Десятковий дріб відрізняється від звичайного дробу тим, що знаменник у нього - це розрядна одиниця.
Наприклад:
Десяткові дроби виділені із звичайних дробів в окремий вигляд, що призвело до власних правил порівняння, додавання, віднімання, множення та поділу цих дробів. В принципі, з десятковими дробами можна працювати і за правилами звичайних дробів. Власні правила перетворення десяткових дробів спрощують обчислення, а правила перетворення звичайних дробів на десяткові, і навпаки, є зв'язкою між цими видами дробу.
Запис та читання десяткових дробів дозволяє їх записувати, порівнювати та робити дії над ними за правилами, дуже схожими на правила дій з натуральними числами.
Вперше система десяткових дробів та дій над ними була викладена у XV ст. самаркандським математиком та астрономом Джемшид ібн-Масудаль-Каші у книзі «Ключ до мистецтва рахунку».
Ціла частина десяткового дробу відокремлена від дробової частини комою, у деяких країнах (США) ставлять крапку. Якщо десяткового дробу немає цілої частини, то перед комою ставлять число 0.
До дробової частини десяткового дробу праворуч можна дописувати будь-яку кількість нулів, це величину дробу не змінює. Дробна частина десяткового дробу читається за останнім значним розрядом.
Наприклад:
0,3 - три десятих
0,75 - сімдесят п'ять сотих
0,000005 – п'ять мільйонних.
Читання цілої частини десяткового дробу таке саме, як і натуральних чисел.
Наприклад:
27,5 - двадцять сім...;
1,57 - одна...
Після цілої частини десяткового дробу вимовляється слово "цілих".
Наприклад:
10.7 - десять цілих сім десятих
0,67 - нуль цілих шістдесят сім сотих.
Десяткові знаки – це цифри дробової частини. Дробна частина читається за розрядами (на відміну натуральних чисел), а цілком, тому дробова частина десяткового дробу визначається останнім праворуч значним розрядом. Розрядна система дробової частини десяткового дробу дещо інша, ніж у натуральних чисел.
- 1-й розряд після зайнятої - розряд десятих
- 2-й розряд після коми - розряд сотих
- 3-й розряд після коми - розряд тисячних
- 4-й розряд після коми - розряд десятитисячних
- 5-й розряд після коми - розряд стотисячних
- 6-й розряд після коми - розряд мільйонних
- 7-й розряд після коми - розряд десятимільйонних
- 8-й розряд після коми - розряд стомільйонних
У обчисленнях найчастіше використовуються перші три розряди. p align="justify"> Велика розрядність дробової частини десяткових дробів використовується тільки в специфічних галузях знань, де обчислюються нескінченно малі величини.
Переведення десяткового дробу в змішаний дрібскладається н наступному: число, що стоїть до коми записати цілою частиною змішаного дробу; число, що стоїть після коми - чисельником її дробової частини, а знаменнику дробової частини записати одиницю зі стількими нулями, скільки цифр коштує після коми.
У цій статті ми розглянемо тему « порівняння десяткових дробів». Спочатку обговоримо загальний принцип порівняння десяткових дробів. Після цього розберемося, які десяткові дробиє рівними, а які нерівними. Далі навчимося визначати, який десятковий дріб більший, а який менше. Для цього вивчимо правила порівняння кінцевих, нескінченних періодичних та нескінченних неперіодичних дробів. Усю теорію забезпечимо прикладами з докладними рішеннями. На закінчення зупинимося на порівнянні десяткових дробів із натуральними числами, звичайними дробами та змішаними числами.
Відразу скажемо, що тут ми говоритимемо лише про порівняння позитивних десяткових дробів (дивіться позитивні та негативні числа). Інші випадки розібрані у статтях порівняння раціональних чиселі порівняння дійсних чисел.
Навігація на сторінці.
Загальний принцип порівняння десяткових дробів
Виходячи з цього принципу порівняння, виводяться правила порівняння десяткових дробів, що дозволяють уникнути перекладу порівнюваних десяткових дробів у звичайні дроби. Ці правила, а також приклади їх застосування ми розберемо в наступних пунктах.
За схожим принципом порівнюються кінцеві десяткові дроби або нескінченні періодичні десяткові дроби з натуральними числами, звичайними дробами та змішаними числами: порівнювані числа замінюються відповідними ним звичайними дробами, після чого порівнюються звичайні дроби.
Що стосується порівняння нескінченних неперіодичних десяткових дробів, То воно зазвичай зводиться до порівняння кінцевих десяткових дробів. Для цього розглядається така кількість знаків порівнюваних нескінченних неперіодичних десяткових дробів, що дозволяє отримати результат порівняння.
Рівні та нерівні десяткові дроби
Спочатку введемо визначення рівних та нерівних кінцевих десяткових дробів.
Визначення.
Два кінцеві десяткові дроби називаються рівними, якщо рівні відповідні їм звичайні дроби, інакше ці десяткові дроби називаються нерівними.
На підставі цього визначення легко обґрунтувати таке твердження: якщо в кінці цього десяткового дробу приписати або відкинути кілька цифр 0 , то вийде рівний йому десятковий дріб. Наприклад, 0,3=0,30=0,300=… , а 140,000=140,00=140,0=140.
Дійсно, дописування або відкидання в кінці десяткового дробу нуля праворуч відповідає множенню або поділу на 10 чисельника і знаменника відповідного звичайного дробу. А ми знаємо основна властивість дробу, Яке говорить, що множення або розподіл чисельника і знаменника дробу на те саме натуральне число дає дріб, рівну вихідної. Цим доведено, що дописування або відкидання нулів праворуч у дробовій частині десяткового дробу дає дріб, що дорівнює вихідному.
Наприклад, десяткового дробу 0,5 відповідає звичайний дріб 5/10 , після дописування нуля праворуч виходить десятковий дріб 0,50 , якому відповідає звичайний дріб 50/100 , а . Таким чином, 0,5 = 0,50. Назад, якщо в десятковому дробі 0,50 відкинути праворуч 0 то ми отримаємо дріб 05 так від звичайного дробу 50/100 ми прийдемо до дробу 5/10 але 
. Отже, 0,50 = 0,5.
Переходимо до визначення рівних і нерівних нескінченних періодичних десяткових дробів.
Визначення.
Два нескінченні періодичні дроби рівніякщо рівні відповідні їм звичайні дроби; якщо відповідні їм звичайні дроби не рівні, то порівнювані періодичні дроби теж не рівні.
З цього визначення випливають три висновки:
- Якщо записи періодичних десяткових дробів повністю збігаються, такі нескінченні періодичні десяткові дроби рівні. Наприклад, періодичні десяткові дроби 0,34 (2987) та 0,34 (2987) рівні.
- Якщо періоди порівнюваних десяткових періодичних дробів починаються з однакової позиції, перший дріб має період 0 , другий – період 9 , і значення розряду, що передує періоду 0 на одиницю більше, ніж значення розряду, що передує періоду 9 то такі нескінченні періодичні десяткові дроби рівні. Наприклад, періодичні дроби 8,3(0) та 8,2(9) рівні, також рівні дроби 141,(0) та 140,(9) .
- Два будь-які інші періодичні дроби не є рівними. Наведемо приклади нерівних нескінченних періодичних десяткових дробів: 9,0(4) та 7,(21) , 0,(12) та 0,(121) , 10,(0) та 9,8(9) .
Залишилося розібратися з рівними і нерівними нескінченними неперіодичними десятковими дробами. Як відомо, такі десяткові дроби не можуть бути переведені в звичайні дроби (такі десяткові дроби представляють ірраціональні числа), тому порівняння нескінченних неперіодичних десяткових дробів не можна звести до порівняння звичайних дробів.
Визначення.
Два нескінченні неперіодичні десяткові дроби рівніякщо їх записи повністю збігаються.
Але є один нюанс: неможливо побачити «закінчений» запис нескінченних неперіодичних десяткових дробів, отже, неможливо переконатися й у повному збігу їхніх записів. Як же бути?
При порівнянні нескінченних неперіодичних десяткових дробів розглядають лише кінцеве число знаків порівнюваних дробів, що дозволяє зробити необхідні висновки. Таким чином, порівняння нескінченних неперіодичних десяткових дробів зводиться до порівняння кінцевих десяткових дробів.
При такому підході можна говорити про рівність нескінченних неперіодичних десяткових дробів лише з точністю до розряду. Наведемо приклади. Нескінченні неперіодичні десяткові дроби 5,45839... і 5,45839... рівні з точністю до стотисячних, оскільки рівні кінцеві десяткові дроби 5,45839 і 5,45839; неперіодичні десяткові дроби 19,54 і 19,54810375 рівні з точністю до сотих, так як рівні дроби 19,54 і 19,54.
Нерівність нескінченних неперіодичних десяткових дробів за такого підходу встановлюється цілком виразно. Наприклад, нескінченні неперіодичні десяткові дроби 5,6789… і 5,67732… не рівні, оскільки очевидні розбіжності у тому записах (не рівні кінцеві десяткові дроби 5,6789 і 5,6773 ). Нескінченні десяткові дроби 6,49354 і 7,53789 теж не рівні.
Правила порівняння десяткових дробів, приклади, рішення
Після встановлення факту нерівності двох десяткових дробів, часто потрібно дізнатися, який із цих дробів більший, а який – менший за інший. Зараз ми розберемо правила порівняння десяткових дробів, що дозволяють відповісти на поставлене запитання.
У багатьох випадках досить порівняти цілі частини порівнюваних десяткових дробів. Справедливо наступне правило порівняння десяткових дробів: більший той десятковий дріб, ціла частина якого більша, і менший той десятковий дріб, ціла частина якого менша.
Це правило відноситься як до кінцевих десяткових дробів, так і до нескінченних. Розглянемо рішення прикладів.
приклад.
Порівняйте десяткові дроби 9,43 та 7,983023… .
Рішення.
Очевидно, ці десяткові дроби не рівні. Ціла частина кінцевого десяткового дробу 9,43 дорівнює 9 , а ціла частина нескінченного неперіодичного дробу 7,983023 ... дорівнює 7 . Оскільки 9>7 (дивіться порівняння натуральних чисел), то 9,43> 7,983023.
Відповідь:
9,43>7,983023 .
приклад.
Який із десяткових дробів 49,43(14) та 1 045,45029… менший?
Рішення.
Ціла частина періодичного дробу 49,43(14) менше, ніж ціла частина нескінченного неперіодичного десяткового дробу 1 045,45029, отже, 49,43(14)<1 045,45029… .
Відповідь:
49,43(14) .
Якщо цілі частини порівнюваних десяткових дробів рівні, то з'ясування, яка їх більше, а яка - менше, доводиться порівнювати дробові частини. Порівняння дробових частин десяткових дробів проводиться порозрядно- Від розряду десятих до молодших.
Спочатку розглянемо приклад порівняння двох кінцевих десяткових дробів.
приклад.
Виконайте порівняння кінцевих десяткових дробів 0,87 та 0,8521 .
Рішення.
Цілі частини даних десяткових дробів рівні (0=0), тому переходимо до порівняння дробових частин. Значення розряду десятих рівні (8=8), а значення розряду сотих дробу 0,87 більше, ніж значення розряду сотих дробу 0,8521 (7>5). Отже, 0,87>0,8521.
Відповідь:
0,87>0,8521 .
Іноді, щоб порівняти кінцеві десяткові дроби з різною кількістю десяткових знаків, до дробу з меншою кількістю десяткових знаків доводиться дописувати деяку кількість нулів праворуч. Достатньо зручно зрівнювати кількість десяткових знаків до початку порівняння кінцевих десяткових дробів, дописавши до однієї з них кілька нулів праворуч.
приклад.
Порівняйте кінцеві десяткові дроби 18,00405 та 18,0040532 .
Рішення.
Вочевидь, дані дроби нерівні, оскільки їх записи відрізняються, але вони мають рівні цілі частини (18=18 ).
Перед порозрядним порівнянням дробових частин цих дробів зрівняємо кількість десяткових знаків. Для цього припишемо дві цифри 0 в кінці дробу 18,00405, при цьому отримаємо рівну їй десятковий дріб 18,0040500 .
Значення десяткових розрядів дробів 18,0040500 і 18,0040532 дорівнюють аж до стотисячних, а значення розряду мільйонних дробів 18,0040500 менше значеннявідповідного розряду дробу 18,0040532 (0<3 ), поэтому, 18,0040500<18,0040532 , следовательно, 18,00405<18,0040532 .
Відповідь:
18,00405<18,0040532 .
При порівнянні кінцевого десяткового дробу з нескінченним, кінцевий дріб замінюється рівним їй нескінченним періодичним дробом з періодом 0 , після чого проводиться порівняння за розрядами.
приклад.
Порівняйте кінцевий десятковий дріб 5,27 з нескінченним неперіодичним десятковим дробом 5,270013… .
Рішення.
Цілі частини цих десяткових дробів рівні. Значення розрядів десятих і сотих даних дробів рівні, і щоб виконати подальше порівняння, кінцевий десятковий дріб замінюємо рівним йому нескінченним періодичним дробом з періодом 0 виду 5,270000… . До п'ятого знака після коми значення розрядів десяткових дробів 5,270000... та 5,270013... рівні, а на п'ятому знаку маємо 0<1 . Таким образом, 5,270000…<5,270013… , откуда следует, что 5,27<5,270013… .
Відповідь:
5,27<5,270013… .
Порівняння нескінченних десяткових дробів також проводиться порозрядно, і закінчується після того, як тільки значення якогось розряду виявляються різними.
приклад.
Порівняйте нескінченні десяткові дроби 6,23(18) та 6,25181815… .
Рішення.
Цілі частини цих дробів рівні, також рівні значення розряду десятих. А значення розряду сотих періодичного дробу 6,23(18) менше розряду сотих нескінченного неперіодичного десяткового дробу 6,25181815… , отже, 6,23(18)<6,25181815… .
Відповідь:
6,23(18)<6,25181815… .
приклад.
Який із нескінченних періодичних десяткових дробів 3,(73) і 3,(737) більший?
Рішення.
Відомо, що 3,(73)=3,73737373… і 3,(737)=3,737737737… . На четвертому знаку після коми порозрядне порівняння закінчується, тому що там маємо 3<7 . Таким образом, 3,73737373…<3,737737737… , то есть, десятичная дробь 3,(737) больше, чем дробь 3,(73) .
Відповідь:
3,(737) .
Порівняння десяткових дробів із натуральними числами, звичайними дробами та змішаними числами.
Отримати результат порівняння десяткового дробу з натуральним числом дозволяє порівняти цілу частину даного дробу з цим натуральним числом. При цьому періодичні дроби з періодами 0 або 9 потрібно попередньо замінити рівними кінцевими десятковими дробами.
Справедливо наступне правило порівняння десяткового дробу та натурального числа: якщо ціла частина десяткового дробу менша від даного натурального числа, то і весь дріб менший від цього натурального числа; якщо ціла частина дробу більша або дорівнює даному натуральному числу, то дріб більший від даного натурального числа.
Розглянемо приклади застосування цього правила порівняння.
приклад.
Порівняйте натуральне число 7 із десятковим дробом 8,8329… .
Рішення.
Так як це натуральне число менше, ніж ціла частина даного десяткового дробу, то це число менше від даного десяткового дробу.
Відповідь:
7<8,8329… .
приклад.
Порівняйте натуральне число 7 і десятковий дріб 7,1.
Десятковий дріб в обов'язковому порядку містить кому. Та числова частина дробу, що розташовується лівіше за кому, називається цілою; правіше - дробовий:
5,28 5 - ціла частина 28 - дробова частина
Дробна частина десяткового дробу складається з десяткових знаків(десяткових розрядів):
- десяті - 0,1 (одна десята);
- соті - 0,01 (одна сота);
- тисячні – 0,001 (одна тисячна);
- десятитисячні – 0,0001 (одна десятитисячна);
- стотисячні – 0,00001 (одна стотисячна);
- мільйонні - 0,000001 (одна мільйонна);
- десятимільйонні - 0,0000001 (одна десятимільйонна);
- стомільйонні - 0,00000001 (одна стомільйонна);
- мільярдні - 0,000000001 (одна мільярдна) і т.д.
- прочитати число, що становить цілу частину дробу та додати слово " цілих";
- прочитати число, що становить дробову частину дробу та додати назву молодшого розряду.
Наприклад:
- 0,25 - нуль цілих двадцять п'ять сотих;
- 9,1 - дев'ять цілих одна десята;
- 18,013 – вісімнадцять цілих тринадцять тисячних;
- 100,2834 - сто цілих дві тисячі вісімсот тридцять чотири десятитисячних.
Запис десяткових дробів
Щоб записати десятковий дріб, необхідно:
- записати цілу частину дробу і поставити кому (число, що означає цілу частину дробу завжди закінчується словом " цілих");
- записати дробову частину дробу в такий спосіб, щоб остання цифра потрапила до потрібного розряду (за відсутності значних цифр у певних десяткових розрядах вони замінюються нулями).
Наприклад:
- двадцять цілих дев'ять десятих – 20,9 – у цьому прикладі все просто;
- п'ять цілих одна сота - 5,01 - слово "сота" означає, що після коми повинні стояти дві цифри, але оскільки в числі 1 немає розряду десятих, він замінюється нулем;
- нуль цілих вісімсот вісім тисячних – 0,808;
- три цілих п'ятнадцять десятих - такий десятковий дріб записати неможливо, тому, що у вимові дробової частини допущено помилку - число 15 містить два розряди, а слово "десятих" має на увазі лише один. Правильно буде три цілих п'ятнадцять сотих (або тисячних, десятитисячних тощо).
Порівняння десяткових дробів
Порівняння десяткових дробів проводиться аналогічно порівнянню натуральних чисел.
- спочатку порівнюються цілі частини дробів - більше буде той десятковий дріб у якого більше його ціла частина;
- якщо цілі частини дробів рівні, порівнюють порозрядно дробові частини, зліва направо, починаючи від коми: десяті, соті, тисячні і т.д. Порівняння ведуть до першого розбіжності - більше буде той десятковий дріб, у якого буде більша нерівна цифра у відповідному розряді дробової частини. Наприклад: 1,2 8 3 > 1,27 9, тому що в сотих розрядах у першого дробу коштує 8, а у другій 7.
3.4 Правильний порядок
У попередньому розділі ми порівнювали числа за їх становищем на числовій прямій. Це хороший спосіб порівнювати величини чисел у десятковому записі. Цей спосіб працює завжди, але це трудомістко і незручно робити щоразу, коли потрібно порівняти два числа. Існує інший добрий спосіб з'ясувати, яке з двох чисел більше.
Приклад A.
Розглянемо числа з попереднього розділу та порівняємо 0,05 та 0,2.
Щоб з'ясувати, скільки більше, порівняємо спочатку їх цілі частини. Обидва числа в нашому прикладі мають рівну кількість цілих - 0. Порівняємо тоді їхні десяті частини. Число 0,05 має 0 десятих, а число 0,2 має 2 десятих. Те, що число 0,05 має 5 сотих, не має значення, оскільки десяті частки визначають, що число 0,2 більше. Ми можемо таким чином записати:
Обидва числа мають 0 цілих та 6 десятих, і ми поки що не можемо визначити, яке з них більше. Проте, число 0,612 має лише 1 соту частину, а число 0,62 – дві. Тоді ми можемо визначити, що
0,62 > 0,612
Те, що число 0,612 має 2 тисячні, не відіграє ролі, воно все одно менше, ніж 0,62.
Ми можемо це проілюструвати на картинці:
|
0,612 | |||
 |
0,62 | |||
Для того, щоб визначити, яке з двох чисел у десятковому записі більше, потрібно зробити таке:
1. Порівняти цілі частини. Те число, у якого ціла частина більша і буде більшою.
2 . Якщо цілі частини дорівнюють, порівняти десяті частини. Те число, яке має десятих частин більше, і буде більше.
3 . Якщо десяті частини рівні, порівняти соті частини. Те число, що має сотих частин більше, і буде більше.
4 . Якщо соті частини рівні, порівняти тисячні частини. Те число, яке має тисячних частин більше, і буде більше.
