Kao što je poznato, nasumična varijabla naziva se promjenjiva veličina koja može poprimiti određene vrijednosti ovisno o slučaju. Slučajne varijable označene su velikim slovima latinične abecede (X, Y, Z), a njihove vrijednosti označene su odgovarajućim malim slovima (x, y, z). Slučajne varijable se dijele na diskontinuirane (diskretne) i kontinuirane.
Diskretna slučajna varijabla nazvao slučajna vrijednost, uzimajući samo konačan ili beskonačan (prebrojiv) skup vrijednosti s određenim vjerojatnostima različitim od nule.
Zakon distribucije diskretne slučajne varijable je funkcija koja povezuje vrijednosti slučajne varijable s njihovim odgovarajućim vjerojatnostima. Zakon raspodjele može se odrediti na jedan od sljedećih načina.
1 . Zakon raspodjele može se dati tablicom:
gdje je λ>0, k = 0, 1, 2, … .
V) pomoću funkcija distribucije F(x) , koji za svaku vrijednost x određuje vjerojatnost da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost manju od x, tj. F(x) = P(X< x).
Svojstva funkcije F(x)
3 . Zakon raspodjele može se prikazati grafički – poligon distribucije (poligon) (vidi problem 3).
Imajte na umu da za rješavanje nekih problema nije potrebno poznavati zakon raspodjele. U nekim slučajevima dovoljno je znati jedan ili više brojeva koji odražavaju najvažnije značajke zakona raspodjele. To može biti broj koji ima značenje “prosječne vrijednosti” slučajne varijable ili broj koji pokazuje prosječnu veličinu odstupanja slučajne varijable od njezine srednje vrijednosti. Brojevi ove vrste nazivaju se numeričkim karakteristikama slučajne varijable.
Osnovni, temeljni numeričke karakteristike diskretna slučajna varijabla :
- Matematičko očekivanje
(prosječna vrijednost) diskretne slučajne varijable M(X)=Σ x i p i.
Za binomnu distribuciju M(X)=np, za Poissonovu distribuciju M(X)=λ - Disperzija
diskretna slučajna varijabla D(X)=M2 ili D(X) = M(X 2)− 2. Razlika X–M(X) naziva se odstupanje slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja.
Za binomnu distribuciju D(X)=npq, za Poissonovu distribuciju D(X)=λ - Standardna devijacija (standardna devijacija) σ(X)=√D(X).
Primjeri rješavanja problema na temu "Zakon distribucije diskretne slučajne varijable"
Zadatak 1.
Izdano je 1000 srećki: njih 5 osvojit će 500 rubalja, 10 će osvojiti 100 rubalja, 20 će osvojiti 50 rubalja, 50 će osvojiti 10 rubalja. Odredite zakon distribucije vjerojatnosti slučajne varijable X - dobitak po listiću.
Riješenje. Prema uvjetima zadatka moguće su sljedeće vrijednosti slučajne varijable X: 0, 10, 50, 100 i 500.
Broj listića bez dobitka je 1000 – (5+10+20+50) = 915, tada je P(X=0) = 915/1000 = 0,915.
Slično, nalazimo sve druge vjerojatnosti: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X =500) = 5/1000=0,005. Prikazimo dobiveni zakon u obliku tablice:
Naći ćemo očekivana vrijednost vrijednosti X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+2 +3 +4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5
Zadatak 3.
Uređaj se sastoji od tri međusobno neovisna elementa. Vjerojatnost kvara svakog elementa u jednom eksperimentu je 0,1. Napravite zakon raspodjele za broj neuspjelih elemenata u jednom eksperimentu, konstruirajte poligon raspodjele. Pronađite funkciju distribucije F(x) i nacrtajte je. Pronađite matematičko očekivanje, varijancu i standardnu devijaciju diskretne slučajne varijable.
Riješenje. 1. Diskretna slučajna varijabla X = (broj neuspješnih elemenata u jednom eksperimentu) ima sljedeće moguće vrijednosti: x 1 = 0 (nijedan element uređaja nije pokvaren), x 2 = 1 (jedan element nije uspio), x 3 = 2 ( dva elementa nisu uspjela) i x 4 =3 (tri elementa nisu uspjela).
Otkazi elemenata su neovisni jedni o drugima, vjerojatnosti kvara svakog elementa su jednake, stoga je primjenjiv Bernoullijeva formula
. S obzirom da je prema uvjetu n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, određujemo vjerojatnosti vrijednosti:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 = 0,1 3 = 0,001;
Provjerite: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.
Dakle, željeni binomni zakon distribucije X ima oblik:
Nacrtamo moguće vrijednosti x i duž apscisne osi, a odgovarajuće vjerojatnosti p i duž ordinatne osi. Konstruirajmo točke M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Spajanjem ovih točaka ravnim segmentima dobivamo željeni razdiobeni poligon.
3. Nađimo funkciju distribucije F(x) = R(H
Za x ≤ 0 imamo F(x) = R(H<0) = 0;za 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
za 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
za 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
za x > 3 bit će F(x) = 1, jer događaj je pouzdan.
 |
Graf funkcije F(x)
4.
Za binomnu distribuciju X:
- matematičko očekivanje M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- varijanca D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- standardna devijacija σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.
Disperzija kontinuirana slučajna varijabla X, čije moguće vrijednosti pripadaju cijeloj osi Ox, određena je jednakošću: 
Svrha usluge. Mrežni kalkulator osmišljen je za rješavanje problema u kojima bilo gustoća distribucije f(x) ili funkcija distribucije F(x) (vidi primjer). Obično u takvim zadacima morate pronaći matematičko očekivanje, standardna devijacija, crtanje funkcija f(x) i F(x).
upute. Odaberite vrstu izvornih podataka: gustoća distribucije f(x) ili funkcija distribucije F(x).
Gustoća distribucije f(x) je dana: 
Funkcija distribucije F(x) dana je: 
Kontinuirana slučajna varijabla određena je gustoćom vjerojatnosti 
(Rayleighov zakon distribucije – koristi se u radiotehnici). Nađi M(x) , D(x) .
Poziva se slučajna varijabla X stalan
, ako je njegova distribucijska funkcija F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable koristi se za izračunavanje vjerojatnosti da slučajna varijabla padne u zadani interval:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Štoviše, za kontinuiranu slučajnu varijablu nije važno jesu li njezine granice uključene u ovaj interval ili ne:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Gustoća distribucije
kontinuirana slučajna varijabla naziva se funkcija
f(x)=F’(x) , izvod funkcije distribucije.
Svojstva gustoće distribucije
1. Gustoća distribucije slučajne varijable je nenegativna (f(x) ≥ 0) za sve vrijednosti x.2. Uvjet normalizacije:
Geometrijsko značenje uvjeta normalizacije: površina ispod krivulje gustoće raspodjele jednaka je jedinici.
3. Vjerojatnost da slučajna varijabla X padne u interval od α do β može se izračunati pomoću formule
Geometrijski, vjerojatnost da kontinuirana slučajna varijabla X padne u interval (α, β) jednaka je površini krivuljastog trapeza ispod krivulje gustoće distribucije na temelju ovog intervala.
4. Funkcija distribucije izražava se u smislu gustoće na sljedeći način:
Vrijednost gustoće distribucije u točki x nije jednaka vjerojatnosti prihvaćanja te vrijednosti; za kontinuiranu slučajnu varijablu možemo govoriti samo o vjerojatnosti pada u zadani interval. Neka (sl. 5.4). Pronađite analitički izraz za gustoću vjerojatnosti f(x) na cijelom brojevnom pravcu.
Riža. 5.4 Sl. 5.5
5.16. Slučajna vrijednost x raspoređeni prema zakonu “pravokutnog trokuta” u intervalu (0;4) (sl. 5.5). Pronađite analitički izraz za gustoću vjerojatnosti f(x) na cijelom brojevnom pravcu.
Odgovori
P (-1/2<x<1/2)=2/3.
P(2π /9<x< π /2)=1/2.
5.3. A) S=1/6, b) M(x)=3 , c) D(x)=26/81.
5.4. A) S=3/2, b) M(x)=3/5, c) D(x)=12/175.
b) M(x)= 3 , D(x)= 2/9, σ( x)= /3.
b) M(x)=2 , D(x)= 3 , σ( x)= 1,893.
5.7. a) c = ; b)
5.8. A) S=1/2; b)
5.9. a) 1/4; b) 0.
5.10. a) 3/5; b) 1.
5.11. A) S= 2; b) M(x)= 2; u 1- ul 2 2 ≈ 0,5185.
5.12. A) M(x)= π /2; b) 1/2
………………………………………………………
An - slučajna varijabla X je poprimila vrijednost An.
Očito je da je zbroj događaja A1 A2, . , An je pouzdan događaj, budući da slučajna varijabla mora uzeti barem jednu od vrijednosti x1, x2, xn.
Stoga je P (A1 È A2 È . È An) = 1.
Osim toga, događaji A1, A2, ., An su nekonzistentni, budući da slučajna varijabla tijekom jednog eksperimenta može uzeti samo jednu od vrijednosti x1, x2, ., xn. Koristeći teorem o zbrajanju za nekompatibilne događaje, dobivamo
P(A1)+P(A2)+ .+P(An)=1,
tj. p1+p2+ . +pn = 1, ili, ukratko,
Dakle, zbroj svih brojeva koji se nalaze u drugom retku tablice 1, koji daje zakon raspodjele slučajne varijable X, mora biti jednak jedinici.
PRIMJER 1. Neka je slučajna varijabla X broj bodova dobivenih bacanjem kocke. Pronađite zakon raspodjele (u obliku tablice).
Slučajna varijabla X uzima vrijednosti
x1=1, x2=2, … , x6=6
s vjerojatnostima
r1= r2 = … = r6 =
Zakon raspodjele dat je tablicom:
tablica 2
PRIMJER 2. Binomna distribucija. Razmotrimo slučajnu varijablu X - broj pojavljivanja događaja A u nizu neovisnih eksperimenata, u svakom od kojih se A pojavljuje s vjerojatnošću p.
Slučajna varijabla X očito može poprimiti jednu od sljedećih vrijednosti:
0, 1, 2, ., k, ., n.
Vjerojatnost događaja da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost jednaku k određena je Bernoullijevom formulom:
Rn(k)= gdje je q=1- r.
Ova distribucija slučajne varijable naziva se binomna distribucija ili Bernoullijeva distribucija. Bernoullijeva distribucija u potpunosti je specificirana s dva parametra: brojem n svih eksperimenata i vjerojatnošću p s kojom se događaj događa u svakom pojedinom eksperimentu.
Uvjet za binomnu distribuciju ima oblik:
Da bi se dokazala valjanost te jednakosti dovoljno je u identitetu
(q+px)n= 
stavi x=1.
PRIMJER 3. Poissonova distribucija. Ovo je naziv distribucije vjerojatnosti oblika:
R(k)= 
.
Određen je jednim jedinim (pozitivnim) parametrom a. Ako je ξ slučajna varijabla s Poissonovom distribucijom, tada je odgovarajući parametar a prosječna vrijednost te slučajne varijable:
a=Mξ=, gdje je M matematičko očekivanje.
Slučajna varijabla je:
PRIMJER 4. Eksponencijalna distribucija.
Ako je vrijeme slučajna varijabla, označimo je s τ, tako da je
gdje je 0<λ=const, t ³ 0, причем, если t=0, то P(t)=0.
Prosječna vrijednost slučajne varijable t je:
Gustoća raspodjele ima oblik:
4) Normalna raspodjela
Neka su nezavisne, identično raspoređene slučajne varijable i neka 
Ako su članovi dovoljno mali i broj n dovoljno velik, ako su za n à ∞ matematičko očekivanje slučajne varijable Mξ i varijanca Dξ jednaka Dξ=M(ξ–Mξ)2 takvi da su Mξ~a, Dξ ~σ2, dakle
- normalna ili Gaussova distribucija
.
5) Geometrijska raspodjela. Označimo s ξ broj pokušaja koji prethode početku prvog "uspjeha". Ako pretpostavimo da svaki test traje jedinicu vremena, tada možemo smatrati da je ξ vrijeme čekanja do prvog "uspjeha". Distribucija izgleda ovako:
R(k)=p(1-p)k, (k=0, 1, 2) p>0
6) Hipergeometrijska raspodjela.
Postoji N objekata, među kojima je n “posebnih objekata”. Među svim objektima, k-objekti su slučajno odabrani. Odredite vjerojatnost da među odabranim objektima ima jednakih r - “posebnih objekata”. Distribucija izgleda ovako:
7) Pascal distribucija.
Neka je x ukupan broj "neuspjeha" prije dolaska r-tog "uspjeha". Distribucija izgleda ovako:
Funkcija distribucije ima oblik:
Distribucija jednake vjerojatnosti implicira da slučajna varijabla x može uzeti bilo koju vrijednost na intervalu s jednakom vjerojatnošću. Gustoća distribucije izračunava se kao 
Grafikoni gustoće distribucije i funkcija distribucije prikazani su u nastavku.
Prije objašnjenja pojma “bijeli šum” potrebno je dati niz definicija.
Slučajna funkcija je funkcija neslučajnog argumenta t, koji je za svaku fiksnu vrijednost argumenta slučajna varijabla. Na primjer, ako je U slučajna varijabla, tada je funkcija X(t)=t2U slučajna.
Presjek slučajne funkcije je slučajna varijabla koja odgovara fiksnoj vrijednosti argumenta slučajne funkcije. Stoga se slučajna funkcija može smatrati skupom slučajnih varijabli (X(t)), ovisno o parametru t.
