Poglavlje 6. Kontinuirane slučajne varijable.
§ 1. Funkcija gustoće i distribucije kontinuirane slučajne varijable.
Skup vrijednosti kontinuirane slučajne varijable je neprebrojiv i obično predstavlja neki konačni ili beskonačni interval.
Slučajna vrijednost x(w), definiran u prostoru vjerojatnosti (W, S, P), zove se stalan(apsolutno kontinuirano) W, ako postoji nenegativna funkcija takva da se za bilo koji x funkcija distribucije Fx(x) može prikazati kao integral
Funkcija se naziva funkcija gustoće distribucije vjerojatnosti.
Definicija podrazumijeva svojstva funkcije gustoće distribucije:
1..gif" width="97" height="51">
3. U točkama kontinuiteta gustoća raspodjele jednaka je derivaciji funkcije razdiobe: .
4. Gustoća raspodjele određuje zakon raspodjele slučajne varijable, budući da određuje vjerojatnost da slučajna varijabla padne u interval:
5. Vjerojatnost da će kontinuirana slučajna varijabla poprimiti određenu vrijednost je nula: . Stoga vrijede jednakosti:
Graf funkcije gustoće raspodjele naziva se distribucijska krivulja, a površina omeđena krivuljom distribucije i osi x jednaka je jedinici. Tada je, geometrijski, vrijednost funkcije distribucije Fx(x) u točki x0 područje ograničeno krivuljom distribucije i osi x, a leži lijevo od točke x0.
Zadatak 1. Funkcija gustoće kontinuirane slučajne varijable ima oblik:
Odredite konstantu C, konstruirajte funkciju distribucije Fx(x) i izračunajte vjerojatnost.
Riješenje. Konstanta C se nalazi iz uvjeta Imamo:
odakle C=3/8.
Da biste konstruirali funkciju distribucije Fx(x), imajte na umu da interval dijeli raspon vrijednosti argumenta x (numerička os) na tri dijela: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17 .gif" width="264 " height="49">
budući da je gustoća x na poluosi nula. U drugom slučaju
Konačno, u posljednjem slučaju, kada je x>2,
Budući da gustoća nestaje na poluosi. Dakle, dobijena je funkcija distribucije
Vjerojatnost Izračunajmo pomoću formule. Tako,
§ 2. Numeričke karakteristike kontinuirana slučajna varijabla
Očekivana vrijednost za kontinuirano distribuirane slučajne varijable određuje se formulom https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">,
ako integral s desne strane apsolutno konvergira.
Disperzija x se može izračunati pomoću formule 
, a također, kao u diskretnom slučaju, prema formuli https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.
Sva svojstva matematičkog očekivanja i disperzije navedena u 5. poglavlju za diskretne slučajne varijable vrijede i za kontinuirane slučajne varijable.
Problem 2. Za slučajnu varijablu x iz zadatka 1 izračunajte očekivana vrijednost i varijanca .
Riješenje.
A to znači
https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">
Grafikon gustoće jednolika raspodjela vidi sl. .
sl.6.2. Funkcija raspodjele i gustoća raspodjele. jedinstveni zakon
Funkcija distribucije Fx(x) jednoliko raspodijeljene slučajne varijable jednaka je
Fx(x)= 
Očekivanje i varijanca; .
Eksponencijalna (eksponencijalna) distribucija. Kontinuirana slučajna varijabla x koja uzima nenegativne vrijednosti ima eksponencijalnu distribuciju s parametrom l>0 ako je distribucija gustoće vjerojatnosti slučajne varijable jednaka
rx(x)= 
Riža. 6.3. Funkcija raspodjele i gustoća raspodjele eksponencijalnog zakona.
Funkcija distribucije eksponencijalne distribucije ima oblik
Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> a ako mu je gustoća raspodjele jednaka
.
Kroz označava skup svih slučajnih varijabli raspodijeljenih prema normalnom zakonu s parametrima parametrima i .
Funkcija raspodjele normalno raspodijeljene slučajne varijable jednaka je
.
Riža. 6.4. Funkcija raspodjele i normalna gustoća raspodjele
Parametri normalne distribucije su matematičko očekivanje https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">
U posebnom slučaju kada https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> normalna distribucija se zove standard, a klasa takvih distribucija je označena sa https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">,
i funkcija distribucije
Takav se integral ne može analitički izračunati (ne uzima se u “kvadraturama”), pa su stoga za funkciju sastavljene tablice. Funkcija je povezana s Laplaceovom funkcijom predstavljenom u poglavlju 4
,
sljedećom relacijom 
. U slučaju proizvoljnih vrijednosti parametara https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> funkcija distribucije slučajne varijable povezana je s Laplaceovom funkcijom pomoću relacije:
.
Stoga se vjerojatnost da normalno distribuirana slučajna varijabla padne u interval može izračunati pomoću formule
.
Nenegativna slučajna varijabla x naziva se logaritamski normalno raspodijeljena ako njen logaritam h=lnx poštuje normalni zakon. Očekivana vrijednost i varijanca logaritamski normalno distribuirane slučajne varijable su Mx= i Dx=.
Zadatak 3. Neka je dana slučajna varijabla https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">.
Riješenje. Ovdje https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">
Laplaceova distribucija dana je funkcijom fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41">, a kurtoza je gx=3.
sl.6.5. Funkcija gustoće Laplaceove distribucije.
Slučajna varijabla x je raspoređena na Weibullov zakon, ako ima funkciju gustoće distribucije jednaku https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">
Weibullova distribucija upravlja vremenima rada bez kvarova mnogih tehničkih uređaja. U problemima ovog profila važna karakteristika je stopa neuspjeha (stopa mortaliteta) l(t) proučavanih elemenata starosti t, određena relacijom l(t)=. Ako je a=1, Weibullova distribucija prelazi u eksponencijalnu distribuciju, a ako je a=2 - u tzv. Rayleigh.
Matematičko očekivanje Weibullove distribucije: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, gdje je G(a) Euler funkcija..
U raznim problemima primijenjene statistike često se susreću tzv. “krnje” distribucije. Na primjer, porezna tijela su zainteresirana za raspodjelu dohotka onih pojedinaca čiji godišnji dohodak premašuje određeni prag c0 utvrđen poreznim zakonima. Ispostavilo se da se ove distribucije približno podudaraju s Pareto distribucijom. Paretova distribucija zadane funkcijama
Fx(x)=P(x
Ovdje https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.
Zadatak 4. Slučajna varijabla je jednoliko raspoređena na segmentu. Odredite gustoću slučajne varijable.
Riješenje. Iz uvjeta problema proizlazi da
Zatim, funkcija je monotona i diferencijabilna funkcija na intervalu i ima inverznu funkciju 
, čija je derivacija jednaka Stoga,
§ 5. Par kontinuiranih slučajnih varijabli
Neka su zadane dvije kontinuirane slučajne varijable x i h. Zatim par (x, h) definira "slučajnu" točku na ravnini. Par (x, h) se zove slučajni vektor ili dvodimenzionalna slučajna varijabla.
Zajednička distribucijska funkcija slučajne varijable x i h, a funkcija se zove F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25">. gustoća zglobova distribucija vjerojatnosti slučajnih varijabli x i h naziva se funkcija takva da 
.
Značenje ove definicije gustoće distribucije zglobova je sljedeće. Vjerojatnost da će "slučajna točka" (x, h) pasti u područje na ravnini izračunava se kao volumen trodimenzionalne figure - "krivocrtnog" cilindra omeđenog površinom https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3. gif" width="211" height="39 src=">
Najjednostavniji primjer zajedničke distribucije dviju slučajnih varijabli je dvodimenzionalna jednolika raspodjela na setuA. Neka je zadan ograničeni skup M s površinom. Definiran je kao distribucija para (x, h), definirana sljedećom gustoćom spojeva:
Zadatak 5. Neka je dvodimenzionalni slučajni vektor (x, h) ravnomjerno raspoređen unutar trokuta. Izračunajte vjerojatnost nejednakosti x>h.
Riješenje. Površina naznačenog trokuta jednaka je (vidi sliku br.?). Na temelju definicije dvodimenzionalne uniformne distribucije, zajednička gustoća slučajnih varijabli x, h jednaka je
Događaj odgovara skupu 
na ravnini, tj. poluravnini. Zatim vjerojatnost
Na poluravnini B, gustoća spoja je nula izvan skupa https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. Dakle, poluravnina B podijeljena je u dva skupa i https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> i , a drugi integral jednaka nuli, budući da je tu gustoća spoja nula. Zato
Ako je dana zajednička gustoća distribucije za par (x, h), tada se gustoće obje komponente x i h nazivaju privatne gustoće a izračunavaju se pomoću formula:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">
Za kontinuirano distribuirane slučajne varijable s gustoćama rx(h), rh(u), neovisnost znači da
Zadatak 6. U uvjetima prethodnog zadatka odrediti jesu li komponente slučajnog vektora x i h neovisne?
Riješenje. Izračunajmo parcijalne gustoće i . Imamo:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">
Očito, u našem slučaju https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> je zajednička gustoća veličina x i h, i j( x, y) je funkcija dvaju argumenata, dakle
https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">
Zadatak 7. U uvjetima prethodnog zadatka izračunajte .
Riješenje. Prema gornjoj formuli imamo:
.
Predstavljanje trokuta kao
https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">
§ 5. Gustoća zbroja dviju kontinuiranih slučajnih varijabli
Neka su x i h neovisne slučajne varijable s gustoćom https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. Gustoća slučajne varijable x + h se izračunava formulom konvolucija
https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Izračunajte gustoću zbroja.
Riješenje. Budući da su x i h raspoređeni po eksponencijalnom zakonu s parametrom, gustoće su im jednake
Stoga,
https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">
Ako je x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">je negativan, i stoga . Stoga, ako https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">
Tako smo dobili odgovor:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> normalno je distribuiran s parametrima 0 i 1. Slučajne varijable x1 i x2 su neovisne i imaju normalne distribucije s parametrima a1, odnosno a2. Dokažite da x1 + x2 ima normalnu distribuciju. Slučajne varijable x1, x2, ... xn su distribuirane i neovisne te imaju istu funkciju gustoće
.
Nađite funkciju distribucije i gustoću distribucije vrijednosti:
a) h1 = min (x1, x2, ...xn) ; b) h(2) = max (x1,x2, ... xn)
Slučajne varijable x1, x2, ... xn su neovisne i ravnomjerno raspoređene na intervalu [a, b]. Naći funkcije distribucije i funkcije gustoće distribucija veličina
x(1) = min (x1,x2, ... xn) i x(2)= max(x1, x2, ...xn).
Dokažite da je Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.
Slučajna varijabla raspodijeljena je prema Cauchyjevom zakonu Nađi: a) koeficijent a; b) distribucijska funkcija; c) vjerojatnost pada u interval (-1, 1). Pokažite da matematičko očekivanje x ne postoji. Slučajna varijabla podliježe Laplaceovom zakonu s parametrom l (l>0): Nađite koeficijent a; konstruirati grafove gustoće distribucije i funkcije distribucije; pronaći Mx i Dx; pronaći vjerojatnosti događaja (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:
Napišite formulu za gustoću distribucije, pronađite Mx i Dx.
Računski zadaci.
Slučajna točka A ima jednoliku raspodjelu u krugu radijusa R. Nađite matematičko očekivanje i varijancu udaljenosti r točke od središta kruga. Pokažite da je vrijednost r2 ravnomjerno raspoređena na segmentu. 
Gustoća distribucije slučajne varijable ima oblik: 
Izračunajte konstantu C, funkciju distribucije F(x) i vjerojatnost 
Gustoća distribucije slučajne varijable ima oblik: 
Izračunajte konstantu C, funkciju distribucije F(x) i vjerojatnost 
Gustoća distribucije slučajne varijable ima oblik: 
Izračunajte konstantu C, funkciju distribucije F(x), varijancu i vjerojatnost. Slučajna varijabla ima funkciju distribucije 
Izračunajte gustoću slučajne varijable, matematičko očekivanje, varijancu i vjerojatnost Provjerite je li funkcija = 
može biti funkcija distribucije slučajne varijable. Odredite numeričke karakteristike ove veličine: Mx i Dx. Slučajna varijabla je jednoliko raspoređena na segmentu. Zapišite gustoću distribucije. Pronađite funkciju distribucije. Odredite vjerojatnost da slučajna varijabla padne na segment i na segment. Gustoća distribucije x jednaka je
.
Nađite konstantu c, gustoću distribucije h = i vjerojatnost
P (0,25 Vrijeme rada računala bez kvarova raspoređeno je po eksponencijalnom zakonu s parametrom l = 0,05 (kvarova po satu), tj. ima funkciju gustoće p(x) = Rješavanje određenog problema zahtijeva nesmetan rad stroja 15 minuta. Ako se tijekom rješavanja problema dogodi greška, greška se detektira tek nakon završetka rješenja i problem se ponovno rješava. Nađite: a) vjerojatnost da se tijekom rješavanja problema neće dogoditi niti jedan kvar; b) prosječno vrijeme u kojem će problem biti riješen. Šipka duga 24 cm prelomljena je na dva dijela; Pretpostavit ćemo da je lomna točka ravnomjerno raspoređena duž cijele duljine štapa. Kolika je prosječna duljina većeg dijela štapa? Komad duljine 12 cm nasumično je izrezan na dva dijela. Točka rezanja ravnomjerno je raspoređena duž cijele duljine segmenta. Kolika je prosječna duljina malog dijela isječka? Slučajna varijabla je jednoliko raspoređena na segmentu. Odredite gustoću distribucije slučajne varijable a) h1 = 2x + 1; b) h2 = -ln(1-x); c) h3 = . Pokažite da ako x ima kontinuiranu funkciju distribucije F(x) = P(x Odredite funkciju gustoće i funkciju raspodjele zbroja dviju neovisnih veličina x i h s jednolikim zakonima raspodjele na segmentima i, redom. Slučajne varijable x i h su neovisne i ravnomjerno raspoređene na segmentima i, redom. Izračunajte gustoću zbroja x+h. Slučajne varijable x i h su neovisne i ravnomjerno raspoređene na segmentima i, redom. Izračunajte gustoću zbroja x+h. Slučajne varijable x i h su neovisne i ravnomjerno raspoređene na segmentima i, redom. Izračunajte gustoću zbroja x+h. Slučajne varijable su neovisne i imaju eksponencijalnu distribuciju s gustoćom Kao što je poznato, nasumična varijabla
naziva se promjenjiva veličina koja može poprimiti određene vrijednosti ovisno o slučaju. Slučajne varijable označene su velikim slovima latinične abecede (X, Y, Z), a njihove vrijednosti označene su odgovarajućim malim slovima (x, y, z). Slučajne varijable se dijele na diskontinuirane (diskretne) i kontinuirane. Diskretna slučajna varijabla
je slučajna varijabla koja uzima samo konačan ili beskonačan (prebrojiv) skup vrijednosti s određenim vjerojatnostima različitim od nule. Zakon distribucije diskretne slučajne varijable
je funkcija koja povezuje vrijednosti slučajne varijable s njihovim odgovarajućim vjerojatnostima. Zakon raspodjele može se odrediti na jedan od sljedećih načina. 1
. Zakon raspodjele može se dati tablicom:
gdje je λ>0, k = 0, 1, 2, … . V) pomoću funkcija distribucije F(x)
, koji za svaku vrijednost x određuje vjerojatnost da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost manju od x, tj. F(x) = P(X< x). Svojstva funkcije F(x) 3
. Zakon raspodjele može se prikazati grafički
– poligon distribucije (poligon) (vidi problem 3). Imajte na umu da za rješavanje nekih problema nije potrebno poznavati zakon raspodjele. U nekim slučajevima dovoljno je znati jedan ili više brojeva koji odražavaju najvažnije značajke zakona raspodjele. To može biti broj koji ima značenje “prosječne vrijednosti” slučajne varijable ili broj koji pokazuje prosječnu veličinu odstupanja slučajne varijable od njezine srednje vrijednosti. Brojevi ove vrste nazivaju se numeričkim karakteristikama slučajne varijable. Osnovne numeričke karakteristike diskretne slučajne varijable
: Izdano je 1000 srećki: njih 5 osvojit će 500 rubalja, 10 će osvojiti 100 rubalja, 20 će osvojiti 50 rubalja, 50 će osvojiti 10 rubalja. Odredite zakon distribucije vjerojatnosti slučajne varijable X - dobitak po listiću. Riješenje.
Prema uvjetima zadatka moguće su sljedeće vrijednosti slučajne varijable X: 0, 10, 50, 100 i 500. Broj listića bez dobitka je 1000 – (5+10+20+50) = 915, tada je P(X=0) = 915/1000 = 0,915. Slično, nalazimo sve druge vjerojatnosti: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X =500) = 5/1000=0,005. Prikazimo dobiveni zakon u obliku tablice: Nađimo matematičko očekivanje vrijednosti X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5 Uređaj se sastoji od tri međusobno neovisna elementa. Vjerojatnost kvara svakog elementa u jednom eksperimentu je 0,1. Napravite zakon raspodjele za broj neuspjelih elemenata u jednom eksperimentu, konstruirajte poligon raspodjele. Pronađite funkciju distribucije F(x) i nacrtajte je. Pronađite matematičko očekivanje, varijancu i standardnu devijaciju diskretne slučajne varijable. Riješenje.
1.
Diskretna slučajna varijabla X = (broj neuspješnih elemenata u jednom eksperimentu) ima sljedeće moguće vrijednosti: x 1 = 0 (nijedan element uređaja nije pokvaren), x 2 = 1 (jedan element nije uspio), x 3 = 2 ( dva elementa nisu uspjela) i x 4 =3 (tri elementa nisu uspjela). Otkazi elemenata su neovisni jedni o drugima, vjerojatnosti kvara svakog elementa su jednake, stoga je primjenjiv Bernoullijeva formula
. S obzirom da je prema uvjetu n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, određujemo vjerojatnosti vrijednosti: Dakle, željeni binomni zakon distribucije X ima oblik: Nacrtamo moguće vrijednosti x i duž apscisne osi, a odgovarajuće vjerojatnosti p i duž ordinatne osi. Konstruirajmo točke M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Spajanjem ovih točaka ravnim segmentima dobivamo željeni razdiobeni poligon. 3.
Nađimo funkciju distribucije F(x) = R(H Graf funkcije F(x) 4.
Za binomnu distribuciju X: Slučajna vrijednost x ima normalnu distribuciju (ili Gaussovu distribuciju) ako njezina gustoća vjerojatnosti ima oblik: Riža. 2.13 Sl. 2.14 Funkcija distribucije slučajne varijable X je funkcija F(x), koja za svaki x izražava vjerojatnost da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost, manji x
Primjer 2.5. Zadan niz distribucije slučajne varijable Pronađite i grafički predočite njegovu funkciju raspodjele. Riješenje. Prema definiciji F(jc) = 0 at x x F(x) = 0,4 + 0,1 = 0,5 at 4 F(x) = 0,5 + 0,5 = 1 at x > 5. Dakle (vidi sliku 2.1): Svojstva funkcije distribucije: 1. Funkcija distribucije slučajne varijable je nenegativna funkcija između nula i jedan: 2. Funkcija raspodjele slučajne varijable je neopadajuća funkcija na cijeloj numeričkoj osi, t.j. na x 2
>x 3. Na minus beskonačno funkcija raspodjele jednaka je nuli, na plus beskonačno jednaka je jedinici, tj. 4. Vjerojatnost pogađanja slučajne varijable x u intervalu jednaka je određenom integralu svoje gustoće vjerojatnosti u rasponu od A prije b(vidi sliku 2.2), tj. Riža. 2.2 3. Funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable (vidi sliku 2.3) može se izraziti kroz gustoću vjerojatnosti prema formuli: F(x)= Jp(*)*. (2.10) 4. Nepravi integral u beskonačnim granicama gustoće vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable jednak je jedinici: Geometrijska svojstva / i 4
gustoće vjerojatnosti znače da je njegov graf distribucijska krivulja - ne leži ispod x-osi, i ukupne površine figure, omeđen krivuljom distribucije i osi x, jednako jedan. Za kontinuiranu slučajnu varijablu x očekivana vrijednost M(X) i varijanca D(X) određuju se formulama: (ako je integral apsolutno konvergentan); ili (ako gornji integrali konvergiraju). Uz gore navedene numeričke karakteristike, za opisivanje slučajne varijable koristi se koncept kvantila i postotnih bodova. Kvantilna razina q(ili q-kvantil) je takva vrijednostx qnasumična varijabla, pri kojoj njegova funkcija raspodjele poprima vrijednost, jednako q, tj. Na temelju podataka u primjeru 2.6 pronađite kvantil xqj i 30% slučajna varijabla točka X.
Riješenje. Po definiciji (2.16) F(xo t3)= 0,3, tj. ~Y~ = 0,3, odakle dolazi kvantil? x 0 3 = 0,6. 30% bodova slučajne varijable x, ili kvantil X)_o,z = xoj"nalazi se na sličan način iz jednadžbe ^ = 0,7. gdje je *,= 1,4. ? Među numeričkim karakteristikama slučajne varijable postoje početni v* i središnji R* momenti k-tog reda, određena za diskretne i kontinuirane slučajne varijable formulama: ZAKON DISTRIBUCIJE I KARAKTERISTIKE SLUČAJNE VARIJABLE Slučajne varijable, njihova klasifikacija i metode opisa. Slučajna veličina je veličina koja kao rezultat pokusa može poprimiti jednu ili drugu vrijednost, ali nije unaprijed poznato koju. Za slučajnu varijablu, dakle, možete specificirati samo vrijednosti, od kojih će jednu sigurno uzeti kao rezultat eksperimenta. U nastavku ćemo ove vrijednosti zvati moguće vrijednosti slučajne varijable. Budući da slučajna varijabla kvantitativno karakterizira slučajni rezultat eksperimenta, može se smatrati kvantitativnom karakteristikom slučajnog događaja. Slučajne varijable obično se označavaju velikim slovima latinične abecede, na primjer, X..Y..Z, a njihove moguće vrijednosti odgovarajućim malim slovima. Postoje tri vrste slučajnih varijabli: Diskretna; Stalan; Mješoviti. Diskretna je slučajna varijabla čiji broj mogućih vrijednosti čini prebrojiv skup. Zauzvrat, skup čiji se elementi mogu numerirati nazivamo prebrojivim. Riječ "diskretan" dolazi od latinske riječi discretus, što znači "diskontinuiran, koji se sastoji od odvojenih dijelova". Primjer 1. Diskretna slučajna varijabla je broj neispravnih dijelova X u seriji od n proizvoda. Doista, moguće vrijednosti ove slučajne varijable su niz cijelih brojeva od 0 do n. Primjer 2. Diskretna slučajna varijabla je broj hitaca prije prvog pogotka u metu. Ovdje, kao u primjeru 1, moguće vrijednosti mogu biti numerirane, iako je u graničnom slučaju moguća vrijednost beskonačno velik broj. Stalan je slučajna varijabla čije moguće vrijednosti kontinuirano ispunjavaju određeni interval numeričke osi, koji se ponekad naziva i interval postojanja ove slučajne varijable. Dakle, na bilo kojem konačnom intervalu postojanja, broj mogućih vrijednosti kontinuirane slučajne varijable je beskonačno velik. Primjer 3. Kontinuirana slučajna varijabla je mjesečna potrošnja električne energije poduzeća. Primjer 4. Kontinuirana slučajna varijabla je pogreška u mjerenju visine pomoću visinomjera. Neka je iz principa rada visinomjera poznato da se pogreška nalazi u rasponu od 0 do 2 m. Dakle, interval postojanja ove slučajne varijable je interval od 0 do 2 m. Zakon raspodjele slučajnih varijabli. Slučajna varijabla se smatra potpuno određenom ako su njene moguće vrijednosti naznačene na numeričkoj osi i ako je uspostavljen zakon distribucije. Zakon raspodjele slučajne varijable je relacija koja uspostavlja vezu između mogućih vrijednosti slučajne varijable i odgovarajućih vjerojatnosti. Kaže se da je slučajna varijabla raspodijeljena prema danom zakonu ili podložna danom zakonu distribucije. Brojne vjerojatnosti, funkcija distribucije, gustoća vjerojatnosti i karakteristična funkcija koriste se kao zakoni distribucije. Zakon raspodjele daje potpuni vjerojatni opis slučajne varijable. Prema zakonu raspodjele, prije eksperimenta se može prosuditi koje će se moguće vrijednosti slučajne varijable pojavljivati češće, a koje rjeđe. Za diskretnu slučajnu varijablu zakon raspodjele može se zadati u obliku tablice, analitički (u obliku formule) i grafički. Najjednostavniji oblik zadavanja zakona distribucije diskretne slučajne varijable je tablica (matrica) koja u rastućem redoslijedu navodi sve moguće vrijednosti slučajne varijable i njihove odgovarajuće vjerojatnosti, tj. Takva se tablica naziva serija distribucije diskretne slučajne varijable. 1 Događaji X 1, X 2,..., X n, koji se sastoje u činjenici da će kao rezultat testa slučajna varijabla X poprimiti vrijednosti x 1, x 2,... x n, redom, su nekonzistentne i jedine moguće (budući da su u tablici navedene sve moguće vrijednosti slučajne varijable), tj. čine kompletnu grupu. Stoga je zbroj njihovih vjerojatnosti jednak 1. Dakle, za bilo koju diskretnu slučajnu varijablu (Ova jedinica je nekako raspoređena među vrijednostima slučajne varijable, otuda i izraz "distribucija"). Niz distribucije može se grafički prikazati ako se vrijednosti slučajne varijable nanesu na apscisnu os, a njihove odgovarajuće vjerojatnosti na ordinatnu os. Spoj dobivenih točaka čini isprekidanu liniju koja se naziva poligon ili poligon distribucije vjerojatnosti (slika 1). Primjer Lutrija uključuje: automobil u vrijednosti od 5.000 den. kom., 4 televizora po 250 den. jedinica, 5 video rekordera u vrijednosti od 200 den. jedinice Za 7 dana prodano je ukupno 1000 ulaznica. jedinice Napravite zakon o raspodjeli neto dobitka koji je dobio sudionik lutrije koji je kupio jedan listić. Riješenje. Moguće vrijednosti slučajne varijable X - neto dobitak po listiću - jednake su 0-7 = -7 novca. jedinice (ako listić nije dobio), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. jedinice (ako listić sadrži dobitke od videorekordera, televizora ili automobila). Uzimajući u obzir da je od 1000 listića broj nedobitnih 990, a naznačeni dobici su 5, 4 i 1 redom, te korištenjem klasične definicije vjerojatnosti dobivamo.
.
. Odredite gustoću raspodjele njihovog zbroja. Naći distribuciju zbroja nezavisnih slučajnih varijabli x i h, pri čemu x ima jednoliku distribuciju na intervalu, a h ima eksponencijalnu distribuciju s parametrom l. Pronađite P 
, ako x ima: a) normalnu distribuciju s parametrima a i s2; b) eksponencijalna razdioba s parametrom l; c) ravnomjerna raspodjela na segmentu [-1;1]. Zajednička raspodjela x, h je ravnomjerna na kvadrat
K = (x, y): |x| +|y|£ 2). Pronađite vjerojatnost 
. Jesu li x i h neovisni? Par slučajnih varijabli x i h jednoliko je raspoređen unutar trokuta K=. Izračunajte gustoće x i h. Jesu li ove slučajne varijable neovisne? Pronađite vjerojatnost. Slučajne varijable x i h su neovisne i ravnomjerno raspoređene na segmentima i [-1,1]. Pronađite vjerojatnost. Dvodimenzionalna slučajna varijabla (x, h) jednoliko je raspoređena u kvadratu s vrhovima (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Pronađite vrijednost funkcije zajedničke distribucije u točki (1, -1). Slučajni vektor (x, h) jednoliko je raspoređen unutar kruga radijusa 3 sa središtem u ishodištu. Napišite izraz za gustoću raspodjele zglobova. Odredite jesu li ove slučajne varijable ovisne. Izračunajte vjerojatnost. Par slučajnih varijabli x i h jednoliko je raspoređen unutar trapeza s vrhovima u točkama (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0). Nađite zajedničku gustoću distribucije za ovaj par slučajnih varijabli i gustoću komponenata. Jesu li x i h ovisni? Slučajni par (x, h) jednoliko je raspoređen unutar polukruga. Naći gustoće x i h, istražiti pitanje njihove ovisnosti. Gustoća spoja dviju slučajnih varijabli x i h jednaka je 
.
Nađite gustoće x, h. Istražite pitanje ovisnosti x i h. Slučajni par (x, h) jednoliko je raspoređen na skupu. Naći gustoće x i h, istražiti pitanje njihove ovisnosti. Nađi M(xh). Slučajne varijable x i h su neovisne i raspoređene po eksponencijalnom zakonu s parametrom Find
Za binomnu distribuciju M(X)=np, za Poissonovu distribuciju M(X)=λ
Za binomnu distribuciju D(X)=npq, za Poissonovu distribuciju D(X)=λPrimjeri rješavanja problema na temu "Zakon distribucije diskretne slučajne varijable"
Zadatak 1.
Zadatak 3.
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 = 0,1 3 = 0,001;
Provjerite: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.
za 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
za 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
za 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
za x > 3 bit će F(x) = 1, jer događaj je pouzdan. 
- matematičko očekivanje M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- varijanca D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- standardna devijacija σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.
,
gdje su parametri A– bilo koji realni broj i σ >0.
Graf funkcije diferencijalne normalne distribucije naziva se normalna krivulja (Gaussova krivulja). Normalna krivulja (slika 2.12) je simetrična u odnosu na ravnu liniju x =A, ima najveću ordinatu, a u točkama x = A± σ – infleksija.
Riža. 2.12
Dokazano je da parametar A je matematičko očekivanje (također mod i medijan), a σ je standardna devijacija. Koeficijenti asimetrije i kurtoze za normalnu distribuciju jednaki su nuli: Kao = npr = 0.
Utvrdimo sada kako promjena parametara utječe A a σ izgleda kao normalna krivulja. Prilikom promjene parametra A oblik normalne krivulje se ne mijenja. U ovom slučaju, ako je matematičko očekivanje (parametar A) smanjena ili povećana, graf normalne krivulje pomiče se lijevo ili desno (slika 2.13).
Pri promjeni parametra σ mijenja se oblik normalne krivulje. Ako se ovaj parametar povećava, tada se maksimalna vrijednost funkcije smanjuje i obrnuto. Budući da područje ograničeno krivuljom raspodjele i osi Oh, mora biti konstantan i jednak 1, tada se s povećanjem parametra σ krivulja približava osi Oh i proteže se duž nje, a smanjenjem σ krivulja se skuplja u ravnu liniju x = A(Slika 2.14).
Funkcija gustoće normalne distribucije φ( x) s parametrima A= 0, zove se σ = 1 gustoća standardne normalne slučajne varijable
, a njegov graf je standardna Gaussova krivulja.
Funkcija gustoće normalne standardne vrijednosti određena je formulom, a njezin je grafikon prikazan na sl. 2.15.
Iz svojstava matematičkog očekivanja i disperzije slijedi da je za količinu , D(U)=1, M(U) = 0. Stoga se standardna normalna krivulja može smatrati krivuljom distribucije slučajne varijable , gdje je x– slučajna varijabla podložna normalnom zakonu raspodjele s parametrima A i σ.
Normalni zakon raspodjele slučajne varijable u integralnom obliku ima oblik
(2.10)
Uvrštavanjem integrala (3.10) dobivamo
,
Gdje . Prvi izraz jednak je 1/2 (polovica površine zakrivljenog trapeza prikazanog na slici 3.15). Drugi termin
(2.11)
nazvao Laplaceova funkcija
, kao i integral vjerojatnosti.
Budući da integral u formuli (2.11) nije izražen u terminima elementarnih funkcija, radi lakšeg izračuna sastavlja se za z≥ 0 Laplaceova tablica funkcije. Za izračun Laplaceove funkcije za negativne vrijednosti z, potrebno je iskoristiti neparnost Laplaceove funkcije: F(– z) = – F( z). Napokon smo dobili formulu za izračun
Iz ovoga dobivamo da je za slučajnu varijablu x, poštujući normalni zakon, vjerojatnost njegovog pada na segment [α, β] je
(2.12)
Koristeći formulu (2.12), nalazimo vjerojatnost da je modul odstupanja normalne distribucije veličine x iz svog distribucijskog centra A manji od 3σ. Imamo
P(| x – a| < 3 s) =P(A–3 s< x< A+3 s)= F(3) – F(–3) = 2F(3) »0,9973.
Vrijednost F(3) dobivena je iz tablice Laplaceove funkcije.
Opće je prihvaćeno da događaj praktički pouzdan
, ako mu je vjerojatnost blizu jedan, a praktički nemoguće ako mu je vjerojatnost blizu nule.
Dobili smo tzv pravilo tri sigme
: za događaj normalne distribucije (| x–a| < 3σ) практически достоверно.
Pravilo tri sigme može se drugačije formulirati: iako je normalna slučajna varijabla raspoređena duž cijele osi x, raspon njegovih praktično mogućih vrijednosti je(a–3σ, a+3σ).
Normalna distribucija ima niz svojstava koja je čine jednom od najčešće korištenih distribucija u statistici.
Ako je moguće promatrati određenu slučajnu varijablu kao zbroj dovoljno velikog broja drugih slučajnih varijabli, tada se ta slučajna varijabla obično pokorava normalnom zakonu distribucije. Slučajne varijable koje se zbrajaju mogu se pridržavati bilo koje distribucije, ali mora biti ispunjen uvjet njihove neovisnosti (ili slabe neovisnosti). Također, niti jedna od zbrojenih slučajnih varijabli ne bi se trebala oštro razlikovati od ostalih, tj. svaka od njih trebala bi imati približno jednaku ulogu u ukupnom iznosu i ne bi imala izrazito veliku disperziju u odnosu na druge količine.
Ovo objašnjava široku prevalenciju normalne distribucije. Javlja se u svim pojavama i procesima gdje je raspršenje slučajne varijable koja se proučava uzrokovano velikim brojem slučajnih uzroka od kojih je utjecaj svakoga pojedinačno na raspršenje zanemariv.
Većina slučajnih varijabli s kojima se susrećemo u praksi (kao što su npr. broj prodaja određenog proizvoda, greška mjerenja; odstupanje projektila od cilja u dometu ili smjeru; odstupanje stvarnih dimenzija dijelova koji se obrađuju na stroju od nazivne dimenzije, itd.) može se prikazati kao zbroj velikog broja neovisnih slučajnih varijabli koje imaju jednolično mali učinak na disperziju zbroja. Smatra se da su takve slučajne varijable normalno raspodijeljene. Hipoteza o normalnosti takvih veličina svoje teorijsko opravdanje nalazi u središnjem graničnom teoremu i dobila je brojne praktične potvrde.
Zamislimo da se određeni proizvod prodaje u nekoliko maloprodajnih mjesta. Zbog slučajnog utjecaja različitih čimbenika, broj prodaja robe na svakoj lokaciji malo će varirati, ali će se prosjek svih vrijednosti približiti stvarnom prosječnom broju prodaja.
Odstupanja broja prodaja na svakom prodajnom mjestu od prosjeka čine simetričnu krivulju distribucije, blisku krivulji normalne distribucije. Svaki sustavni utjecaj bilo kojeg čimbenika očitovat će se u asimetriji distribucije.
Zadatak. Slučajna varijabla je normalno raspoređena s parametrima A= 8, σ = 3. Odredite vjerojatnost da će slučajna varijabla kao rezultat pokusa poprimiti vrijednost sadržanu u intervalu (12.5; 14).
Riješenje. Poslužimo se formulom (2.12). Imamo
Zadatak. Broj prodanih artikala određene vrste tjedno x može se smatrati normalno raspodijeljenim. Matematičko očekivanje broja prodaja
tisuća komada Standardna devijacija ove slučajne varijable je σ = 0,8 tisuća kom. Odredite vjerojatnost da će se u tjedan dana prodati od 15 do 17 tisuća jedinica. roba.
Riješenje. Slučajna vrijednost x normalno distribuiran s parametrima A= M( x) = 15,7; σ = 0,8. Trebate izračunati vjerojatnost nejednakosti 15 ≤ x≤ 17. Koristeći formulu (2.12) dobivamo
