Додаток б. чисельні експерименти з хаосу. Генератори хаосу на пліс Модель нелінійної хімічної реакції аттрактор ресслера

1

Стаття присвячена застосуванню методу аналітичного конструювання агрегованих регуляторів розробки законів управління типовими нелінійними динамічними системами з хаотичної динамікою, які забезпечують стабілізацію станів рівноваги у таких системах. У статті подано рішення одного з характерних завдань антихаотичного управління, а саме завдання придушення аперіодичних коливань у таких системах. Розроблено синергетичні закони управління хаотичними моделями Лоренца та Ресслера, які забезпечують стабілізацію фазових змінних у цих моделях. Введення синтезованих зворотних зв'язків призводить до виникнення у системах стану рівноваги. Проведено комп'ютерне моделювання синтезованих замкнутих динамічних систем, що підтверджує теоретичні положення синергетичної теорії керування. Синтезовані закони управління можуть бути використані в різних технічних програмах з метою підвищення ефективності їх функціонування.

модель Лоренца

модель Ресслера

динамічна система

управління

синергетика

Зворотній зв'язок

автоколивання

1. Аніщенко В.С., Вадівасова Т.Є. Лекції з нелінійної динаміки // Вісті вищих навчальних закладів. Прикладна нелінійна динаміка. - 2010. - Т. 18. - № 3. - С. 186-191.

2. Колесников А.А. Прикладна синергетика: Основи системного синтезу. - Таганрог: Вид-во ТТІ ЮФУ, 2007. - 384 с.

3. Колесников А.А. Синергетична теорія управління. - М.: Вища школа, 1994. - 344 с.

4. Малинецький Г.Г. Хаос. структури. Обчислювальний експеримент: Введення у нелінійну динаміку. - М.: Едиторіал УРСС, 2002. - 255 c.

5. Неймарк Ю.І., Ланда П.С. Стохастичні та хаотичні коливання. - М.: Наука, 1987. - 424 с.

6. Сучасна прикладна теорія управління. Ч. II: Синергетичний підхід у теорії управління/під. ред. А.А. Колесникова. - М.-Таганрог: Вид-во ТРТУ, 2000. - 558 с.

7. Lorenz E.N. Deterministic noperiodic flow // J. Atmos. SCI. - 1963. - № 20. - P. 130-133.

8. Rossler O.E. An equation for continuous chaos // Phys. Lett. A. - 1976. - Vol. 57А, № 5. - P. 397-398.

Сьогодні використання терміна «хаос» у наукових дослідженнях пов'язані з необхідністю описи таких систем, які характеризуються цілком випадкової, здавалося б, динамікою й те водночас присутністю у яких прихованого порядку.

Досить актуальна наукова проблемауправління хаотичною динамікою не вирішено і в даний час. З великої кількостіНаявних аспектів її вирішення як надзвичайно важливого можна виділити дослідження різноманітних методів та законів, що пригнічують нерегулярні коливання у нелінійних системах, що характеризуються наявністю хаотичної динаміки.

Проблематика управління нелінійними системамиз хаотичною динамікою має важливе прикладне значення. Варто зазначити, що справа тут не лише у боротьбі з хаосом, який часто порушує якість функціонування складних систем, а й у доцільній для низки технологічних процесів ідеї виникнення так званого порядку з хаосу.

Проблема придушення нерегулярних коливань відноситься до найбільш характерних проблем управління моделями з хаотичною динамікою і полягає в такому формуванні впливів, що управляють, при якому забезпечується стабілізація спочатку хаотичної моделі в стійкому стаціонарному стані. Надалі вважається, що є можливість впливу динаміку моделі з допомогою деякого зовнішнього управляючого впливу, яке адитивно входить до складу правої частини однієї з її диференціальних рівнянь.

Мета дослідження. У роботі вирішено завдання побудови скалярних законів управління, які забезпечують придушення хаотичних коливань у типових хаотичних системах Лоренца і Ресслера, у яких відбувається стабілізація нерегулярних коливань вихідних моделей у рівноважному стійкому стані. Завдання аналогічного типу виникають у разі потреби усунути небажані вібрації конструкцій, різні шуми тощо. .

Матеріали та методи дослідження

Одним із методів ефективного вирішення складного завдання управління хаосом та синтезу об'єктивних законів управління нелінійними системами з хаотичною динамікою є метод аналітичного конструювання агрегованих регуляторів (АКАР), запропонований професором А.А. Колесніковим.

Побудова скалярних регуляторів методом аналітичного конструювання агрегованих регуляторів ґрунтується на введенні послідовності інваріантних різноманіттям геометричної розмірності, що знижується, і наступної поетапної динамічної декомпозиції вихідної динамічної системи. У такому випадку зображувальна точка (ІТ) системи, почавши рухатися з довільного початкового стану, послідовно переміщається від однієї поверхні тяжіння до іншої, доки не потрапить на фінішну поверхню виду ψ1 = 0 → ψ2 = 0 → ... → ψm = 0. « Внутрішні» різноманіття топологічно вкладаються у «зовнішні». Таким чином, у синтезованій системі виникає внутрішній процессамоврядування. В результаті відбувається каскадне формування послідовності внутрішніх управлінь, які стискають фазовий об'єм системи у напрямку від зовнішньої області фазового простору до сукупності внутрішніх областей, що вкладаються одна в одну, аж до попадання ІТ в бажаний стан системи.

Припустимо, що у просторі станів замкнутої системи існує притягує інваріантне різноманіття виду ψ(x) = 0, що є асимптотическим межею фазових траєкторій. Взагалі, подібних різноманіття може бути кілька. Як правило, кількість інваріантних різноманітностей збігається з кількістю каналів керування. Тоді зображуюча точка системи починає прагнути перетину інваріантних різноманіттів. Необхідною умовою попадання зображувальної точки замкнутої системи «об'єкт-регулятор» на інваріантне різноманіття ψ(x) = 0 є, щоб її рух задовольняв деяке стійке диференціальне рівняння, записане щодо агрегованої макрозмінної ψ(x). Таке рівняння у синергетичній теорії управління називають функціональним чи еволюційним. Зазвичай система функціональних рівнянь задається як система звичайних диференціальних рівнянь першого порядку виду

S = 1, 2, …, m, Ts > 0.

Тут m – число заданих інваріантних різноманітностей; Ts - керуючий параметр, φ s (ψ s) - функція, яка повинна задовольняти наступну сукупність умов:

1) φ s (ψ s ) повинна бути безперервна, однозначна і диференційована при всіх ψs;

2) φ s (0) = 0;

3) φ s (ψ s ) > 0 за будь-яких 0,

тобто. вони звертаються в нуль тільки на різноманіттях s = 0, щодо яких система заданих функціональних рівнянь асимптотично стійка в цілому.

Як правило, у методі АКАР використовуються функціональні рівняння:

тобто. φ s (ψ s ) = ψ s 0. Рівняння такого типу, як видно, характеризуються асимптотичною стійкістю щодо різноманіття ψ s = 0 за умови Ts > 0.

У цій ситуації задача синтезу законів стабілізуючого керування хаотичними моделями у загальному випадку формулюється в такий спосіб. Необхідно знайти функцію uS(x) як деяку сукупність зворотних зв'язків, що забезпечують переведення зображувальної точки вихідної хаотичної моделі з довільних початкових умов деякої допустимої області заданий стан (сукупність станів), яке відповідає стійкому режиму . У найпростішому випадку управління входить лише одне диференціальне рівняння вихідної системи. Можуть бути варіанти, коли один і той самий керуючий вплив знаходиться в різних рядках вихідної системи.

Відмінним аспектом постановки завдання синергетичного синтезу законів управління є наявність додаткової вимоги до руху системи з початкового стану в кінцевий, який полягає в асимптотичному притяганні фазових траєкторій системи до деякого інваріантного різноманіття (перетину різноманіття) у просторі станів (ПС) системи.

Введення у рівняння вихідної моделі стабілізуючого зворотного зв'язку призводить до цілеспрямованої зміни топології її простору станів. Внаслідок подібної перебудови відбувається зникнення хаотичного атрактора та формування регулярного атрактора типу «точка», який відповідає бажаному рівноважному режиму поведінки.

Результати дослідження та їх обговорення

Розглянемо етапи реалізованої процедури синтезу стабілізуючого закону управління методом АКАР для хаотичної системи Лоренца.

Модель Лоренца спочатку була отримана з рівнянь Навье - Стокса і теплопровідності з метою вивчення можливості прогнозування погодних умов при варіації керуючих параметрів. Модель описує рух конвективних валів рідини при температурному градієнті.

Модель є такою системою трьох звичайних диференціальних рівнянь :

де σ – число Прандтля; ρ - нормована кількість Релея; параметр b залежить від взаємовіддаленості площин та горизонтального періоду.

Мал. 1. Хаотичний атрактор системи Лоренца

У цій системі за певних умов відбувається формування хаотичних коливань. На рис. 1 показано фазову траєкторію системи при значеннях параметрів σ = 10, ρ = 24, b = 8/3 в режимі детермінованого хаосу. У цій динамічній системі вперше досліджувалися стохастичні автоколивання. Хаотичний атрактор системи (1) принципово відрізняється від хаотичних атракторів більшості моделей нелінійної динаміки. Його структура повністю відповідає дивному атрактору та характеризується наявністю лише сідлового типу руху.

Припустимо, що керуючий вплив u1 входить до першого рівняння системи (1) у вигляді внутрішнього зворотного зв'язку:

Введемо одне інваріантне різноманіття виду

де μ - деякий параметр, що управляє.

Якщо продиференціювати функцію ψ1 (3) за часом і підставити її похідну до функціонального рівняння

ми отримаємо шуканий закон управління:

Закон управління (5) забезпечує переведення зображувальної точки системи (2), замкненим зворотним зв'язком (5), на інваріантне різноманіття ψ1 = 0.

Динаміка руху зображувальної точки моделі за даним інваріантним різноманіттям описується за допомогою диференціальних рівнянь декомпозованої моделі, які утворюються після підстановки виразу з рівності ψ1 = 0 (3) у друге та третє рівняння системи (2):

(6)

Мал. 2. Фазові портрети систем (2), (5) та (6)

Мал. 2 ілюструє результати проведеного чисельного моделювання системи (2), (5) при значеннях параметрів керуючих σ = 10, ρ = 24, b = 8/3, характерних для існування хаотичного атрактора Лоренца, і значеннях параметрів регулятора T1 = 0,1, μ = 4, що підтверджують ефективність теоретичних положень методу АКАР. Перше рівняння в декомпозованій системі (6) є повністю ідентичним базовому еволюційному рівнянню синергетики з біфуркацією типу «вилка».

Проведемо побудову стабілізуючого закону управління методом АКАР моделі Ресслера. Модель Ресслера - це нелінійна динамічна система диференціальних рівнянь третього порядку виду:

де a, b, c - параметри, що управляють.

Система (7) була запропонована Ресслером для моделювання процесів взаємодії ряду хімічних речовин. Ця система досить часто застосовується у різноманітних наукових дослідженнях явищ різноманітної природи у зв'язку з наявністю характерних їм ознак появи та існування хаотичної динаміки. Мал. 3 демонструє хаотичний атрактор системи Ресслер при значеннях параметрів a = b = 0,2; c = 9.

Припустимо, що керуючий вплив входить у друге рівняння вихідної системи (7):

Вид інваріантного різноманіття

та функціональне рівняння (4) дозволяють отримати шуканий закон управління:

(10)

Закон управління (10) гарантує переведення зображувальної точки керованої системи (8), яка замкнута зворотним зв'язком (10), на інваріантне різноманіття ψ2 = 0 (9).

Мал. 3. Хаотичний атрактор системи Ресслера

Характер руху системи вздовж інваріантного різноманіття ψ2 = 0 описує декомпозіровану модель:

(11)

де рівняння біфуркації типу «вилка» є у першому рядку.

Мал. 4. Фазові портрети систем (8), (10) та (11)

Мал. 4 ілюструє одержані результати чисельного моделювання замкнутої системи (8), (10) для значень керуючих параметрів моделі a = b = 0,2; c = 9, які притаманні виникнення атрактора хаотичного типу, і навіть значень параметрів регулятора T2 = 0,1; μ = 25.

В обох отриманих декомпозованих моделях (6), (11) рівняння, розташовані в першому рядку, збігаються з базовим рівнянням еволюційним синергетики з біфуркацією типу «вилка». У зв'язку з цим ми можемо стверджувати про природний характер синтезованих законів стабілізуючого управління вихідними хаотичними системами і про єдність та внутрішній взаємозв'язок універсальних еволюційних рівнянь нелінійної теорії самоорганізації та синергетики.

Природний характер синтезованих керуючих законів обумовлений насамперед наявністю у замкнутих систем сукупності типових біфуркаційних властивостей.

В результаті проведеного дослідження синтезовано сукупність зворотних зв'язків, при замиканні якими вихідних хаотичних систем виникає зміна характеру їхньої поведінки та трансформація атрактора хаотичного типу в атрактор типу «точка». Отримані закони керування u1 (5) і u2 (10) гарантовано забезпечують асимптотичну стійкість у всьому фазовому просторі щодо бажаних станів рівноваги при значеннях параметра μ< 0 или μ >0 для відповідних хаотичних моделей. Отримані закони u1(5) і u2(10) належать до класу об'єктивних законів управління, що перетворюють системи Лоренца і Ресслера, що мають хаотичну динаміку, в базові еволюційні рівняння теорії самоорганізації та синергетики.

Синтезовані закони управління u1(5) та u2(10) оригінальні та універсальні. Вони можуть застосовуватися під час проектування керованих систем різноманітного призначення, значно підвищуючи ефективність їх функціонування.

Бібліографічне посилання

Кучерова В.Ю., Петьков В.М., Артамонов П.А. ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ АКАР ДЛЯ РІШЕННЯ ЗАДАЧІ СТАБІЛІЗАЦІЇ СТАН РІВНОВАГИ ТИПОВИХ НЕЛІНІЙНИХ СИСТЕМ // Фундаментальні дослідження. - 2016. - № 5-2. - С. 264-268;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=40286 (дата звернення: 15.01.2020). Пропонуємо до вашої уваги журнали, що видаються у видавництві «Академія Природознавства»

Всім привіт!

Ця стаття присвячується дивовижним особливостям у світі хаосу. Я постараюся розповісти про те, як приборкати таку дивну і складну річ, як хаотичний процес і навчитися створювати власні найпростіші хаосні генератори. Разом з вами ми пройдемо шлях від сухої теорії до чудової візуалізації хаотичних процесів у просторі. Зокрема, на прикладі відомих хаотичних атракторів, я покажу як створювати динамічні системи та використовувати їх у завданнях, пов'язаних із програмованими логічними інтегральними схемами (ПЛІС).

Вступ

Теорія хаосу- Незвичайна та молода наука, що описує поведінку нелінійних динамічних систем. У процесі зародження теорія хаосу просто перевернула сучасну науку! Вона хвилювала уми вчених і змушувала їх все більше і більше занурюватися в дослідження хаосу та його властивостей. На відміну від шуму, який є випадковим процесом, хаос – детерміновано. Тобто для хаосу існує закон зміни величин, що входять до рівняння опису хаотичного процесу. Здавалося б, при такому визначенні хаос нічим не відрізняється від будь-яких інших коливань, що описуються як функції. Але це не так. Хаотичні системи дуже чутливі до початкових умов, і найменші зміни можуть призвести до колосальних відмінностей. Ці відмінності можуть бути настільки сильними, що неможливо буде сказати, що одна або кілька систем піддавалися дослідженню. З науково-популярних джерел найкраще це властивість хаосу описує процес під назвою " ефект метеликаБагато хто чув про нього, і навіть читав книги і дивився фільми, в яких використовувався прийом з використанням ефекту метелика. По суті, ефект метелика відображає головну властивість хаосу.

Американський вчений Едвард Лоренц, один із першопрохідників у галузі хаосу, сказав одного разу:

Метелик, що змахує крилами в Айові, може викликати лавину ефектів, які можуть досягти найвищої точки в дощовий сезон в Індонезії.

Отже, поринемо в теорію хаосу і подивимося, якими підручними засобами можна генерувати хаос.

Теорія

Перед викладом основного матеріалу хотілося б дати кілька визначень, які допоможуть зрозуміти і прояснити деякі моменти у статті.

Динамічна система- це деяка безліч елементів, для якого задана функціональна залежність між часовою координатою та положенням у фазовому просторі кожного елемента системи. Простіше кажучи, динамічна система - це така система, у якої стан у просторі змінюється з часом.
Багато фізичних процесів у природі описуються системами рівнянь, що є динамічні системи. Наприклад, це процеси горіння, течії рідини та газів, поведінка магнітних полів та електричних коливань, хімічні реакції, метеорологічні явища, зміна популяцій у рослин та тварин, турбулентності в морських течіях, рух планет і навіть галактик. Як бачите, багато фізичних явищ можна тією чи іншою мірою описати як хаотичний процес.

Фазовий портрет- Це координатна площина, в якій кожна точка відповідає стану динамічної системи у певний момент часу. Іншими словами, це просторова модель системи (може бути двовимірною, тривимірною і навіть чотиривимірною та більше).

Атрактор- деяка безліч фазового простору динамічної системи, для якого всі траєкторії з часом притягуються до цієї множини. Якщо дуже простою мовою, це деяка область, у якій зосереджено поведінка системи у просторі. Багато хаотичних процесів є атракторами, тому що зосереджені в певній області простору.

Реалізація

У цій статті я хотів би розповісти про чотирьох основних атракторів – Лоренца, Ресслера, Рікітака та Нозе-Гувера. Крім теоретичного опису у статті відображені аспекти створення динамічних систем у середовищі MATLAB Simulinkта подальшої їх інтеграції у FPGA фірми Xilinxза допомогою засобу System Generator. Чому не VHDL/Verilog? Можна синтезувати атрактори за допомогою RTL-мов, але для кращої візуалізації всіх процесів MATLAB є ідеальним варіантом. Я не зачіпатиму складних моментів, пов'язаних з розрахунком спектру показників Ляпунова або побудови перерізів Пуанкаре. І тим більше ніяких громіздких математичних формул і висновків не буде. Отже, почнемо.

Для створення генераторів хаосу нам знадобиться наступний софт:

• MATLAB R2014 з ліцензією на Simulink та DSP Toolbox.
• Xilinx ISE Design Suite 14.7 з ліцензією на System-Generator (DSP Edition)

Ці програми досить важкі, тому наберіться терпіння під час їх встановлення. Установку краще почати з MATLAB, а вже потім поставити софт Xilinx (при іншій послідовності деяким моїм знайомим не вдалося інтегрувати один додаток до іншого). Під час встановлення останнього вискакує вікно, де можна зв'язати Simulink та System Generator. Нічого складного та незвичайного в установці немає, тому цей процес опустимо.

Атрактор Лоренца

Атрактор Лоренца– це, мабуть, найвідоміша динамічна система теорії хаосу. Вже кілька десятків років він привертає велику увагу багатьох дослідників для опису тих чи інших фізичних процесів. Перша згадка атрактора наводиться у 1963 році у роботах Е. Лоренца, який займався моделюванням атмосферних явищ. Атрактор Лоренца – це тривимірна динамічна система нелінійних автономних диференціальних рівнянь першого ладу. Вона має складну топологічну структуру, асимптотично стійка та стійка за Ляпуновим. Атрактор Лоренца описується наступною системою диференціальних рівнянь:

У формулі точка над параметром означає взяття похідної, яка відбиває швидкість зміни величини за параметром (фізичний зміст похідної).

При значеннях параметрів σ = 10, r= 28 та b= 8/3 ця проста динамічна система була отримана Е. Лоренцом. Він довго не міг зрозуміти, що відбувається з його обчислювальною машиною, поки нарешті не усвідомив, що система виявляє хаотичні властивості! Вона була отримана в ході експериментів для задачі про моделювання конвекції рідини. Крім того, ця динамічна система описує поведінку таких фізичних процесів:

• - Модель одномодового лазера,
• – конвекція в замкнутій петлі та плоскому шарі,
• – обертання водяного колеса,
• - Гармонійний осцилятор з інерційною нелінійністю,
• - Завихрення хмарних мас і т.д.

На наступному малюнку наведено систему атрактора Лоренца в середовищі MATLAB:

На малюнку використовується ряд наступних позначень:

• вичитувачі: SUB0-3;
• помножувачі на константу: SIGMA, B, R;
• перемножувачі: MULT0-1;
• інтегратори з осередком завдання початкової умови: INTEGRATOR X,Y,Z;
• вихідні порти OUT: DATA X, Y, Zдля сигналів XSIG, YSIG, ZSIG;

Крім того, на схемі представлені допоміжні інструменти аналізу, це:

• збереження результатів обчислення у файл: To Workspace X,Y,Z;
• побудова просторових графіків: Graph XY, YZ, XZ;
• побудова тимчасових графіків: Scope XYZ;
• засоби для оцінки займаних ресурсів кристалу та генерації HDL-коду з моделі « Resource Estimator» та « System Generator».

Усередині кожного вузла математичних операцій необхідно вказати розрядність проміжних даних та їх тип. На жаль, у ПЛІС не так просто працювати з плаваючою точкою і в більшості випадків усі операції проводяться у форматі з фіксованою точкою. Неправильне завдання параметрів може призвести до неправильних результатів та засмутити вас при побудові своїх систем. Я експериментував із різними величинами, але зупинився на наступному типі даних: 32-бітовий вектор знакових чисел у форматі з фіксованою точкою. 12 бітів відводиться на цілу частину, 20 бітів на дрібну частину.

Встановивши в інтеграторах X, Y, Z у блоці тригера початкове значення системи, наприклад, {10, 0, 0} я запустив модель. У тимчасовій розгортці можна спостерігати три наступні сигнали:


Навіть якщо час моделювання спрямувати до нескінченності, то реалізація у часі ніколи не повториться. Хаотичні процеси неперіодична.

У тривимірному просторі атрактор Лоренца виглядає так:

Видно, що атрактор має дві точки тяжіння, навколо яких відбувається весь процес. При незначній зміні початкових умов процес також буде зосереджений навколо цих точок, але його траєкторії суттєво відрізнятимуться від попереднього варіанта.

Атрактор Ресслера

Другий за кількістю згадок у наукових статтях та публікаціях атрактор. Для атрактора Ресслерахарактерна наявність граничної точки прояву хаотичних чи періодичних властивостей. За певних параметрів динамічної системи коливання перестають бути періодичними, і виникають хаотичні коливання. Одна з примітних властивостей атрактора Ресслера - фрактальна структура у фазовій площині, тобто явище самоподібності. Можна помітити, що й інші атрактори, як правило, мають цю властивість.

Атрактор Ресслера спостерігається у багатьох системах. Наприклад, він застосовується для опису потоків рідини, а також для опису поведінки різних хімічних реакцій та молекулярних процесів. Система Реслер описується наступними диференціальними рівняннями:

У середовищі MATLAB атрактор будується так:

Тимчасова реалізація просторових величин:

Тривимірна модель атрактора Ресслера:

Бац! Трохи змінилися значення:

Атрактор при злегка змінених початкових умовах (траєкторії відрізняються!)

Атрактор при інших коефіцієнтах у системі рівнянь (хаотичний процес перетворився на періодичний!)

Порівняйте картинки тривимірних атракторів за різних початкових умов і коефіцієнтів у системі рівнянь. Бачите, як різко змінилися траєкторії руху у першому випадку? Але так чи інакше вони зосереджені поблизу єдиної сфери тяжіння. У другому випадку атрактор взагалі перестав подавати ознаки хаосу, перетворившись на замкнуту періодичну петлю (граничний цикл).

Атрактор Рікітаке

Динамо Рікітаке- Одна з відомих динамічних систем третього порядку з хаотичним поведінкою. Являє собою модель дводискового динамо і вперше була запропонована в задачах хаотичної інверсії геомагнітного поля Землі. Вчений Рікітаке досліджував систему динамо з двома взаємопов'язаними дисками побудовану таким чином, що струм з однієї котушки диска перетікав в іншу і збуджував другий диск, і навпаки. У певний момент система почала збоїти та показувати непередбачувані речі. Активні дослідження атрактора дозволили спроектувати динамо Рікітаке на модель зв'язку великих вихорів магнітних полів у ядрі Землі.

Динамо Рікітаке описується наступною системою рівнянь:

Модель динамо Рікітаке в MATLAB:

Тимчасова реалізація:

Атрактор (перша версія):

Динамо (друга версія)

Можна помітити, що динамо Рікітаке в чомусь схоже на атрактор Лоренца, але це зовсім різні системи та описують різні фізичні процеси!

Атрактор Нозе-Гувера

Менш знаменита, але не менш важлива тривимірна динамічна система – термостат Нозе-Гувера. Використовується в молекулярної теоріїяк оборотна у часі термостатична система. На жаль, про цей атрактор я знаю не так багато, як про решту, але мені він здався цікавим і я включив його до огляду.

Термостат Нозе-Гувера описується такою системою рівнянь:

Модель Нозе-Гувера в MATLAB:

Тимчасова реалізація:

Матеріал з Вікіпедії – вільної енциклопедії

Атрактор Ресслера- Хаотичний атрактор, яким володіє система диференціальних рівнянь Ресслера:

$\backslash left\; \backslash (\; \backslash begin(matrix)\; \backslash frac(dx)(dt)\; =\; -y\; -\; z\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dy)(dt)\; =\; x\; +\; ay\; \backslash \backslash \backslash frac(dz)(dt)\; =\; b\; +\; z\; (x-c)\; \backslash end(matrix)\; \backslash right.$ ;

де $a,\; b,\; c$- Позитивні постійні. При значеннях параметрів $a\; =\; b\; =\; 0,2$і $2,\; 6\; \backslash le\; c\; \backslash le\; 4,2$рівняння Ресслера мають стійкий граничний цикл. При цих значеннях параметрів період та форма граничного циклу здійснюють послідовність подвоєння періоду. Відразу ж за точкою $c\; =\; 4,2$виникає явище хаотичного атрактора. Чітко певні лінії граничних циклів розпливаються і заповнюють фазовий простір нескінченним рахунковим безліччю траєкторій, що має властивості фракталу.

Іноді атрактори Ресслера будуються для площини, тобто $z\; =\; 0$.

$\backslash left\; \backslash (\; \backslash begin(matrix)\; \backslash frac(dx)(dt)\; =\; -y\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dy)(dt)\; =\; x\; +\; ay\; \backslash end(matrix)\; \backslash right.$

Стійкі рішення для $x,\; y$можуть бути знайдені обчисленням власного вектора матриці Якобі виду , для котрої $\backslash frac\; (a\; \backslash pm\; \backslash sqrt(a^2\; -\; 4))\; (2)$.

{2}

Звідси видно, що коли , власні вектори є комплексними і мають позитивні речові компоненти, що робить атрактор нестійким. Тепер розглядатимемо площину $Z$у тому ж діапазоні $a$. Бувай $x$менше $c$, параметр $c$буде утримувати траєкторію близьку до площини $x,\; y$. Як тільки $x$стане більше $c$, $z$-координата почне збільшуватися, а трохи згодом параметр $-z$гальмуватиме зростання $x$в $\backslash frac\; (dx)\; (dt)$.

Точки рівноваги

Для того, щоб знайти точки рівноваги, три рівняння Ресслера дорівнюють нулю і $xyz$-координати кожної точки рівноваги перебувають шляхом розв'язання отриманих рівнянь. В підсумку:

$\backslash left\; \backslash (\; \backslash begin(matrix)\; x\; =\; \backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2-4ab))(2)\; \backslash \backslash \; y\; =\; -\backslash left(\backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2)\; -4ab))(2a)\backslash right)\; \backslash \backslash \; z\; =\; \backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2-4ab))(2a)\; \backslash end(matrix)\; \backslash right.$

Як показано в загальних рівнянняхатрактора Ресслера, одна з цих нерухомих точокзнаходиться в центрі атрактора, інші лежать порівняно далеко від центру.

Зміна параметрів a, b та c

Поведінка атрактора Ресслера значною мірою залежить від значень постійних параметрів. Зміна кожного параметра дає певний ефект, внаслідок чого система може зійтися до періодичної орбіти, нерухомої точки або спрямувати в нескінченність. Кількість періодів атрактора Реслер визначається числом його витків навколо центральної точки, які виникають перед серією петель.

Біфуркаційні діаграми є стандартним інструментом для аналізу поведінки динамічних систем, до яких включено і атрактор Реслера. Вони створюються шляхом розв'язання рівнянь системи, де фіксуються дві змінні та змінюється одна. При побудові такої діаграми виходять майже повністю зафарбовані регіони; це і є сфера динамічного хаосу.

Зміна параметра a

Зафіксуємо $b\; =\; 0.2$, $c\; =\; 5.7$і будемо змінювати $a$.

У результаті досвідченим шляхом отримаємо таку таблицю:

• $a\; \backslash leq\; 0$: Сходить до стійкої точки.
• $a\; =\; 0.1$: Крутиться з періодом 2
• $a\; =\; 0.2$: Хаос (стандартний параметр рівнянь Ресслера) .
• $a\; =\; 0.3$: Хаотичний атрактор.
• $a\; =\; 0.35$: Аналогічний попередньому, але хаос проявляється сильніше
• $a\; =\; 0.38$: Аналогічний попередньому, але хаос проявляється ще сильніше

Зміна параметра b

Зафіксуємо $a\; =\; 0.2$, $c\; =\; 5.7$і мінятимемо тепер параметр $b$. Як видно з малюнка, при $b$Атрактор, що прагне до нуля, нестійкий. Коли $b$стане більше $a$і $c$, система врівноважується і перейде до станційного стану.

Зміна параметра c

Зафіксуємо $a\; =\; b\; =\; 0.1$і будемо змінювати $c$. З біфуркаційної діаграми видно, що за маленьких $c$система періодична, але зі збільшенням швидко стає хаотичною. Малюнки показують, як змінюється хаотичність системи при збільшенні $c$. Наприклад при $c$= 4 атрактор матиме період рівний одиниці, і на діаграмі буде одна єдина лінія, те саме повториться коли $c$= 3 і так далі; Бувай $c$не стане більше 12: остання періодична поведінка характеризується саме цим значенням, далі всюди йде хаос.

Наведемо ілюстрації поведінки атрактора у вказаному діапазоні значень $c$, які ілюструють загальну поведінку таких систем – часті переходи від періодичності до динамічного хаосу.

Напишіть відгук про статтю "Атрактор Ресслера"

Примітки

Посилання

• Конструктор

Література

• Воронов В. К., Подоплелов А. В. Сучасна фізика: Навчальний посібник. М., КомКнига, 2005, 512 с., ISBN 5-484-00058-0, гл. 2 Фізика відкритих систем. п.п 2.4 Хаотичний атрактор Ресслера.

Уривок, що характеризує Атрактор Ресслера

– Пропустіть, я вам говорю, – знову повторив, підтискуючи губи, князь Андрій.
- А ти хто такий? – раптом з п'яним сказом звернувся до нього офіцер. - Ти хто такий? Ти (він особливо наполягав на ти) начальник, чи що? Тут я начальник, а не ти. Ти, назад, – повторив він, – у корж розбитий.
Цей вираз, мабуть, сподобався офіцеру.
– Важливо відголив ад'ютантика, – почувся голос ззаду.
Князь Андрій бачив, що офіцер перебував у тому п'яному нападі безпричинного сказу, в якому люди не пам'ятають, що кажуть. Він бачив, що його заступництво за лікарську дружину в кибіточці виконано того, чого він боявся найбільше у світі, того, що називається ridicule [смішне], але інстинкт його говорив інше. Не встиг офіцер домовити останніх слів, як князь Андрій зі знівеченим від сказу обличчям під'їхав до нього і підняв нагайку:
- З волі пропустити!
Офіцер махнув рукою і квапливо від'їхав геть.
- Все від цих, від штабних, безладдя все, - пробурчав він. – Робіть, як знаєте.
Князь Андрій квапливо, не підводячи очей, від'їхав від лікарської дружини, яка називала його рятівником, і, огидно згадуючи найдрібніші подробиці цієї принизливої ​​сцени, поскакав далі до того села, де, як йому сказали, знаходився головнокомандувач.
В'їхавши в село, він зліз з коня і пішов до першого будинку з наміром відпочити хоч на хвилину, з'їсти що-небудь і довести до розуміння всі ці образливі думки. "Це натовп мерзотників, а не військо", думав він, підходячи до вікна першого будинку, коли знайомий йому голос назвав його на ім'я.
Він озирнувся. З маленького вікна висовувалося гарне обличчя Несвицького. Несвицький, пережовуючи щось соковитим ротом і махаючи руками, кликав його до себе.
– Болконський, Болконський! Чи не чуєш, чи що? Іди скоріше, – кричав він.
Увійшовши до будинку, князь Андрій побачив Несвицького та ще іншого ад'ютанта, що закушували щось. Вони поспішно звернулися до Болконського з питанням, чи він не знає чого нового. На таких знайомих йому обличчях князь Андрій прочитав вираз тривоги і занепокоєння. Вираз це особливо помітно було на завжди сміливому обличчі Несвицького.
– Де головнокомандувач? – спитав Болконський.
– Тут, у тому будинку, – відповів ад'ютант.
– Ну що ж, правда, що мир та капітуляція? – питав Несвицький.
– Я у вас питаю. Я нічого не знаю, крім того, що я насилу дістався вас.
– А в нас, брате, що! Жах! Звинувачуюсь, брате, над Маком сміялися, а самим ще гірше доводиться, – сказав Несвицький. - Та сідай же, співаєш чогось.
– Тепер, князю, ні візків, нічого не знайдете, і ваш Петро Бог його знає де, – сказав інший ад'ютант.
– Де ж головна квартира?
– У Цнаймі ночуємо.
- А я так перев'ючив собі все, що мені потрібно, на двох коней, - сказав Несвицький, - і в'юки чудові мені зробили. Хоч через Богемські гори тікати. Погано, брате. Та що ти, правда, нездоровий, що так здригаєшся? - спитав Несвицький, помітивши, як князя Андрія смикнуло, ніби від дотику до лейденської банки.
– Нічого, – відповів князь Андрій.
Він згадав цієї хвилини про недавнє зіткнення з лікарською дружиною і фурштатським офіцером.
- Що головнокомандувач тут робить? - Запитав він.
– Нічого не розумію, – сказав Несвицький.
- Я одне розумію, що все бридко, бридко і бридко, - сказав князь Андрій і пішов у будинок, де стояв головнокомандувач.
Пройшовши повз екіпаж Кутузова, верхових замучених коней почту і козаків, що голосно говорили між собою, князь Андрій увійшов у сіни. Сам Кутузов, як сказали князю Андрію, був у хаті з князем Багратіоном і Вейротером. Вейротер був австрійський генерал, який замінив убитого Шміта. У сінях маленький Козловський сидів навпочіпки перед писарем. Писар на перевернутій кадушці, закрутивши обшлага мундира, поспішно писав. Обличчя Козловського було змучене – він, мабуть, теж не спав ніч. Він глянув на князя Андрія і навіть не кивнув головою.
– Друга лінія… Написав? – продовжував він, диктуючи писарю, – Київський гренадерський, Подільський…
- Не встигнеш, ваше високоблагородіє, - відповів писар нешанобливо і сердито, озираючись на Козловського.
З-за дверей чути був у цей час жваво невдоволений голос Кутузова, який перебивав інший, незнайомий голос. За звуком цих голосів, з неуважності, з яким глянув на нього Козловський, з нешанобливості змученого писаря, з того, що писар і Козловський сиділи так близько від головнокомандувача на підлозі біля кадушки, і з того, що козаки, що тримали коней, глузливо сміялися. вікном удома, – по всьому цьому князь Андрій відчував, що мало статися щось важливе й нещасливе.
Князь Андрій наполегливо звернувся до Козловського із запитаннями.
– Зараз, князю, – сказав Козловський. – Диспозиція Багратіону.
– А капітуляція?
- Жодної немає; зроблено розпорядження до бою.
Князь Андрій попрямував до дверей, з яких чути були голоси. Але коли він хотів відчинити двері, голоси в кімнаті замовкли, двері самі відчинилися, і Кутузов, зі своїм орлиним носом на пухкому обличчі, з'явився на порозі.
Князь Андрій стояв прямо проти Кутузова; але за виразом єдиного зрячого ока головнокомандувача видно було, що думка і турбота так сильно займали його, що ніби застилали йому зір. Він прямо дивився на обличчя свого ад'ютанта і не впізнавав його.
- Ну що, скінчив? – звернувся він до Козловського.
- Зараз, ваше превосходительство.
Багратіон, невисокий, зі східним типом твердого і нерухомого обличчя, суха, ще не стара людина, вийшла за головнокомандувачем.
– Честь маю з'явитись, – повторив досить голосно князь Андрій, подаючи конверт.
- А, з Відня? Добре. Після, після!
Кутузов вийшов із Багратіоном на ганок.
– Ну, князю, прощай, – сказав він Багратіону. – Христос із тобою. Благословляю тебе на великий подвиг.
Обличчя Кутузова несподівано пом'якшало, і сльози з'явилися в його очах. Він притяг до себе лівою рукою Багратіона, а правою, на якій було кільце, мабуть звичним жестом перехрестив його і підставив йому пухку щоку, замість якої Багратіон поцілував його в шию.

У цій книзі ми дотримувались емпіричного підходу до хаотичних коливань і виклали цілу серію різних фізичних явищ, у яких хаотична динаміка грає значної ролі. Зрозуміло, не всі читачі мають доступ до лабораторії або мають схильність до експериментування, хоча більшість з них можуть скористатися цифровими комп'ютерами. Враховуючи це, ми наводимо в цьому додатку ряд чисельних експериментів, здійсненних або на персональному комп'ютері, або на мікрокомп'ютері, сподіваючись, що вони допоможуть читачеві дослідити динаміку моделей хаосу, що стали нині класичними.

Б.1. ЛОГІСТИЧНЕ РІВНЯННЯ: Подвоєння періоду

Однією з найпростіших завдань, з якою слід починати знайомство з новою динамікою, має бути модель зростання популяції, або логістичне рівняння

Явища, пов'язані з подвоєнням періоду, спостерігалися різними дослідниками (див., наприклад, роботу Мея) і, зрозуміло, Фейгенбаумом, який відкрив знамениті закони подібності параметрів (див. гл. 1 і 5). Персональний комп'ютер дозволяє надзвичайно легко відтворити два чисельні експерименти.

У першому експерименті ми маємо графік залежності від діапазону . Початок з ви зможете побачити траєкторію з періодом 1. Щоб побачити довші траєкторії, позначте перші 30-50 ітерацій точками, а наступні ітерації - іншим символом.

Зрозуміло, побудувавши графік залежності від , Ви зможете спостерігати перехідні та стаціонарні режими. Хаотичні траєкторії можна виявити при . В околиці можна знайти траєкторію з періодом 3 .

Наступний чисельний експеримент пов'язаний із побудовою біфуркаційної діаграми. І тому слід побудувати графік залежності при великих від управляючого параметра. Виберіть якусь початкову умову (наприклад, і проробіть 100 ітерацій відображення. Потім відкладіть значення отримані в результаті наступних 50 ітерацій по вертикальній осі, а відповідне значення по горизонтальній осі (або навпаки). Крок по виберіть близько 0,01 і пройдіть діапазон На діаграмі в точках подвоєння періоду повинні вийти класичні біфуркації типу вил Чи можете за даними чисельного експерименту визначити число Фейгенбаума?

Мей наводить також перелік чисельних експериментів з іншими одновимірними відображеннями, наприклад, з відображенням

Він визначає це відображення як модель зростання популяції одного виду, регульованого епідемічною хворобою. Дослідіть область. Точка накопичення подвоєння періоду та початок хаосу відповідають. У статті Мея містяться також дані щодо деяких інших чисельних експериментів.

Б.2. РІВНЯННЯ ЛОРЕНЦЯ

Чудовий чисельний експеримент, безсумнівно, заслуговує на повторення, міститься в оригінальній роботі Лоренца. Лоренц спростив рівняння, виведені Зальцманом з урахуванням рівнянь теплової конвекції рідини (див. гл. 3). Пріоритет у відкритті неперіодичних рішень рівнянь конвекції, за словами Лоренца, належить Зальцману. Для дослідження хаотичних рухів Лоренц обрав значення параметрів, що стали нині класичними, в рівняннях.

Дані наведені на рис. 1 і 2 статті Лоренца , можна відтворити, обравши початкові умови та крок за часом і спроектувавши рішення або на площину або на площину

Щоб отримати одновимірне відображення, індуковане цим потоком, Лоренц розглянув послідовні максимуми змінної z, які він позначив Графік залежності від показів, що в даному випадку відображення задається кривою, що нагадує формою дах будиночка. Потім Лоренц досліджував спрощений варіант цього відображення, що одержав назву «відображення типу будиночка», - білінійний різновид логістичного рівняння

Б.3. ПЕРЕМІЖНІСТЬ І РІВНЯННЯ ЛОРЕНЦЯ

З наочним прикладом перемежування можна познайомитися, чисельно інтегруючи за допомогою комп'ютера рівняння Лоренца:

з параметрами методом Рунге-Кутта. При ви отримаєте періодичну траєкторію, але при і більше з'являться «сплески», або хаотичні шуми (див. роботу Манневіля та Помо). Вимірюючи середнє число N періодичних циклів між сплесками (ламінарна фаза), ви повинні отримати закон подібності

Б.4. АТТРАКТОР ЕНОНА

Узагальнення квадратичного відображення прямої для двовимірного випадку (на площині) було запропоновано французьким астрономом Еноном:

При відображенні Енона зводиться до логістичного відображення, дослідженого Меєм та Фейгенбаумом. До значень а і b, за яких виникає дивний атрактор, відносяться, зокрема, . Побудуйте графік цього відображення на площині, обмеживши його прямокутником. Отримавши атрактор, зосередьте свою увагу на якомусь малому його ділянці і збільшіть цю ділянку за допомогою перетворення подоби. Прослідкуйте за значно більшим числом ітерацій відображень і спробуйте виявити дрібномасштабну фрактальну структуру. Якщо у вас вистачить терпіння або у вас під рукою виявиться швидкодіючий комп'ютер, то зробіть ще одне перетворення подібності і повторіть все спочатку ще для меншої ділянки атрактора (див. рис. 1.20, 1.22).

Якщо у вас є програма для обчислення показників Ляпунова, то корисно мати на увазі, що в літературі наводиться значення показника Ляпунова, а фрактальна розмірність атрактора у відображенні Енона дорівнює. Варіюючи параметри і b, можна спробувати визначити область тих значень, у яких атрактор існує, і знайти область подвоєння періоду на площині (а, b) .

Б.5. РІВНЯННЯ ДУФФІНГУ: АТТРАКТОР УЕДИ

Ця модель електричного ланцюгаз нелінійною індуктивністю була розглянута в гол. 3. Рівняння цієї моделі, записані у вигляді системи рівнянь першого порядку, мають вигляд

Хаотичні коливання в цій моделі були докладно досліджені Уедою. Скористайтеся якимось стандартним алгоритмом чисельного інтегрування, наприклад схемою Рунге-Кутта четвертого порядку, та розгляньте випадок . При вас має вийти періодична траєкторія з періодом 3. (Переріз Пуанкаре проводьте при ) В околиці значення траєкторія з періодом 3 повинна після біфуркації переходити в хаотичний рух.

При періодичності знову відновлюється з перехідним хаотичним режимом (див. рис. 3.13).

Порівняйте фрактальну природу атрактора при зменшенні згасання, вважаючи і 0,05. Зверніть увагу, що залишається тільки невелика частина атрактора, а при рух стає періодичним.

Б.6. РІВНЯННЯ ДУФФІНГУ З ДВОМА ПОТЕНЦІЙНИМИ ЯМАМИ: АТТРАКТОР ХОЛМСА

Цей приклад було розглянуто у нашій книзі. Декілька чисельних експериментів заслуговують на те, щоб їх повторити. Безрозмірні рівняння мають у цьому випадку вигляд

(Вважаючи і вводячи додаткове рівняння z = w, можна записати як автономної системи третього порядку.) Множитель 1/2 робить власну частоту малих коливань у кожному потенційної ямі рівної одиниці. Критерій хаосу при фіксованому коефіцієнті згасання та змінних було розглянуто нами в гол. 5. Областю, що становить інтерес для дослідження, є . У цій галузі має спостерігатися перехід від періодичного режиму до хаотичного, періодичні вікна в хаотичному режимі та вихід із хаотичного режиму при . Є й інша цікава область: У всіх дослідженнях ми рекомендуємо читачеві користуватися відображенням Пуанкаре. При використанні персонального комп'ютера високої швидкості обробки інформації можна досягти за рахунок спеціальних хитрощів при складанні програми (див. рис. 5.3).

Ще один цікавий чисельний експеримент полягає в тому, щоб зафіксувати параметри, наприклад покласти і варіювати фазу відображення Пуанкаре, тобто наносити крапки при зміні від 0 до Зверніть увагу на звернення відображення чи пов'язано це з симетрією рівняння? (Див. рис. 4.8.)

Б.7. КУБІЧНЕ ВІДОБРАЖЕННЯ (ХОЛМСА)

Багато понять теорії хаотичних коливань ми проілюстрували з прикладу атрактора моделі з двома потенційними ямами. Динаміка такої моделі описується звичайним нелінійним диференціальним рівнянням другого порядку.

2 та 3), але явна формула для відображення Пуанкаре такого атрактора невідома. Холмс запропонував двовимірне кубічне відображення, яке має деякі властивості осцилятора Дуффінга з негативною жорсткістю:

Хаотичний атрактор може бути знайдений поблизу значень параметрів

Б.8. ВІДОБРАЖЕННЯ ШАРИКУ, ЩО стрибає (СТАНДАРТНЕ ВІДОБРАЖЕННЯ)

(Див. статтю Холмса і книгу Ліхтенберга та Лібермана.) Як зазначалося в гол. 3, відображення Пуанкаре для кульки», що стрибає на вібруючому столі, може бути точно записано в термінах безрозмірної швидкості зіткнення кульки об стіл і фази руху столу

де - Втрата енергії при зіткненні.

Випадок (консервативний хаос). Цей випадок досліджено у книзі Ліхтенберга та Лібермана як модель прискорення електронів у електромагнітних полях. Проітерувавши відображення, нанесіть отримані точки на площину Для обчислення скористайтеся виразом

у вдосконаленому варіанті Бейсіка. Щоб досягти гарної картини, вам доведеться варіювати початкові умови. Наприклад, виберіть та простежте за кількома сотнями ітерацій відображення при різних v з інтервалу -

Цікаві випадки ви виявите при . При цьому можна спостерігати квазіперіодичні замкнуті траєкторії навколо періодичних нерухомих точок відображення. При повинні з'явитися області консервативного хаосу поблизу точок сепаратрису (див. рис. 5.21).

Випадок. Цей випадок відповідає дисипативному відображенню, коли енергія втрачається при кожному зіткненні кульки та столу. Почніть . Хоча перші ітерації виглядають хаотичними, як у випадку 1, рух виходить на періодичний режим. Щоб отримати фракталоподібний хаос, значення необхідно підвищити до . Дивний атрактор, який ще більше нагадує фрактал, ви отримаєте, вважаючи .

Б.9. ВІДОБРАЖЕННЯ ОКРУЖНОСТІ НА СЕБЕ: СИНХРОНІЗАЦІЯ ЧИСЛА ОБЕРЕЖЕНЬ І ДЕРЕВ'Я ФЕРІ

Крапка, що рухається поверхнею тора, може бути абстрактно-математичною моделлю динаміки двох пов'язаних осциляторів. Амплітуди руху осциляторів служать малим і великим радіусами тора і часто передбачаються фіксованими. Фази осциляторів відповідають двом кутам, що задають положення точки вздовж малого кола (меридіана) і великого кола (паралелі) на поверхні тора. Перетин Пуанкаре вздовж малих кіл тора породжує одновимірне різницеве ​​рівняння, зване відображенням кола на себе:

де – періодична функція.

Кожна ітерація цього відображення відповідає траєкторії одного осцилятора вздовж великого кола тора. Популярним об'єктом дослідження є так зване стандартне відображення кола (нормоване на )

Можливі рухи, які спостерігаються при цьому відображенні, є: періодичні, квазіперіодичні та хаотичні режими. Щоб побачити періодичні цикли, побудуйте точки на колі з прямокутними координатами

При параметрі 0 не що інше, як число обертань - відношення двох частот незв'язаних осциляторів.

При відображенні може бути періодичним і коли - ірраціональне число. У цьому випадку говорять, що осцилятори синхронізовані або що затягування мод. Можна спостерігати синхронізовані або періодичні рухи в областях кінцевої ширини вздовж осі О, які, зрозуміло, містять ірраціональні значення параметра . Наприклад, цикл з періодом 2 може бути знайдений в інтервалі а цикл з періодом 3 - в інтервалі Щоб знайти ці інтервали при обчисліть число обертань W як функцію параметра при 0 01. Число обертань ми обчислимо, якщо відкинемо дію порівняння по і перейдемо до межі

На практиці, щоб отримати кількість обертань з достатньою точністю, потрібно взяти N > 500. Побудувавши графік залежності W від , Ви побачите серію плато, що відповідає областям синхронізації. Щоб побачити більше областей синхронізації, слід вибрати малу область АП і побудувати W для великої кількості точок у цій малій області.

Кожне плато синхронізації на графіку відповідає раціональному числу - відношенню циклів одного осцилятора до q циклів іншого осцилятора. Відносини впорядковані у послідовність, відому під назвою дерева Фері. Якщо задані дві області синхронізації мод при значеннях параметрів, то між ними в інтервалі свідомо знайдеться ще одна область синхронізації з числом обертань

Почавши з 0/1 при і 1/1 при, можна побудувати всю нескінченну послідовність областей синхронізації. Більшість із них дуже вузькі.

Зверніть увагу на те, що ширина цих областей прагне нуля при і стає більше при Області синхронізації в площині () мають форму довгих виступів, і іноді їх називають мовами Арнольда.

Б.10. АТТРАКТОР РЕССЛЕРА: ХІМІЧНІ РЕАКЦІЇ, ОДНОМІРНА АППРОКСИМАЦІЯ БАГАТОМІРНИХ СИСТЕМ

Кожна з основних областей класичної фізики створила свою модель хаотичної динаміки: гідромеханіка – рівняння Лоренца, будівельна механіка – атрактор Дуффінга-Холмса з двома потенційними ямами, електротехніка – атрактор Дуффінга-Уеди. Ще одна проста модель виникла у динаміці хімічних реакцій, що протікають у певній ємності з перемішуванням. Запропонував її Рбсслер.