Paralelogram je polovica umnožaka njegovih dijagonala. Područje paralelograma. Zadaci za samostalno rješavanje

Zadatak 4.

Jedna od dijagonala paralelograma duljine 4√6 čini s bazom kut od 60°, a druga dijagonala s istom bazom kut od 45°. Pronađite drugu dijagonalu.

Odluka.

1. AO = 2√6.

2. Primijenite teorem sinusa na trokut AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Odgovor: 12.

Zadatak 5.

Za paralelogram sa stranicama 5√2 i 7√2, manji kut između dijagonala jednak je manjem kutu paralelograma. Pronađite zbroj duljina dijagonala.

Odluka.

Neka su d 1, d 2 dijagonale paralelograma, a kut između dijagonala i manjeg kuta paralelograma φ.

1. Izbrojimo dva različita
načini svog područja.

S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f.

Dobivamo jednakost 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f ili

2 5√2 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Koristeći omjer između stranica i dijagonala paralelograma, zapisujemo jednakost

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Napravimo sustav:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Pomnožite drugu jednadžbu sustava s 2 i dodajte je prvoj.

Dobivamo (d 1 + d 2) 2 = 576. Stoga je Id 1 + d 2 I = 24.

Budući da su d 1, d 2 duljine dijagonala paralelograma, onda je d 1 + d 2 = 24.

Odgovor: 24.

Zadatak 6.

Stranice paralelograma su 4 i 6. Oštar kut između dijagonala je 45 o. Nađi površinu paralelograma.

Odluka.

1. Iz trokuta AOB, koristeći kosinusni teorem, zapisujemo odnos stranice paralelograma i dijagonala.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 \u003d (d 1 / 2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1 / 2) (d 2 / 2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64.

2. Slično zapisujemo relaciju za trokut AOD.

To uzimamo u obzir<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Dobivamo jednadžbu d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

3. Imamo sustav
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

Oduzimanjem prve od druge jednadžbe, dobivamo 2d 1 d 2 √2 = 80 ili

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 = 10.

Bilješka: U ovom i prethodnom zadatku nema potrebe rješavati sustav u potpunosti, s obzirom da nam je u ovom zadatku potreban umnožak dijagonala za izračunavanje površine.

Odgovor: 10.

Zadatak 7.

Površina paralelograma je 96, a njegove stranice su 8 i 15. Pronađite kvadrat manje dijagonale.

Odluka.

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Napravimo zamjenu u formuli.

Dobivamo 96 = 8 15 sin VAD. Stoga je sin VAD = 4/5.

2. Pronađite cos BAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 LOŠE = 1. cos 2 LOŠE = 9/25.

Prema uvjetu zadatka nalazimo duljinu manje dijagonale. Dijagonala BD bit će manja ako je kut BAD oštar. Tada je cos BAD = 3/5.

3. Iz trokuta ABD, koristeći kosinusni teorem, nalazimo kvadrat dijagonale BD.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD.

VD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145.

Odgovor: 145.

Imate li kakvih pitanja? Ne znate kako riješiti problem geometrije?
Za pomoć učitelja - registrirajte se.
Prva lekcija je besplatna!

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je poveznica na izvor.

Teorem 1. Površina trapeza jednaka je umnošku polovice zbroja njegovih baza i visine:

Teorem 2. Dijagonale trapeza dijele ga na četiri trokuta, od kojih su dva slična, a druga dva imaju istu površinu:

Teorem 3. Površina paralelograma jednaka je umnošku osnovice i visine spuštene na zadanu bazu, odnosno umnošku dviju stranica i sinusa kuta između njih:

Teorem 4. U paralelogramu, zbroj kvadrata dijagonala jednak je zbroju kvadrata njegovih stranica:

Teorem 5. Površina proizvoljnog konveksnog četverokuta jednaka je polovici umnoška njegovih dijagonala i sinusa kuta između njih:

Teorem 6. Površina četverokuta opisanog oko kružnice jednaka je umnošku poluperimetra ovog četverokuta i polumjera dane kružnice:

Teorem 7.Četverokut čiji su vrhovi sredine stranica proizvoljnog konveksnog četverokuta je paralelogram čija je površina jednaka polovici površine izvornog četverokuta:

Teorem 8. Ako su dijagonale konveksnog četverokuta međusobno okomite, tada su zbroji kvadrata suprotnih strana ovog četverokuta:

AB2 + CD2 = BC2 + AD2.

Članak je objavljen uz potporu tvrtke "DKROST". Tobogani za djecu, kućice, pješčanici i još mnogo toga - proizvodnja i prodaja igrališta na veliko i malo. Najniže cijene, popusti, kratki rokovi izrade, odlazak i konzultacija stručnjaka, osiguranje kvalitete. Možete saznati više o tvrtki, pogledati katalog proizvoda, cijene i kontakte na web stranici koja se nalazi na: http://dkrost.ru/.

Dokazi nekih teorema

Dokaz teorema 2. Neka je ABCD zadani trapez, AD i BC njegove baze, O sjecište dijagonala AC i BD ovog trapeza. Dokažimo da trokuti AOB i COD imaju istu površinu. Da bismo to učinili, ispustimo okomice BP i CQ iz točaka B i C na pravac AD. Tada je površina trokuta ABD

A površina trokuta ACD je

Budući da je BP = CQ, onda je S∆ABD = S∆ACD . Ali površina trokuta AOB je razlika između površina trokuta ABD i AOD, a površina trokuta COD je razlika između površina trokuta ACD i AOD. Stoga su površine trokuta AOB i COD jednake, što je trebalo dokazati.

Dokaz teorema 4. Neka je ABCD paralelogram, AB = CD = a, AD = BC = b,
AC = d1 , BD = d2 , ∠BAD = α, ∠ADC = 180° – α. Primijenimo kosinusni teorem na trokut ABD:

Primjenjujući sada kosinusni teorem na trokut ACD, dobivamo:

Zbrajajući pojam jednakosti, dobivamo to Q.E.D.

Dokaz teorema 5. Neka je ABCD proizvoljni konveksni četverokut, E presječna točka njegovih dijagonala, AE = a, BE = b,
CE = c, DE = d, ∠AEB = ∠CED = ϕ, ∠BEC =
= ∠AED = 180° – ϕ. Imamo:

Q.E.D.

Dokaz teorema 6. Neka je ABCD proizvoljan četverokut opisan oko kružnice, O središte te kružnice, OK, OL, OM i ON okomice ispuštene iz točke O na pravce AB, BC, CD i AD, redom. Imamo:

gdje je r polumjer kružnice, a p poluperimetar četverokuta ABCD.

Dokaz teorema 7. Neka je ABCD proizvoljan konveksni četverokut, K, L, M i N središnje točke stranica AB, BC, CD i AD. Budući da je KL srednja crta trokuta ABC, pravac KL je paralelan s pravcem AC i Slično, pravac MN je paralelna s pravcem AC i stoga je KLMN paralelogram. Razmotrimo trokut KBL. Njegova površina jednaka je četvrtini površine trokuta ABC. Površina trokuta MDN također je jednaka četvrtini površine trokuta ACD. Stoga,

Također,

To znači da

odakle slijedi da

Dokaz teorema 8. Neka je ABCD proizvoljan konveksni četverokut čije su dijagonale međusobno okomite, neka je E presječna točka njegovih dijagonala,
AE= a, BE = b, CE = c, DE = d. Primijenite Pitagorin teorem na trokute ABE i CDE:
AB2=AE2+BE2= a 2 + b2 ,
CD2 = CE2 + DE2 = c2 + d2,
stoga,
AB2+CD2= a 2 + b2 + c2 + d2 .
Primjenjujući sada Pitagorin teorem na trokute ADE i BCE, dobivamo:
AD2=AE2+DE2= a 2 + d2 ,
BC2 = BE2 + CE2 = b2 + c2 ,
odakle slijedi da
AD2+BC2= a 2 + b2 + c2 + d2 .
Dakle, AB2 + CD2 = AD2 + BC2 , što je trebalo dokazati.

Rješavanje problema

Zadatak 1. Trapez je opisan u blizini kružnice s baznim kutovima α i β. Nađite omjer površine trapeza i površine kruga.

Odluka. Neka je ABCD zadani trapez, AB i CD njegove baze, DK i CM okomice spuštene iz točaka C i D na pravac AB. Željeni omjer ne ovisi o polumjeru kružnice. Stoga pretpostavljamo da je polumjer 1. Tada je površina kružnice π, nalazimo površinu trapeza. Budući da je trokut ADK pravokutni trokut,

Slično, iz pravokutnog trokuta BCM nalazimo da Budući da se kružnica može upisati u dati trapez, onda su zbroji suprotnih strana jednaki:
AB + CD = AD + BC,
gdje nalazimo

Dakle, površina trapeza je

a željeni omjer je
Odgovor:

Zadatak 2. U konveksnom četverokutu ABCD, kut A je 90°, a kut C ne prelazi 90°. Okomite BE i DF ispuštene su iz vrhova B i D na dijagonalu AC. Poznato je da je AE = CF. Dokažite da je kut C pravi kut.

Dokaz. Kako je kut A 90°,
a kut C ne prelazi 90°, tada točke E i F leže na dijagonali AC. Bez gubitka općenitosti, možemo pretpostaviti da je AE< AF (в противном случае следует повторить все нижеследующие рассуждения с заменой точек B и D). Пусть ∠ABE = α,
∠EBC = β, ∠FDA = γ, ∠FDC = δ. Dovoljno nam je dokazati da je α + β + γ + δ = π. Kao

odakle dobivamo ono što je trebalo dokazati.

Zadatak 3. Opseg jednakokračnog trapeza opisanog oko kružnice je p. Nađite polumjer ove kružnice ako je poznato da je oštar kut na bazi trapeza α.
Odluka. Neka je ABCD zadani jednakokraki trapez s bazama AD i BC, neka je BH visina ovog trapeza iz vrha B.
Budući da se kružnica može upisati u dati trapez, onda

Stoga,

Iz pravokutnog trokuta ABH nalazimo,

Odgovor:

Zadatak 4. Zadan je trapez ABCD s bazama AD i BC. Dijagonale AC i BD sijeku se u točki O, a pravci AB i CD sijeku u točki K. Pravac KO siječe stranice BC i AD u točkama M odnosno N, a kut BAD je 30°. Poznato je da se u trapeze ABMN i NMCD može upisati kružnica. Pronađite omjer površina trokuta BKC i trapeza ABCD.

Odluka. Kao što znate, za proizvoljni trapez, linija koja povezuje točku presjeka dijagonala i točku presjeka produžetaka bočnih strana dijeli svaku od baza na pola. Dakle, BM = MC i AN = ND. Nadalje, budući da se kružnica može upisati u trapeze ABMN i NMCD, tada
BM + AN = AB + MN,
MC + ND = CD + MN.
Iz toga slijedi da je AB = CD, odnosno da je trapez ABCD jednakokračan. Traženi omjer površina ne ovisi o mjerilu, pa možemo pretpostaviti da je KN = x, KM = 1. Iz pravokutnih trokuta AKN i BKM dobivamo da Prepisivanjem već korištene relacije
BM + AN = AB + MN ⇔

Moramo izračunati omjer:

Ovdje smo koristili činjenicu da su površine trokuta AKD i BKC povezane kao kvadrati stranica KN i KM, tj. kao x2.

Odgovor:

Zadatak 5. U konveksnom četverokutu ABCD, točke E, F, H, G su sredine stranica AB, BC, CD, DA, a O je presječna točka odsječaka EH i FG. Poznato je da je EH = a, FG = b, Nađi duljine dijagonala četverokuta.

Odluka. Poznato je da ako serijski spojite sredine stranica proizvoljnog četverokuta, dobit ćete paralelogram. U našem slučaju EFHG je paralelogram, a O je presjek njegovih dijagonala. Zatim

Primijenite kosinusni teorem na trokut FOH:

Budući da je FH središnja crta trokuta BCD, onda

Slično, primjenom kosinusnog teorema na trokut EFO, dobivamo to

Odgovor:

Zadatak 6. Stranice trapeza su 3 i 5. Poznato je da se u trapez može upisati kružnica. Srednja linija trapeza dijeli ga na dva dijela, čiji je omjer površina jednak Nađi osnovice trapeza.

Odluka. Neka je ABCD zadani trapez, AB = 3 i CD = 5 - njegove stranice, točke K i M - sredine stranica AB i CD, redom. Neka je, radi određenosti, AD > BC, tada će površina trapeza AKMD biti veća od površine trapeza KBCM. Budući da je KM središnja linija trapeza ABCD, trapezi AKMD i KBCM imaju jednake visine. Budući da je površina trapeza jednaka umnošku polovice zbroja baza i visine, vrijedi sljedeća jednakost:

Nadalje, budući da se u trapez ABCD može upisati kružnica, tada je AD + BC = AB + CD = 8. Tada je KM = 4 kao srednja crta trapeza ABCD. Neka je BC = x, tada je AD = 8 - x. Imamo:
Dakle, BC = 1 i AD = 7.

Odgovor: 1 i 7.

Zadatak 7. Baza AB trapeza ABCD dvostruko je duža od baze CD i dvostruko duža od bočne stranice AD. Duljina dijagonale AC je a, a duljina bočne stranice BC jednaka je b. Pronađite površinu trapeza.

Odluka. Neka je E točka presjeka produžetaka stranica trapeza i CD = x, tada je AD = x, AB = 2x. Segment CD paralelan je s segmentom AB i dvostruko kraći, pa je CD središnjica trokuta ABE. Prema tome, CE = BC = b i DE = AD = x, odakle je AE = 2x. Dakle, trokut ABE je jednakokračan (AB = AE), a AC mu je medijan. Prema tome, AC je također visina ovog trokuta, i stoga

Budući da je trokut DEC sličan trokutu AEB s koeficijentom sličnosti, onda

Odgovor:

Zadatak 8. Dijagonale trapeza ABCD sijeku se u točki E. Nađite površinu trokuta BCE ako su duljine osnovica trapeza AB = 30, DC = 24, duljine stranica AD = 3 i kut DAB 60 °.

Odluka. Neka je DH visina trapeza. Iz trokuta ADH nalazimo da

Budući da je visina trokuta ABC, ispuštena iz vrha C, jednaka visini DH trapeza, imamo:

Odgovor:

Zadatak 9. U trapezu je srednja crta 4, a kutovi na jednoj od baza su 40° i 50°. Pronađite osnovice trapeza ako je segment koji spaja sredine baza jednak 1.

Odluka. Neka je ABCD zadani trapez, AB i CD njegove baze (AB< CD), M, N - середины AB и CD соответственно. Пусть также ∠ADC = 50°, ∠BCD = 40°. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, поэтому
AB + CD = 8. Produžimo stranice DA i CB do sjecišta u točki E. Razmotrimo trokut ABE, gdje je ∠EAB = 50°. ∠EBA = 40°,
dakle ∠AEB = 90°. Medijan EM ovog trokuta, povučen iz vrha pravog kuta, jednak je polovici hipotenuze: EM = AM. Neka je EM = x, tada je AM = x, DN = 4 – x. Prema uvjetu zadatka MN = 1, dakle,
EN = x + 1. Iz sličnosti trokuta AEM i DEN imamo:

To znači da je AB = 3 i CD = 5.

Odgovor: 3 i 5.

Zadatak 10. Konveksni četverokut ABCD opisan je oko kružnice sa središtem u točki O, dok je AO = OC = 1, BO = OD = 2. Nađi opseg četverokuta ABCD.

Odluka. Neka su K, L, M, N dodirne točke kružnice sa stranicama AB, BC, CD, DA, redom, r - polumjer kružnice. Budući da je tangenta na kružnicu okomita na polumjer povučen do točke dodira, trokuti AKO, BKO, BLO, CLO, CMO, DMO, DNO, ANO su pravokutni. Primjenjujući Pitagorin teorem na ove trokute, dobivamo to

Dakle, AB = BC = CD = DA, odnosno ABCD je romb. Dijagonale romba su okomite jedna na drugu, a točka njihova presjeka je središte upisane kružnice. Odavde lako nalazimo da je stranica romba jednaka i da je, prema tome, opseg romba jednak

Odgovor:

Zadaci za samostalno rješavanje

C-1. Jednakokračni trapez ABCD opisan je oko kružnice polumjera r. Neka su E i K dodirne točke ove kružnice sa stranicama trapeza. Kut između osnovice AB i stranice AD ​​trapeza je 60°. Dokažite da je EK paralelan s AB i pronađite površinu trapeza ABEK.
C-2. U trapezu su dijagonale 3 i 5, a segment koji povezuje sredine baza je 2. Nađite površinu trapeza.
C-3. Je li moguće opisati kružnicu oko četverokuta ABCD ako je ∠ADC = 30°, AB = 3, BC = 4, AC = 6?
C-4. U trapezu ABCD (AB je baza), vrijednosti kutova DAB, BCD, ADC, ABD i ADB tvore aritmetičku progresiju (redom kojim su napisane). Odredite udaljenost od vrha C do dijagonale BD ako je visina trapeza h.
C-5. Zadan je jednakokračni trapez u koji je upisana kružnica i oko kojega je opisana kružnica. Omjer visine trapeza i polumjera opisane kružnice je Nađite kutove trapeza.
C-6. Površina pravokutnika ABCD je 48, a duljina dijagonale je 10. Na ravnini u kojoj se nalazi pravokutnik odabrana je točka O tako da je OB = OD = 13. Nađite udaljenost od točke O na vrh od njega najudaljenijeg pravokutnika.
C-7. Opseg paralelograma ABCD je 26. Kut ABC je 120°. Polumjer kružnice upisane u trokut BCD je Nađite duljine stranica paralelograma ako je poznato da je AD > AB.
C-8.Četverokut ABCD upisan je u kružnicu sa središtem u točki O. Polumjer OA okomit je na polumjer OB, a polumjer OC okomit na polumjer OD. Duljina okomice spuštene iz točke C na pravac AD je 9. Duljina odsječka BC je polovica duljine segmenta AD. Pronađite površinu trokuta AOB.
C-9. U konveksnom četverokutu ABCD, vrhovi A i C su suprotni, a duljina stranice AB je 3. Kut ABC je kut BCD je Nađite duljinu stranice AD ​​ako znate da je površina četverokuta

C-10. Konveksni četverokut ABCD ima dijagonale AC i BD. Poznato je da
AD = 2, ∠ABD = ∠ACD = 90°, a udaljenost između točke presjeka simetrala trokuta ABD i točke presjeka simetrala trokuta ACD je Nađite duljinu stranice BC.
C-11. Neka je M presjek dijagonala konveksnog četverokuta ABCD, u kojem su stranice AB, AD i BC jednake. Nađite kut CMD ako je poznato da je DM = MC,
i ∠CAB ≠ ∠DBA.
C-12. U četverokutu ABCD znamo da je ∠A = 74°, ∠D = 120°. Nađite kut između simetrala kutova B i C.
C-13. U četverokut ABCD može se upisati kružnica. Neka je K točka presjeka njegovih dijagonala. Poznato je da su AB > BC > KC, a opseg i površina trokuta BKC su 14, odnosno 7. Nađite DC.
C-14. U trapezu opisanom oko kružnice poznato je da je BC AD, AB = CD, ∠BAD =
= 45°. Pronađite AB ako je površina trapeza ABCD 10.
C-15. U trapezu ABCD s bazama AB i CD poznato je da ∠CAB = 2∠DBA. Pronađite površinu trapeza.
C-16. U paralelogramu ABCD znamo da je AC = a, ∠CAB = 60°. Nađi površinu paralelograma.
S-17. U četverokutu ABCD, dijagonale AC i BD sijeku se u točki K. Točke L i M su sredine stranica BC i AD. Odsječak LM sadrži točku K. Četverokut ABCD je takav da se u njega može upisati kružnica. Pronađite polumjer ove kružnice ako je AB=3 i LK:KM=1:3.
C-18. Konveksni četverokut ABCD ima dijagonale AC i BD. U ovom slučaju, ∠BAC =
= ∠BDC, a površina kružnice opisane oko trokuta BDC je
a) Pronađite polumjer kružnice opisane oko trokuta ABC.
b) Znajući da je BC = 3, AC = 4, ∠BAD = 90°, pronađite površinu četverokuta ABCD.

Bilješka. Ovo je dio lekcije s problemima iz geometrije (paralelogramski dio). Ako trebate riješiti problem iz geometrije, kojeg ovdje nema - pišite o tome na forumu. Za označavanje akcije vađenja kvadratnog korijena u rješavanju problema koristi se simbol √ ili sqrt (), a radikalni izraz je naveden u zagradama.

Teorijsko gradivo

Objašnjenja formula za pronalaženje površine paralelograma:

1. Površina paralelograma jednaka je umnošku duljine jedne od njegovih stranica i visine na toj strani.
2. Površina paralelograma jednaka je umnošku njegovih dviju susjednih stranica i sinusa kuta između njih
3. Površina paralelograma jednaka je polovici umnoška njegovih dijagonala i sinusa kuta između njih

Problemi za pronalaženje površine paralelograma

Odluka.
Manju visinu paralelograma ABCD, spuštenu iz točke B na veću bazu AD, označimo kao BK.
Nađi vrijednost kateta pravokutnog trokuta ABK kojeg čine manja visina, manja stranica i dio veće baze. Prema Pitagorinoj teoremi:

AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82 - 81
AK=1

Produžimo gornju bazu paralelograma BC i spustimo na nju visinu AN s donje baze. AN = BK kao stranice pravokutnika ANBK. U rezultirajućem pravokutnom trokutu ANC nalazimo krak NC.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 - 81
NC2 = √144
NC = 12

Sada pronađimo veću bazu BC paralelograma ABCD.
BC=NC-NB
Uzimamo u obzir da je NB = AK kao stranice pravokutnika, dakle
BC=12 - 1=11

Površina paralelograma jednaka je umnošku baze i visine ove baze.
S=ah
S=BC * BK
S=11*9=99

Odgovor: 99 cm2.

Zadatak

Odluka.
Spustimo još jednu okomitu DK na dijagonalu AC.
Prema tome, trokuti AOB i DKC, COB i AKD su parno podudarni. Jedna od stranica je suprotna strana paralelograma, jedan od kutova je pravi, jer je okomit na dijagonalu, a jedan od preostalih kutova je unutarnji križ koji leži za paralelne stranice paralelograma i sekante dijagonale.

Dakle, površina paralelograma je jednaka površini navedenih trokuta. tj
Sparal = 2S AOB +2S BOC

Površina pravokutnog trokuta je polovica proizvoda nogu. Gdje
S \u003d 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) \u003d 56 cm 2
Odgovor: 56 cm2.