Відповідь: 6.
Відповідь: 000
Площа поверхні тетраедра дорівнює 1. Знайдіть площу поверхні багатогранника, вершинами якого є середини сторін цього тетраедра.
Рішення.
прототип.
Площа поверхні тетраедра дорівнює 12. Знайдіть площу поверхні багатогранника, вершинами якого є середини ребер даного тетраедра.
Поверхня, що шукається, складається з чотирьох пар рівних трикутників, кожен з яких має площу рівну з чверті площі грані вихідного тетраедра. Тому потрібна площа дорівнює половині площі поверхні тетраедра і дорівнює 6.
Відповідь: 6.
Рішення.
Це завдання ще вирішено, наводимо рішення прототипу.
Площа поверхні тетраедра дорівнює 12. Знайдіть площу поверхні багатогранника, вершинами якого є середини ребер даного тетраедра.
Поверхня, що шукається, складається з чотирьох пар рівних трикутників, кожен з яких має площу рівну з чверті площі грані вихідного тетраедра. Тому потрібна площа дорівнює половині площі поверхні тетраедра і дорівнює 6.
Відповідь: 6.
Відповідь:
Площа поверхні тетраедра дорівнює Знайдіть площу поверхні багатогранника, вершинами якого є середини сторін цього тетраедра.
Рішення.
Це завдання ще вирішено, наводимо рішення прототипу.
Площа поверхні тетраедра дорівнює 12. Знайдіть площу поверхні багатогранника, вершинами якого є середини ребер даного тетраедра.
Поверхня, що шукається, складається з чотирьох пар рівних трикутників, кожен з яких має площу рівну з чверті площі грані вихідного тетраедра. Тому потрібна площа дорівнює половині площі поверхні тетраедра і дорівнює 6.
Відповідь: 6.
Відповідь: 0,8
Площа поверхні тетраедра дорівнює 4,6. Знайдіть площу поверхні багатогранника, вершинами якого є середини сторін даного тетраедра.
Рішення.
Це завдання ще вирішено, наводимо рішення прототипу.
Площа поверхні тетраедра дорівнює 12. Знайдіть площу поверхні багатогранника, вершинами якого є середини ребер даного тетраедра.
Поверхня, що шукається, складається з чотирьох пар рівних трикутників, кожен з яких має площу рівну з чверті площі грані вихідного тетраедра. Тому потрібна площа дорівнює половині площі поверхні тетраедра і дорівнює 6.
Відповідь: 6.
Відповідь: 2,3
Площа поверхні тетраедра дорівнює 6. Знайдіть площу поверхні багатогранника, вершинами якого є середини сторін цього тетраедра.
Рішення.
Це завдання ще вирішено, наводимо рішення прототипу.
Площа поверхні тетраедра дорівнює 12. Знайдіть площу поверхні багатогранника, вершинами якого є середини ребер даного тетраедра.
Поверхня, що шукається, складається з чотирьох пар рівних трикутників, кожен з яких має площу рівну з чверті площі грані вихідного тетраедра. Тому потрібна площа дорівнює половині площі поверхні тетраедра і дорівнює 6.
Відповідь: 6.
Відповідь: 3
Площа поверхні тетраедра дорівнює 2,8. Знайдіть площу поверхні багатогранника, вершинами якого є середини сторін даного тетраедра.
Рішення.
Це завдання ще вирішено, наводимо рішення прототипу.
Площа поверхні тетраедра дорівнює 12. Знайдіть площу поверхні багатогранника, вершинами якого є середини ребер даного тетраедра.
Поверхня, що шукається, складається з чотирьох пар рівних трикутників, кожен з яких має площу рівну з чверті площі грані вихідного тетраедра. Тому потрібна площа дорівнює половині площі поверхні тетраедра і дорівнює 6.
Відповідь: 6.
Відповідь: 000
Площа поверхні тетраедра дорівнює 8,8. Знайдіть площу поверхні багатогранника, вершинами якого є середини сторін даного тетраедра.
Рішення.
Це завдання ще вирішено, наводимо рішення прототипу.
Площа поверхні тетраедра дорівнює 12. Знайдіть площу поверхні багатогранника, вершинами якого є середини ребер даного тетраедра.
Поверхня, що шукається, складається з чотирьох пар рівних трикутників, кожен з яких має площу рівну з чверті площі грані вихідного тетраедра. Тому потрібна площа дорівнює половині площі поверхні тетраедра і дорівнює 6.
Відповідь: 6.
Площа поверхні тетраедра дорівнює 7. Знайдіть площу поверхні багатогранника, вершинами якого є середини сторін даного тетраедра.
Рішення.
Це завдання ще вирішено, наводимо рішення прототипу.
Площа поверхні тетраедра дорівнює 12. Знайдіть площу поверхні багатогранника, вершинами якого є середини ребер даного тетраедра.
Поверхня, що шукається, складається з чотирьох пар рівних трикутників, кожен з яких має площу рівну з чверті площі грані вихідного тетраедра. Тому потрібна площа дорівнює половині площі поверхні тетраедра і дорівнює 6.
Відповідь: 6.
Відповідь: 3,5
Площа поверхні тетраедра дорівнює 4,8. Знайдіть площу поверхні багатогранника, вершинами якого є середини сторін даного тетраедра.
Рішення.
Це завдання ще вирішено, наводимо рішення прототипу.
Площа поверхні тетраедра дорівнює 12. Знайдіть площу поверхні багатогранника, вершинами якого є середини ребер даного тетраедра.
Поверхня, що шукається, складається з чотирьох пар рівних трикутників, кожен з яких має площу рівну з чверті площі грані вихідного тетраедра. Тому потрібна площа дорівнює половині площі поверхні тетраедра і дорівнює 6.
Відповідь: 6.
Площа поверхні тетраедра дорівнює 9,6. Знайдіть площу поверхні багатогранника, вершинами якого є середини сторін даного тетраедра.
Рішення.
Це завдання ще вирішено, наводимо рішення прототипу.
Площа поверхні тетраедра дорівнює 12. Знайдіть площу поверхні багатогранника, вершинами якого є середини ребер даного тетраедра.
Поверхня, що шукається, складається з чотирьох пар рівних трикутників, кожен з яких має площу рівну з чверті площі грані вихідного тетраедра. Тому потрібна площа дорівнює половині площі поверхні тетраедра і дорівнює 6.
Відповідь: 6.
Площа поверхні тетраедра дорівнює 7,8. Знайдіть площу поверхні багатогранника, вершинами якого є середини сторін даного тетраедра.
Рішення.
Це завдання ще вирішено, наводимо рішення прототипу.
Площа поверхні тетраедра дорівнює 12. Знайдіть площу поверхні багатогранника, вершинами якого є середини ребер даного тетраедра.
Поверхня, що шукається, складається з чотирьох пар рівних трикутників, кожен з яких має площу рівну з чверті площі грані вихідного тетраедра. Тому потрібна площа дорівнює половині площі поверхні тетраедра і дорівнює 6.
Відповідь: 6.
Площа поверхні тетраедра дорівнює 5,6. Знайдіть площу поверхні багатогранника, вершинами якого є середини сторін даного тетраедра.
Рішення.
Це завдання ще вирішено, наводимо рішення прототипу.
Площа поверхні тетраедра дорівнює 12. Знайдіть площу поверхні багатогранника, вершинами якого є середини ребер даного тетраедра.
Поверхня, що шукається, складається з чотирьох пар рівних трикутників, кожен з яких має площу рівну з чверті площі грані вихідного тетраедра. Тому потрібна площа дорівнює половині площі поверхні тетраедра і дорівнює 6.
Відповідь: 6.
Площа поверхні тетраедра дорівнює 3,2. Знайдіть площу поверхні багатогранника, вершинами якого є середини сторін даного тетраедра.
Рішення.
Це завдання ще вирішено, наводимо рішення прототипу.
Площа поверхні тетраедра дорівнює 12. Знайдіть площу поверхні багатогранника, вершинами якого є середини ребер даного тетраедра.
Поверхня, що шукається, складається з чотирьох пар рівних трикутників, кожен з яких має площу рівну з чверті площі грані вихідного тетраедра. Тому потрібна площа дорівнює половині площі поверхні тетраедра і дорівнює 6.
Відповідь: 6.
Площа поверхні тетраедра дорівнює 8,6. Знайдіть площу поверхні багатогранника, вершинами якого є середини сторін даного тетраедра.
Рішення.
Це завдання ще вирішено, наводимо рішення прототипу.
Площа поверхні тетраедра дорівнює 12. Знайдіть площу поверхні багатогранника, вершинами якого є середини ребер даного тетраедра.
Поверхня, що шукається, складається з чотирьох пар рівних трикутників, кожен з яких має площу рівну з чверті площі грані вихідного тетраедра. Тому потрібна площа дорівнює половині площі поверхні тетраедра і дорівнює 6.
Відповідь: 6.
Площа поверхні тетраедра дорівнює 2,2. Знайдіть площу поверхні багатогранника, вершинами якого є середини сторін даного тетраедра.
Рішення.
Це завдання ще вирішено, наводимо рішення прототипу.
Площа поверхні тетраедра дорівнює 12. Знайдіть площу поверхні багатогранника, вершинами якого є середини ребер даного тетраедра.
Поверхня, що шукається, складається з чотирьох пар рівних трикутників, кожен з яких має площу рівну з чверті площі грані вихідного тетраедра. Тому потрібна площа дорівнює половині площі поверхні тетраедра і дорівнює 6.
Відповідь: 6.
Площа поверхні тетраедра дорівнює 6,8. Знайдіть площу поверхні багатогранника, вершинами якого є середини сторін даного тетраедра.
Рішення.
Це завдання ще вирішено, наводимо рішення прототипу.
Площа поверхні тетраедра дорівнює 12. Знайдіть площу поверхні багатогранника, вершинами якого є середини ребер даного тетраедра.
Поверхня, що шукається, складається з чотирьох пар рівних трикутників, кожен з яких має площу рівну з чверті площі грані вихідного тетраедра. Тому потрібна площа дорівнює половині площі поверхні тетраедра і дорівнює 6.
Відповідь: 6.
Відповідь: 3,4
Площа поверхні тетраедра дорівнює 10,2. Знайдіть площу поверхні багатогранника, вершинами якого є середини сторін даного тетраедра.
Рішення.
Це завдання ще вирішено, наводимо рішення прототипу.
Площа поверхні тетраедра дорівнює 12. Знайдіть площу поверхні багатогранника, вершинами якого є середини ребер даного тетраедра.
Поверхня, що шукається, складається з чотирьох пар рівних трикутників, кожен з яких має площу рівну з чверті площі грані вихідного тетраедра. Тому потрібна площа дорівнює половині площі поверхні тетраедра і дорівнює 6.
Відповідь: 6.
Площа поверхні тетраедра дорівнює 3,8. Знайдіть площу поверхні багатогранника, вершинами якого є середини сторін даного тетраедра.
Рішення.
Це завдання ще вирішено, наводимо рішення прототипу.
Площа поверхні тетраедра дорівнює 12. Знайдіть площу поверхні багатогранника, вершинами якого є середини ребер даного тетраедра.
Поверхня, що шукається, складається з чотирьох пар рівних трикутників, кожен з яких має площу рівну з чверті площі грані вихідного тетраедра. Тому потрібна площа дорівнює половині площі поверхні тетраедра і дорівнює 6.
Відповідь: 6.
Площа поверхні тетраедра дорівнює 4. Знайдіть площу поверхні багатогранника, вершинами якого є середини сторін даного тетраедра.
Рішення.
Це завдання ще вирішено, наводимо рішення прототипу.
Площа поверхні тетраедра дорівнює 12. Знайдіть площу поверхні багатогранника, вершинами якого є середини ребер даного тетраедра.
Поверхня, що шукається, складається з чотирьох пар рівних трикутників, кожен з яких має площу рівну з чверті площі грані вихідного тетраедра. Тому потрібна площа дорівнює половині площі поверхні тетраедра і дорівнює 6.
Відповідь: 6.
Площа поверхні тетраедра дорівнює 8. Знайдіть площу поверхні багатогранника, вершинами якого є середини сторін даного тетраедра.
Рішення.
Це завдання ще вирішено, наводимо рішення прототипу.
Площа поверхні тетраедра дорівнює 12. Знайдіть площу поверхні багатогранника, вершинами якого є середини ребер даного тетраедра.
Поверхня, що шукається, складається з чотирьох пар рівних трикутників, кожен з яких має площу рівну з чверті площі грані вихідного тетраедра. Тому потрібна площа дорівнює половині площі поверхні тетраедра і дорівнює 6.
Відповідь: 6.
Площа поверхні тетраедра дорівнює 9. Знайдіть площу поверхні багатогранника, вершинами якого є середини сторін даного тетраедра.
Рішення.
Це завдання ще вирішено, наводимо рішення прототипу.
Площа поверхні тетраедра дорівнює 12. Знайдіть площу поверхні багатогранника, вершинами якого є середини ребер даного тетраедра.
Поверхня, що шукається, складається з чотирьох пар рівних трикутників, кожен з яких має площу рівну з чверті площі грані вихідного тетраедра. Тому потрібна площа дорівнює половині площі поверхні тетраедра і дорівнює 6.
Відповідь: 6.
Площа поверхні тетраедра дорівнює 2,4. Знайдіть площу поверхні багатогранника, вершинами якого є середини сторін даного тетраедра.
Рішення.
Це завдання ще вирішено, наводимо рішення прототипу.
Площа поверхні тетраедра дорівнює 12. Знайдіть площу поверхні багатогранника, вершинами якого є середини ребер даного тетраедра.
Поверхня, що шукається, складається з чотирьох пар рівних трикутників, кожен з яких має площу рівну з чверті площі грані вихідного тетраедра. Тому потрібна площа дорівнює половині площі поверхні тетраедра і дорівнює 6.
Розглянемо довільний трикутник ABC і точку D, що не лежить у площині цього трикутника. З'єднаємо відрізками цю точку з вершинами трикутника ABC. В результаті отримаємо трикутники ADC, CDB, ABD. Поверхня обмежена чотирма трикутниками ABC, ADC, CDB та ABD називається тетраедром і позначається DABC.
Трикутники, у тому числі складається тетраедр, називаються його гранями.
Сторони цих трикутників називають ребрами тетраедра. А їхні вершини – вершинами тетраедра
Тетраедр має 4 грані, 6 ребері 4 вершини.
Два ребра, які мають загальної вершини, називаються протилежними.
Найчастіше для зручності одну з граней тетраедра називають основою, а три грані, що залишилися, бічними гранями.
Таким чином, тетраедр – це найпростіший багатогранник, гранями якого є чотири трикутники.
Але також вірно і твердження, що будь-яка довільна трикутна піраміда є тетраедром. Тоді також вірно, що тетраедром називають піраміду, в основі якої лежить трикутник.
Висотою тетраедраназивається відрізок, який з'єднує вершину з точкою, розташованою на протилежній грані та перпендикулярний до неї.
Медіаною тетраедраназивається відрізок, який з'єднує вершину з точкою перетину медіан протилежної грані.
Бімедіаною тетраедраназивається відрізок, який з'єднує середини ребер тетраедра, що схрещуються.
Так як тетраедр - це піраміда з трикутною основою, то об'єм будь-якого тетраедра можна розрахувати за формулою
- S- Площа будь-якої грані,
- H- Висота, опущена на цю грань
Правильний тетраедр – приватний вид тетраедра
Тетраедр, у якого всі грані рівносторонні трикутник називається правильним.
Властивості правильного тетраедра:
- Усі грані рівні.
- Усі плоскі кути правильного тетраедра дорівнюють 60°
- Так як кожна вершина є вершиною трьох правильних трикутників, то сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 180 °
- Будь-яка вершина правильного тетраедра проектується до ортоцентру протилежної грані (у точку перетину висот трикутника).
Нехай нам дано правильний тетраедр ABCD з рівними ребрами a . DH – його висота.
Зробимо додаткові побудови BM – висоту трикутника ABC та DM – висоту трикутника ACD.
Висота BM дорівнює BM і дорівнює
Розглянемо трикутник BDM де DH , що є висотою тетраедра також і висота даного трикутника.
Висоту трикутника, опущену на бік MB, можна знайти, скориставшись формулою
, де
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)= 
Підставимо ці значення у формулу висоти. Отримаємо 
Винесемо 1/2a. Отримаємо
Застосуємо формулу різниця квадратів 
Після невеликих перетворень отримаємо 
Обсяг будь-якого тетраедра можна розрахувати за формулою
,
де 
,
Підставивши ці значення, отримаємо 
Таким чином формула об'єму для правильного тетраедра
де a-Ребро тетраедра
Обчислення обсягу тетраедра, якщо відомі координати його вершин
Нехай нам дано координати вершин тетраедра
З вершини проведемо вектори , , .
Для знаходження координат кожного з цих векторів віднімемо з координати кінця відповідну координату початку. Отримаємо 
У правильного тетраедра всі двогранні кути при ребрах і тригранні кути при вершинах рівні
У тетраедра 4 грані, 4 вершини та 6 ребер.
Основні формули для правильного тетраедра наведені у таблиці.
Де:
S - Площа поверхні правильного тетраедра
V - обсяг
h - висота, опущена на основу
r - радіус вписаного в тетраедр кола
R - радіус описаного кола
a - довжина ребра
Практичні приклади
Завдання.Знайдіть площу поверхні трикутної піраміди, у якої кожне ребро дорівнює √3
Рішення.
Оскільки всі ребра трикутної піраміди рівні – вона є правильною. Площа поверхні правильної трикутної піраміди дорівнює S = a 2 √3.
Тоді
S = 3√3
Відповідь: 3√3
Завдання.
Усі ребра правильної трикутної піраміди дорівнюють 4 см. Знайдіть об'єм піраміди 
Рішення.
Оскільки у правильній трикутній піраміді висота піраміди проектується в центр основи, який одночасно є центром описаного кола, то
AO = R = √3 / 3 a
AO = 4√3/3
Таким чином, висота піраміди OM може бути знайдена з прямокутного трикутника AOM
AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3/3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √(32/3)
OM = 4√2 / √3
Об'єм піраміди знайдемо за формулою V = 1/3 Sh
При цьому площу основи знайдемо за формулою S = √3/4 a 2
V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V = 16√2/3
Відповідь: 16√2 / 3 см
