Do sada smo razmatrali usporedbu kada na tijelo djeluju dvije (ili više) sila čiji je vektorski zbroj jednak nuli. U tom slučaju tijelo može mirovati ili se gibati jednoliko. Ako tijelo miruje, tada je ukupni rad svih sila koje djeluju na njega jednak nuli. Rad svake pojedine sile također je jednak nuli. Ako se tijelo giba jednoliko, tada je ukupni rad svih sila još uvijek jednak nuli. Ali svaka sila zasebno, ako nije okomita na smjer gibanja, vrši određeni rad – pozitivan ili negativan.
Razmotrimo sada slučaj kada rezultanta svih sila koje djeluju na tijelo nije jednaka nuli ili kada na tijelo djeluje samo jedna sila. U tom slučaju, kao što proizlazi iz drugog Newtonovog zakona, tijelo će se gibati ubrzano. Brzina tijela će se mijenjati, a rad sila u tom slučaju nije jednak nuli, može biti pozitivan ili negativan. Može se očekivati da postoji neka vrsta veze između promjene brzine tijela i rada sila koje djeluju na tijelo. Pokušajmo ga instalirati. Zamislimo, radi jednostavnosti razmišljanja, da se tijelo giba po ravnoj liniji i da je rezultanta sila primijenjenih na njega konstantna u apsolutnoj vrijednosti; a usmjerena je duž iste ravne linije. Označimo tu rezultantu sile s , a projekciju pomaka na smjer sile s Usmjerimo koordinatnu os duž smjera sile. Tada je, kao što je pokazano u § 75, obavljeni rad jednak Usmjerimo koordinatnu os duž pomaka tijela. Tada je, kao što je pokazano u § 75., rad A rezultante jednak: Ako se smjerovi sile i pomaka podudaraju, tada je rad pozitivan. Ako je rezultanta usmjerena suprotno od smjera gibanja tijela, tada je njegov rad negativan. Sila daje tijelu ubrzanje a. Prema drugom Newtonovom zakonu. S druge strane, u drugom poglavlju smo utvrdili da kod pravocrtnog jednoliko ubrzanog gibanja
Iz toga slijedi da
Ovdje je početna brzina tijela, tj. njegova brzina na početku gibanja je njegova brzina na kraju ovog odsječka.
Dobili smo formulu koja povezuje rad sile s promjenom brzine (točnije kvadrata brzine) tijela uzrokovanom tom silom.
Polovica umnoška mase tijela s kvadratom njegove brzine ima poseban naziv - kinetička energija tijela, a formulu (1) često nazivamo i teoremom o kinetičkoj energiji.
Rad sile jednak je promjeni kinetičke energije tijela.
Može se pokazati da formula (1), koju smo izveli za silu konstantne veličine i usmjerenu duž gibanja, vrijedi iu slučajevima kada se sila mijenja i njen smjer se ne poklapa sa smjerom gibanja.
Formula (1) je izvanredna u mnogim pogledima.
Prvo, iz toga proizlazi da rad sile koja djeluje na tijelo ovisi samo o početnim i krajnjim vrijednostima brzine tijela i ne ovisi o brzini kojom se kretalo u drugim točkama.
Drugo, iz formule (1) jasno je da njegova desna strana može biti pozitivna ili negativna, ovisno o tome povećava li se brzina tijela ili smanjuje. Ako se brzina tijela povećava, onda je desna strana formule (1) pozitivna, dakle, rad bi trebao biti takav jer da bi se povećala brzina tijela (u apsolutnoj vrijednosti), sila koja na njega djeluje mora biti usmjeren u istom smjeru kao i pomak. Naprotiv, kada se brzina tijela smanjuje, desna strana formule (1) poprima negativnu vrijednost (sila je usmjerena suprotno od pomaka).
Ako je u početnoj točki brzina tijela nula, izraz za rad ima oblik:
Formula (2) nam omogućuje izračunavanje rada koji je potrebno izvršiti da bi se prenijela brzina jednaka
Suprotno je očito: da bi se tijelo zaustavilo u brzom kretanju, mora se izvršiti rad
vrlo podsjeća na formulu dobivenu u prethodnom poglavlju (vidi § 59), uspostavljajući između impulsa sile i promjene količine gibanja tijela
Doista, lijeva strana formule (3) razlikuje se od lijeve strane formule (1) po tome što se u njoj sila ne množi kretanjem koje tijelo izvodi, već vremenom djelovanja sile. Na desnoj strani formule (3) nalazi se umnožak mase tijela i njegove brzine (impulsa) umjesto polovice umnoška mase tijela i kvadrata njegove brzine, koji se pojavljuje na desnoj strani formule (1). Obje ove formule posljedica su Newtonovih zakona (iz kojih su izvedene), a veličine su karakteristike gibanja.
No postoji i temeljna razlika između formula (1) i (3): formula O) uspostavlja vezu između skalarnih veličina, dok je formula (3) vektorska formula.
Zadatak I. Koliki rad treba izvršiti da bi se vlak kretao brzinom da bi mu se povećala masa? Kojom silom treba djelovati na vlak da se to povećanje brzine dogodi na dionici od 2 km? Gibanje se smatra jednoliko ubrzanim.
Riješenje. Posao A može se pronaći pomoću formule
Zamjenom podataka navedenih u zadatku ovdje dobivamo:
Ali prema definiciji, dakle,
Zadatak 2, Koju će visinu doseći tijelo kad se baci uvis pri početnoj brzini?
Riješenje. Tijelo će se uzdizati sve dok mu brzina ne postane nula. Na tijelo djeluje samo sila teže, gdje je masa tijela, a akceleracija gravitacije (zanemarujemo silu otpora zraka i Arhimedovu silu).
Primjena formule
Taj smo izraz već ranije dobili (vidi stranicu 60) na složeniji način.
Vježba 48
1. Kako je rad sile povezan s kinetičkom energijom tijela?
2 Kako se mijenja kinetička energija tijela ako sila koja na njega djeluje pozitivnim radom?
3. Kako se mijenja kinetička energija tijela ako na njega djeluje sila negativan rad.
4. Tijelo se jednoliko giba po kružnici polumjera 0,5 m, a ima kinetičku energiju 10 J. Kolika je sila koja djeluje na tijelo? Kako se usmjerava? Koliki je rad ove sile?
5. Na tijelo koje miruje mase 3 kg djeluje sila od 40 N. Nakon toga tijelo prolazi glatkom horizontalnom ravninom 3 m, a zatim se sila smanji na 20 N, a tijelo prijeđe još 3 m. Nađite kinetičku energiju tijela u krajnjoj točki gibanja.
6. Koliki rad treba izvršiti da se zaustavi vlak mase 1000 tona koji se kreće brzinom 108 km/h?
7. Na tijelo mase 5 kg, koje se giba brzinom 6 m/sek, djeluje sila od 8 N, usmjerena u smjeru suprotnom od gibanja. Zbog toga se brzina tijela smanjuje na 2 m/s. Koliki je rad, u veličini i predznaku, izvršila sila? Koliki je put prešlo tijelo?
8. Na tijelo koje je u početku mirovalo počinje djelovati sila od 4 N, usmjerena pod kutom od 60° u odnosu na horizontalu. Tijelo se giba po glatkoj horizontalnoj površini bez trenja. Izračunajte rad sile ako tijelo prijeđe put od 1 m.
9. Što je teorem o kinetičkoj energiji?
U inercijalnim referentnim sustavima promjena brzine nekog tijela moguća je samo kad na njega djeluje drugo tijelo. Djelovanje jednog tijela na drugo izražava se kvantitativno pomoću fizičke veličine kao što je sila (). Udar jednog tijela o drugo može izazvati promjenu brzine tijela, kako u veličini tako iu smjeru. Prema tome, sila je vektor i određena je ne samo veličinom (modulom), već i smjerom. Smjer sile određuje smjer vektora ubrzanja tijela na koje dotična sila djeluje.
Veličina i smjer sile određeni su drugim Newtonovim zakonom:
gdje je m masa tijela na koje sila djeluje – ubrzanje koje sila daje dotičnom tijelu. Značenje drugog Newtonovog zakona je da sile koje djeluju na tijelo određuju kako se mijenja brzina tijela, a ne samo njegova brzina. Imajte na umu da je Newtonov drugi zakon zadovoljen isključivo u inercijalnim referentnim okvirima.
Ako na tijelo djeluje više sila istodobno, tada se tijelo giba akceleracijom koja je jednaka vektorskom zbroju akceleracija koje bi nastale pod utjecajem svakog od tijela zasebno. Sile koje djeluju na tijelo i djeluju na jednu točku treba zbrajati u skladu s pravilom zbrajanja vektora.
DEFINICIJA
Naziva se vektorski zbroj svih sila koje istovremeno djeluju na neko tijelo rezultantna sila ():
Ako na tijelo djeluje više sila, tada se drugi Newtonov zakon piše ovako:
Rezultanta svih sila koje djeluju na tijelo može biti jednaka nuli ako postoji međusobna kompenzacija sila koje djeluju na tijelo. U tom slučaju tijelo se giba stalnom brzinom ili miruje.
Pri prikazu sila koje djeluju na tijelo na crtežu, u slučaju jednoliko ubrzanog gibanja tijela, rezultanta sile usmjerene duž akceleracije treba biti prikazana dužom od suprotno usmjerene sile (zbroja sila). U slučaju jednolikog gibanja (ili mirovanja) veličina vektora sila usmjerenih u suprotnim smjerovima je ista.
Da biste pronašli rezultantu sile, trebate na crtežu prikazati sve sile koje se moraju uzeti u obzir u zadatku koje djeluju na tijelo. Sile treba zbrajati prema pravilima zbrajanja vektora.
Primjeri rješavanja problema
PRIMJER 1
| Vježbajte | Tijelo miruje na kosoj ravnini (slika 1), nacrtajte sile koje djeluju na tijelo, kolika je rezultanta svih sila koje djeluju na tijelo? |
| Riješenje | Napravimo crtež. Na tijelo koje se nalazi na kosoj ravnini djeluju: sila teže (), sila normalne reakcije oslonca () i sila statičkog trenja (prema stanju tijelo se ne kreće) (). Rezultanta svih sila koje djeluju na tijelo () može se pronaći vektorskim zbrajanjem: Zbrojimo prvo silu gravitaciju i silu reakcije oslonca po pravilu paralelograma, dobijemo silu. Ta sila mora biti usmjerena duž kose ravnine prema kretanju tijela. Duljina vektora mora biti jednaka vektoru sile trna, jer tijelo po stanju miruje. Prema drugom Newtonovom zakonu, rezultanta mora biti jednaka nuli: |
| Odgovor | Rezultantna sila je nula. |
PRIMJER 2
| Vježbajte | Teret obješen u zraku na opruzi giba se konstantnom akceleracijom usmjerenom prema dolje (slika 3.) Koje sile djeluju na teret? Kolika je rezultanta sila koje djeluju na teret? Kamo će biti usmjerena rezultantna sila? |
| Riješenje | Napravimo crtež. Na teret obješen na oprugu djeluju: sila teže () od Zemlje i elastična sila opruge () (od opruge) Kada se teret kreće u zraku, sila trenja tereta na zrak se obično zanemaruje. Rezultantu sila primijenjenih na teret u našem problemu nalazimo kao: |
Statika je grana mehanike koja proučava uvjete ravnoteže tijela.
Iz drugog Newtonovog zakona slijedi da ako je geometrijski zbroj svih vanjskih sila koje djeluju na tijelo jednak nuli, tada tijelo miruje ili se giba jednoliko pravocrtno. U ovom slučaju, uobičajeno je reći da sile djeluju na tijelo ravnoteža jedni druge. Pri proračunu rezultanta mogu se primijeniti sve sile koje djeluju na tijelo centar mase .
Da bi tijelo koje ne rotira bilo u ravnoteži, potrebno je da rezultanta svih sila koje djeluju na tijelo bude jednaka nuli.
Na sl. 1.14.1 daje primjer ravnoteže krutog tijela pod djelovanjem triju sila. Točka raskrižja O linije djelovanja sila i ne poklapa se s točkom primjene gravitacije (centrom mase C), ali u ravnoteži su te točke nužno na istoj vertikali. Pri izračunu rezultante sve se sile svode na jednu točku.
Ako tijelo može rotirati u odnosu na neku os, zatim za njezinu ravnotežu Nije dovoljno da rezultanta svih sila bude nula.
Rotacijski učinak sile ne ovisi samo o njezinoj veličini, već i o udaljenosti između linije djelovanja sile i osi rotacije.
Duljina okomice povučene s osi rotacije na pravac djelovanja sile naziva se rame snage.
Umnožak modula sile po kraku d nazvao moment sile M. Trenuci onih sila koje teže okrenuti tijelo u smjeru suprotnom od kazaljke na satu smatraju se pozitivnima (slika 1.14.2).
Pravilo trenutaka : tijelo koje ima fiksnu os rotacije je u ravnoteži ako je algebarski zbroj momenata svih sila koje djeluju na tijelo u odnosu na tu os jednak nuli:
U Međunarodnom sustavu jedinica (SI) momenti sila mjere se u NNewton— metara (N∙m) .
U općem slučaju, kada se tijelo može gibati translatorno i rotirati, za ravnotežu je potrebno da su zadovoljena oba uvjeta: rezultantna sila jednaka nuli i zbroj svih momenata sila jednak nuli.
Kotač koji se kotrlja po vodoravnoj površini – primjer indiferentna ravnoteža(slika 1.14.3). Ako se kotač zaustavi u bilo kojem trenutku, bit će u ravnoteži. Uz indiferentnu ravnotežu, mehanika razlikuje stanja održivi I nestabilan ravnoteža.
Stanje ravnoteže nazivamo stabilnim ako se pri malim odstupanjima tijela od tog stanja javljaju sile ili momenti sila koji nastoje vratiti tijelo u ravnotežno stanje.
S malim odstupanjem tijela od stanja nestabilne ravnoteže nastaju sile ili momenti sila koji nastoje udaljiti tijelo iz ravnotežnog položaja.
Lopta koja leži na ravnoj horizontalnoj podlozi nalazi se u stanju indiferentne ravnoteže. Lopta smještena na vrhu sferne izbočine primjer je nestabilne ravnoteže. Konačno, kuglica na dnu sfernog udubljenja nalazi se u stanju stabilne ravnoteže (sl. 1.14.4).
Za tijelo s fiksnom osi rotacije moguća su sva tri tipa ravnoteže. Ravnoteža indiferencije nastaje kada os rotacije prolazi kroz središte mase. U stabilnoj i nestabilnoj ravnoteži središte mase je na okomitoj ravnici koja prolazi kroz os rotacije. Štoviše, ako je središte mase ispod osi rotacije, stanje ravnoteže ispada da je stabilno. Ako se središte mase nalazi iznad osi, stanje ravnoteže je nestabilno (sl. 1.14.5).
Poseban slučaj je ravnoteža tijela na osloncu. U ovom slučaju, elastična sila oslonca ne djeluje na jednu točku, već se raspoređuje na bazu tijela. Tijelo je u ravnoteži ako kroz njega prolazi okomica povučena kroz središte mase tijela područje podrške, tj. unutar konture koju čine linije koje povezuju točke oslonca. Ako ova linija ne presijeca područje oslonca, tada se tijelo prevrće. Zanimljiv primjer ravnoteže tijela na nosaču je kosi toranj u talijanskom gradu Pisi (sl. 1.14.6), kojim se, prema legendi, služio Galileo proučavajući zakone slobodnog pada tijela. Toranj ima oblik valjka visine 55 m i polumjera 7 m. Vrh tornja je odstupio od vertikale za 4,5 m.
Okomita crta povučena kroz središte mase tornja siječe bazu otprilike 2,3 m od njezina središta. Dakle, toranj je u stanju ravnoteže. Ravnoteža će se poremetiti i toranj će pasti kada otklon njegovog vrha od okomice dosegne 14 m, to se po svemu sudeći neće dogoditi tako skoro.
