokaz ovog teorema sličan je dokazu teorema o jedinstvenosti razlike prirodnih brojeva.

Na temelju definicije parcijalnih prirodnih brojeva i uvjeta za njegovo postojanje moguće je potkrijepiti poznata pravila dijeljenja zbroja (razlike, proizvoda) brojem.

Teorem 25. Ako brojevi a i b podijeljeno brojem S, zatim njihov zbroj a + b je djeljiv s c, a kvocijent dobiven dijeljenjem zbroja a+ b po broju S, jednak je zbroju kvocijenata dobivenih dijeljenjem a na S i b na S, tj. (a + b):c \u003d a: c + b:S.

Dokaz. Budući da je broj a podjeljeno sa S, onda postoji takav prirodan broj x = a; s tim a = cx. Slično, postoji prirodan broj y = b:S,što

b= su Ali onda a + b = cx+ su = - c(x + y). To znači da a + b je djeljiv s c, a kvocijent dobiven dijeljenjem zbroja a+ b broju c, jednako x + y, oni. sjekira + b: c.

Dokazani teorem može se formulirati kao pravilo za dijeljenje zbroja brojem: da bi se zbroj podijelio brojem, dovoljno je svaki član podijeliti s tim brojem i zbrojiti dobivene rezultate.

Teorem 26. Ako prirodni brojevi a i b podijeljeno brojem S i a > b onda razlika a - b je djeljiv s c, a kvocijent dobiven dijeljenjem razlike brojem c jednak je razlici kvocijenata dobivenih dijeljenjem a na S i b do c, tj. (a - b):c \u003d a:c - b:c.

Dokaz ovog teorema provodi se slično kao i dokaz prethodnog teorema.

Ovaj se teorem može formulirati kao pravilo za dijeljenje razlike brojem: za Da bi se razlika podijelila brojem, dovoljno je s tim brojem podijeliti minus i oduzeti, a od prvog kvocijenta oduzeti drugi.

Teorem 27. Ako je prirodan broj a je djeljiv prirodnim brojem c, tada za bilo koji prirodan broj b raditi ab dijeli se na str. U ovom slučaju, kvocijent dobiven dijeljenjem proizvoda ab na broj od , jednak je umnošku kvocijenta dobivenog dijeljenjem a na S, i brojevima b: (a × b):c - (a:c) × b.

Dokaz. Jer a podjeljeno sa S, onda postoji prirodan broj x takav da a:c= x, odakle a = cx. Množenjem obje strane jednadžbe sa b, dobivamo ab = (cx)b. Budući da je množenje asocijativno, onda (cx) b = c(x b). Odavde (a b): c \u003d x b \u003d (a: c) b. Teorem se može formulirati kao pravilo za dijeljenje proizvoda brojem: da bi se proizvod podijelio brojem, dovoljno je jedan od čimbenika podijeliti s tim brojem i rezultat pomnožiti s drugim faktorom.

U osnovnom matematičkom obrazovanju definicija dijeljenja kao operacije inverza množenja u pravilu se ne daje u općem obliku, ali se stalno koristi, počevši od prvih lekcija upoznavanja s dijeljenjem. Učenici bi trebali biti svjesni da je dijeljenje povezano s množenjem i koristiti taj odnos u izračunima. Prilikom dijeljenja, na primjer, 48 sa 16, učenici razmišljaju ovako: „Dijeljenje 48 sa 16 znači pronaći broj koji će, kada se pomnoži sa 16, biti 48; ovaj će broj biti 3, budući da je 16 × 3 = 48. Dakle, 48: 16 = 3.

Vježbe

1. Dokaži da:

a) ako je kvocijent prirodnih brojeva a i b postoji, onda je jedinstven;

b) ako su brojevi a i b dijele se na S i a > b zatim (a - b): c \u003d a: c - b: c.
2. Je li moguće tvrditi da su sve navedene jednakosti istinite:
a) 48:(2×4) = 48:2:4; b) 56:(2×7) = 56:7:2;

c) 850:170 = 850:10:17.

Koje je pravilo generalizacija ovih slučajeva? Formulirajte to i dokažite.

3. Koja svojstva dijeljenja su teorijska osnova
ispunjavanje sljedećih zadataka ponuđenih školarcima osnovna škola:

je li moguće, bez dijeljenja, reći koji će izrazi imati iste vrijednosti:

a) (40+ 8): 2; c) 48:3; e) (20+ 28): 2;

b) (30 + 16):3; d)(21+27):3; f) 48:2;

Jesu li tačne jednakosti:

a) 48:6:2 = 48:(6:2); b) 96:4:2 = 96:(4-2);

c) (40 - 28): 4 = 10-7?

4. Opišite moguće načine izračunavanja vrijednosti izraza
tip:

a) (a+ prije Krista; b) a:b: s; u) ( a × b): Sa .

Predložene metode ilustrirajte konkretnim primjerima.

5. Pronađite vrijednosti izraza na racionalan način; njihov
opravdati radnje:

a) (7 × 63):7; c) (15 × 18):(5× 6);

b) (3 × 4× 5): 15; d) (12 × 21): 14.

6. Obrazložite sljedeće metode dijeljenja dvoznamenkastim brojem:

a) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 = 50 + 3 = 53;

b) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 = 49;

c) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:

d) (560 × 32): 16 = 560 (32:16) = 560×2 = 1120.

7. Bez dijeljenja kutom, pronađite najracionalnije
privatni način; opravdati odabranu metodu:

a) 495:15; c) 455:7; e) 275:55;

6) 425:85; d) 225:9; e) 455:65.

Predavanje 34. Svojstva skupa cijelih nenegativnih brojeva

1. Skup cijelih nenegativnih brojeva. Svojstva skupa nenegativnih cijelih brojeva.

2. Pojam segmenta prirodnog niza brojeva i brojanje elemenata konačnog skupa. Redni i kvantitativni prirodni brojevi.

Vježbe

1.. Koristeći definiciju množenja, pronađite vrijednosti izraza:
a) 3 3; 6) 3 4; c) 4 3.

2. Zapišite distributivno svojstvo množenja s lijeve strane u odnosu na zbrajanje i dokažite ga. Koje su transformacije izraza moguće na njegovoj osnovi? Zašto je postalo potrebno razmotriti distributivnost lijevog i desnog množenja s obzirom na zbrajanje?

3. Dokazati svojstvo asocijativnosti množenja prirodnih brojeva. Koje su transformacije izraza moguće na njegovoj osnovi? Je li ovo svojstvo proučavano u osnovna škola?

4. Dokažite svojstvo komutativnosti množenja. Navedite primjere njegove uporabe u osnovnom kolegiju matematike.

5. Koja svojstva množenja se mogu koristiti za pronalaženje vrijednosti izraza:

a) 5 (10 + 4); 6)125 15 6; c) (8 379) 125?

6. Poznato je da je 37 3 = 111. Koristeći ovu jednakost izračunaj:

a) 37 18; 6) 185 12.

Opravdajte sve transformacije.

7. Odredite vrijednost izraza bez izvođenja pismenih izračuna. Obrazložite svoj odgovor:

a) 8962 8 + 8962 2; b) 63402 3 + 63402 97; c) 849 +849 9.

8 .. Koja svojstva množenja će koristiti učenici osnovnih škola pri rješavanju sljedećih zadataka:

Da li je moguće, bez izračunavanja, reći koji će izrazi imati iste vrijednosti:

a) 3 7 + 3 5; 6) 7 (5 + 3): c) (7 + 5) 3?

Jesu li tačne jednakosti:

a) 18 5 2 = 18 (5 2); c) 5 6 + 5 7 = (6 + 7) 5;

b) (3 10) 17 = 3 10 17; d) 8 (7 + 9) = 8 7 + 9 8?
Je li moguće, bez izvođenja izračuna, usporediti vrijednosti izraza:

a) 70 32 + 9 32 ... 79 30 + 79 2; 6) 87 70 + 87 8 ... 80 78 + 7 78?

Predavanje 33 Oduzimanje i dijeljenje nenegativnih cijelih brojeva

1. Redoslijed skupa prirodnih brojeva.

2. Definicija oduzimanja cjelobrojnih nenegativnih brojeva

3. Dijeljenje cjelobrojnih nenegativnih brojeva. Nemogućnost dijeljenja s nulom. Dijeljenje s ostatkom.

Kao što znate, skup prirodnih brojeva može se urediti pomoću relacije "manje od". Ali pravila za konstruiranje aksiomatske teorije zahtijevaju da se taj odnos ne samo definira, nego i da se radi na temelju pojmova koji su već definirani u danoj teoriji. To se može učiniti definiranjem omjera "manje od" zbrajanjem.

Definicija. Broj a je manji od broja b (a< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.

Pod tim uvjetima se također kaže da broj b više a i napiši b > a.

Teorem 12. Za bilo koje prirodne brojeve a i b odvija se jedna i samo jedna od sljedeća tri odnosa: a = b, a > b, a < b.

Dokaz ovog teorema izostavljamo.. Iz ovog teorema slijedi da ako

a ¹ b, ili a< b, ili a > b oni. relacija "manje od" ima svojstvo povezanosti.

Teorem 13. Ako je a a< b i b< с. zatim a< с.

Dokaz. Ovaj teorem izražava svojstvo tranzitivnosti relacije "manje od".

Jer a< b i b< с. onda, prema definiciji relacije "manje od", postoje takvi prirodni brojevi do i što b = a + k i c = b + I. Ali onda c = (a + k)+ / i na temelju svojstva asocijativnosti zbrajanja dobivamo: c = a + (k +/). Jer k + I - prirodni broj, dakle, prema definiciji "manje od", a< с.

Teorem 14. Ako je a a< b, nije istina da b< а. Dokaz. Ovaj teorem izražava svojstvo antisimetrija"manje" odnos.

Prvo dokažimo to za bilo koji prirodan broj a ne ti-!>! ■ )njezin stav a< a. Pretpostavimo suprotno, tj. što a< а javlja se. Zatim, prema definiciji relacije "manje od", postoji takav prirodni broj S,što a+ S= a, a to je u suprotnosti s teoremom 6.

Dokažimo sada da ako a< b, onda to nije istina b < a. Pretpostavimo suprotno, tj. što ako a< b , onda b< а izvedena. Ali iz ovih jednakosti, prema teoremu 12, imamo a< а, što je nemoguće.

Budući da je relacija “manje od” koju smo definirali antisimetrična i tranzitivna i ima svojstvo povezanosti, to je odnos linearnog reda i skup prirodnih brojeva linearno uređeni skup.

Iz definicije "manje od" i njegovih svojstava mogu se zaključiti poznata svojstva skupa prirodnih brojeva.

Teorem 15. Od svih prirodnih brojeva, jedan je najmanji broj, t.j. ja< а для любого натурального числа a¹1.

Dokaz. Neka a - bilo koji prirodni broj. Tada su moguća dva slučaja: a = 1 i a ¹ 1. Ako a = 1, onda postoji prirodan broj b, slijedi a: a \u003d b " \u003d b + I = 1 + b, tj. prema definiciji "manje od", 1< a. Stoga je svaki prirodni broj jednak 1 ili veći od 1. Ili, jedan je najmanji prirodni broj.

Relacija "manje od" povezana je sa zbrajanjem i množenjem brojeva svojstvima monotonosti.

Naručeni setovi

Definicija 1. Mnogo M pozvao uredno ako postoji neki odnos između njegovih elemenata a b(" a prethodio b"), koji ima sljedeća svojstva: 1) između bilo koja dva elementa a i b postoji jedan i jedini od tri odnosa: a = b, a b, b a; 2) za bilo koja tri elementa a, b i c iz a b, b slijedi c a c.

Prazan skup se smatra uređenim.

Komentar. Znak = uvijek razumijemo u smislu identiteta, podudarnost elemenata. Snimanje a = b jednostavno znači da slova a i b označava isti element skupa M. Dakle, iz svojstva 1) proizlazi da između dva različita elementa vrijedi jedna i samo jedna od dvije relacije a b ili b a.

Ako je a a prethodio b, onda to kažu b slijedi a i napiši: b > a.

Stav a > b Lako je provjeriti ima li svojstva slična 1) i 2). Može se uzeti kao glavni, a zatim kroz njega definirati odnos a b.

Ako je u uređenom skupu M obrnuti uloge odnosa, tj. umjesto a b napisati a > b, i obrnuto, dobivamo novi naručeni skup M", za čiji se red kaže da je inverzan u odnosu na red M. Na primjer, za gornji redoslijed u skupu prirodnih brojeva, redoslijed će biti obrnut:

Dva uređena skupa sastavljena od istih elemenata, ali smještena različitim redoslijedom, smatraju se različitim. Stoga je kod specificiranja uređenog skupa u smislu njegovih elemenata potrebno specificirati njihov redoslijed. Pretpostavit ćemo da unos s lijeva na desno odgovara redoslijedu elemenata, a prethodni zapis ćemo zadržati vitičastim zagradama. Isti set može se naručiti na različite načine (ako sadrži najmanje dva elementa). Dakle, skup prirodnih brojeva može se poredati na uobičajen način ili obrnutim redoslijedom, neparni brojevi se mogu staviti ispred parnih, ili obrnuto, stavljajući oba u rastući ili silazni redoslijed. Nabavite naručene setove