Двогранним кутом називається фігура, утворена прямою a і двома напівплощинами із спільним кордоном a , що не належать до однієї площини.
Пряма a – ребро двогранного кута
a
У повсякденному житті часто зустрічаємося з предметами, мають форму двогранного кута. Такими предметами є двосхилі дахи будівель, напіврозкрита книга, стіна кімнати разом із підлогою тощо.
Дві напівплощини – грані двогранного кута.
Алгоритм побудови лінійного кута.
Кут РОК – лінійний кут двогранного кута Р DE К.
Градусною мірою двогранного кута називається градусна міра його лінійного кута.
Тригранні та багатогранні кути
Ввести визначення тригранного та багатогранного кутів;
Познайомитись із різними видами багатогранних кутів;
Вивчити властивості багатогранних кутів та навчитися їх застосовувати під час вирішення завдань.
БАГАТОГРАНІ КУТИ
Поверхня, утворена кінцевим набором плоских кутів. A 1 SA 2 , A 2 SA 3 , …, A n -1 SA n , A n SA 1 із загальною вершиною S, В яких сусідні кути не мають загальних точок, крім точок загального променя, а не сусідні кути не мають спільних точок, крім загальної вершини, будемо називати багатогранною поверхнею.
Фігура, утворена зазначеною поверхнею та однією з двох частин простору, нею обмежених, називається багатогранним кутом. Загальна вершина Sназивається вершиною багатогранного кута. Промені SA 1 , …, SA nназиваються ребрами багатогранного кута, а самі плоскі кути A 1 SA 2 , A 2 SA 3 , …, A n -1 SA n , A n SA 1 – гранями багатогранного кута. Багатогранний кут позначається літерами SA 1 … A n, що вказують вершину та крапки на його ребрах.
БАГАТОГРАНІ КУТИ
Залежно від кількості граней багатогранні кути бувають тригранними, чотиригранними, п'ятигранними тощо.
ТРИГРАНІ КУТИ
Теорема. Кожен плоский кут тригранного кута менший за суму двох інших його плоских кутів.
У режимі слайдів відповідь з'являється після клацання мишкою.
ТРИГРАНІ КУТИ
Властивість. Сума плоских кутів тригранного кута менше 360.
У режимі слайдів відповідь з'являється після клацання мишкою.
Випуклі багатогранні кути
Багатогранний кут називається опуклим, якщо він є опуклою фігурою, тобто разом з будь-якими двома своїми точками цілком містить і відрізок, що з'єднує їх. На малюнку наведено приклади опуклого та невипуклого багатогранних кутів.
Властивість. Сума всіх плоских кутів опуклого багатогранного кута менша за 360°.
Вертикальні багатогранні кути
На рисунках наведено приклади тригранних, чотиригранних та п'ятигранних вертикальних кутів.
Теорема. Вертикальні кути рівні.
Вимірювання багатогранних кутів
Оскільки градусна величина розгорнутого двогранного кута вимірюється градусною величиною відповідного лінійного кута і дорівнює 180 про, вважатимемо, що градусна величина всього простору, що складається з двох розгорнутих двогранних кутів, дорівнює 360 про. Розмір багатогранного кута, виражена в градусах, показує яку частину простору займає даний багатокутний кут. Наприклад, тригранний кут куба займає одну восьму частину простору і, отже, його градусна величина дорівнює 360:8 = 45 о. Тригранний кут у правильній n-вугільної призмі дорівнює половині двогранного кута при бічному ребрі. Враховуючи, що цей двогранний кут дорівнює, отримуємо, що тригранний кут призми дорівнює.
Вправа 1
Чи може бути тригранний кут із плоскими кутами: а) 30°, 60°, 20°; б) 45 °, 45 °, 90 °; в) 30 °, 45 °, 60 °?
У режимі слайдів відповідь з'являється після клацання мишкою.
Відповіді немає;
Вправа 2
Наведіть приклади багатогранників, у яких грані, перетинаючи у вершинах, утворюють лише: а) тригранні кути; б) чотиригранні кути; в) п'ятигранні кути.
У режимі слайдів відповідь з'являється після клацання мишкою.
Відповідь: а) Тетраедр, куб, додекаедр;
б) октаедр;
в) ікосаедр.
Вправа 3
Два плоскі кути тригранного кута дорівнюють 70° і 80°. У яких межах знаходиться третій плоский кут?
У режимі слайдів відповідь з'являється після клацання мишкою.
Відповідь: 10 про 
1. На малюнку зображено багатогранник, всі двогранні кути багатогранника прямі. Знайдіть відстань між вершинами А та С2
Розглянемо прямокутний трикутник, за теоремою Піфагора
3. Знайдіть кут CAD2 багатогранника, зображеного на малюнку. Усі двогранні кути багатогранника прямі. Відповідь дайте у градусах.
Розглянемо трикутник CAD2 де AC = CD2 = AD2, тому що є діагоналями рівних квадратів. Отже, трикутник CAD2 - рівносторонній, тому всі його кути дорівнюють 60°.
4. Знайдіть кут ABD багатогранника, зображеного на малюнку. Усі двогранні кути багатогранника прямі. Відповідь дайте у градусах.
Зауважимо, що ABCD - квадрат зі стороною 2, а BD - його діагональ. Отже, трикутник ABD - прямокутний і рівнобедрений, AB=AD. Кут ABD дорівнює 45 °.
5. На малюнку зображено багатогранник, всі двогранні кути багатогранника прямі. Знайдіть квадрат відстані між вершинами В2 та Д3.
6. На малюнку зображено багатогранник, всі двогранні кути багатогранника прямі. Знайдіть квадрат відстані між вершинами А та С3.
7. Знайдіть кут EAD2 багатогранника, зображеного на малюнку. Усі двогранні кути багатогранника прямі. Відповідь дайте у градусах.
Вправа 5
У тригранному куті два плоскі кути рівні по 45°; двогранний кут між ними прямий. Знайдіть третій плоский кут.
У режимі слайдів відповідь з'являється після клацання мишкою.
Відповідь: 6 0 о.
Вправа 6
Плоскі кути тригранного кута дорівнюють 60°, 60° та 90°. На його ребрах від вершини відкладено рівні відрізки OA , OB , OC . Знайдіть двогранний кут між площиною кута в 90° та площиною ABC .
У режимі слайдів відповідь з'являється після клацання мишкою.
Відповідь: 9 0 о.
Вправа 7
Кожен плоский кут тригранного кута дорівнює 60 °. На одному з його ребер відкладений від вершини відрізок, що дорівнює 3 см, і з кінця опущений перпендикуляр на протилежну грань. Знайдіть довжину цього перпендикуляра.
У режимі слайдів відповідь з'являється після клацання мишкою.
Відповідь: див.
Вправа 8
Знайдіть геометричне місце внутрішніх точок тригранного кута, рівновіддалених від його граней.
У режимі слайдів відповідь з'являється після клацання мишкою.
Відповідь: Промінь, вершиною якого є вершина тригранного кута, що лежить на лінії перетину площин, що ділять двогранні кути навпіл.
Вправа 9
Знайдіть геометричне місце внутрішніх точок тригранного кута, рівновіддалених від його ребер.
У режимі слайдів відповідь з'являється після клацання мишкою.
Відповідь: Промінь, вершиною якого є вершина тригранного кута, що лежить на лінії перетину площин, що проходять через бісектриси плоских кутів і перпендикулярних площин цих кутів.
Вправа 10
Знайдіть наближені значення тригранних кутів тетраедра.
Для двогранних кутів тетраедра маємо:
Звідки 70 про 30”.
Для тригранних кутів тетраедра маємо:
У режимі слайдів відповідь з'являється після клацання мишкою.
Відповідь: 15 про 45" .
Вправа 11
Знайдіть наближені значення чотиригранних кутів октаедра.
Для двогранних кутів октаедра маємо:
Звідки 109 про 30”.
Для чотиригранних кутів октаедра маємо:
У режимі слайдів відповідь з'являється після клацання мишкою.
Відповідь: 38 про 56".
Вправа 12
Знайдіть наближені значення п'ятигранних кутів ікосаедра.
Для двогранних кутів ікосаедра маємо:
Звідки 138 про 11”.
Для п'ятигранних кутів ікосаедра маємо:
Відповідь: 75 про 28".
У режимі слайдів відповідь з'являється після клацання мишкою.
Вправа 13
Знайдіть наближені значення тригранних кутів додекаедра.
Для двогранних кутів додекаедру маємо:
Звідки 116 про 3 4”.
Для трикутних кутів додекаедру маємо:
Відповідь: 84 про 51”.
У режимі слайдів відповідь з'являється після клацання мишкою.
Вправа 14
У правильній чотирикутній піраміді SABCDсторона основи дорівнює 2 см, висота 1 см. Знайдіть чотиригранний кут при вершині цієї піраміди.
Рішення: Вказані піраміди розбивають куб на шість рівних пірамід з вершинами у центрі куба. Отже, 4-х гранний кут при вершині піраміди становить одну шосту частину кута 360 про, тобто. дорівнює 60 о.
У режимі слайдів відповідь з'являється після клацання мишкою.
Відповідь: 60 о.
Вправа 15
У правильній трикутній піраміді бічні ребра дорівнюють 1, кути при вершині 90 о. Знайдіть три гранний кут при вершині цієї піраміди.
Рішення: Вказані піраміди розбивають октаедр на вісім рівних пірамід з вершинами в центрі Oоктаедра. Отже, 3-гранний кут при вершині піраміди становить одну восьму частину кута в 360 про, тобто. дорівнює 45 о.
У режимі слайдів відповідь з'являється після клацання мишкою.
Відповідь: 45 о.
Вправа 16
У правильній трикутній піраміді бічні ребра дорівнюють 1, а висота Знайдіть трьох гранний кут при вершині цієї піраміди.
Рішення: Вказані піраміди розбивають правильний тетраедр на чотири рівні піраміди з вершинами в центрі Oтетраедра. Отже, 3-гранний кут при вершині піраміди становить одну четверту частину кута 360 про, тобто. дорівнює 90 о.
У режимі слайдів відповідь з'являється після клацання мишкою.
Тригранні та багатогранні кути: Тригранним кутом називається фігура утворена трьома площинами, обмеженими трьома променями, що виходять з однієї точки і не лежать в одній площині. Розглянемо якийсь плоский багатокутник і точку, що лежить поза площиною цього багатокутника. Проведемо з цієї точки промені, що проходять через вершини багатокутника. Ми отримаємо фігуру, яка називається багатогранним кутом.
Тригранний кут це частина простору, обмежена трьома плоскими кутами із загальною вершиною та попарно спільними сторонами, що не лежать в одній площині. Загальна вершина цих кутів називається вершиною тригранного кута. Сторони кутів називаються ребрами, плоскі кути при вершині тригранного кута називаються його гранями. Кожна з трьох пар граней тригранного кута утворює двогранний кут плоскими кутами.
; +>; + > 2. Сума плоских кутів тригранного кута менша за 360 градусів α, β, γ плоскі кути, A, B, C двогранні кути, склад" двох інших його плоских кутів: 2. Сума плоских кутів тригранного кута менше 360 градусів α, β, γ плоскі кути, A, B, C двогранні кути, склад" class="link_thumb"> 4 !}Основні властивості тригранного кута 1. Кожен плоский кут тригранного кута менший за суму двох інших його плоских кутів. +>; +>; + > 2. Сума плоских кутів тригранного кута менше 360 градусів α, β, γ плоскі кути, A, B, C двогранні кути, складені площинами кутів β і γ, α і γ, α і β. 3. Перша теорема косінусів для тригранного кута 4. Друга теорема косінусів для тригранного кута ; +>; + > 2. Сума плоских кутів тригранного кута менша за 360 градусів α, β, γ плоскі кути, A, B, C двогранні кути, склад"> ; + > ; + > 2. Сума плоских кутів тригранного кута менше 360 градусів α, β , γ плоскі кути, A, B, C двогранні кути, складені площинами кутів β і γ, α і γ, α і β.3. +>; + > 2. Сума плоских кутів тригранного кута менша за 360 градусів α, β, γ плоскі кути, A, B, C двогранні кути, склад" двох інших його плоских кутів: 2. Сума плоских кутів тригранного кута менше 360 градусів α, β, γ плоскі кути, A, B, C двогранні кути, склад"> title="Основні властивості тригранного кута 1. Кожен плоский кут тригранного кута менший за суму двох інших його плоских кутів. +>; +>; + > 2. Сума плоских кутів тригранного кута менше 360 градусів α, β, γ плоскі кути, A, B, C двогранні кути, склад"> !}
Грані багатогранника – це багатокутники, які його утворюють. Ребра багатогранника – це сторони багатокутників. Вершини багатогранника – це вершини багатокутника. Діагональ багатогранника - це відрізок, що з'єднує 2 вершини, що не належать до однієї грані.
Багатогранні кути. Поверхня, утворену кінцевим набором плоских кутів A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 із загальною вершиною S, в яких сусідні кути не мають спільних точок, крім точок загального променя, а не сусідні кути не мають спільних точок, крім загальної вершини, називатимемо багатогранною поверхнею. Фігура, утворена зазначеною поверхнею та однією з двох частин простору, нею обмежених, називається багатогранним кутом. Загальна вершина S називається вершиною багатогранного кута. Промені SA1, …, SAn називаються ребрами багатогранного кута, а самі плоскі кути A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 – гранями багатогранного кута. Багатогранний кут позначається літерами SA1 ... An, що вказують вершину та точки на його ребрах.
Слайд 1 із презентації «Багатогранний кут»до уроків геометрії на тему «Кути у просторі»Розміри: 960 х 720 пікселів, формат: jpg. Щоб безкоштовно скачати слайд для використання на уроці геометрії, клацніть правою кнопкою мишки на зображенні і натисніть «Зберегти зображення як...». Завантажити всю презентацію «Багатогранний кут.ppt» можна у zip-архіві розміром 329 КБ.
Завантажити презентаціюКути у просторі
«Кут між прямими у просторі» - У кубі A…D1 знайдіть кут між прямими: AB1 та BC1. Кут між прямими у просторі. Відповідь: 90o. Відповідь: 45o. У кубі A…D1 знайдіть кут між прямими: A1C1 та B1D1. У кубі A…D1 знайдіть кут між прямими: AA1 та BC. Відповідь: У кубі A…D1 знайдіть кут між прямими: AA1 та BD1. У кубі A…D1 знайдіть кут між прямими: AA1 та BC1.
"Вписаний кут" - Побудувати прямий кут? Рівних цьому? Теорема: Визначення: Спирається. Практична робота. Хасанова Є.І., вчитель математики, План уроку: Вписані кути. Доказ: Дано: Підсумок уроку. 8 клас. б). Чим схожі і чим розрізняються кути АОВ та АСВ? МОУ "МЗОШ №16", м. Міасса, Челябінської області.
«Багатогранний кут» – Вимір багатогранних кутів. Два плоскі кути тригранного кута дорівнюють 70° і 80°. Отже, ? ASB +? BSC +? ASC< 360° . Трехгранные углы. Таким образом, остается доказать неравенство?ASС < ?ASB + ?BSC. Доказательство аналогично доказательству соответствующего свойства для трехгранного угла.
«Суміжні кути» - Дано: AOC і BOC - суміжні. Довести: AOC + BOC = 180. Суміжні та вертикальні кути. d. c. Теорема. Наслідки з теореми. b. А суміжний розгорнутому? Даний довільний? (аb), відмінний від розгорнутого. Визначення. a. Урок 11. Сума суміжних кутів дорівнює 180? Доведення.
Cлайд 1
Cлайд 2
Теорема. У тригранному куті сума плоских кутів менше 360 і сума будь-яких двох із них більша за третій. Дано: Оabc – тригранний кут; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Основна властивість тригранного кута. Довести: + +< 360 ; 2) + > ; + > ; + > .
Cлайд 3
Доказ I. Нехай< 90 ; < 90 ; (ABC) с. Тогда ОВС = 90 – < ОВА (следствие из формулы трех косинусов). Аналогично, ОАС = 90 – < ОAВ. Следовательно, = 180 – (ОАB + ОBA) < 180 – ((90 –) + (90 –)) = + . Если < 90 , то остальные два неравенства пункта 2) доказываются аналогично, а если 90 , то они – очевидны. Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: 2) + > ; + > ; + > .
Cлайд 4
Формула трьох косінусів. Наслідки. 1) Для обчислення кута між прямою та площиною застосовна формула: 2) Кут між прямою та площиною – найменший з кутів, яка ця пряма, утворює з прямими цієї площини.
Cлайд 5
ІІ. На ребрах даного кута відкладемо точки A', B' і C' отже |OA'| = |OB'| = |OC'| Тоді трикутники A'OB', B'OC' та С'OA' – рівнобедрені, а їх кути при основах 1 – 6 – гострі. Для тригранних кутів з вершинами A', B' та C' застосуємо нерівності, доведені у пункті I: С'А'B'< 1 + 6; А’B’C’ < 2 + 3; B’С’А’ < 4 + 5. Сложим эти неравенства почленно, тогда 180 < (1 + 2) + (3 + 4) + (5 + 6) = = (180 –) + (180 –) + (180 –) + + < 360 . Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: + + < 360 ; 2) + > ; + > ; + > .
Cлайд 6
ІІІ. Розглянемо промінь c' – додатковий променю з і для тригранного кута Оabc' використовуємо нерівність, доведену в пункті II для довільного тригранного кута: (180 –) + (180 –) +< 360 + >. Аналогічно доводяться і дві інші нерівності. Дано: Оabc – тригранний кут; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Довести: + +< 360 ; 2) + >; +>; +>. с’
Cлайд 7
Слідство. У правильній трикутній піраміді плоский кут при вершині менший за 120 .
Cлайд 8
Визначення. Тригранні кути називаються рівними якщо рівні всі відповідні плоскі і двогранні кути. Ознаки рівності трикутних кутів. Тригранні кути рівні, якщо вони відповідно рівні: два плоских кута і двогранний кут між ними; 2) два двогранні кути і плоский кут між ними; 3) три плоскі кути; 4) три двогранні кути. Мал. 4б
Cлайд 9
. . Дано тригранний кут Оabc. Нехай< 90 ; < 90 ; тогда рассмотрим (ABC) с По теореме косинусов из CАВ: |AB|2 = |AC|2 + |BC|2 – 2|AC| |BC| cos Аналог теоремы косинусов Аналогично, из OАВ: |AB|2 = |AO|2 + |BO|2 – 2|AO| |BO| cos . Вычтем из второго равенства первое и учтем, что |AO|2 – |AC|2 = |CO|2 = |BO|2 – |BC|2: 2|CO|2 – 2|AO| |BO| cos + 2|AC| |BC| = 0 . ; ; ; тогда cos = cos cos + sin sin cos Заменим:
Cлайд 10
ІІ. Нехай > 90; > 90 , тоді розглянемо промінь с', додатковий до с, і відповідний тригранний кут Оаbс', в якому плоскі кути - і - гострі, а плоский кут і двогранний кут - ті самі. По I.: cos = cos(-) cos(-) + sin(-) sin(-) cos cos = cos cos + sin sin cos
