\(\blacktriangleright\) Двогранний кут– кут, утворений двома напівплощинами і прямою (a), яка є їх спільним кордоном.
\(\blacktriangleright\) Щоб знайти кут між площинами \(\xi\) і \(\pi\) потрібно знайти лінійний кут (причому гострийабо прямий) двогранного кута, утвореного площинами \(\xi\) і \(\pi\) :
Крок 1: нехай \(\xi\cap\pi=a\) (лінія перетину площин). У площині \(\xi\) відзначимо довільну точку \(F\) і проведемо \(FA\perp a\);
Крок 2: проведемо (FG perp );
Крок 3: за ТТП ((FG) – перпендикуляр, (FA) – похила, (AG) – проекція) маємо: (AG perpa);
Крок 4: кут \(\angle FAG\) називається лінійним кутом двогранного кута, утвореного площинами \(\xi\) і \(\pi\) .
Зауважимо, що трикутник (AG) - прямокутний.
Зауважимо також, що площина (AFG), побудована таким чином, перпендикулярна обох площин ((xi)) і (pi). Отже, можна сказати інакше: кут між площинами\(\xi\) і \(\pi\) - це кут між двома пересічними прямими \(c\in \xi\) і \(b\in\pi\) , що утворюють площину, перпендикулярну і \(\xi\) ) і \(\pi\) .
Завдання 1 #2875
Рівень завдання: Складніше ЄДІ
Дано чотирикутну піраміду, всі ребра якої рівні, причому основа є квадратом. Знайдіть \(6\cos \alpha\) , де \(\alpha\) - кут між її суміжними бічними гранями.
Нехай \(SABCD\) - дана піраміда (\(S\) - вершина), ребра якої рівні \(a\). Отже, всі бічні грані є рівними рівносторонні трикутники. Знайдемо кут між гранями (SAD) і (SCD).
Проведемо \(CH\perp SD\). Так як \(\triangle SAD=\triangle SCD\), то \(AH\) також буде висотою \(\triangle SAD\) . Отже, за визначенням \(\angle AHC=\alpha\) - лінійний кут двогранного кута між гранями \(SAD\) і \(SCD\).
Так як в основі лежить квадрат, то (AC = a sqrt2). Зауважимо також, що \(CH=AH\) - висота рівностороннього трикутника зі стороною \(a\), отже, \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\) .
Тоді за теоремою косінусів з \(\triangle AHC\) : \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]
Відповідь: -2
Завдання 2 #2876
Рівень завдання: Складніше ЄДІ
Площини \(\pi_1\) і \(\pi_2\) перетинаються під кутом, косинус якого дорівнює \(0,2\). Площини \(\pi_2\) і \(\pi_3\) перетинаються під прямим кутом, причому лінія перетину площин \(\pi_1\) і \(\pi_2\) паралельна лінії перетину площин \(\pi_2\) і \(\ pi_3 \). Знайдіть синус кута між площинами \(\pi_1\) і \(\pi_3\) .
Нехай лінія перетину \(\pi_1\) і \(\pi_2\) - пряма \(a\) , лінія перетину \(\pi_2\) і \(\pi_3\) - пряма \(b\) , а лінія перетину \(\pi_3\) та \(\pi_1\) - пряма \(c\) . Оскільки \(a\parallel b\) , то \(c\parallel a\parallel b\) (за теоремою з розділу теоретичної довідки "Геометрія в просторі" (rightarrow\) "Введення в стереометрію, паралельність").
Зазначимо точки \(A\in a, B\in b\) так, щоб \(AB\perp a, AB\perp b\) (це можливо, тому що \(a\parallel b\) ). Зазначимо \(C\in c\) так, щоб \(BC\perp c\) , отже, \(BC\perp b\) . Тоді \(AC\perp c\) і \(AC\perp a\) .
Справді, оскільки \(AB\perp b, BC\perp b\) , то \(b\) перпендикулярна площині (ABC\) . Оскільки \(c\parallel a\parallel b\) , то прямі \(a\) і \(c\) теж перпендикулярні площині \(ABC\) , а значить і будь-який прямий з цієї площини, зокрема, прямий \ (AC) .
Звідси слідує що \(\angle BAC=\angle (\pi_1, \pi_2)\), \(\angle ABC=\angle (\pi_2, \pi_3)=90^\circ\), \(\angle BCA=\angle (\pi_3, \pi_1)\). Виходить, що \(\triangle ABC\) прямокутний, отже \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0,2.\]
Відповідь: 0,2
Завдання 3 #2877
Рівень завдання: Складніше ЄДІ
Дано прямі \(a, b, c\) , що перетинаються в одній точці, причому кут між будь-якими двома з них дорівнює \(60^\circ\) . Знайдіть \(\cos^(-1)\alpha\) , де \(\alpha\) – кут між площиною, утвореною прямими \(a\) і \(c\) , і площиною, утвореною прямими \(b\) ) і (c) . Відповідь дайте у градусах.
Нехай прямі перетинаються в точці (O). Так як кут між будь-якими двома з них дорівнює \(60^\circ\), то всі три прямі не можуть лежати в одній площині. Зазначимо на прямій \(a\) точку \(A\) і проведемо \(AB\perp b\) та \(AC\perp c\) . Тоді \(\triangle AOB=\triangle AOC\)як прямокутні з гіпотенузи та гострого кута. Отже, \(OB=OC\) і (AB=AC\) .
Проведемо \(AH\perp (BOC)\). Тоді за теоремою про три перпендикуляри \(HC\perp c\) , \(HB\perp b\) . Оскільки \(AB=AC\) , то \(\triangle AHB=\triangle AHC\)як прямокутні з гіпотенузи та катету. Отже, (HB = HC). Значить, \(OH\) - бісектриса кута \(BOC\) (оскільки точка \(H\) рівновіддалена від сторін кута).
Зауважимо, що таким чином ми до того ж побудували лінійний кут двогранного кута, утвореного площиною, утвореною прямими (a) і (c), і площиною, утвореною прямими (b) і (c). Це кут (ACH).
Знайдемо цей кут. Оскільки точку (A) ми вибирали довільно, то нехай ми вибрали її так, що (OA = 2). Тоді в прямокутному \(\triangle AOC\): \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ]Так як \(OH\) - бісектриса, то \(\angle HOC=30^\circ\) , Отже, в прямокутному \(\triangle HOC\) : \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\]Тоді з прямокутного \(\triangle ACH\) : \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]
Відповідь: 3
Завдання 4 #2910
Рівень завдання: Складніше ЄДІ
Площини \(\pi_1\) і \(\pi_2\) перетинаються по прямій \(l\) , де лежать точки \(M\) і \(N\) . Відрізки \(MA\) і \(MB\) перпендикулярні до прямої \(l\) і лежать у площинах \(\pi_1\) і \(\pi_2\) відповідно, причому \(MN = 15\) , \(AN = 39 \), \ (BN = 17 \), \ (AB = 40 \). Знайдіть \(3\cos\alpha\) , де \(\alpha\) - кут між площинами \(\pi_1\) і \(\pi_2\).
Трикутник \(AMN\) прямокутний, \(AN^2 = AM^2 + MN^2\), звідки \ Трикутник \(BMN\) прямокутний, \(BN^2 = BM^2 + MN^2\) , звідки \ Запишемо для трикутника \(AMB\) теорему косінусів: \ Тоді \ Так як кут \(\alpha\) між площинами - це гострий кут, а \(\angle AMB\) вийшов тупим, то \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) . Тоді \
Відповідь: 1,25
Завдання 5 #2911
Рівень завдання: Складніше ЄДІ
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – паралелепіпед, \(ABCD\) – квадрат зі стороною \(a\) , точка \(M\) – основа перпендикуляра, опущеного з точки \(A_1\) на площину \((ABCD)\) , крім того (M) - точка перетину діагоналей квадрата (ABCD). Відомо що \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\). Знайдіть кут між площинами \((ABCD)\) і \((AA_1B_1B)\) . Відповідь дайте у градусах.
Побудуємо (MN) перпендикулярно (AB) як показано на малюнку.
Так як \(ABCD\) - квадрат зі стороною \(a\) і \(MNperp AB\) і \(BCperp AB\) , то \(MNparallel BC\) . Так як \(M\) - точка перетину діагоналей квадрата, то \(M\) - середина \(AC\), отже, \(MN\) - середня лінія і \(MN =\frac12BC= \frac(1)(2)a\).
\(MN\) – проекція \(A_1N\) на площину \((ABCD)\) , причому \(MN\) перпендикулярний \(AB\) , тоді за теоремою про три перпендикуляри \(A_1N\) перпендикулярний \(AB \) і кут між площинами \((ABCD)\) і \((AA_1B_1B)\) є \(\angle A_1NM\) .
\[\mathrm(tg)\, \angle A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\angle A_1NM = 60^(\circ)\]
Відповідь: 60
Завдання 6 #1854
Рівень завдання: Складніше ЄДІ
У квадраті \(ABCD\): \(O\) - точка перетину діагоналей; \(S\) - не лежить у площині квадрата, \(SO \perp ABC\) . Знайдіть кут між площинами \(ASD\) і \(ABC\) , якщо \(SO = 5\) , а \(AB = 10\) .
Прямокутні трикутники \(\triangle SAO\) і \(\triangle SDO\) рівні по обидва боки і кут між ними (\(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SOA = \angle SOD = 90^\circ\); \ (AO = DO \), т.к. \(O\) - точка перетину діагоналей квадрата, \(SO\) - загальна сторона) \(\Rightarrow\) \(AS = SD\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ASD\) - рівнобедрений. Точка \(K\) - середина \(AD\) , тоді \(SK\) - висота в трикутнику \(\triangle ASD\) , а \(OK\) - висота в трикутнику \(AOD\) \(\ Rightarrow\) площина \(SOK\) перпендикулярна площинам \(ASD\) і \(ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SKO\) - лінійний кут, що дорівнює шуканому двогранному куту.
У \(\triangle SKO\) : \(OK = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO\)\(\Rightarrow\) \(\triangle SOK\) - рівнобедрений прямокутний трикутник \(\Rightarrow\) \(\angle SKO = 45^\circ\) .
Відповідь: 45
Завдання 7 #1855
Рівень завдання: Складніше ЄДІ
У квадраті \(ABCD\): \(O\) - точка перетину діагоналей; \(S\) - не лежить у площині квадрата, \(SO \perp ABC\) . Знайдіть кут між площинами \(ASD\) і \(BSC\) якщо \(SO = 5\) , а \(AB = 10\) .
Прямокутні трикутники \(\triangle SAO\) , \(\triangle SDO\) , \(\triangle SOB\) і \(\triangle SOC\) рівні по двох сторонах і кут між ними (\(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SOA = \angle SOD = \angle SOB = \angle SOC = 90^\circ\); \ (AO = OD = OB = OC \), т.к. \(O\) - точка перетину діагоналей квадрата, \(SO\) - загальна сторона) \(\Rightarrow\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ASD\) та \(\triangle BSC\) - рівнобедрені. Точка \(K\) - середина \(AD\) , тоді \(SK\) - висота в трикутнику \(\triangle ASD\) , а \(OK\) - висота в трикутнику \(AOD\) \(\ Rightarrow\) площина \(SOK\) перпендикулярна площині \(ASD\) . Точка \(L\) - середина \(BC\) , тоді \(SL\) - висота в трикутнику \(\triangle BSC\) , а \(OL\) - висота в трикутнику \(BOC\) \(\ Rightarrow\) площина \(SOL\) (вона ж площина \(SOK\)) перпендикулярна площині \(BSC\). Таким чином отримуємо, що (angle KSL) - лінійний кут, рівний шуканому двогранному куті.
\(KL = KO + OL = 2 \ cdot OL = AB = 10 \)\(\Rightarrow\) \(OL = 5\); \(SK = SL\) – висоти в рівних рівнобедрених трикутниках, які можна знайти за теоремою Піфагора: \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). Можна помітити, що \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)\(\Rightarrow\) для трикутника \(\triangle KSL\) виконується зворотна теорема Піфагора \(\Rightarrow\) \(\triangle KSL\) - прямокутний трикутник \(\Rightarrow\) \(\angle KSL = 90^\ circ) .
Відповідь: 90
Підготовка учнів до здачі ЄДІ з математики, як правило, починається з повторення основних формул, у тому числі й тих, що дозволяють визначити кут між площинами. Незважаючи на те, що цей розділ геометрії досить детально висвітлюється в рамках шкільної програми, багато випускників потребують повторення базового матеріалу. Розуміючи, як знайти кут між площинами, старшокласники зможуть оперативно вирахувати правильну відповідь у ході вирішення завдання та розраховувати на отримання гідних балів за підсумками складання єдиного державного іспиту.
Основні нюанси
Щоб питання, як знайти двогранний кут, не викликало труднощів, рекомендуємо дотримуватися алгоритму рішення, який допоможе впоратися із завданнями ЄДІ.
Спочатку необхідно визначити пряму, якою перетинаються площини.
Потім на цій прямій потрібно вибрати точку і провести до неї два перпендикуляри.
Наступний крок – знаходження тригонометричної функціїдвогранного кута, що утворений перпендикулярами. Робити це найзручніше за допомогою трикутника, що вийшов, частиною якого є кут.
Відповіддю буде значення кута або його тригонометричної функції.
Підготовка до екзаменаційного випробування разом зі «Школковим» - запорука вашого успіху
У процесі занять напередодні здачі ЄДІ багато школярів стикаються з проблемою пошуку визначень і формул, які дозволяють обчислити кут між двома площинами. Шкільний підручник не завжди є під рукою саме тоді, коли це потрібно. А щоб знайти потрібні формули та приклади їх правильного застосування, у тому числі і для знаходження кута між площинами в Інтернеті в режимі онлайн, часом потрібно витратити чимало часу.
Математичний портал «Школкове» пропонує новий підхід до підготовки до державного іспиту. Заняття на нашому сайті допоможуть учням визначити найскладніші для себе розділи та заповнити прогалини у знаннях.
Ми підготували та зрозуміло виклали весь необхідний матеріал. Базові визначення та формули представлені у розділі «Теоретична довідка».
Для того, щоб краще засвоїти матеріал, пропонуємо також попрактикуватися у виконанні відповідних вправ. Велика добірка завдань різного ступеня складності, наприклад, на , представлена розділ «Каталог». Усі завдання містять докладний алгоритм знаходження правильної відповіді. Перелік вправ на сайті постійно доповнюється та оновлюється.
Практикуючись у вирішенні завдань, у яких потрібно знайти кут між двома площинами, учні мають можливість в онлайн-режимі зберегти будь-яке завдання у «Вибраному». Завдяки цьому вони зможуть повернутися до нього необхідну кількість разів і обговорити хід його вирішення. шкільним учителемчи репетитором.
Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com
Підписи до слайдів:
ДВОГРАНИЙ КУТ Вчитель математики ГОУ ЗОШ №10 Єрьоменко М.А.
Основні завдання уроку: Ввести поняття двогранного кута та його лінійного кута Розглянути завдання застосування цих понять
Визначення: Двогранним кутом називається фігура, утворена двома напівплощинами із загальною граничною прямою.
Завбільшки двогранного кута називається величина його лінійного кута. AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB -лінійний кут двогранного кута ACD В
Доведемо, що всі лінійні кути двогранного кута дорівнюють один одному. Розглянемо два лінійні кути АОВ та А 1 ОВ 1 . Промені ОА та ОА 1 лежать в одній грані та перпендикулярні ОО 1 тому вони сонаправлены. Промені ВВ та ВВ 1 також співспрямовані. Отже, ∠ АОВ = ∠ А 1 ОВ 1 (як кути із співспрямованими сторонами).
Приклади двогранних кутів:
Визначення: Кутом між двома площинами, що перетинаються, називається найменший з двогранних кутів, утворених цими площинами.
Завдання 1: У кубі A … D 1 знайдіть кут між площинами ABC та CDD 1 . Відповідь: 90 o .
Завдання 2: У кубі A … D 1 знайдіть кут між площинами ABC та CDA 1 . Відповідь: 45 o .
Завдання 3: У кубі A … D 1 знайдіть кут між площинами ABC та BDD 1 . Відповідь: 90 o .
Завдання 4: У кубі A … D 1 знайдіть кут між площинами ACC 1 та BDD 1 . Відповідь: 90 o .
Завдання 5: У кубі A … D 1 знайдіть кут між площинами BC 1 D та BA 1 D . Рішення: Нехай О – середина D. A 1 OC 1 – лінійний кут двогранного кута А 1 В D С 1 .
Завдання 6: У тетраедрі DABC усі ребра рівні, точка М – середина ребра АС. Доведіть, що ∠ DMB – лінійний кут двогранного кута BACD.
Рішення: Трикутники ABC і ADC правильні, тому BM ⊥ AC і DM ⊥ AC і, отже, ∠ DMB є лінійним кутом двогранного кута DACB .
Завдання 7: З вершини В трикутника АВС, сторона АС якого лежить у площині α проведений до цієї площини перпендикуляр ВР 1 . Знайдіть відстань від точки В до прямої АС і до площини α якщо АВ=2, ∠ВАС=150 0 і двогранний кут ВАСВ 1 дорівнює 45 0 .
Рішення: АВС – тупокутний трикутник з тупим кутом А, тому основа висоти ВК лежить продовженні боку АС. ВК – відстань від точки до АС. ВВ 1 – відстань від точки до площині α
2) Оскільки АС ⊥ВК, то АС⊥КВ 1 (по теоремі, зворотній теоремі про три перпендикуляри). Отже, ∠ВКВ 1 – лінійний кут двогранного кута ВАСВ 1 та ∠ВКВ 1 =45 0 . 3) ∆ВАК: ∠А=30 0 , ВК=ВА· sin 30 0 , ВК =1. ∆ВКВ 1: ВВ 1 =ВК· sin 45 0 , ВВ 1 =
ТЕКСТОВЕ РОЗШИФРУВАННЯ УРОКУ:
У планіметрії основними об'єктами є прямі, відрізки, промені та точки. Промені, що виходять з однієї точки, утворюють одну з геометричних фігур-кут.
Ми знаємо, що лінійний кут вимірюється у градусах та радіанах.
У стереометрії до об'єктів додається площина. Фігура, утворена прямою а та двома напівплощинами із загальною межею а, що не належать одній площині в геометрії називається двогранним кутом. Напівплощини – це грані двогранного кута. Пряма а – це ребро двогранного кута.
Двогранний кут, як і лінійний кут, можна назвати, виміряти, побудувати. Це і належить нам з'ясувати в цьому уроці.
Знайдемо двогранний кут моделі тетраедра АВСD.
Двогранний кут з ребром АВ називають CABD, де С і D точки належать різним граням кута а ребро АВ називають у середині
Навколо нас чимало предметів з елементами як двогранного кута.
У багатьох містах у парках встановлені спеціальні лави для примирення. Лавка виконана у вигляді двох похилих площин, що сходяться до центру.
При будівництві будинків часто використовується так званий двосхилий дах. На цьому будинку дах виконаний у вигляді двогранного кута 90 градусів.
Двогранний кут теж вимірюється в градусах чи радіанах, але як його виміряти.
Цікаво зауважити, що дахи будинків лежать на кроквах. А обрешітка крокв утворює два скати даху під заданим кутом.
Перенесемо зображення на креслення. На кресленні для знаходження двогранного кута на його ребрі відзначається точка В. З цієї точки проводяться два промені ВА і ПС перпендикулярно ребру кута. Утворений цими променями кут АВС називається лінійним кутом двогранного кута.
Градусна міра двогранного кута дорівнює градусній мірі його лінійного кута.
Виміряємо кут АОВ.
Градусна міра цього двогранного кута дорівнює шістдесяти градусам.
Лінійних кутів для двогранного кута можна провести нескінченну кількість, важливо знати, що вони рівні.
Розглянемо два лінійні кути АОВ і А1О1В1. Промені ОА та О1А1 лежать в одній грані та перпендикулярні до прямої ОО1, тому вони спрямовані. Промені ОВ та О1В1 так само співспрямовані. Тому кут АОВ дорівнює куту А1О1В1 як кути із співспрямованими сторонами.
Так двогранний кут характеризується лінійним кутом, а лінійні кути бувають гострі, тупі та прямі. Розглянемо моделі двогранних кутів.
Тупий кут, якщо його лінійний кут від 90 до 180 градусів.
Прямий кут, якщо його лінійний кут дорівнює 90 градусів.
Гострий кут, якщо його лінійний кут від 0 до 90 градусів.
Доведемо одну з найважливіших властивостей лінійного кута.
Площина лінійного кута перпендикулярна до ребра двогранного кута.
Нехай кут АОВ – лінійний кут даного двогранного кута. За побудовою промені АТ та ВВ перпендикулярні до прямої а.
Через дві перетинаються прямі АТ і ОВ проходить площину АОВ по теоремі: Через дві прямі, що перетинаються, проходить площину і притому тільки одна.
Пряма а перпендикулярна двом прямим лежачим у цій площині, що перетинається, означає за ознакою перпендикулярності прямої і площини пряма а перпендикулярна площині АОВ.
Для вирішення завдань важливо вміти будувати лінійний кут заданого двогранного кута. Побудувати лінійний кут двогранного кута з ребром АВ для тетраедра АВСD.
Йдеться про двогранний кут, який утворений, по-перше, рубом АВ, однією гранню АВD, другою гранню АВС.
Ось один із способів побудови.
Проведемо перпендикуляр із точки D до площини АВС, Зазначимо точку М основу перпендикуляра. Згадаємо, що в тетраедрі основа перпендикуляра збігається з центром вписаного кола в основу тетраедра.
Проведемо похилу з точки D перпендикулярно до ребра АВ, відзначимо точку N основу похилої.
У трикутнику DMN відрізок NM буде проекцій похилої DN на площину АВС. За теоремою про три перпендикуляри ребро АВ буде перпендикулярно до проекції NМ.
Отже, сторони кута DNM перпендикулярні до ребра АВ, значить побудований кут DNM шуканий лінійний кут.
Розглянемо приклад розв'язання задачі на обчислення двогранного кута.
Трикутник АВС і правильний трикутник АDB не лежать в одній площині. Відрізок CD є перпендикуляром до площини ADB. Знайдіть двогранний кут DABC, якщо AC = CB = 2 см, AB = 4см.
Двогранний кут DABC дорівнює його лінійному куту. Збудуємо цей кут.
Проведемо похилу СМ перпендикулярно до ребра АВ, оскільки трикутник АСВ рівнобедрений, точка М збігається із серединою ребра АВ.
Пряма СD за умовою перпендикулярна до площини ADB, означає перпендикулярна до прямої DM, що лежить у цій площині. А відрізок МD є проекцією похилої РМ на площину АDВ.
Пряма АВ перпендикулярна похилій СМ по побудові, значить за теоремою про три перпендикуляри перпендикулярна до проекції MD.
Отже до ребра АВ знайдено два перпендикуляри СМ та DМ. Отже, вони утворюють лінійний кут СMD двогранного кута DАВС. І нам залишиться його знайти із прямокутного трикутника СDM.
Так відрізок СМ медіана та висота рівнобедреного трикутника АСВ, то по теоремі Піфагора катет СМ дорівнює 4 см.
З прямокутного трикутника DMB по теоремі Піфагора катет DM дорівнює двом корінням з трьох.
Косинус кута з прямокутного трикутника дорівнює відношенню прилеглого катета МD до гіпотенузи СМ і дорівнює три корені з трьох на два. Значить кут СМD дорівнює 30 градусів.
Стереометрія
Глава 9. Прямі та площини у просторі
9.8. Двогранний кут та його лінійний кут
Площина розділяється прямій, що лежить у ній, на дві напівплощини.
Визначення 1
Фігура, утворена двома напівплощинами, що виходять з однієї прямої, разом з частиною простору, обмеженою цими напівплощинами, називається двогранним кутом. Напівплощини називаються гранями, які загальна пряма - ребром двогранного кута.
Грані двогранного кута ділять простір на дві області: внутрішню область даного двогранного кута та її зовнішню область.
Визначення 2
Два двогранні кути називаються рівними, якщо один з них можна поєднати з іншим так, що суміщаються їхні внутрішні області.
Визначення 3
Кут між двома перпендикулярами до ребра двогранного кута, проведеними у його гранях з однієї точки ребра, називається лінійним кутом двогранного кута.
1 . Кут (), що виходить при перетині двогранного кута площиною, перпендикулярною до його ребра, є лінійним кутом даного двогранного кута.
2 . Величина лінійного кута залежить від становища його вершини на ребрі, т. е. .
3 . Лінійні кути рівних двогранних кутів рівні (випливає з визначень 2 і 3).
Визначення 4
З двох двогранних кутів той називається більшим (меншим), який має більший (менший) лінійний кут. За одиниці виміру двогранних кутів приймають такі двогранні кути, лінійні кути яких рівні
Поняття двогранного кута
Для введення поняття двогранного кута, спочатку згадаємо одну з аксіом стереометрії.
Будь-яку площину можна розділити на дві напівплощини прямої $a$, що лежить у цій площині. При цьому точки, що лежать в одній напівплощині знаходяться з одного боку від прямої $a$, а точки, що лежать у різних напівплощинах - по різні боки від прямої $a$ (рис. 1).
Малюнок 1.
На цій аксіомі заснований принцип побудови двогранного кута.
Визначення 1
Фігура називається двогранним кутомякщо вона складається з прямої і двох напівплощин цієї прямої, що не належать одній площині.
При цьому напівплощини двогранного кута називаються гранями, а пряма, що розділяє напівплощини - ребром двогранного кута(Рис. 1).
Малюнок 2. Двогранний кут
Градусний захід двогранного кута
Визначення 2
Виберемо на ребрі довільну точку $A$. Кут між двома прямими, що лежать у різних напівплощинах, перпендикулярних ребру і що перетинаються в точці $A$ називається лінійним кутом двогранного кута(Рис. 3).
Малюнок 3.
Вочевидь, кожен двогранний кут має нескінченне число лінійних кутів.
Теорема 1
Усі лінійні кути одного двогранного кута дорівнюють між собою.
Доведення.
Розглянемо два лінійні кути $AOB$ і $A_1(OB)_1$ (рис. 4).
Малюнок 4.
Оскільки промені $OA$ і $(OA)_1$ лежать у одній напівплощині $\alpha $ і перпендикулярні однієї прямої, всі вони є сонаправленными. Оскільки промені $OB$ і $(OB)_1$ лежать у одній напівплощині $\beta $ і перпендикулярні однієї прямої, вони є сонаправленными. Отже
\[\angle AOB=\angle A_1(OB)_1\]
Через довільність виборів лінійних кутів. Усі лінійні кути одного двогранного кута рівні між собою.
Теорему доведено.
Визначення 3
Градусною мірою двогранного кута називається градусна міра лінійного кута двогранного кута.
Приклади завдань
Приклад 1
Нехай нам дано дві неперпендикулярні площини $\alpha$ і $\beta$, які перетинаються по прямій $m$. Крапка $A$ належить площині $\beta$. $AB$ -- перпендикуляр до прямої $m$. $AC$ перпендикуляр до площини $\alpha$ (точка $C$ належить $\alpha$). Довести, що кут $ ABC є лінійним кутом двогранного кута.
Доведення.
Зобразимо малюнок за умовою задачі (рис. 5).
Малюнок 5.
Для доказу пригадаємо таку теорему
Теорема 2:Пряма, що проходить через основу похилої, перпендикулярна до неї, перпендикулярна до її проекції.
Оскільки $AC$ - перпендикуляр до площині $\alpha$, точка $C$ - проекція точки $A$ на площину $\alpha$. Отже, $BC$ - проекція похилої $AB$. За теоремою 2, $BC$ перпендикулярна ребру двогранного кута.
Тоді, кут $ABC$ відповідає всім вимогам визначення лінійного кута двогранного кута.
Приклад 2
Двогранний кут дорівнює $30^\circ$. На одній із граней лежить точка $A$, яка віддалена від іншої межі на відстань $4$ див. Знайти відстань від точки $A$ до ребра двогранного кута.
Рішення.
Розглянемо малюнок 5.
За умовою, маємо $AC=4\ см$.
За визначенням градусного заходудвогранного кута, маємо, що кут $ABC$ дорівнює $30^\circ$.
Трикутник $ABC$ є прямокутним трикутником. За визначенням синуса гострого кута
\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \
