Kolika je visina u pravokutnom trokutu. Pravokutni trokut. Detaljna teorija s primjerima. IV. Uz krak i oštar kut

Trokuti.

Osnovni koncepti.

Trokut je lik koji se sastoji od tri segmenta i tri točke koje ne leže na istoj pravoj liniji.

Segmenti se nazivaju stranke, a bodovi su vrhovi.

Zbroj kutova trokut je 180º.

Visina trokuta.

Visina trokuta- ovo je okomica povučena od vrha do suprotne strane.

U oštrokutnom trokutu visina je sadržana unutar trokuta (slika 1).

U pravokutnom trokutu kraci su visine trokuta (slika 2).

U tupokutnom trokutu visina se proteže izvan trokuta (slika 3).

Svojstva visine trokuta:

Simetrala trokuta.

Simetrala trokuta- ovo je segment koji dijeli kut vrha na pola i povezuje vrh s točkom na suprotnoj strani (slika 5).

Svojstva simetrale:

Medijan trokuta.

Medijan trokuta- ovo je segment koji povezuje vrh sa sredinom suprotne strane (slika 9a).

Duljina medijana može se izračunati pomoću formule: 2b 2 + 2c 2 - a 2 m a 2 = —————— 4 Gdje m a- sredina povučena u stranu A. U pravokutnom trokutu, medijan povučen na hipotenuzu jednak je polovici hipotenuze: c m c = — 2 Gdje m c- medijan povučen na hipotenuzu c(Sl.9c) Medijane trokuta sijeku se u jednoj točki (u središtu mase trokuta) i tom točkom ih dijeli u omjeru 2:1, računajući od vrha. Odnosno, segment od vrha do središta dvostruko je veći od segmenta od središta do stranice trokuta (slika 9c). Tri središnje strane trokuta dijele ga na šest jednakih trokuta.

Srednja linija trokuta.

Srednja linija trokuta- ovo je segment koji povezuje središnje točke njegovih dviju strana (slika 10).

Srednja crta trokuta paralelna je s trećom stranicom i jednaka je njezinoj polovici

Vanjski kut trokuta.

Vanjski kut trokut jednak zbroju dva nesusjedna unutarnji kutovi(slika 11).

Vanjski kut trokuta veći je od bilo kojeg nesusjednog kuta.

Pravokutni trokut.

Pravokutni trokut je trokut koji ima pravi kut (slika 12).

Stranica pravokutnog trokuta nasuprot pravog kuta naziva se hipotenuza.

Druge dvije strane su tzv noge.

Proporcionalni odsječci u pravokutnom trokutu.

1) U pravokutnom trokutu, nadmorska visina izvučena iz pravi kut, tvori tri slična trokuta: ABC, ACH i HCB (slika 14a). Prema tome, kutovi koje čini visina jednaki su kutovima A i B.

Slika 14a

Jednakokračan trokut.

Jednakokračan trokut je trokut čije su dvije stranice jednake (slika 13).

Te jednake strane nazivaju se strane, a treći - osnova trokut.

U jednakokračnom trokutu osnovni kutovi su jednaki. (U našem trokutu kut A jednak je kutu C).

U jednakokračnom trokutu, medijan povučen na osnovicu je i simetrala i visina trokuta.

Jednakostraničan trokut.

Jednakostranični trokut je trokut u kojem su sve stranice jednake (slika 14).

Svojstva jednakostraničnog trokuta:

Izvanredna svojstva trokuta.

Trokuti imaju jedinstvena svojstva koja će vam pomoći da uspješno riješite probleme koji uključuju te oblike. Neka od ovih svojstava navedena su gore. Ali mi ih opet ponavljamo, dodajući im još nekoliko prekrasnih značajki:

1) U pravokutnom trokutu s kutovima od 90º, 30º i 60º kateta b, koji leži nasuprot kutu od 30º, jednako je polovica hipotenuze. Nogaa više nogub√3 puta (Sl. 15 A). Na primjer, ako je kateta b 5, tada je hipotenuza c nužno jednak 10, a kat A jednako 5√3. 2) U pravokutnom jednakokračnom trokutu s kutovima od 90º, 45º i 45º hipotenuza je √2 puta veća od kraka (sl. 15. b). Na primjer, ako su katete 5, tada je hipotenuza 5√2. 3) Srednja linija trokuta jednaka je polovici paralelne stranice (sl. 15. S). Na primjer, ako je stranica trokuta 10, tada je srednja crta paralelna s njom 5. 4) U pravokutnom trokutu, medijan povučen na hipotenuzu jednak je polovici hipotenuze (slika 9c): m c= s/2. 5) Medijane trokuta, koje se sijeku u jednoj točki, dijele se ovom točkom u omjeru 2:1. Odnosno, odsječak od vrha do sjecišta medijana dvostruko je veći od segmenta od sjecišta medijana do stranice trokuta (slika 9c) 6) U pravokutnom trokutu središte hipotenuze je središte opisane kružnice (sl. 15. d).

Znakovi jednakosti trokuta.

Prvi znak jednakosti: ako su dvije stranice i kut između njih jednog trokuta jednaki dvjema stranicama i kutu između njih drugog trokuta, tada su takvi trokuti sukladni.

Drugi znak jednakosti: ako su stranica i njezini susjedni kutovi jednog trokuta jednaki stranici i njezinim susjednim kutovima drugog trokuta, tada su takvi trokuti sukladni.

Treći znak jednakosti: Ako su tri stranice jednog trokuta jednake trima stranicama drugog trokuta, tada su takvi trokuti sukladni.

Nejednakost trokuta.

U bilo kojem trokutu svaka je stranica manja od zbroja druge dvije stranice.

Pitagorin poučak.

U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta:

c 2 = a 2 + b 2 .

Površina trokuta.

1) Površina trokuta jednaka je polovici umnoška njegove stranice i visine povučene na ovu stranu:

Ah
S = ——
2

2) Površina trokuta jednaka je polovici umnoška bilo koje dvije njegove stranice i sinusa kuta između njih:

1
S = — AB · A.C. · grijeh A
2

Trokut opisan krugu.

Kružnicu nazivamo upisanom u trokut ako dodiruje sve njegove stranice (sl. 16 A).

Trokut upisan u krug.

Za trokut se kaže da je upisan u krug ako ga dodiruje svim svojim vrhovima (sl. 17. a).

Sinus, kosinus, tangens, kotangens šiljastog kuta pravokutnog trokuta (slika 18).

Sinus oštar kut x suprotan krak prema hipotenuzi.
Označava se na sljedeći način: grijehx.

Kosinus oštar kut x pravokutnog trokuta je omjer susjedni krak prema hipotenuzi.
Označava se na sljedeći način: cos x.

Tangens oštar kut x- ovo je omjer suprotne strane prema susjednoj strani.
Označava se na sljedeći način: tgx.

Kotangens oštar kut x- ovo je omjer susjedne strane prema suprotnoj strani.
Označava se na sljedeći način: ctgx.

Pravila:

Noga nasuprot kutu x, jednak umnošku hipotenuza na sin x:

b = c grijeh x

Noga uz kut x, jednak je umnošku hipotenuze i cos x:

a = c cos x

Noga nasuprot kutu x, jednak je umnošku drugog kraka s tg x:

b = a tg x

Noga uz kut x, jednak je umnošku drugog kraka s ctg x:

a = b· ctg x.

Za bilo koji oštar kut x:

grijeh (90° - x) = cos x

cos (90° - x) = grijeh x

Svojstvo: 1. U bilo kojem pravokutnom trokutu, visina uzeta iz pravog kuta (hipotenuzom) dijeli pravokutni trokut na tri slična trokuta.

Nekretnina: 2. Visina pravokutnog trokuta spuštena na hipotenuzu jednaka je prosjeku geometrijske projekcije kateta na hipotenuzu (ili geometrijsku sredinu onih segmenata na koje visina dijeli hipotenuzu).

Nekretnina: 3. Kateta je jednaka geometrijskoj sredini hipotenuze i projekciji te katete na hipotenuzu.

Nekretnina: 4. Kateta nasuprot kutu od 30 stupnjeva jednaka je polovici hipotenuze.

Formula 1.

Formula 2., gdje je hipotenuza; , noge.

Nekretnina: 5. U pravokutnom trokutu, medijan povučen na hipotenuzu jednak je njezinoj polovici i jednak je polumjeru opisane kružnice.

Svojstvo: 6. Odnos stranica i kutova pravokutnog trokuta:

44. Teorem kosinusa. Korolari: odnos dijagonala i stranica paralelograma; određivanje vrste trokuta; formula za izračunavanje duljine medijana trokuta; Izračunavanje kosinusa kuta trokuta.

Kraj posla -

Ova tema pripada odjeljku:

Klasa. Program kolokvija iz osnova planimetrije

Svojstvo susjednih kutova.. definicija dvaju kutova koji su susjedni ako im je jedna stranica zajednička, a druga dva tvore ravnu liniju..

Ako trebaš dodatni materijal na ovu temu, ili niste pronašli ono što ste tražili, preporučamo pretragu u našoj bazi radova:

Što ćemo učiniti s primljenim materijalom:

Ako vam je ovaj materijal bio koristan, možete ga spremiti na svoju stranicu na društvenim mrežama:

Pravokutni trokut- ovo je trokut u kojem je jedan od kutova ravan, odnosno jednak 90 stupnjeva.

• Stranica nasuprot pravog kuta naziva se hipotenuza (na slici označena kao c ili AB)
• Stranica uz pravi kut naziva se krak. Svaki pravokutni trokut ima dvije noge (na slici su označene kao a i b ili AC i BC)

Formule i svojstva pravokutnog trokuta

Oznake formule:

(vidi sliku gore)

a, b- noge pravokutnog trokuta

c- hipotenuza

α, β - oštri kutovi trokuta

S- kvadrat

h- visina spuštena od vrha pravog kuta do hipotenuze

m a a iz suprotnog ugla ( α )

m b- sredina povučena u stranu b iz suprotnog ugla ( β )

m c- sredina povučena u stranu c iz suprotnog ugla ( γ )

U pravokutni trokut bilo koja od kateta je manja od hipotenuze(Formule 1 i 2). Ovo svojstvo je posljedica Pitagorinog teorema.

Kosinus bilo kojeg oštrog kuta manje od jedan (Formule 3 i 4). Ovo svojstvo slijedi iz prethodnog. Budući da je bilo koja kateta manja od hipotenuze, omjer katete i hipotenuze uvijek je manji od jedan.

Kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta (Pitagorin poučak). (Formula 5). Ovo se svojstvo stalno koristi pri rješavanju problema.

Površina pravokutnog trokuta jednako polovici produkta krakova (Formula 6)

Zbroj kvadrata medijana na katete jednako je pet kvadrata medijane hipotenuze i pet kvadrata hipotenuze podijeljeno s četiri (Formula 7). Osim navedenog postoji Još 5 formula, stoga se preporučuje da pročitate i lekciju "Medijan pravokutnog trokuta", koja detaljnije opisuje svojstva medijana.

Visina pravokutnog trokuta jednak je umnošku kateta podijeljenih s hipotenuzom (Formula 8)

Kvadrati kateta obrnuto su proporcionalni kvadratu visine spuštene na hipotenuzu (formula 9). Taj identitet je također jedna od posljedica Pitagorinog teorema.

Duljina hipotenuze jednak promjeru (dva polumjera) opisane kružnice (Formula 10). Hipotenuza pravokutnog trokuta je promjer opisane kružnice. Ovo se svojstvo često koristi u rješavanju problema.

Upisani radijus V pravokutni trokut krug može se pronaći kao polovica izraza uključujući zbroj kateta ovog trokuta minus duljina hipotenuze. Ili kao umnožak kateta podijeljen zbrojem svih stranica (opsega) danog trokuta. (Formula 11)
Sinus kuta odnos prema suprotnosti ovaj kut krak prema hipotenuzi(po definiciji sinusa). (Formula 12). Ovo se svojstvo koristi pri rješavanju problema. Znajući veličine strana, možete pronaći kut koji oni tvore.

Kosinus kuta A (α, alfa) u pravokutnom trokutu bit će jednak stav susjedni ovaj kut krak prema hipotenuzi(po definiciji sinusa). (Formula 13)

(ABC) i njegova svojstva, što je prikazano na slici. Pravokutni trokut ima hipotenuzu - stranicu koja leži nasuprot pravog kuta.

Savjet 1: Kako pronaći visinu pravokutnog trokuta

Stranice koje tvore pravi kut zovu se katete. Slika prikazuje strane AD, DC i BD, DC- noge i strane AC I NE- hipotenuza.

Teorem 1. U pravokutnom trokutu s kutom od 30° krak nasuprot tom kutu lomit će polovicu hipotenuze.

hC

AB- hipotenuza;

OGLAS I DV

Trokut
Postoji teorem:
sustav komentara CACKLE

Rješenje: 1) Dijagonale bilo kojeg pravokutnika su jednake Točno 2) Ako trokut ima jedan oštar kut, onda je taj trokut šiljast. Nije istina. Vrste trokuta. Trokut se naziva šiljastim ako su mu sva tri kuta šiljasta, odnosno manja od 90° 3) Ako točka leži na.

Ili, u drugom unosu,

Prema Pitagorinoj teoremi

Koja je formula za visinu pravokutnog trokuta?

Visina pravokutnog trokuta

Visina pravokutnog trokuta povučena na hipotenuzu može se pronaći na ovaj ili onaj način ovisno o podacima u tekstu zadatka.

Ili, u drugom unosu,

Gdje su BK i KC projekcije kateta na hipotenuzu (odsječke na koje visina dijeli hipotenuzu).

Visina do hipotenuze može se pronaći kroz područje pravokutnog trokuta. Ako primijenimo formulu za pronalaženje površine trokuta

(polovica umnoška stranice i visine povučene na ovu stranicu) na hipotenuzu i visinu povučenu na hipotenuzu, dobivamo:

Odavde možemo pronaći visinu kao omjer dvostrukog područja trokuta i duljine hipotenuze:

Budući da je površina pravokutnog trokuta jednaka polovici proizvoda nogu:

Odnosno, duljina visine povučene na hipotenuzu jednaka je omjeru produkta kateta i hipotenuze. Ako duljine kateta označimo s a i b, duljinu hipotenuze s c, formula se može prepisati kao

Budući da je polumjer opisane kružnice pravokutnog trokuta jednak polovici hipotenuze, duljina visine može se izraziti preko kateta i polumjera opisane kružnice:

Budući da visina povučena na hipotenuzu tvori još dva pravokutna trokuta, njezinu duljinu možemo pronaći preko odnosa u pravokutnom trokutu.

Iz pravokutnog trokuta ABK

Iz pravokutnog trokuta ACK

Duljina visine pravokutnog trokuta može se izraziti preko duljina kateta. Jer

Prema Pitagorinoj teoremi

Ako kvadriramo obje strane jednadžbe:

Možete dobiti drugu formulu za povezivanje visine pravokutnog trokuta s njegovim katetama:

Koja je formula za visinu pravokutnog trokuta?

Pravokutni trokut. Prosječna razina.

Želite li testirati svoju snagu i saznati rezultat koliko ste spremni za Jedinstveni državni ispit ili Jedinstveni državni ispit?

Glavni teorem o pravokutnom trokutu je Pitagorin teorem.

Pitagorin poučak

Usput, sjećate li se dobro što su katete i hipotenuza? Ako nije baš dobro, pogledajte sliku - obnovite svoje znanje

Sasvim je moguće da ste već mnogo puta koristili Pitagorin teorem, ali jeste li se ikada zapitali zašto je takav teorem istinit? Kako to mogu dokazati? Učinimo kao stari Grci. Nacrtajmo kvadrat sa stranicom.

Vidite kako smo mu pametno podijelili stranice na duljine i!

Sada spojimo označene točke

Ovdje smo, međutim, primijetili nešto drugo, ali vi sami pogledajte crtež i razmislite zašto je to tako.

Kolika je površina većeg kvadrata? Točno, . Što je s manjim područjem? Sigurno, . Ostaje ukupna površina četiri ugla. Zamislimo da smo ih uzeli po dva i hipotenuzama prislonili jedan na drugi. Što se dogodilo? Dva pravokutnika. To znači da je površina "rezova" jednaka.

Idemo sad sve spojiti.

Pa smo posjetili Pitagoru – dokazali smo njegov teorem na antički način.

Pravokutni trokut i trigonometrija

Za pravokutni trokut vrijede relacije:

Sinus oštrog kuta jednak je omjeru suprotne strane i hipotenuze

Kosinus oštrog kuta jednak je omjeru susjedne noge i hipotenuze.

Tangens šiljastog kuta jednak je omjeru suprotne stranice prema susjednoj stranici.

Kotangens šiljastog kuta jednak je omjeru susjedne i suprotne stranice.

I još jednom sve to u obliku tablete:

Jeste li primijetili jednu vrlo zgodnu stvar? Pažljivo pogledajte znak.

Vrlo je udoban!

Znakovi jednakosti pravokutnih trokuta

II. Po kateti i hipotenuzi

III. Hipotenuzom i oštrim kutom

IV. Uz krak i oštar kut

Pažnja! Ovdje je vrlo važno da su noge "prikladne". Na primjer, ako ide ovako:

TADA TROKUTI NISU JEDNAKI, unatoč činjenici da imaju jedan identičan akutni kut.

Moram U oba trokuta krak je bio susjedan ili u oba nasuprot.

Jeste li primijetili kako se znakovi jednakosti pravokutnih trokuta razlikuju od uobičajenih znakova jednakosti trokuta? Pogledajte temu “Trokut” i obratite pozornost da za jednakost “običnih” trokuta moraju biti jednaka tri njihova elementa: dvije stranice i kut između njih, dva kuta i stranica između njih ili tri strane. Ali za jednakost pravokutnih trokuta dovoljna su samo dva odgovarajuća elementa. Sjajno, zar ne?

Približno je ista situacija sa znakovima sličnosti pravokutnih trokuta.

Znaci sličnosti pravokutnog trokuta

III. Po kateti i hipotenuzi

Medijana u pravokutnom trokutu

Umjesto pravokutnog trokuta, razmotrite cijeli pravokutnik.

Nacrtajmo dijagonalu i razmotrimo točku u kojoj se dijagonale sijeku. Što znaš o dijagonalama pravokutnika?

Sjecište dijagonala je podijeljeno na pola. Dijagonale su jednake.

I što iz ovoga slijedi?

Tako se pokazalo da

Zapamtite ovu činjenicu! Puno pomaže!

Ono što je još iznenađujuće je da je istina i suprotno.

Što se može dobiti od činjenice da je medijan povučen na hipotenuzu jednak polovici hipotenuze? Pogledajmo sliku

Gledaj pažljivo. Imamo: , to jest, ispostavilo se da su udaljenosti od točke do sva tri vrha trokuta jednake. Ali u trokutu postoji samo jedna točka od koje su udaljenosti od sva tri vrha trokuta jednake, a to je SREDIŠTE KRUGA. Dakle, što se dogodilo?

Počnimo s ovim "osim toga". "

Ali svi slični trokuti imaju jednake kutove!

Isto se može reći i za i

Sada to zajedno nacrtajmo:

Imaju iste oštre kutove!

Koja se korist može izvući iz ove "trostruke" sličnosti?

Pa, na primjer - Dvije formule za visinu pravokutnog trokuta.

Zapišimo odnose korespondentnih strana:

Da bismo pronašli visinu, riješimo proporciju i dobijemo Prva formula "Visina u pravokutnom trokutu":

Kako dobiti drugu?

Sada primijenimo sličnost trokuta i.

Dakle, primijenimo sličnost: .

Što će se sada dogoditi?

Opet rješavamo udio i dobivamo drugu formulu "Visina u pravokutnom trokutu":

Morate dobro zapamtiti obje ove formule i koristiti onu koja vam je prikladnija. Zapišimo ih opet

E, sad, primjenom i kombiniranjem ovog znanja s drugima, riješit ćete svaki problem s pravokutnim trokutom!

Komentari

Distribucija materijala bez odobrenja dopuštena je ako postoji dofollow poveznica na izvornu stranicu.

Politika privatnosti

Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.

Koje osobne podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne informacije, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

Sakupili mi osobne informacije omogućuje nam da Vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događanjima i nadolazećim događanjima. S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija. Također možemo koristiti osobne podatke u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.

Svojstvo visine pravokutnog trokuta spuštene na hipotenuzu

Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim stranama

Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - za otkrivanje Vaših osobnih podataka. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe. U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.

Hvala na poruci!

Vaš komentar je prihvaćen i nakon moderiranja bit će objavljen na ovoj stranici.

Želite li saznati što se krije ispod kroja i dobiti ekskluzivne materijale o pripremi za Jedinstveni državni ispit i Jedinstveni državni ispit? Ostavite svoj email

Svojstva pravokutnog trokuta

Razmotrimo pravokutni trokut (ABC) i njegova svojstva, što je prikazano na slici. Pravokutni trokut ima hipotenuzu - stranicu koja leži nasuprot pravog kuta. Stranice koje tvore pravi kut zovu se katete. Slika prikazuje strane AD, DC i BD, DC- noge i strane AC I NE- hipotenuza.

Znakovi jednakosti pravokutnog trokuta:

Teorem 1. Ako su hipotenuza i krak pravokutnog trokuta slični hipotenuzi i kraku drugog trokuta, tada su takvi trokuti sukladni.

Teorem 2. Ako su dvije noge pravokutnog trokuta jednake dvjema kracima drugog trokuta, tada su takvi trokuti sukladni.

Teorem 3. Ako su hipotenuza i šiljasti kut pravokutnog trokuta slični hipotenuzi i šiljastom kutu drugog trokuta, tada su takvi trokuti sukladni.

Teorem 4. Ako su krak i susjedni (nasuprotni) šiljasti kut pravokutnog trokuta jednaki kraku i susjedni (nasuprotni) šiljasti kut nekog drugog trokuta, tada su ti trokuti sukladni.

Svojstva kraka nasuprot kutu od 30°:

Teorem 1.

Visina u pravokutnom trokutu

U pravokutnom trokutu s kutom od 30° krak nasuprot tom kutu lomit će polovicu hipotenuze.

Teorem 2. Ako je u pravokutnom trokutu kateta jednaka polovici hipotenuze, tada je kut nasuprot njoj 30°.

Ako se visina povuče iz vrha pravog kuta na hipotenuzu, tada se takav trokut dijeli na dva manja, slična izlaznom i slična jedan drugome. Iz ovoga proizlaze sljedeći zaključci:

1. Visina je geometrijska sredina (proporcionalna sredina) dva segmenta hipotenuze.
2. Svaka kateta trokuta je sredina proporcionalna hipotenuzi i susjednim segmentima.

U pravokutnom trokutu katete djeluju kao visine. Ortocentar je točka u kojoj se nalazi sjecište visina trokuta. Poklapa se s vrhom pravog kuta figure.

hC- visina koja izlazi iz pravog kuta trokuta;

AB- hipotenuza;

OGLAS I DV- segmenti koji nastaju dijeljenjem hipotenuze po visini.

Povratak na pregled informacija o disciplini "Geometrija"

Trokut- Ovo geometrijski lik, koji se sastoji od tri točke (vrhovi) koje nisu na istoj ravnoj liniji i tri segmenta koji povezuju te točke. Pravokutni trokut je trokut čiji je jedan od kutova 90° (pravi kut).
Postoji teorem: zbroj šiljastih kutova pravokutnog trokuta je 90°.
sustav komentara CACKLE

Ključne riječi: trokut, pravi kut, kateta, hipotenuza, Pitagorin poučak, kružnica

Trokut se zove pravokutan ako ima pravi kut.
Pravokutni trokut ima dvije međusobno okomite stranice tzv noge; njegova treća strana se zove hipotenuza.

• Prema svojstvima okomice i kose, hipotenuza je duža od svake katete (ali manja od njihova zbroja).
• Zbroj dvaju oštrih kutova pravokutnog trokuta jednak je pravokutnom kutu.
• Dvije visine pravokutnog trokuta poklapaju se s njegovim katetama. Dakle, jedna od četiri izvanredne točke pada na vrhove pravog kuta trokuta.
• Središte opisanog kruga pravokutnog trokuta leži na sredini hipotenuze.
• Medijan pravokutnog trokuta povučen iz vrha pravog kuta na hipotenuzu polumjer je kružnice opisane oko tog trokuta.

Promotrimo proizvoljni pravokutni trokut ABC i iz vrha C njegovog pravog kuta povucimo visinu CD = hc.

Podijelit će zadani trokut na dva pravokutna trokuta ACD i BCD; svaki od tih trokuta ima zajednički šiljasti kut s trokutom ABC i stoga je sličan trokutu ABC.

Sva tri trokuta ABC, ACD i BCD međusobno su slična.

Iz sličnosti trokuta određuju se sljedeće relacije:

• $$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
• c = ac + bc;
• $$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
• $$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$.

Pitagorin poučak jedan od temeljnih teorema euklidske geometrije, koji utvrđuje odnos između stranica pravokutnog trokuta.

Geometrijska formulacija. U pravokutnom trokutu površina kvadrata izgrađenog na hipotenuzi jednaka je zbroju površina kvadrata izgrađenih na nogama.

Algebarska formulacija. U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta.
Odnosno, označavajući duljinu hipotenuze trokuta s c, a duljine kateta s a i b:
a2 + b2 = c2

Obrnuti Pitagorin teorem.

Visina pravokutnog trokuta

Za bilo koju trojku pozitivnih brojeva a, b i c tako da
a2 + b2 = c2,
Postoji pravokutni trokut s katetama a i b i hipotenuzom c.

Znakovi jednakosti pravokutnih trokuta:

• duž katete i hipotenuze;
• na dvije noge;
• duž noge i oštrog kuta;
• uz hipotenuzu i šiljasti kut.

Vidi također:
Površina trokuta, jednakokračni trokut, jednakostranični trokut

Geometrija. 8 Klasa. Test 4. Opcija 1 .

OGLAS : CD = CD : B.D. Stoga je CD2 = AD ∙ B.D. Oni kažu:

OGLAS : AC = AC : AB. Stoga je AC2 = AB ∙ OGLAS. Oni kažu:

BD : prije Krista = prije Krista : AB. Stoga je BC2 = AB ∙ B.D.

Riješiti probleme:

1.

A) 70 cm; B) 55 cm; C) 65 cm; D) 45 cm; E) 53 cm.

2. Visina pravokutnog trokuta povučena na hipotenuzu dijeli hipotenuzu na segmente 9 i 36.

Odredi duljinu te visine.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

4.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

5.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

6.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

7.

8. Krak pravokutnog trokuta je 30.

Kako pronaći visinu u pravokutnom trokutu?

Odredite udaljenost od vrha pravog kuta do hipotenuze ako je polumjer kružnice opisane oko tog trokuta 17.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.

Provjerite odgovore!

G8.04.1. Proporcionalni odsječci u pravokutnom trokutu

Geometrija. 8 Klasa. Test 4. Opcija 1 .

U Δ ABC ∠ACV = 90°. AC i BC katete, AB hipotenuza.

CD je visina trokuta povučena na hipotenuzu.

AD projekcija kraka AC na hipotenuzu,

BD projekcija kraka BC na hipotenuzu.

Visina CD dijeli trokut ABC na dva njemu slična (i jedan drugome) trokuta: Δ ADC i Δ CDB.

Iz proporcionalnosti stranica sličnih Δ ADC i Δ CDB slijedi:

OGLAS : CD = CD : B.D.

Svojstvo visine pravokutnog trokuta spuštene na hipotenuzu.

Stoga je CD2 = AD ∙ B.D. Oni kažu: visina pravokutnog trokuta povučena na hipotenuzu,je prosječna proporcionalna vrijednost između projekcija kateta na hipotenuzu.

Iz sličnosti Δ ADC i Δ ACB slijedi:

OGLAS : AC = AC : AB. Stoga je AC2 = AB ∙ OGLAS. Oni kažu: svaki krak je prosječna proporcionalna vrijednost između cijele hipotenuze i projekcije ovog kraka na hipotenuzu.

Slično, iz sličnosti Δ CDB i Δ ACB slijedi:

BD : prije Krista = prije Krista : AB. Stoga je BC2 = AB ∙ B.D.

Riješiti probleme:

1. Odredite visinu pravokutnog trokuta povučenu na hipotenuzu ako hipotenuzu dijeli na odsječke 25 cm i 81 cm.

A) 70 cm; B) 55 cm; C) 65 cm; D) 45 cm; E) 53 cm.

2. Visina pravokutnog trokuta povučena na hipotenuzu dijeli hipotenuzu na segmente 9 i 36. Odredite duljinu te visine.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

4. Visina pravokutnog trokuta povučena na hipotenuzu je 22, projekcija jedne katete je 16. Odredite projekciju druge katete.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

5. Kateta pravokutnog trokuta je 18, a njegova projekcija na hipotenuzu je 12. Nađite hipotenuzu.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

6. Hipotenuza je jednaka 32. Nađite stranicu čija je projekcija na hipotenuzu jednaka 2.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

7. Hipotenuza pravokutnog trokuta je 45. Pronađite stranicu čija je projekcija na hipotenuzu 9.

8. Krak pravokutnog trokuta je 30. Odredite udaljenost od vrha pravog kuta do hipotenuze ako je polumjer kružnice opisane oko tog trokuta 17.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10. Hipotenuza pravokutnog trokuta je 41, a projekcija jedne od kateta je 16. Odredite duljinu visine povučene iz vrha pravog kuta na hipotenuzu.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12. Razlika projekcija kateta na hipotenuzu je 15, a udaljenost od vrha pravog kuta do hipotenuze je 4. Odredi polumjer opisane kružnice.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.

Zapravo, sve uopće nije tako strašno. Naravno, "pravu" definiciju sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa treba pogledati u članku. Ali stvarno ne želim, zar ne? Možemo se radovati: da biste riješili probleme o pravokutnom trokutu, možete jednostavno ispuniti sljedeće jednostavne stvari:

Što je s kutom? Postoji li krak koji je nasuprot kutu, odnosno suprotni (za kut) krak? Naravno da jesu! Ovo je noga!

Što je s kutom? Gledaj pažljivo. Koji je krak uz kut? Naravno, noga. To znači da je za kut krak susjedan, i

Sada, obratite pozornost! Pogledajte što imamo:

Pogledajte kako je cool:

Sada prijeđimo na tangens i kotangens.

Kako da to sada zapišem riječima? Koliki je krak u odnosu na kut? Nasuprot, naravno - "leži" nasuprot kutu. Što je s nogom? Uz ugao. Dakle, što imamo?

Vidite kako su brojnik i nazivnik zamijenili mjesta?

A sad opet kutovi i napravili razmjenu:

Sažetak

Zapišimo ukratko sve što smo naučili.

Pitagorin poučak:

Glavni teorem o pravokutnom trokutu je Pitagorin teorem.

Pitagorin poučak

Usput, sjećate li se dobro što su katete i hipotenuza? Ako nije baš dobro, pogledajte sliku - obnovite svoje znanje

Sasvim je moguće da ste već mnogo puta koristili Pitagorin teorem, ali jeste li se ikada zapitali zašto je takav teorem istinit? Kako to mogu dokazati? Učinimo kao stari Grci. Nacrtajmo kvadrat sa stranicom.

Vidite kako smo mu pametno podijelili stranice na duljine i!

Sada spojimo označene točke

Ovdje smo, međutim, primijetili nešto drugo, ali vi sami pogledajte crtež i razmislite zašto je to tako.

Kolika je površina većeg kvadrata?

Točno, .

Što je s manjim područjem?

Sigurno, .

Ostaje ukupna površina četiri ugla. Zamislimo da smo ih uzeli po dva i hipotenuzama prislonili jedan na drugi.

Što se dogodilo? Dva pravokutnika. To znači da je površina "rezova" jednaka.

Idemo sad sve spojiti.

Pretvorimo:

Pa smo posjetili Pitagoru – dokazali smo njegov teorem na antički način.

Pravokutni trokut i trigonometrija

Za pravokutni trokut vrijede relacije:

Sinus oštrog kuta jednak je omjeru suprotne strane i hipotenuze

Kosinus oštrog kuta jednak je omjeru susjedne noge i hipotenuze.

Tangens šiljastog kuta jednak je omjeru suprotne stranice prema susjednoj stranici.

Kotangens šiljastog kuta jednak je omjeru susjedne i suprotne stranice.

I još jednom sve to u obliku tablete:

Vrlo je udoban!

Znakovi jednakosti pravokutnih trokuta

I. Na dvije strane

II. Po kateti i hipotenuzi

III. Hipotenuzom i oštrim kutom

IV. Uz krak i oštar kut

a)

b)

Pažnja! Ovdje je vrlo važno da su noge "prikladne". Na primjer, ako ide ovako:

TADA TROKUTI NISU JEDNAKI, unatoč činjenici da imaju jedan identičan akutni kut.

Moram u oba trokuta krak je bio susjedan, ili je u oba bio nasuprot.

Jeste li primijetili kako se znakovi jednakosti pravokutnih trokuta razlikuju od uobičajenih znakova jednakosti trokuta?

Pogledajte temu “i obratite pozornost da za jednakost “običnih” trokuta moraju biti jednaka tri njihova elementa: dvije stranice i kut između njih, dva kuta i stranica između njih ili tri stranice.

Ali za jednakost pravokutnih trokuta dovoljna su samo dva odgovarajuća elementa. Sjajno, zar ne?

Približno je ista situacija sa znakovima sličnosti pravokutnih trokuta.

Znaci sličnosti pravokutnog trokuta

I. Uz oštar kut

II. Na dvije strane

III. Po kateti i hipotenuzi

Medijana u pravokutnom trokutu

Zašto je to tako?

Umjesto pravokutnog trokuta, razmotrite cijeli pravokutnik.

Nacrtajmo dijagonalu i razmotrimo točku – točku sjecišta dijagonala. Što znaš o dijagonalama pravokutnika?

I što iz ovoga slijedi?

Tako se pokazalo da

1. - medijan:

Zapamtite ovu činjenicu! Puno pomaže!

Ono što je još iznenađujuće je da je istina i suprotno.

Što se može dobiti od činjenice da je medijan povučen na hipotenuzu jednak polovici hipotenuze? Pogledajmo sliku

Gledaj pažljivo. Imamo: , to jest, ispostavilo se da su udaljenosti od točke do sva tri vrha trokuta jednake. Ali u trokutu postoji samo jedna točka od koje su udaljenosti od sva tri vrha trokuta jednake, a to je SREDIŠTE KRUGA. Dakle, što se dogodilo?

Pa počnimo s ovim “osim...”.

Pogledajmo i.

Ali svi slični trokuti imaju jednake kutove!

Isto se može reći i za i

Sada to zajedno nacrtajmo:

Koja se korist može izvući iz ove "trostruke" sličnosti?

Pa, na primjer - dvije formule za visinu pravokutnog trokuta.

Zapišimo odnose korespondentnih strana:

Da bismo pronašli visinu, riješimo proporciju i dobijemo prva formula "Visina u pravokutnom trokutu":

E, sad, primjenom i kombiniranjem ovog znanja s drugima, riješit ćete svaki problem s pravokutnim trokutom!

Dakle, primijenimo sličnost: .

Što će se sada dogoditi?

Opet rješavamo udio i dobivamo drugu formulu:

Morate dobro zapamtiti obje ove formule i koristiti onu koja vam je prikladnija.

Zapišimo ih opet

Pitagorin poučak:

U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta: .

Znakovi jednakosti pravokutnih trokuta:

• na dvije strane:
• po kateti i hipotenuzi: ili
• uz krak i susjedni šiljasti kut: ili
• uz krak i nasuprot šiljasti kut: odn
• hipotenuzom i šiljastim kutom: ili.

Znakovi sličnosti pravokutnih trokuta:

• jedan oštar kut: ili
• iz proporcionalnosti dvaju krakova:
• iz proporcionalnosti katete i hipotenuze: odn.

Sinus, kosinus, tangens, kotangens u pravokutnom trokutu

• Sinus oštrog kuta pravokutnog trokuta je omjer suprotne stranice i hipotenuze:
• Kosinus oštrog kuta pravokutnog trokuta je omjer susjedne katete i hipotenuze:
• Tangens šiljastog kuta pravokutnog trokuta je omjer suprotne stranice i susjedne stranice:
• Kotangens šiljastog kuta pravokutnog trokuta je omjer susjedne i suprotne stranice: .

Visina pravokutnog trokuta: odn.

U pravokutnom trokutu medijan povučen iz vrha pravog kuta jednak je polovici hipotenuze: .

Površina pravokutnog trokuta:

• preko nogu: