Derivacija funkcije. Pravila za izračunavanje derivacija Derivacija funkcije fx

(\large\bf Derivacija funkcije)

Razmotrite funkciju y=f(x), naveden na intervalu (a, b). Neka x- bilo koja fiksna točka intervala (a, b), A Δx- proizvoljan broj takav da vrijednost x+Δx također pripada intervalu (a, b). Ovaj broj Δx zove se povećanje argumenta.

Definicija. Povećanje funkcije y=f(x) u točki x, što odgovara prirastu argumenta Δx, nazovimo broj

Δy = f(x+Δx) - f(x).

Vjerujemo u to Δx ≠ 0. Razmotrite na danoj fiksnoj točki x omjer inkrementa funkcije u ovoj točki i odgovarajućeg inkrementa argumenta Δx

Ovu relaciju ćemo nazvati relacijom razlike. Budući da vrijednost x smatramo fiksnim, omjer razlike je funkcija argumenta Δx. Ova je funkcija definirana za sve vrijednosti argumenata Δx, koji pripada nekoj dovoljno maloj okolini točke Δx=0, osim same točke Δx=0. Dakle, imamo pravo razmotriti pitanje postojanja limita navedene funkcije na Δx → 0.

Definicija. Derivacija funkcije y=f(x) u datoj fiksnoj točki x nazvana granica na Δx → 0 omjer razlike, tj

Pod uvjetom da ta granica postoji.

Oznaka. y'(x) ili f'(x).

Geometrijsko značenje derivacije: Derivacija funkcije f(x) u ovom trenutku x jednaka tangensu kuta između osi Vol i tangenta na graf ove funkcije u odgovarajućoj točki:

f′(x 0) = \tgα.

Mehaničko značenje derivata: Derivacija puta po vremenu jednaka je brzini pravocrtnog gibanja točke:

Jednadžba tangente na pravac y=f(x) u točki M 0 (x 0, y 0) poprima oblik

y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0).

Normala na krivulju u nekoj točki je okomica na tangentu u istoj točki. Ako f′(x 0)≠ 0, zatim jednadžba normale na pravac y=f(x) u točki M 0 (x 0, y 0) piše ovako:

Pojam diferencijabilnosti funkcije

Neka funkcija y=f(x) definiran u određenom intervalu (a, b), x- neka fiksna vrijednost argumenta iz ovog intervala, Δx- svako povećanje argumenta tako da vrijednost argumenta x+Δx ∈ (a, b).

Definicija. Funkcija y=f(x) nazivamo diferencijabilnim u datoj točki x, ako se povećava Δy ovu funkciju u točki x, što odgovara prirastu argumenta Δx, može se predstaviti u obliku

Δy = A Δx +αΔx,

Gdje A- neki broj neovisan o Δx, A α - funkcija argumenta Δx, što je infinitezimalno pri Δx→ 0.

Budući da je umnožak dviju infinitezimalnih funkcija αΔx je infinitezimal višeg reda od Δx(svojstvo 3 infinitezimalne funkcije), tada možemo napisati:

Δy = A Δx +o(Δx).

Teorema. Kako bi funkcija y=f(x) bilo diferencijabilno u datoj točki x, potrebno je i dovoljno da ima konačnu derivaciju u ovoj točki. pri čemu A=f′(x), to je

Δy = f′(x) Δx +o(Δx).

Operacija nalaženja derivacije obično se naziva diferenciranje.

Teorema. Ako funkcija y=f(x) x, onda je kontinuirana u ovoj točki.

Komentar. Iz neprekidnosti funkcije y=f(x) u ovom trenutku x, općenito govoreći, diferencijabilnost funkcije ne slijedi f(x) u ovom trenutku. Na primjer, funkcija y=|x|- kontinuirano u točki x=0, ali nema izvedenicu.

Pojam diferencijalne funkcije

Definicija. Funkcijski diferencijal y=f(x) naziva se umnožak derivacije te funkcije i prirasta nezavisne varijable x:

dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.

Za funkciju y=x dobivamo dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, to je dx=Δx- diferencijal nezavisne varijable jednak je prirastu ove varijable.

Dakle, možemo pisati

dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx

Diferencijal dy i prirast Δy funkcije y=f(x) u ovom trenutku x, oba odgovaraju istom prirastu argumenta Δx, općenito govoreći, nisu međusobno jednaki.

Geometrijsko značenje diferencijala: Diferencijal funkcije jednak je prirastu ordinate tangente na graf ove funkcije kada se argument povećava Δx.

Pravila razlikovanja

Teorema. Ako svaka od funkcija u(x) I v(x) diferencijabilan u datoj točki x, zatim zbroj, razlika, umnožak i kvocijent ovih funkcija (kvocijent pod uvjetom da v(x)≠ 0) su također diferencijabilne u ovoj točki, a formule vrijede:

Razmotrite složenu funkciju y=f(φ(x))≡ F(x), Gdje y=f(u), u=φ(x). U ovom slučaju u nazvao posredni argument, x - neovisna varijabla.

Teorema. Ako y=f(u) I u=φ(x) su diferencijabilne funkcije svojih argumenata, zatim izvod složene funkcije y=f(φ(x)) postoji i jednak je umnošku ove funkcije s obzirom na posredni argument i derivacije posrednog argumenta s obzirom na nezavisnu varijablu, tj.

Komentar. Za složenu funkciju koja je superpozicija triju funkcija y=F(f(φ(x))), pravilo diferenciranja ima oblik

y′ x = y′ u u′ v v′ x,

gdje su funkcije v=φ(x), u=f(v) I y=F(u)- diferencijabilne funkcije svojih argumenata.

Teorema. Neka funkcija y=f(x) raste (ili opada) i kontinuirana je u nekoj okolini točke x 0. Neka je, osim toga, ova funkcija diferencijabilna u navedenoj točki x 0 i njegov derivat u ovom trenutku f′(x 0) ≠ 0. Zatim u nekoj okolini odgovarajuće točke y 0 =f(x 0) inverz je definiran za y=f(x) funkcija x=f -1 (y), a naznačena inverzna funkcija je diferencijabilna u odgovarajućoj točki y 0 =f(x 0) a za njegov derivat u ovom trenutku g formula vrijedi

Tablica izvedenica

Invarijantnost oblika prvog diferencijala

Razmotrimo diferencijal složene funkcije. Ako y=f(x), x=φ(t)- funkcije svojih argumenata su diferencijabilne, zatim izvod funkcije y=f(φ(t)) izražen formulom

y′ t = y′ x x′ t.

A-priorat dy=y′ t dt, onda dobivamo

dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,

dy = y′ x dx.

Dakle, dokazali smo

Svojstvo invarijantnosti oblika prvog diferencijala funkcije: kao u slučaju kada argument x je nezavisna varijabla, a u slučaju kada je argument x sama je diferencijabilna funkcija nove varijable, diferencijala dy funkcije y=f(x) jednaka je derivaciji ove funkcije pomnoženoj s diferencijalom argumenta dx.

Primjena diferencijala u aproksimativnim proračunima

Pokazali smo da diferencijal dy funkcije y=f(x), općenito govoreći, nije jednako priraštaju Δy ovu funkciju. Međutim, do infinitezimalne funkcije višeg reda malenosti od Δx, vrijedi približna jednakost

Δy ≈ dy.

Omjer se naziva relativna pogreška jednakosti ove jednakosti. Jer Δy-dy=o(Δx), tada relativna pogreška ove jednakosti postaje željena mala s opadanjem |Δh|.

S obzirom na to Δy=f(x+δ x)-f(x), dy=f′(x)Δx, dobivamo f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δx ili

f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

Ova približna jednakost dopušta s greškom o(Δx) zamijeniti funkciju f(x) u malom susjedstvu točke x(tj. za male vrijednosti Δx) linearna funkcija argumenta Δx, stojeći s desne strane.

Izvodnice višeg reda

Definicija. Drugi izvod (ili izvod drugog reda) funkcije y=f(x) naziva se derivacija svoje prve derivacije.

Zapis za drugu derivaciju funkcije y=f(x):

Mehaničko značenje druge derivacije. Ako funkcija y=f(x) opisuje zakon gibanja materijalne točke po pravoj liniji, zatim drugu izvodnicu f″(x) jednaka ubrzanju pokretne točke u trenutku vremena x.

Slično se određuju treća i četvrta derivacija.

Definicija. n izvedenica (ili izvedenica n-th reda) funkcije y=f(x) naziva se njegova izvedenica n-1 derivacija:

y (n) =(y (n-1))', f (n) (x)=(f (n-1) (x))'.

Oznake: y″′, y IV, y V itd.

Postupak nalaženja derivacije funkcije naziva se diferencijacija. Derivacija se mora pronaći u brojnim problemima tijekom matematičke analize. Na primjer, kod pronalaženja točaka ekstrema i točaka infleksije grafa funkcije.

Kako pronaći?

Da biste pronašli derivaciju funkcije potrebno je poznavati tablicu derivacija elementarnih funkcija i primijeniti osnovna pravila diferenciranja:

1. Pomicanje konstante iza predznaka derivacije: $$ (Cu)" = C(u)" $$
2. Derivacija zbroja/razlike funkcija: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
3. Derivacija umnoška dviju funkcija: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
4. Derivacija razlomka: $$ \bigg (\frac(u)(v) \bigg)" = \frac(u"v - uv"))(v^2) $$
5. Derivacija složene funkcije: $$ (f(g(x)))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$

Primjeri rješenja

Primjer 1

Pronađite derivaciju funkcije $ y = x^3 - 2x^2 + 7x - 1 $

Riješenje

Derivacija zbroja/razlike funkcija jednaka je zbroju/razlici derivacija: $$ y" = (x^3 - 2x^2 + 7x - 1)" = (x^3)" - (2x^2)" + (7x)" - (1)" = $$ Korištenjem pravila za derivaciju funkcije snage $ (x^p)" = px^(p-1) $ imamo: $$ y" = 3x^(3-1) - 2 \cdot 2 x^(2-1) + 7 - 0 = 3x^2 - 4x + 7 $$ Također je uzeto u obzir da je derivacija konstante jednaka nuli. Ako ne možete riješiti svoj problem, pošaljite nam ga. Mi ćemo pružiti detaljno rješenje. Moći ćete vidjeti napredak izračuna i dobiti informacije. To će vam pomoći da na vrijeme dobijete ocjenu od svog učitelja!

Odgovor

$$y" = 3x^2 - 4x + 7 $$

U ovoj lekciji naučit ćemo primijeniti formule i pravila diferencijacije.

Primjeri. Naći derivacije funkcija.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Primjena pravila ja, formule 4, 2 i 1. Dobivamo:

y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x 6 -2x+5. Rješavamo slično, koristeći iste formule i formulu 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Primjena pravila ja, formule 3, 5 I 6 I 1.

Primjena pravila IV, formule 5 I 1 .

U petom primjeru prema pravilu ja izvod zbroja jednak je zbroju izvoda, a upravo smo pronašli izvod 1. člana (primjer 4 ), dakle, pronaći ćemo izvedenice 2 I 3 uvjeti, i za 1 zbroj možemo odmah napisati rezultat.

Hajdemo razlikovati 2 I 3 termini prema formuli 4 . Da bismo to učinili, transformiramo korijene treće i četvrte potencije u nazivnicima u potencije s negativnim eksponentima, a zatim, prema 4 formule, nalazimo izvodnice potencija.

Pogledajte ovaj primjer i rezultat. Jeste li uhvatili obrazac? Fino. To znači da imamo novu formulu i možemo je dodati u našu tablicu izvedenica.

Riješimo šesti primjer i izvedimo još jednu formulu.

Poslužimo se pravilom IV i formula 4 . Skratimo dobivene razlomke.

Pogledajmo ovu funkciju i njenu derivaciju. Vi, naravno, razumijete obrazac i spremni ste imenovati formulu:

Učenje novih formula!

Primjeri.

1. Nađi priraštaj argumenta i priraštaj funkcije y= x 2, ako je početna vrijednost argumenta bila jednaka 4 , i novo - 4,01 .

Riješenje.

Nova vrijednost argumenta x=x 0 +Δx. Zamijenimo podatke: 4.01=4+Δh, dakle povećanje argumenta Δh=4,01-4=0,01. Prirast funkcije, po definiciji, jednak je razlici između nove i prethodne vrijednosti funkcije, tj. Δy=f (x 0 + Δx) - f (x 0). Budući da imamo funkciju y=x2, To Δu=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Odgovor: povećanje argumenta Δh=0,01; prirast funkcije Δu=0,0801.

Povećanje funkcije može se pronaći drugačije: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4,01) -y(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Odredite kut nagiba tangente na graf funkcije y=f(x) u točki x 0, Ako f "(x 0) = 1.

Riješenje.

Vrijednost derivacije u točki dodirivanja x 0 a je vrijednost tangensa tangentnog kuta (geometrijsko značenje derivacije). Imamo: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, jer tg45°=1.

Odgovor: tangenta na graf ove funkcije čini kut s pozitivnim smjerom osi Ox jednak 45°.

3. Izvedite formulu za izvod funkcije y=x n.

Diferencijacija je radnja pronalaženja izvoda funkcije.

Pri pronalaženju derivacija koristiti formule koje su izvedene na temelju definicije derivacije, na isti način kao što smo izveli formulu za stupanj derivacije: (x n)" = nx n-1.

Ovo su formule.

Tablica izvedenica Bit će lakše zapamtiti izgovaranjem verbalnih formulacija:

1. Derivacija konstantne veličine jednaka je nuli.

2. Primredni broj x jednak je jedan.

3. Konstantni faktor se može uzeti iz predznaka derivacije.

4. Derivacija stupnja jednaka je umnošku eksponenta tog stupnja sa stupnjem iste baze, ali je eksponent za jedan manji.

5. Izvodnica korijena jednaka je jedinici podijeljenoj s dva jednaka korijena.

6. Derivacija od jedan podijeljeno s x jednaka je minus jedan podijeljeno s x na kvadrat.

7. Derivacija sinusa jednaka je kosinusu.

8. Derivacija kosinusa jednaka je minus sinus.

9. Derivacija tangensa jednaka je jedinici podijeljenoj s kvadratom kosinusa.

10. Derivacija kotangensa jednaka je minus jedan podijeljeno s kvadratom sinusa.

mi podučavamo pravila razlikovanja.

1. Derivacija algebarske sume jednaka je algebarskoj sumi derivacija članova.

2. Derivacija umnoška jednaka je umnošku derivacije prvog i drugog faktora plus umnožak prvog faktora i derivacije drugog.

3. Derivacija "y" podijeljena s "ve" jednaka je razlomku u kojem je brojnik "y pomnožen s "ve" minus "y pomnožen s ve", a nazivnik je "ve na kvadrat".

4. Poseban slučaj formule 3.

Učimo zajedno!

Stranica 1 od 1 1

Operacija nalaženja derivacije naziva se diferenciranje.

Kao rezultat rješavanja problema nalaženja derivacija najjednostavnijih (i ne baš jednostavnih) funkcija definiranjem derivacije kao granice omjera prirasta i prirasta argumenta, pojavila se tablica derivacija i točno definirana pravila diferenciranja. . Prvi koji su radili na polju pronalaženja izvedenica bili su Isaac Newton (1643-1727) i Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Stoga, u naše vrijeme, da biste pronašli izvod bilo koje funkcije, ne morate izračunati gore spomenutu granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, već samo trebate koristiti tablicu izvodnice i pravila diferenciranja. Sljedeći algoritam prikladan je za pronalaženje derivacije.

Da bismo pronašli izvod, potreban vam je izraz pod glavnim znakom rastaviti jednostavne funkcije na komponente i odrediti koje radnje (umnožak, zbroj, kvocijent) te su funkcije povezane. Dalje, derivacije elementarnih funkcija nalazimo u tablici derivacija, a formule za derivacije umnoška, ​​zbroja i kvocijenta - u pravilima diferenciranja. Tablica izvoda i pravila diferenciranja dani su nakon prva dva primjera.

Primjer 1. Pronađite izvod funkcije

Riješenje. Iz pravila diferenciranja saznajemo da je derivacija zbroja funkcija zbroj derivacija funkcija, tj.

Iz tablice derivacija saznajemo da je derivacija "x" jednaka jedinici, a derivacija sinusa jednaka kosinusu. Zamjenjujemo ove vrijednosti u zbroj derivacija i pronalazimo derivaciju koju zahtijeva uvjet problema:

Primjer 2. Pronađite izvod funkcije

Riješenje. Diferenciramo kao izvod zbroja u kojem drugi član ima konstantan faktor, može se uzeti iz predznaka izvoda:

Ako se ipak pojave pitanja o tome odakle nešto dolazi, obično se razjasne nakon upoznavanja s tablicom derivacija i najjednostavnijim pravilima razlikovanja. Upravo sada prelazimo na njih.

Tablica izvoda jednostavnih funkcija

1. Derivacija konstante (broja). Bilo koji broj (1, 2, 5, 200...) koji se nalazi u funkcijskom izrazu. Uvijek jednaka nuli. Ovo je vrlo važno zapamtiti, jer je potrebno vrlo često
2. Derivacija nezavisne varijable. Najčešće "X". Uvijek jednako jedan. Ovo je također važno zapamtiti dugo vremena
3. Derivacija stupnja. Kada rješavate probleme, morate pretvoriti nekvadratne korijene u potencije.
4. Derivacija varijable na potenciju -1
5. Derivacija kvadratnog korijena
6. Derivacija sinusa
7. Derivacija kosinusa
8. Derivacija tangente
9. Derivacija kotangensa
10. Derivacija arcsinusa
11. Derivacija arkosinusa
12. Derivacija arktangensa
13. Derivacija ark kotangensa
14. Derivacija prirodnog logaritma
15. Derivacija logaritamske funkcije
16. Derivacija eksponenta
17. Derivacija eksponencijalne funkcije

Pravila razlikovanja

1. Derivacija zbroja ili razlike
2. Derivat proizvoda
2a. Derivacija izraza pomnožena konstantnim faktorom
3. Derivacija kvocijenta
4. Derivacija složene funkcije

Pravilo 1.Ako funkcije

su diferencijabilne u nekoj točki, tada su funkcije diferencijabilne u istoj točki

i

oni. derivacija algebarske sume funkcija jednaka je algebarskoj sumi derivacija tih funkcija.

Posljedica. Ako se dvije diferencijabilne funkcije razlikuju za konstantni član, tada su njihove derivacije jednake, tj.

Pravilo 2.Ako funkcije

diferencijabilni u nekoj točki, tada je njihov umnožak diferencijabilan u istoj točki

i

oni. Derivacija umnoška dviju funkcija jednaka je zbroju umnožaka svake od tih funkcija i derivacije druge.

Korolar 1. Konstantni faktor se može uzeti iz predznaka derivacije:

Korolar 2. Derivacija umnoška nekoliko diferencijabilnih funkcija jednaka je zbroju umnožaka derivacija svakog faktora i svih ostalih.

Na primjer, za tri množitelja:

Pravilo 3.Ako funkcije

diferencijabilan u nekom trenutku I , onda je u ovoj točki njihov kvocijent također diferencijabilanu/v , i

oni. derivacija kvocijenta dviju funkcija jednaka je razlomku čiji je brojnik razlika umnožaka nazivnika i derivacije brojnika i brojnika i derivacije nazivnika, a nazivnik je kvadrat nekadašnji brojnik.

Gdje tražiti stvari na drugim stranicama

Pri pronalaženju derivacije umnoška i kvocijenta u stvarnim zadacima uvijek je potrebno primijeniti nekoliko pravila razlikovanja odjednom, stoga u članku ima više primjera na tim derivacijama"Derivacija umnoška i kvocijent funkcija".

Komentar. Ne smijete brkati konstantu (odnosno broj) kao pojam u zbroju i kao konstantni faktor! Kod člana njegova je derivacija jednaka nuli, a kod konstantnog faktora izuzima se iz predznaka derivacija. Ovo je tipična pogreška koja se javlja u početnoj fazi učenja izvedenica, no kako prosječan učenik riješi nekoliko jednodijelnih i dvodijelnih primjera, više ne radi tu pogrešku.

A ako pri diferenciranju proizvoda ili kvocijenta imate pojam u"v, u kojem u- broj, na primjer, 2 ili 5, odnosno konstanta, onda će izvod tog broja biti jednak nuli i, prema tome, cijeli član će biti jednak nuli (ovaj slučaj je objašnjen u primjeru 10).

Druga česta pogreška je mehaničko rješavanje izvoda složene funkcije kao izvoda jednostavne funkcije. Zato izvod složene funkcije posvećen je poseban članak. Ali prvo ćemo naučiti pronaći derivacije jednostavnih funkcija.

Usput, ne možete bez transformacije izraza. Da biste to učinili, možda ćete morati otvoriti priručnik u novim prozorima. Radnje s moćima i korijenima I Operacije s razlomcima .

Ako tražite rješenja za derivacije razlomaka s potencijama i korijenima, odnosno kada funkcija izgleda , zatim slijedite lekciju “Derivacija zbroja razlomaka s potencijama i korijenima.”

Ako imate zadatak poput , tada ćete uzeti lekciju “Derivacije jednostavnih trigonometrijskih funkcija”.

Korak po korak primjeri - kako pronaći izvedenicu

Primjer 3. Pronađite izvod funkcije

Riješenje. Definiramo dijelove izraza funkcije: cijeli izraz predstavlja umnožak, a njegovi faktori su zbrojevi, u drugom od kojih jedan od članova sadrži konstantni faktor. Primjenjujemo pravilo diferenciranja umnoška: derivacija umnoška dviju funkcija jednaka je zbroju umnožaka svake od ovih funkcija s derivacijom one druge:

Zatim primjenjujemo pravilo diferenciranja zbroja: derivacija algebarskog zbroja funkcija jednaka je algebarskom zbroju derivacija tih funkcija. U našem slučaju, u svakom zbroju drugi član ima predznak minus. U svakom zbroju vidimo i nezavisnu varijablu, čija je derivacija jednaka jedinici, i konstantu (broj), čija je derivacija jednaka nuli. Dakle, "X" se pretvara u jedan, a minus 5 se pretvara u nulu. U drugom izrazu, "x" se množi s 2, tako da množimo dva s istom jedinicom kao izvod od "x". Dobivamo sljedeće vrijednosti izvedenica:

Pronađene derivacije supstituiramo u zbroj umnožaka i dobijemo derivaciju cijele funkcije koju zahtijeva uvjet zadatka:

A možete provjeriti rješenje zadatka derivata na.

Primjer 4. Pronađite izvod funkcije

Riješenje. Od nas se traži da nađemo izvod kvocijenta. Primjenjujemo formulu za diferenciranje kvocijenta: derivacija kvocijenta dviju funkcija jednaka je razlomku čiji je brojnik razlika umnožaka nazivnika i derivacije brojnika i brojnika i derivacije nazivnik, a nazivnik je kvadrat prethodnog brojnika. Dobivamo:

Već smo pronašli izvod faktora u brojniku u primjeru 2. Ne zaboravimo također da je umnožak, koji je drugi faktor u brojniku u ovom primjeru, uzet s predznakom minus:

Ako tražite rješenja za probleme u kojima treba pronaći izvod funkcije, gdje postoji kontinuirana gomila korijena i potencija, kao što je npr. , onda dobrodošli u razred "Derivacija zbroja razlomaka s potencijama i korijenima" .

Ako trebate naučiti više o izvodnicama sinusa, kosinusa, tangensa i drugih trigonometrijskih funkcija, odnosno kada funkcija izgleda , onda lekcija za vas "Derivacije jednostavnih trigonometrijskih funkcija" .

Primjer 5. Pronađite izvod funkcije

Riješenje. U ovoj funkciji vidimo umnožak čiji je jedan od faktora kvadratni korijen nezavisne varijable s čijom smo se derivacijom upoznali u tablici derivacija. Koristeći pravilo diferenciranja umnoška i tablične vrijednosti derivacije kvadratnog korijena, dobivamo:

Rješenje zadatka izvodnice možete provjeriti na online kalkulator izvedenica .

Primjer 6. Pronađite izvod funkcije

Riješenje. U ovoj funkciji vidimo kvocijent čiji je dividenda kvadratni korijen nezavisne varijable. Koristeći pravilo diferenciranja kvocijenata, koje smo ponovili i primijenili u primjeru 4, i tabelarnu vrijednost derivacije kvadratnog korijena, dobivamo:

Da biste se riješili razlomka u brojniku, pomnožite brojnik i nazivnik s .

Rješavanje fizikalnih problema ili primjera iz matematike potpuno je nemoguće bez poznavanja derivacije i metoda za njezino izračunavanje. Derivacija je jedan od najvažnijih pojmova u matematičkoj analizi. Odlučili smo današnji članak posvetiti ovoj temeljnoj temi. Što je derivacija, koje je njeno fizičko i geometrijsko značenje, kako izračunati derivaciju funkcije? Sva se ova pitanja mogu spojiti u jedno: kako razumjeti izvedenicu?

Geometrijsko i fizičko značenje derivacije

Neka postoji funkcija f(x) , naveden u određenom intervalu (a, b) . Točke x i x0 pripadaju tom intervalu. Kada se x promijeni, mijenja se i sama funkcija. Promjena argumenta - razlika u njegovim vrijednostima x-x0 . Ova razlika se piše kao delta x i naziva se prirast argumenta. Promjena ili povećanje funkcije je razlika između vrijednosti funkcije u dvije točke. Definicija derivata:

Derivacija funkcije u točki je granica omjera prirasta funkcije u danoj točki i prirasta argumenta kada potonji teži nuli.

Inače se može napisati ovako:

Koja je svrha pronalaženja takve granice? Evo što je:

derivacija funkcije u točki jednaka je tangensu kuta između osi OX i tangente na graf funkcije u danoj točki.

Fizičko značenje derivata: derivacija puta po vremenu jednaka je brzini pravocrtnog gibanja.

Dapače, još od školskih dana svi znaju da je brzina poseban put x=f(t) i vrijeme t . Prosječna brzina u određenom vremenskom razdoblju:

Da biste saznali brzinu kretanja u određenom trenutku t0 morate izračunati granicu:

Prvo pravilo: postavite konstantu

Konstanta se može izvući iz predznaka derivacije. Štoviše, to treba učiniti. Kada rješavate primjere iz matematike, uzmite to kao pravilo - Ako možete pojednostaviti izraz, svakako ga pojednostavite .

Primjer. Izračunajmo derivaciju:

Drugo pravilo: derivacija zbroja funkcija

Derivacija zbroja dviju funkcija jednaka je zbroju derivacija tih funkcija. Isto vrijedi i za derivaciju razlike funkcija.

Nećemo davati dokaz ovog teorema, već ćemo razmotriti praktični primjer.

Pronađite izvod funkcije:

Treće pravilo: derivacija umnoška funkcija

Derivacija umnoška dviju diferencijabilnih funkcija izračunava se po formuli:

Primjer: pronađite izvod funkcije:

Riješenje:

Ovdje je važno govoriti o izračunavanju derivacija složenih funkcija. Derivacija složene funkcije jednaka je umnošku derivacije te funkcije s obzirom na međuargument i derivacije međuargumenta s obzirom na nezavisnu varijablu.

U gornjem primjeru nailazimo na izraz:

U ovom slučaju, srednji argument je 8x na petu potenciju. Kako bismo izračunali derivaciju takvog izraza, prvo izračunamo derivaciju vanjske funkcije s obzirom na srednji argument, a zatim množimo s derivacijom samog posrednog argumenta s obzirom na nezavisnu varijablu.

Četvrto pravilo: derivacija kvocijenta dviju funkcija

Formula za određivanje derivacije kvocijenta dviju funkcija:

Pokušali smo ispočetka razgovarati o izvedenicama za lutke. Ova tema nije tako jednostavna kao što se čini, stoga budite upozoreni: u primjerima često postoje zamke, stoga budite oprezni pri izračunavanju izvedenica.

Za sva pitanja o ovoj i drugim temama možete se obratiti studentskoj službi. U kratkom vremenu pomoći ćemo vam riješiti najteži test i razumjeti zadatke, čak i ako nikada prije niste radili izvodne izračune.