Zbroj kutova n-ugla Teorem. Zbroj kutova konveksnog n-kuta je 180 o (n-2). Dokaz. Iz nekog vrha konveksnog n-kuta povlačimo sve njegove dijagonale. Tada će se n-kut razbiti na n-2 trokuta. U svakom trokutu zbroj kutova je 180 o, a ti kutovi čine kutove n-kuta. Stoga je zbroj kutova n-kuta 180 o (n-2).
Druga metoda dokaza Teorem. Zbroj kutova konveksnog n-kuta je 180 o (n-2). Dokaz 2. Neka je O neka unutarnja točka konveksnog n-kuta A 1 …A n. Spojite ga na vrhove ovog poligona. Tada će n-kut biti podijeljen na n trokuta. U svakom trokutu zbroj kutova je 180 o. Ovi kutovi čine kutove n-kuta i još 360 o. Stoga je zbroj kutova n-kuta 180 o (n-2).
Vježba 3 Dokažite da je zbroj vanjskih kutova konveksnog n-kuta 360 o. Dokaz. Vanjski kut konveksnog poligona je 180° minus odgovarajući unutarnji kut. Stoga je zbroj vanjskih kutova konveksnog n-kuta 180 o n minus zbroj unutarnjih kutova. Budući da je zbroj unutarnjih kutova konveksnog n-kuta 180 o (n-2), onda će zbroj vanjskih kutova biti 180 o n o (n-2) = 360 o.
4. vježba Koliki su kutovi pravilnog: a) trokuta; b) četverokut; c) peterokut; d) šesterokut; e) osmerokut; e) deseterokut; g) dvanaesterokut? Odgovor: a) 60 o; b) 90 o; c) 108 o; d) 120 o; e) 135 o; f) 144 o; g) 150 o.
Vježba 12* Što najveći broj oštri uglovi može imati konveksan n-kut? Riješenje. Budući da je zbroj vanjskih kutova konveksnog poligona 360 o, konveksni poligon ne može imati više od tri tupa kuta, dakle, ne može imati više od tri unutarnja oštra kuta. Odgovor. 3.
isprekidana linija
Definicija
isprekidana linija, ili kraće, isprekidana linija, naziva se konačan niz segmenata, tako da jedan od krajeva prvog segmenta služi kao kraj drugog, drugi kraj drugog segmenta služi kao kraj trećeg, i tako dalje. U ovom slučaju, susjedni segmenti ne leže na istoj pravoj liniji. Ti se segmenti nazivaju polilinijskim vezama.
Vrste izlomljenih linija
Izlomljena linija se zove zatvoreno ako se početak prvog segmenta podudara s krajem posljednjeg.
Prekinuta linija može se prekrižiti, dotaknuti se, nasloniti se na sebe. Ako nema takvih singulariteta, onda se takva izlomljena linija naziva jednostavan.
Poligoni
Definicija
Jednostavna zatvorena polilinija, zajedno s njome omeđenom dijelom ravnine, naziva se poligon.
Komentar
U svakom vrhu poligona njegove stranice definiraju neki kut poligona. Može biti manje od raspoređenog ili više od raspoređenog.
Vlasništvo
Svaki poligon ima kut manji od $180^\circ$.
Dokaz
Neka je zadan poligon $P$.
Nacrtajmo neku ravnu liniju koja je ne siječe. Pomicat ćemo ga paralelno sa stranicom poligona. U nekom trenutku, po prvi put dobivamo pravac $a$ koji ima barem jednu zajedničku točku s poligonom $P$. Poligon leži s jedne strane ove linije (štoviše, neke od njegovih točaka leže na pravoj $a$).
Red $a$ sadrži barem jedan vrh poligona. U njemu se konvergiraju njegove dvije strane, koje se nalaze na istoj strani pravca $a$ (uključujući slučaj kada jedna od njih leži na ovoj liniji). Dakle, kod ovog vrha kut je manji od razvijenog.
Definicija
Poligon se zove konveksan ako leži na jednoj strani svake linije koja sadrži njegovu stranu. Ako poligon nije konveksan, zove se nekonveksna.
Komentar
Konveksni poligon je sjecište poluravnina omeđenih linijama koje sadrže stranice poligona.
Svojstva konveksnog poligona
Konveksni poligon ima sve kutove manje od $180^\circ$.
Odsječak koji povezuje bilo koje dvije točke konveksnog poligona (posebno bilo koje njegove dijagonale) nalazi se u ovom poligonu.
Dokaz
Dokažimo prvo svojstvo
Uzmite bilo koji kut $A$ konveksnog poligona $P$ i njegovu stranu $a$ koja dolazi iz vrha $A$. Neka je $l$ pravac sa stranicom $a$. Budući da je poligon $P$ konveksan, leži na jednoj strani pravca $l$. Stoga i njegov kut $A$ leži na istoj strani ove prave. Stoga je kut $A$ manji od ispravljenog kuta, odnosno manji od $180^\circ$.
Dokažimo drugo svojstvo
Uzmite bilo koje dvije točke $A$ i $B$ konveksnog poligona $P$. Poligon $P$ je sjecište nekoliko poluravnina. Segment $AB$ sadržan je u svakoj od ovih poluravnina. Stoga je također sadržan u poligonu $P$.
Definicija
Dijagonalni poligon naziva se segment koji povezuje njegove nesusjedne vrhove.
Teorem (o broju dijagonala n-kuta)
Broj dijagonala konveksnog $n$-kuta izračunava se po formuli $\dfrac(n(n-3))(2)$.
Dokaz
Iz svakog vrha n-kuta može se povući $n-3$ dijagonala (ne može se povući dijagonala na susjedne vrhove i na sam vrh). Ako prebrojimo sve takve moguće segmente, tada će postojati $n\cdot(n-3)$, budući da postoji $n$ vrhova. Ali svaka će se dijagonala računati dvaput. Dakle, broj dijagonala n-kuta je $\dfrac(n(n-3))(2)$.
Teorem (o zbroju kutova n-kuta)
Zbroj kutova konveksnog $n$-kuta je $180^\circ(n-2)$.
Dokaz
Razmotrimo $n$-kut $A_1A_2A_3\ldots A_n$.
Uzmite proizvoljnu točku $O$ unutar ovog poligona.
Zbroj kutova svih trokuta $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, \ldots, $A_(n-1)OA_n$ je $180^\circ\cdot n$.
S druge strane, ovaj zbroj je zbroj svih unutarnjih kutova poligona i ukupnog kuta $\angle O=\angle 1+\angle 2+\angle 3+\ldots=30^\circ$.
Tada je zbroj kutova razmatranog $n$-kuta jednak $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.
Posljedica
Zbroj kutova nekonveksnog $n$-kuta je $180^\circ(n-2)$.
Dokaz
Razmotrimo poligon $A_1A_2\ldots A_n$ čiji jedini kut $\angle A_2$ nije konveksan, odnosno $\angle A_2>180^\circ$.
Označimo zbroj njegovog ulova $S$.
Spojite točke $A_1A_3$ i razmotrite poligon $A_1A_3\ldots A_n$.
Zbroj kutova ovog poligona je:
$180^\circ\cdot(n-1-2)=S-\kut A_2+\kut 1+\kut 2=S-\kut A_2+180^\circ-\kut A_1A_2A_3=S+180^\circ-( \ugao A_1A_2A_3+\kut A_2)=S+180^\circ-360^\circ$.
Prema tome, $S=180^\circ\cdot(n-1-2)+180^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.
Ako izvorni poligon ima više od jednog nekonveksnog kuta, tada se gore opisana operacija može izvesti sa svakim takvim kutom, što će dovesti do dokazivanja tvrdnje.
Teorem (o zbroju vanjskih kutova konveksnog n-kuta)
Zbroj vanjskih kutova konveksnog $n$-kuta je $360^\circ$.
Dokaz
Vanjski kut na vrhu $A_1$ je $180^\circ-\angle A_1$.
Zbroj svih vanjskih kutova je:
$\sum\limits_(n)(180^\circ-\angle A_n)=n\cdot180^\circ - \sum\limits_(n)A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n -2)=360^\circ$.
Unutarnji kut poligona je kut koji čine dvije susjedne stranice poligona. Na primjer, ∠ ABC je unutarnji kut.
Vanjski kut poligona je kut koji čine jedna strana poligona i produžetak druge strane. Na primjer, ∠ LBC je vanjski kut.
Broj uglova poligona uvijek je jednak broju njegovih stranica. To se odnosi i na unutarnje i na vanjske kutove. Iako je moguće konstruirati dva jednaka vanjska kuta za svaki vrh poligona, uvijek se uzima u obzir samo jedan od njih. Stoga, da biste pronašli broj uglova bilo kojeg poligona, morate izbrojati broj njegovih strana.
zbroj unutarnjih kutova
Zbroj unutarnjih kutova konveksnog mnogokuta jednak je umnošku 180° i broja stranica bez dvije.
s = 2d(n - 2)
gdje s je zbroj kutova, 2 d- dva prava kuta (tj. 2 90 = 180°), i n- broj strana.
Prevučemo li s vrha A poligon A B C D E F sve moguće dijagonale, onda ga podijelimo na trokute, čiji će broj biti dva manji od stranica poligona:
Stoga će zbroj kutova poligona biti jednak zbroju kutova svih rezultirajućih trokuta. Budući da je zbroj kutova svakog trokuta 180° (2 d), tada će zbroj kutova svih trokuta biti jednak umnošku 2 d za njihov broj:
s = 2d(n- 2) = 180 4 = 720°
Iz ove formule slijedi da je zbroj unutarnjih kutova konstantna vrijednost a ovisi o broju stranica poligona.
Zbroj vanjskih kutova
Zbroj vanjskih kutova konveksnog poligona je 360° (ili 4 d).
s = 4d
gdje s je zbroj vanjskih kutova, 4 d- četiri prava kuta (tj. 4 90 = 360°).
Zbroj vanjskih i unutarnjih kutova na svakom vrhu poligona je 180° (2 d), budući da su susjedni kutovi. Na primjer, ∠ 1 i ∠ 2 :
Stoga, ako poligon ima n stranke (i n vrhova), zatim zbroj vanjskih i unutarnjih kutova za sve n vrhovi će biti jednaki 2 dn. Dakle, od ove sume 2 dn da bismo dobili samo zbroj vanjskih kutova, potrebno je od njega oduzeti zbroj unutarnjih kutova, odnosno 2 d(n - 2):
s = 2dn - 2d(n - 2) = 2dn - 2dn + 4d = 4d
Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.
Prikupljanje i korištenje osobnih podataka
Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju određene osobe ili kontaktiranje s njom.
Od vas se može tražiti da unesete svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.
Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.
Koje osobne podatke prikupljamo:
- Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite podatke, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu e-pošte itd.
Kako koristimo vaše osobne podatke:
- Prikupljeno kod nas osobne informacije omogućuje nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i komunikacije.
- Također možemo koristiti osobne podatke u interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
- Ako sudjelujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam date za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje trećim stranama
Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.
Iznimke:
- U slučaju da je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim redom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - otkriti svoje osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno iz sigurnosnih, provedbenih ili drugih razloga javnog interesa.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.
Zaštita osobnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke
Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i strogo provodimo praksu privatnosti.
