Primjeri rješavanja zadataka na temu “Slučajne varijable. Matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable. Primjer rješenja: Slučajna varijabla x dana je funkcijom

Koncepti matematičko očekivanje M(x) i varijanca D(x), uveden ranije za diskretnu slučajnu varijablu, može se proširiti na kontinuirane slučajne varijable.

· Matematičko očekivanje M(x) kontinuirana slučajna varijabla X određena je jednakošću:

uz uvjet da taj integral konvergira.

· Varijanca D(x) kontinuirana slučajna varijabla x određena je jednakošću:

· Standardna devijacijaσ( x) kontinuirana slučajna varijabla određena je jednakošću:

Sva svojstva matematičkog očekivanja i disperzije, o kojima smo ranije govorili za diskretne slučajne varijable, vrijede i za one kontinuirane.

Problem 5.3.Slučajna vrijednost x dano diferencijalna funkcija f(x):

Pronaći M(x), D(x), σ( x), i P(1 < x< 5).

Riješenje:

M(x)= =

+ = 8/9 0+9/6 4/6=31/18,

D(x)=

= = /

P 1 =

Zadaci

5.1. x

f(x), i

R(‒1/2 < x< 1/2).

5.2. Kontinuirana slučajna varijabla x dana distribucijskom funkcijom:

Pronađite funkciju diferencijalne distribucije f(x), i

R(2π /9< x< π /2).

5.3. Kontinuirana slučajna varijabla x

Odredi: a) broj S; b) M(x), D(x).

5.4. Kontinuirana slučajna varijabla x dano gustoćom distribucije:

Odredi: a) broj S; b) M(x), D(x).

5.5. x:

Pronađi) F(x) i izgraditi njegov graf; b) M(x), D(x), σ( x); c) vjerojatnost da u četiri neovisna pokusa vrijednost xće uzeti točno 2 puta vrijednost koja pripada intervalu (1;4).

5.6. Zadana je gustoća distribucije vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable x:

Pronađi) F(x) i izgraditi njegov graf; b) M(x), D(x), σ( x); c) vjerojatnost da u tri neovisna pokusa vrijednost xće uzeti točno 2 puta vrijednost koja pripada segmentu.

5.7. Funkcija f(x) daje se u obliku:

S x; b) funkcija distribucije F(x).

5.8. Funkcija f(x) daje se u obliku:

Odredite: a) vrijednost konstante S, pri čemu će funkcija biti gustoća vjerojatnosti neke slučajne varijable x; b) funkcija distribucije F(x).

5.9. Slučajna vrijednost x, koncentrirana na intervalu (3;7), određena je funkcijom distribucije F(x)= x poprimit će vrijednost: a) manju od 5, b) ne manju od 7.

5.10. Slučajna vrijednost x, sa središtem u intervalu (-1;4), specificirana je funkcijom distribucije F(x)= . Nađite vjerojatnost da slučajna varijabla x poprimit će vrijednost: a) manju od 2, b) manju od 4.

5.11.

Odredi: a) broj S; b) M(x); c) vjerojatnost R(X > M(x)).

5.12. Slučajna varijabla određena je funkcijom diferencijalne distribucije:

Pronađi) M(x); b) vjerojatnost R(X ≤ M(x)).

5.13. Rem distribucija dana je gustoćom vjerojatnosti:

Dokaži to f(x) je doista funkcija gustoće vjerojatnosti.

5.14. Zadana je gustoća distribucije vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable x:

Pronađite broj S.

5.15. Slučajna vrijednost x raspoređen prema Simpsonovom zakonu (istokračni trokut) na segmentu [-2;2] (sl. 5.4). Pronađite analitički izraz za gustoću vjerojatnosti f(x) na cijelom brojevnom pravcu.

Riža. 5.4 Sl. 5.5

5.16. Slučajna vrijednost x raspoređeno po zakonu" pravokutni trokut" u intervalu (0;4) (sl. 5.5). Pronađite analitički izraz za gustoću vjerojatnosti f(x) na cijelom brojevnom pravcu.

Odgovori

P (-1/2<x<1/2)=2/3.

P(2π /9<x< π /2)=1/2.

5.3. A) S=1/6, b) M(x)=3 , c) D(x)=26/81.

5.4. A) S=3/2, b) M(x)=3/5, c) D(x)=12/175.

b) M(x)= 3 , D(x)= 2/9, σ( x)= /3.

b) M(x)=2 , D(x)= 3 , σ( x)= 1,893.

5.7. a) c = ; b)

5.8. A) S=1/2; b)

5.9. a) 1/4; b) 0.

5.10. a) 3/5; b) 1.

5.11. A) S= 2; b) M(x)= 2; u 1- ul 2 2 ≈ 0,5185.

5.12. A) M(x)= π /2; b) 1/2

Nasumična varijabla Naziva se veličina koja, kao rezultat ispitivanja provedenih pod istim uvjetima, poprima različite, općenito govoreći, vrijednosti ovisno o slučajnim čimbenicima koji nisu uzeti u obzir. Primjeri slučajnih varijabli: broj bodova bačenih na kocki, broj neispravnih proizvoda u seriji, odstupanje točke udara projektila od mete, vrijeme rada uređaja itd. Postoje diskretni i kontinuirani slučajne varijable. Diskretna Poziva se slučajna varijabla čije moguće vrijednosti tvore prebrojiv skup, konačan ili beskonačan (odnosno skup čiji se elementi mogu numerirati).

Stalan Poziva se slučajna varijabla čije moguće vrijednosti kontinuirano ispunjavaju neki konačni ili beskonačni interval brojevne crte. Broj vrijednosti kontinuirane slučajne varijable uvijek je beskonačan.

Slučajne varijable označavat ćemo velikim slovima s kraja latinice: x, Y, ...; vrijednosti slučajne varijable – malim slovima: X, y,... . Tako, x Označava cijeli skup mogućih vrijednosti slučajne varijable, i X - Neka njegova specifična značenja.

Zakon raspodjele Diskretna slučajna varijabla je korespondencija navedena u bilo kojem obliku između mogućih vrijednosti slučajne varijable i njihovih vjerojatnosti.

Neka su moguće vrijednosti slučajne varijable x su . Kao rezultat testa, slučajna varijabla će poprimiti jednu od ovih vrijednosti, tj. Dogodit će se jedan događaj iz cijele skupine upareno nekompatibilnih događaja.

Neka su poznate i vjerojatnosti ovih događaja:

Zakon raspodjele slučajne varijable x Može se napisati u obliku tablice tzv Blizu distribucije Diskretna slučajna varijabla:

Za red distribucije vrijedi jednakost (uvjet normalizacije).

Primjer 3.1. Pronađite zakon raspodjele diskretne slučajne varijable x – koliko se puta glava pojavljuje u dva bacanja novčića.

Funkcija distribucije univerzalni je oblik za određivanje zakona distribucije diskretnih i kontinuiranih slučajnih varijabli.

Funkcija distribucije slučajne varijablex Funkcija se zove F(x), Definirano na cijelom brojevnom pravcu kako slijedi:

F(x)= P(x< х ),

To je F(x) postoji vjerojatnost da slučajna varijabla x Zauzet će vrijednost manju od x.

Funkcija raspodjele može se prikazati grafički. Za diskretnu slučajnu varijablu, graf ima stepenasti oblik. Konstruirajmo, na primjer, graf funkcije distribucije slučajne varijable zadan sljedećim nizom (slika 3.1):

Riža. 3.1. Graf funkcije distribucije diskretne slučajne varijable

Funkcijski skokovi se javljaju u točkama koje odgovaraju mogućim vrijednostima slučajne varijable i jednake su vjerojatnostima tih vrijednosti. Na prijelomnim točkama funkcija F(x) ostaje kontinuirano.

Graf funkcije distribucije kontinuirane slučajne varijable je kontinuirana krivulja.

Riža. 3.2. Graf funkcije distribucije kontinuirane slučajne varijable

Funkcija raspodjele ima sljedeća očita svojstva:

1) , 2) , 3) ,

4) u .

Taj događaj ćemo nazvati slučajnom varijablom x Poprima vrijednost X, Pripadnost nekom poluzatvorenom intervalu A£ x< B, Kada slučajna varijabla padne na interval [ A, B).

Teorem 3.1. Vjerojatnost da slučajna varijabla padne unutar intervala [ A, B) jednaka je prirastu funkcije distribucije na ovom intervalu:

Ako smanjite interval [ A, B), Uz pretpostavku da je , tada u formuli limita (3.1) umjesto vjerojatnosti pogađanja intervala daje vjerojatnost pogađanja točke, tj. vjerojatnost da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost A:

Ako funkcija raspodjele ima diskontinuitet u točki A, Tada je granica (3.2) jednaka vrijednosti skoka funkcije F(x) u točki x=A, To jest, vjerojatnost da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost A (Sl. 3.3, A). Ako je slučajna varijabla kontinuirana, tj. funkcija je kontinuirana F(x), tada je granica (3.2) jednaka nuli (sl. 3.3, B)

Dakle, vjerojatnost bilo koje određene vrijednosti kontinuirane slučajne varijable je nula. Međutim, to ne znači da je događaj nemoguć X=A, To samo govori da će relativna učestalost ovog događaja težiti nuli s neograničenim povećanjem broja testova.

A)
B)

Riža. 3.3. Skok funkcije distribucije

Za kontinuirane slučajne varijable, uz funkciju distribucije, koristi se još jedan oblik zadavanja zakona distribucije - gustoća distribucije.

Ako je vjerojatnost pada u interval , tada omjer karakterizira gustoću kojom je vjerojatnost raspoređena u blizini točke x. Granica ovog omjera na, tj. e. izvedenica, zove se Gustoća distribucije(gustoća distribucije vjerojatnosti, probability density) slučajne varijable x. Dogovorimo se da ćemo označiti gustoću distribucije

Dakle, gustoća distribucije karakterizira vjerojatnost da slučajna varijabla padne u blizinu točke X.

Grafikon gustoće distribucije naziva se Krive utrkeOgraničenja(Slika 3.4).

Riža. 3.4. Vrsta gustoće distribucije

Na temelju definicije i svojstava funkcije raspodjele F(x), lako je ustanoviti sljedeća svojstva gustoće distribucije F(x):

1) F(x)³0

Za kontinuiranu slučajnu varijablu, budući da je vjerojatnost pogađanja točke nula, vrijede sljedeće jednakosti:

Primjer 3.2. Slučajna vrijednost x Zadano gustoćom distribucije

Potreban:

A) Nađite vrijednost koeficijenta A;

B) pronaći funkciju distribucije;

C) pronađite vjerojatnost da slučajna varijabla padne na interval (0, ).

Funkcija distribucije ili gustoća distribucije u potpunosti opisuje slučajnu varijablu. Često, međutim, pri donošenju praktičnih odluka nije potrebno potpuno poznavanje zakona raspodjele, dovoljno je poznavati samo neke njegove karakteristike. U tu svrhu teorija vjerojatnosti koristi numeričke karakteristike slučajne varijable koje izražavaju različita svojstva zakona distribucije. Glavne numeričke karakteristike su MatematičkiOčekivanje, varijanca i standardna devijacija.

Očekivana vrijednost Karakterizira položaj slučajne varijable na osi brojeva. Ovo je neka prosječna vrijednost slučajne varijable oko koje su grupirane sve njene moguće vrijednosti.

Očekivanje slučajne varijable x Označeno simbolima M(x) ili T. Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable je zbroj uparenih proizvoda svih mogućih vrijednosti slučajne varijable i vjerojatnosti tih vrijednosti:

Matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable određeno je pomoću neprikladnog integrala:

Na temelju definicija lako je provjeriti valjanost sljedećih svojstava matematičkog očekivanja:

1. (matematičko očekivanje neslučajne vrijednosti S Jednak najneslučajnijoj vrijednosti).

2. Ako je ³0, onda je ³0.

4. Ako i Neovisna, To .

Primjer 3.3. Pronađite matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable zadane nizom distribucije:

Riješenje.

=0×0,2 + 1×0,4 + 2×0,3 + 3×0,1=1,3.

Primjer 3.4. Pronađite matematičko očekivanje slučajne varijable zadano gustoćom distribucije:

Riješenje.

Varijanca i standardna devijacija One su karakteristike disperzije slučajne varijable; karakteriziraju širenje njezinih mogućih vrijednosti u odnosu na matematičko očekivanje.

Varijanca D(x) Nasumična varijabla x Matematičko očekivanje kvadrata odstupanja slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja naziva se Za diskretnu slučajnu varijablu varijanca se izražava zbrojem:

(3.3)

A za kontinuirano – integralom

(3.4)

Varijanca ima dimenziju kvadrata slučajne varijable. Karakteristike disperzije Ista veličinaSti sa slučajnom varijablom, služi kao standardna devijacija.

Disperzijska svojstva:

1) – konstanta. Posebno,

Posebno,

Imajte na umu da se izračun varijance pomoću formule (3.5) često pokazuje praktičnijim od korištenja formule (3.3) ili (3.4).

Količina se zove Kovarijanca slučajne varijable.

Ako , zatim vrijednost

Nazvana Koeficijent korelacije slučajne varijable.

Može se pokazati da ako , tada su količine linearno ovisne: gdje

Imajte na umu da ako su nezavisni, onda

Primjer 3.5. Pronađite varijancu slučajne varijable zadane nizom distribucije iz primjera 1.

Riješenje. Da biste izračunali varijancu, morate znati matematičko očekivanje. Za datu slučajnu varijablu pronađeno je gore: M=1,3. Varijancu izračunavamo pomoću formule (3.5):

Primjer 3.6. Slučajna varijabla određena je gustoćom distribucije

Pronađite varijancu i standardnu devijaciju.

Riješenje. Prvo nalazimo matematičko očekivanje:

(kao integral neparne funkcije po simetričnom intervalu).

Sada izračunavamo varijancu i standardnu devijaciju:

1. Binomna distribucija. Slučajna varijabla jednaka broju “USPJEHA” u Bernoullijevoj shemi ima binomnu distribuciju: , .

Matematičko očekivanje slučajne varijable raspoređene prema binomnom zakonu jednako je

Varijanca ove distribucije je .

2. Poissonova distribucija ,

Očekivanje i varijanca slučajne varijable s Poissonovom distribucijom, .

Poissonova distribucija često se koristi kada imamo posla s brojem događaja koji se događaju u određenom vremenskom razdoblju ili prostoru, na primjer: broj automobila koji stignu u autopraonicu u jednom satu, broj zaustavljanja stroja tjedno, broj prometnih nesreća itd.

Slučajna varijabla ima Geometrijska raspodjela s parametrom ako uzima vrijednosti s vjerojatnostima . Slučajna varijabla s takvom distribucijom ima smisla Brojevi prvog uspješnog testa u Bernoullijevoj shemi s vjerojatnošću uspjeha. Tablica distribucije izgleda ovako:

3. Normalna distribucija. Normalni zakon distribucije vjerojatnosti zauzima posebno mjesto među ostalim zakonima distribucije. U teoriji vjerojatnosti dokazuje se da gustoća vjerojatnosti zbroja neovisnih odn Malo ovisan, jednoliko mali (tj. igrajući približno istu ulogu) članovi, s neograničenim povećanjem njihovog broja, približavaju se zakonu normalne distribucije onoliko koliko je potrebno, bez obzira na zakone distribucije koji ti članovi imaju (centralni granični teorem A. M. Ljapunova).

SLUČAJNE VARIJABLE

Primjer 2.1. Slučajna vrijednost x dana funkcijom raspodjele

Pronađite vjerojatnost da kao rezultat testa xće uzeti vrijednosti sadržane u intervalu (2,5; 3,6).

Riješenje: x u intervalu (2,5; 3,6) može se odrediti na dva načina:

Primjer 2.2. Na kojim vrijednostima parametara A I U funkcija F(x) = A + Be - x može biti funkcija distribucije za nenegativne vrijednosti slučajne varijable x.

Riješenje: Budući da su sve moguće vrijednosti slučajne varijable x pripadaju intervalu , tada kako bi funkcija bila distribucijska funkcija za x, svojstvo mora biti zadovoljeno:

Odgovor: .

Primjer 2.3. Slučajna varijabla X određena je funkcijom distribucije

Nađite vjerojatnost da će, kao rezultat četiri neovisna testa, vrijednost x točno 3 puta će uzeti vrijednost koja pripada intervalu (0,25;0,75).

Riješenje: Vjerojatnost pogađanja vrijednosti x u intervalu (0,25;0,75) nalazimo pomoću formule:

Primjer 2.4. Vjerojatnost da lopta jednim udarcem pogodi koš je 0,3. Napravite zakon raspodjele broja pogodaka s tri bacanja.

Riješenje: Slučajna vrijednost x– broj pogodaka u koš s tri udarca – može poprimiti sljedeće vrijednosti: 0, 1, 2, 3. Vjerojatnosti da x

Primjer 2.5. Dva strijelca ispaljuju po jedan hitac u metu. Vjerojatnost da ga prvi strijelac pogodi je 0,5, a drugi 0,4. Nacrtajte zakon raspodjele za broj pogodaka u metu.

Riješenje: Pronađimo zakon raspodjele diskretne slučajne varijable x– broj pogodaka u metu. Neka događaj bude prvi strijelac koji je pogodio metu, i neka drugi strijelac pogodi metu, odnosno njihovi promašaji.

Sastavimo zakon distribucije vjerojatnosti SV x:

Primjer 2.6. Ispituju se tri elementa koji rade neovisno jedan o drugom. Trajanje vremena (u satima) rada bez kvara elemenata ima funkciju gustoće raspodjele: za prvi: F 1 (t) =1-e- 0,1 t, za drugu: F 2 (t) = 1-e- 0,2 t, za treću: F 3 (t) =1-e- 0,3 t. Naći vjerojatnost da će u vremenskom intervalu od 0 do 5 sati: otkazati samo jedan element; samo dva elementa neće uspjeti; sva tri elementa neće uspjeti.

Riješenje: Upotrijebimo definiciju funkcije generiranja vjerojatnosti:

Vjerojatnost da u neovisnim ispitivanjima, od kojih je prva vjerojatnost događanja događaja A jednako , u drugom itd. događaju A pojavljuje se točno jednom, jednako koeficijentu u proširenju generirajuće funkcije u potencijama od . Nađimo vjerojatnosti kvara, odnosno ne kvara prvog, drugog i trećeg elementa u vremenskom intervalu od 0 do 5 sati:

Kreirajmo generirajuću funkciju:

Koeficijent at jednak je vjerojatnosti da događaj A pojavit će se točno tri puta, odnosno vjerojatnost kvara sva tri elementa; koeficijent at jednak je vjerojatnosti da će točno dva elementa otkazati; koeficijent at jednak je vjerojatnosti da će samo jedan element otkazati.

Primjer 2.7. S obzirom na gustoću vjerojatnosti f(x)nasumična varijabla x:

Nađite funkciju distribucije F(x).

Riješenje: Koristimo formulu:

Dakle, distribucijska funkcija izgleda ovako:

Primjer 2.8. Uređaj se sastoji od tri međusobno neovisna elementa. Vjerojatnost kvara svakog elementa u jednom eksperimentu je 0,1. Nacrtajte zakon raspodjele za broj neuspjelih elemenata u jednom eksperimentu.

Riješenje: Slučajna vrijednost x– broj elemenata koji nisu uspjeli u jednom eksperimentu – može poprimiti sljedeće vrijednosti: 0, 1, 2, 3. Vjerojatnosti da x uzima ove vrijednosti, nalazimo pomoću Bernoullijeve formule:

Dakle, dobivamo sljedeći zakon distribucije vjerojatnosti slučajne varijable x:

Primjer 2.9. U seriji od 6 dijelova nalaze se 4 standardna. Nasumično su odabrana 3 dijela. Napravite zakon raspodjele broja standardnih dijelova među odabranima.

Riješenje: Slučajna vrijednost x– broj standardnih dijelova među odabranima – može poprimiti sljedeće vrijednosti: 1, 2, 3 i ima hipergeometrijsku raspodjelu. Vjerojatnosti koje x

Gdje -- broj dijelova u seriji;

-- broj standardnih dijelova u seriji;

– broj odabranih dijelova;

-- broj standardnih dijelova među odabranima.

Primjer 2.10. Slučajna varijabla ima gustoću distribucije

i nisu poznati, ali , a i . Pronađite i.

Riješenje: U ovom slučaju, slučajna varijabla x ima trokutastu distribuciju (Simpsonovu distribuciju) na intervalu [ a, b]. Numeričke karakteristike x:

Stoga, . Rješavajući ovaj sustav dobivamo dva para vrijednosti: . Budući da prema uvjetima problema konačno imamo: .

Odgovor: .

Primjer 2.11. U prosjeku ispod 10% ugovora osiguravajuće društvo isplaćuje iznose osiguranja u vezi s nastupom osiguranog slučaja. Izračunajte matematičko očekivanje i disperziju broja takvih ugovora među četiri nasumično odabrana.

Riješenje: Matematičko očekivanje i varijanca mogu se pronaći pomoću formula:

Moguće vrijednosti SV (broj ugovora (od četiri) s nastupom osiguranog slučaja): 0, 1, 2, 3, 4.

Koristimo Bernoullijevu formulu za izračun vjerojatnosti različitog broja ugovora (od četiri) za koje su plaćeni iznosi osiguranja:

Serija raspodjele IC (broj ugovora s nastupom osiguranog slučaja) ima oblik:


	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Odgovor: , .

Primjer 2.12. Od pet ruža dvije su bijele. Nacrtajte zakon raspodjele slučajne varijable koja izražava broj bijelih ruža između dvije istovremeno uzete.

Riješenje: U izboru od dvije ruže, može ili biti nijedna bijela ruža ili može biti jedna ili dvije bijele ruže. Prema tome, slučajna varijabla x može poprimiti vrijednosti: 0, 1, 2. Vjerojatnosti koje x uzima ove vrijednosti, nalazimo ga pomoću formule:

Gdje -- broj ruža;

-- broj bijelih ruža;

– broj ruža uzetih u isto vrijeme;

-- broj bijelih ruža među uzetima.

Tada će zakon raspodjele slučajne varijable biti sljedeći:

Primjer 2.13. Od 15 sklopljenih jedinica, 6 zahtijeva dodatno podmazivanje. Nacrtajte zakon raspodjele za broj jedinica koje trebaju dodatno podmazivanje između pet nasumično odabranih od ukupnog broja.

Riješenje: Slučajna vrijednost x– broj jedinica koje zahtijevaju dodatno podmazivanje među pet odabranih – može poprimiti sljedeće vrijednosti: 0, 1, 2, 3, 4, 5 i ima hipergeometrijsku raspodjelu. Vjerojatnosti koje x uzima ove vrijednosti, nalazimo ga pomoću formule:

Gdje -- broj sklopljenih jedinica;

-- broj jedinica koje zahtijevaju dodatno podmazivanje;

– broj odabranih jedinica;

-- broj jedinica koje zahtijevaju dodatno podmazivanje među odabranima.

Tada će zakon raspodjele slučajne varijable biti sljedeći:

Primjer 2.14. Od 10 satova zaprimljenih na popravak, 7 zahtjeva generalno čišćenje mehanizma. Satovi nisu razvrstani po vrsti popravka. Majstor, želeći pronaći satove koje treba očistiti, pregledava ih jedan po jedan i, pronašavši takve satove, zaustavlja daljnje gledanje. Pronađite matematičko očekivanje i varijancu broja gledanih sati.

Riješenje: Slučajna vrijednost x– broj jedinica koje trebaju dodatno podmazivanje među pet odabranih – može poprimiti sljedeće vrijednosti: 1, 2, 3, 4. Vjerojatnosti da x uzima ove vrijednosti, nalazimo ga pomoću formule:

Tada će zakon raspodjele slučajne varijable biti sljedeći:

Sada izračunajmo numeričke karakteristike količine:

Odgovor: , .

Primjer 2.15. Pretplatnik je zaboravio posljednju znamenku telefonskog broja koji mu treba, ali se sjeća da je neparan. Nađite matematičko očekivanje i varijancu broja biranja telefonskog broja prije nego što dođe do željenog broja, ako nasumično bira zadnju znamenku i nakon toga ne bira biranu znamenku.

Riješenje: Slučajna varijabla može poprimiti sljedeće vrijednosti: . Budući da pretplatnik u budućnosti ne bira biranu znamenku, vjerojatnosti ovih vrijednosti su jednake.

Sastavimo niz distribucije slučajne varijable:


	0,2

Izračunajmo matematičko očekivanje i varijancu broja pokušaja biranja:

Odgovor: , .

Primjer 2.16. Vjerojatnost kvara tijekom testiranja pouzdanosti za svaki uređaj u seriji jednaka je str. Odredite matematičko očekivanje broja uređaja koji nisu uspjeli ako su testirani N uređaja.

Riješenje: Diskretna slučajna varijabla X je broj neispravnih uređaja u N neovisni testovi, u svakom od njih je vjerojatnost neuspjeha jednaka p, raspoređeni prema binomnom zakonu. Matematičko očekivanje binomne distribucije jednako je broju pokušaja pomnoženom s vjerojatnošću da će se događaj dogoditi u jednom pokušaju:

Primjer 2.17. Diskretna slučajna varijabla x uzima 3 moguće vrijednosti: s vjerojatnošću ; s vjerojatnošću i s vjerojatnošću. Pronađite i , znajući da je M( x) = 8.

Riješenje: Koristimo definicije matematičkog očekivanja i zakona distribucije diskretne slučajne varijable:

Pronašli smo: .

Primjer 2.18. Odjel tehničke kontrole provjerava standardnost proizvoda. Vjerojatnost da je proizvod standardan je 0,9. Svaka serija sadrži 5 proizvoda. Nađite matematičko očekivanje slučajne varijable x– broj serija, od kojih svaka sadrži točno 4 standardna proizvoda, ako je pregledu 50 serija.

Riješenje: U ovom slučaju, svi provedeni eksperimenti su neovisni, a vjerojatnosti da svaka serija sadrži točno 4 standardna proizvoda su iste, stoga se matematičko očekivanje može odrediti formulom:

gdje je broj stranaka;

Vjerojatnost da serija sadrži točno 4 standardna proizvoda.

Vjerojatnost nalazimo pomoću Bernoullijeve formule:

Odgovor: .

Primjer 2.19. Pronađite varijancu slučajne varijable x– broj pojavljivanja događaja A u dva neovisna pokusa, ako su vjerojatnosti pojave događaja u tim pokusima iste i zna se da M(x) = 0,9.

Riješenje: Problem se može riješiti na dva načina.

1) Moguće vrijednosti SV x: 0, 1, 2. Koristeći Bernoullijevu formulu, određujemo vjerojatnosti ovih događaja:

, , .

Zatim zakon raspodjele x ima oblik:

Iz definicije matematičkog očekivanja određujemo vjerojatnost:

Nađimo disperziju SV x:

2) Možete koristiti formulu:

Odgovor: .

Primjer 2.20. Očekivanje i standardna devijacija normalno distribuirane slučajne varijable x redom jednak 20 i 5. Odredite vjerojatnost da kao rezultat testa xće uzeti vrijednost sadržanu u intervalu (15; 25).

Riješenje: Vjerojatnost pogađanja normalne slučajne varijable x na odsječku od do izražava se kroz Laplaceovu funkciju:

Primjer 2.21. Dana funkcija:

Na kojoj vrijednosti parametra C ova funkcija je gustoća distribucije neke kontinuirane slučajne varijable x? Nađite matematičko očekivanje i varijancu slučajne varijable x.

Riješenje: Da bi funkcija bila gustoća distribucije neke slučajne varijable, mora biti nenegativna i mora zadovoljavati svojstvo:

Stoga:

Izračunajmo matematičko očekivanje pomoću formule:

Izračunajmo varijancu pomoću formule:

T je jednako str. Potrebno je pronaći matematičko očekivanje i varijancu ove slučajne varijable.

Riješenje: Zakon raspodjele diskretne slučajne varijable X - broj pojavljivanja događaja u neovisnim pokusima, u svakom od kojih je vjerojatnost događanja događaja jednaka , naziva se binom. Matematičko očekivanje binomne distribucije jednako je umnošku broja pokušaja i vjerojatnosti pojavljivanja događaja A u jednom pokušaju:

Primjer 2.25. U metu se ispaljuju tri neovisna hica. Vjerojatnost da pogodite svaki hitac je 0,25. Odredite standardnu devijaciju broja pogodaka s tri hica.

Riješenje: Budući da se izvode tri neovisna pokusa, a vjerojatnost pojavljivanja događaja A (pogodak) u svakom pokusu je ista, pretpostavit ćemo da je diskretna slučajna varijabla X - broj pogodaka na meti - raspoređena prema binomni zakon.

Varijanca binomne distribucije jednaka je umnošku broja pokušaja i vjerojatnosti događanja i nepojavljivanja događaja u jednom pokušaju:

Primjer 2.26. Prosječan broj klijenata koji posjete osiguravajuće društvo u 10 minuta je tri. Nađite vjerojatnost da će barem jedan klijent doći u sljedećih 5 minuta.

Prosječan broj klijenata koji dolaze za 5 minuta: . .

Primjer 2.29. Vrijeme čekanja aplikacije u redu čekanja procesora podliježe eksponencijalnom zakonu raspodjele s prosječnom vrijednošću od 20 sekundi. Nađite vjerojatnost da će sljedeći (slučajni) zahtjev čekati na procesoru više od 35 sekundi.

Riješenje: U ovom primjeru, matematičko očekivanje , a stopa neuspjeha jednaka je .

Tada je željena vjerojatnost:

Primjer 2.30. Grupa od 15 studenata održava sastanak u dvorani od 20 redova po 10 sjedećih mjesta. Svaki učenik nasumično zauzima mjesto u dvorani. Kolika je vjerojatnost da na sedmom mjestu u nizu neće biti više od tri osobe?

Riješenje:

Primjer 2.31.

Tada, prema klasičnoj definiciji vjerojatnosti:

Gdje -- broj dijelova u seriji;

-- broj nestandardnih dijelova u seriji;

– broj odabranih dijelova;

-- broj nestandardnih dijelova među odabranima.

Tada će zakon raspodjele slučajne varijable biti sljedeći.

Kao što je poznato, nasumična varijabla naziva se promjenjiva veličina koja može poprimiti određene vrijednosti ovisno o slučaju. Slučajne varijable označene su velikim slovima latinične abecede (X, Y, Z), a njihove vrijednosti označene su odgovarajućim malim slovima (x, y, z). Slučajne varijable se dijele na diskontinuirane (diskretne) i kontinuirane.

Diskretna slučajna varijabla je slučajna varijabla koja uzima samo konačan ili beskonačan (prebrojiv) skup vrijednosti s određenim vjerojatnostima različitim od nule.

Zakon distribucije diskretne slučajne varijable je funkcija koja povezuje vrijednosti slučajne varijable s njihovim odgovarajućim vjerojatnostima. Zakon raspodjele može se odrediti na jedan od sljedećih načina.

1 . Zakon raspodjele može se dati tablicom:

gdje je λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V) pomoću funkcija distribucije F(x) , koji za svaku vrijednost x određuje vjerojatnost da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost manju od x, tj. F(x) = P(X< x).

Svojstva funkcije F(x)

3 . Zakon raspodjele može se prikazati grafički – poligon distribucije (poligon) (vidi problem 3).

Imajte na umu da za rješavanje nekih problema nije potrebno poznavati zakon raspodjele. U nekim slučajevima dovoljno je znati jedan ili više brojeva koji odražavaju najvažnije značajke zakona raspodjele. To može biti broj koji ima značenje “prosječne vrijednosti” slučajne varijable ili broj koji pokazuje prosječnu veličinu odstupanja slučajne varijable od njezine srednje vrijednosti. Brojevi ove vrste nazivaju se numeričkim karakteristikama slučajne varijable.

Osnovne numeričke karakteristike diskretne slučajne varijable :

Matematičko očekivanje (prosječna vrijednost) diskretne slučajne varijable M(X)=Σ x i p i.
Za binomnu distribuciju M(X)=np, za Poissonovu distribuciju M(X)=λ
Disperzija diskretna slučajna varijabla D(X)=M2 ili D(X) = M(X 2)− 2. Razlika X–M(X) naziva se odstupanje slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja.
Za binomnu distribuciju D(X)=npq, za Poissonovu distribuciju D(X)=λ
Standardna devijacija (standardna devijacija) σ(X)=√D(X).

Primjeri rješavanja problema na temu "Zakon distribucije diskretne slučajne varijable"

Zadatak 1.

Izdano je 1000 srećki: njih 5 osvojit će 500 rubalja, 10 će osvojiti 100 rubalja, 20 će osvojiti 50 rubalja, 50 će osvojiti 10 rubalja. Odredite zakon distribucije vjerojatnosti slučajne varijable X - dobitak po listiću.

Riješenje. Prema uvjetima zadatka moguće su sljedeće vrijednosti slučajne varijable X: 0, 10, 50, 100 i 500.

Broj listića bez dobitka je 1000 – (5+10+20+50) = 915, tada je P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Slično, nalazimo sve druge vjerojatnosti: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X =500) = 5/1000=0,005. Prikazimo dobiveni zakon u obliku tablice:

Nađimo matematičko očekivanje vrijednosti X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Zadatak 3.

Uređaj se sastoji od tri međusobno neovisna elementa. Vjerojatnost kvara svakog elementa u jednom eksperimentu je 0,1. Napravite zakon raspodjele za broj neuspjelih elemenata u jednom eksperimentu, konstruirajte poligon raspodjele. Pronađite funkciju distribucije F(x) i nacrtajte je. Pronađite matematičko očekivanje, varijancu i standardnu devijaciju diskretne slučajne varijable.

Riješenje. 1. Diskretna slučajna varijabla X = (broj neuspješnih elemenata u jednom eksperimentu) ima sljedeće moguće vrijednosti: x 1 = 0 (nijedan element uređaja nije pokvaren), x 2 = 1 (jedan element nije uspio), x 3 = 2 ( dva elementa nisu uspjela) i x 4 =3 (tri elementa nisu uspjela).

Otkazi elemenata su neovisni jedni o drugima, vjerojatnosti kvara svakog elementa su jednake, stoga je primjenjiv Bernoullijeva formula . S obzirom da je prema uvjetu n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, određujemo vjerojatnosti vrijednosti:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 = 0,1 3 = 0,001;
Provjerite: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Dakle, željeni binomni zakon distribucije X ima oblik:

Nacrtamo moguće vrijednosti x i duž apscisne osi, a odgovarajuće vjerojatnosti p i duž ordinatne osi. Konstruirajmo točke M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Spajanjem ovih točaka ravnim segmentima dobivamo željeni razdiobeni poligon.

3. Nađimo funkciju distribucije F(x) = R(H

Za x ≤ 0 imamo F(x) = R(H<0) = 0;
za 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
za 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
za 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
za x > 3 bit će F(x) = 1, jer događaj je pouzdan.

Graf funkcije F(x)

4. Za binomnu distribuciju X:
- matematičko očekivanje M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- varijanca D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- standardna devijacija σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Vježba 1. Gustoća distribucije kontinuirane slučajne varijable X ima oblik:
Pronaći:
a) parametar A;
b) funkcija distribucije F(x) ;
c) vjerojatnost da slučajna varijabla X padne u interval;
d) matematičko očekivanje MX i varijanca DX.
Nacrtajte graf funkcija f(x) i F(x).

Zadatak 2. Pronađite varijancu slučajne varijable X zadane integralnom funkcijom.

Zadatak 3. Nađite matematičko očekivanje slučajne varijable X zadane funkcije distribucije.

Zadatak 4. Gustoća vjerojatnosti neke slučajne varijable dana je na sljedeći način: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Odredite koeficijent A, funkciju distribucije F(x), matematičko očekivanje i varijancu te vjerojatnost da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost u intervalu. Nacrtajte grafove f(x) i F(x).

Zadatak. Funkcija distribucije neke kontinuirane slučajne varijable dana je na sljedeći način:

Odredite parametre a i b, pronađite izraz za gustoću vjerojatnosti f(x), matematičko očekivanje i varijancu, te vjerojatnost da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost u intervalu. Nacrtajte grafove f(x) i F(x).

Nađimo funkciju gustoće distribucije kao derivaciju funkcije distribucije.
F'=f(x)=a
Znajući da ćemo pronaći parametar a:

ili 3a=1, odakle je a = 1/3
Parametar b nalazimo iz sljedećih svojstava:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 odakle je b = -1/3
Stoga funkcija distribucije ima oblik: F(x) = (x-1)/3

Očekivana vrijednost.

Disperzija.

1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Nađimo vjerojatnost da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost u intervalu
P(2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3

Primjer br. 1. Dana je gustoća distribucije vjerojatnosti f(x) kontinuirane slučajne varijable X. Potreban: