Математика у житті часто буває потрібна. Але буває так, що якщо ви добре знали її в школі, багато правил забуваються. У цій статті ми згадаємо властивості множення.
Множення та його властивості
Дія, результатом якого є сума однакових доданків, називається множення. Тобто множення числа Х на число Y означає, що потрібно визначити суму Y доданків, кожне з яких дорівнюватиме Х. Числа, які при цьому перемножуються, називають множниками (спомножниками), результат множення називається твором.
Наприклад,
548х11 = 548 + 548 + 548 + 548 + 548 + 548 + 548 + 548 + 548 (11 разів)
- Якщо у множенні беруть участь натуральні числа, то результатом такого множення завжди буде позитивне число.
- Якщо один із кількох множників 0 (нуль), те й добуток цих множників дорівнюватиме нулю. І навпаки, якщо результат твору 0, то нулю має дорівнювати один з множників.
- Якщо один із даних множників дорівнює 1 (одиниці), то добуток їх дорівнюватиме другому множнику.
Існує кілька законів множення.
Закон перший
Він розкриває нам поєднану властивість множення. Правило звучить так: щоб виконати множення двох множників на третій множник, потрібно виконати множення множника першого на твір другого і третього множників.
Загальний вигляд цієї формули виглядає: (NхХ) хА = Nх (ХхА)
Приклади:
(11х12) х 3 = 11 х (12 х 3) = 396;
(13 х 9) х 11 = 13 х (9 х 11) = 1287.
Закон другий
Говорить він нам про переміщувальну властивість множення. Правило говорить: при перестановці множників твір залишається постійним.
Загальний запис виглядає:
NхХхА = АхХхN = ХхNхА.
Приклади:
11 х 13 х 15 = 15 х 13х 11 = 13 х 11 х 15 = 2145;
10 х 14 х 17 = 17 х 14 х 10 = 14 х 10 х 17 = 2380.
Закон третій
У цьому законі йдеться про розподільну властивість множення. Правило звучить так: щоб виконати множення числа на суму чисел, потрібно виконати множення цього числа на кожну з даних доданків та отримані результати скласти.
Загальний запис буде такий:
Хх(А+N)=ХхА+ХхN.
Приклади:
12 х (13 +15) = 12х13 + 12х15 = 156 + 180 = 336;
17х (11 + 19) = 17 х 11 + 17 х 19 = 187 + 323 = 510.
Так само розподільчий закон працює і у разі віднімання:
Приклади:
12 х (16-11) = 12х 16 - 12 х 11 = 192 - 132 = 60;
13 х (18 - 16) = 13 х 18 - 13 х 16 = 26.
Ми розглянули основні властивості множення.
(4 уроки, №113–135)
Урок 1 (113–118)
Ціль– познайомити учнів із поєднувальним свій_
ном множення.
На першому уроці корисно згадати, які властивості
арифметичні дії вже відомі дітям. Для цього
уражень, при виконанні яких школярі будуть
користуватися тією чи іншою властивістю. Наприклад, можна
чи стверджувати, що значення виразів у даному стовпі_
ке однакові:
875 + (78 + 284)
(875 + 78) + 284
875 + (284 + 78)
(875 + 284) + 78
Має сенс запропонувати вирази, значення кото_
рих діти вирахувати не можуть, в цьому випадку вони будуть ви_
потребують зробити висновок на основі міркувань.
Порівнюючи, наприклад, перше і друге висловлювання, вони
відзначають їх схожість та відмінність; згадують поєднувач_
ное властивість додавання (два сусідніх доданків можна
замінити їх сумою), звідки слідує, що значення вира_
жен будуть однаковими. Третій вираз доцільно
по-різному порівняти з першим і, використовуючи переміщувальне
якість складання, зробити висновок. Четвертий вираз
можна порівняти з другим.
- Які ж властивості складання застосовні для вирахування
лення значень даних виразів? (переміщувальне
та поєднане.)
– Які властивості має множення?
Хлопці згадують, що їм відомо переміщувальне
властивість множення. (Воно знаходить відображення на с. 34 навч._
ніка «Постарайся запам'ятати!»)
– Сьогодні на уроці ми познайомимося ще з одним свій_
ством множення!
На дошці малюнок, даний взавданні 113 . Вчитель
ротів різними способами. Пропозиції дітей
даються. Якщо виникають труднощі, можна звернутися
до аналізу методів, запропонованих Михайлом і Машею.
(6 · 4) · 2: в одному прямокутнику 6 квадратів, розумно_
жая 6 на 4, Маша дізнається, скільки квадратиків містять
прямокутники у одному ряду. Помножуючи отриманий ре_
зультат на 2, вона з'ясовує, скільки квадратиків містять
прямокутники у двох рядах, тобто скільки всього малень_
ких квадратиків на малюнку.
Потім обговорюємо спосіб Миші: 6 · (4 · 2). Спочатку ви_
заповнюємо дію в дужках – 4 · 2, тобто дізнаємося, скільки
всього прямокутників у двох рядах. В одному прямокутному_
нике 6 квадратиків. Помноживши 6 на отриманий результат,
відповідаємо на поставлене запитання. Таким чином, і те, і
інший вираз означає, скільки всього маленьких
квадратиків на малюнку.
Значить, (6 · 4) · 2 = 6 · (4 · 2).
Аналогічна робота проводиться ззавданням 114 . Пос_
Для цього діти знайомляться з формулюванням комбінованого
властивості множення та порівнюють її з формулюванням
сполучного властивості складання.
Цільзавдань 115–117 – з'ясувати, чи зрозуміла дітям
формулювання сполучної властивості множення.
При виконаннізавдання 116 рекомендуємо використовувати_
вати калькулятор. Це дозволить учням повторити ну_
мірацію трицифрових чисел.
Завдання 118краще вирішити на уроці.
Якщо дітям важко в самостійному вирішенні_
нізавдання 118 , то вчитель може використовувати прийом про_
судження готових рішень або пояснення виразів,
записаних за умовою цієї задачі. Наприклад:
10 · 5 8 · 10 8 · 5
(8 · 10) · 5 8 · (10 · 5)
(2_й стовпець),а також завдання48, 54, 55 ТПО №1.
Урок 2 (119–125)
Ціль
множення при обчисленнях; вивести правило помноже_
ня числа на 10.
Робота ззавданням 119 організується відповідно до
даними у підручнику вказівками:
а) діти використовують переміщувальну властивість умноже_
ня, переставляючи множники у творі 4 · 10 = 10 · 4,
знаходять значення твору 10 · 4, складаючи десятки.
У зошитах виконуються записи:
4 · 10 = 40;
6 · 10 = 60 і т.д.
б) діти діють так само, як при виконанні зада_
ня а). У зошитах записують ті рівності, яких немає
у завданні а): 5 · 10 = 50; 7 · 10 = 70; 9 · 10 = 90;
в) аналізують та порівнюють записані рівності,
роблять висновок (при множенні числа на 10 треба приписати
до першого множника нуль і отримане число записати в
результаті);
г) перевіряють сформульоване правило на калькуля_
торі.
Застосування комбінаційної властивості множення і пра_
вила множення на 10 дозволяє учням множити
«круглі» десятки на однозначне число, використовуючи на_
вики табличного множення (90 · 3, 70 · 4 і т. д.).
З цією метою виконуютьсязавдання 120, 121, 123, 124.
При виконаннізавдання 120 діти спочатку розставля_
ють олівцем дужки в підручнику, а потім коментують
свої дії. Наприклад: (5 · 7) · 10 = 35 · 10 - тут произ_
ведення першого та другого множників замінили його зна_
ченням. Корисно відразу з'ясувати, чому дорівнює значення про_
вапна 35 · 10; 5 · (7 · 10) = 5 · 70 - тут твір
другого та третього множників замінили його значенням.
При обчисленні значення твору 5 · 70 діти
можуть міркувати так: скористаємося переміщальним
властивістю множення - 5 · 70 = 70 · 5. Тепер 7 дес. можна, можливо
повторити 5 разів, отримаємо 35 дес.; це число 350.
При поясненні деяких рівностей узавдання 121
школярі спочатку користуються переміщальним свій_
ном множення, а потім – комбінаційним. Наприклад:
4 · 6 · 10 = 40 · 6
(4 · 10) · 6 = 40 · 6
кожній рівності ліворуч і праворуч.
Обчислюючи значення виразів, записаних зліва,
хлопці звертаються до таблиці множення і потім повели_
чують отриманий результат у 10 разів:
(4 · 6) · 10 = 24 · 10
Узавдання 123 корисно розглянути різні способи
б обґрунтування відповіді. Наприклад, можна в другому виро_
ні замінити твір його значенням, і ми полу_
чим перший вираз:
4 · (7 · 10) = 4 · 70
У третьому виразі потрібно в цьому випадку спочатку
скористатися сполучною властивістю множення:
(4 · 7) · 10 = 4 · (7 · 10), а потім замінити твір його
значенням.
Але можна вчинити по-іншому, орієнтуючись не на
перше, але в друге вираз. У цьому випадку число 70 пер_
вому виразі потрібно подати у вигляді твору:
4 · 70 = 4 · (7 · 10)
А в третьому виразі скористатися для преобра_
зування комбінаційною властивістю:
(4 · 7) · 10 = 4 · (7 · 10)
Організуючи обговорення різних способів дій
взавдання 123 , вчитель може орієнтуватися на діалог
Миші та Маші, який наведено взавдання 124 .
тям позначити на схемі відомі та невідомі вели_
чини. У результаті схема має вигляд:
Для обчислювальних вправ на уроці рекомен_
дуємозавдання 125, а такожзавдання 59, 60 із ТПО № 1 .
Урок 3 (126-132)
Ціль– вчитися застосовувати поєднану властивість
множення для обчислень, удосконалювати вміння
вирішувати задачі.
Завдання 126виконується усно. Його мета - досконала_
вання обчислювальних навичок та вміння застосовувати
Сполучна властивість множення. Наприклад, порівнюючи
вирази а) 45 · 10 та 9 · 50, учні міркують: число
45 можна подати у вигляді твору 9 · 5, а потім
добуток чисел 5 · 10 замінити його значенням.
Завдання 128також відноситься до обчислювальних
вправ, де необхідне активне використання
аналізу та синтезу, порівняння, узагальнення. Формулюючи пра_
вило побудови кожного ряду, більшість дітей вико_
зують поняття «збільшити на ...». Наприклад: для ряду – 6,
12, 18, ... - "Кожне наступне число збільшується на 6";
для ряду – 4, 8, 12, ... – «кожне наступне число звели_
чується на 4» і т.д.
Але можливий і такий варіант: «Для одержання другої
рого числа у кожному ряду перше число ряду збільшили
у 2 рази, для отримання третього числа у ряду перше
число ряду збільшили у 3 рази, четвертого – у 4 рази,
п'ятого – у 5 разів тощо.
Вибудовуючи ряди за цим правилом, учні факти_
чески повторюють усі випадки табличного множення.
читання учні можуть або самостійно намалювати
схему, чи «оживити» ту схему, яку вчитель заздалегідь
зобразить на дошці.
Розв'язання завдання діти запишуть у зошит самостійно.
У разі труднощів при вирішеннізавдання 129 ріко_
мендуем використовувати прийом обговорення готових реше_
ній або пояснення виразів, записаних за умовою
даної задачі:
10 · 3 3 · 4 10 · 4 (10 · 3) · 4 10 · (3 · 4)
Завдання 133також бажано обговорити під час уроку.
(1) 14 + 7 = 21 (д.) 2) 21 · 2 = 42 (д.))
завдання 61, 62 ТПО № 1.
Урок 4 (134–135)
Ціль– перевірити засвоєння навичок табличного розумно_
ня та вміння розв'язувати задачі.
134, 135 .
Цільзавдання 134 – узагальнити знання дітей про таблицю
множення, яку можна подати у вигляді таблиці
Піфагора. Тому після того, як завдання буде викон_
нено, корисно з'ясувати:
а) У які клітини таблиці можна вставити однаково
ші числа і чому? (Ці клітини знаходяться в нижній стро_
ке та у правому стовпчику, що обумовлено переміщувальним
властивістю множення.)
б) Чи можна, не виконуючи обчислень, сказати, на
скільки таке число більше попереднього в кожній
рядку (стовпці) таблиці? (У верхньому (першому) рядку –
на 1, у другій – на 2, у третій – на 3 і т. д.) Це обуслов_
лено визначенням: «множення – це додавання одина_
кових доданків».
Слід також звернути увагу учнів, що
вся таблиця містить 81 клітину. Це відповідає числу,
яке має бути записано у її нижній правій клітині.
Для перевірки знань, умінь та навичок учнів
Шмирьова Г.Г. Контрольні роботи. 3 клас. - Смоленськ,
Асоціація ХХІ століття, 2004.
Розглянемо приклад, що підтверджує справедливість переміщувальної властивості множення двох натуральних чисел. Відштовхуючись від сенсу множення двох натуральних чисел, обчислимо добуток чисел 2 і 6, а також добуток чисел 6 і 2, і перевіримо рівність результатів множення. Добуток чисел 6 і 2 дорівнює сумі 6+6, з таблиці складання знаходимо 6+6=12. А добуток чисел 2 і 6 дорівнює сумі 2+2+2+2+2+2 , яка дорівнює 12 (за потреби дивіться матеріал статті додавання трьох і більшої кількості чисел). Отже, 6 · 2 = 2 · 6 .
Наведемо малюнок, що ілюструє переміщувальну властивість множення двох натуральних чисел.
Сполучна властивість множення натуральних чисел.
Озвучимо поєднану властивість множення натуральних чисел: помножити це число на цей добуток двох чисел – це те саме, що помножити це число на перший множник, і отриманий результат помножити на другий множник . Тобто, a·(b·c)=(a·b)·c, де a, b і c можуть бути будь-якими натуральними числами (у круглі дужки укладені вирази, значення яких обчислюються насамперед).
Наведемо приклад для підтвердження комбінаційної властивості множення натуральних чисел. Обчислимо добуток 4 · (3 · 2) . За змістом множення маємо 3·2=3+3=6 тоді 4·(3·2)=4·6=4+4+4+4+4+4=24 . А тепер виконаємо множення (4 · 3) · 2 . Оскільки 4·3=4+4+4=12 , то (4·3)·2=12·2=12+12=24 . Таким чином, справедлива рівність 4·(3·2)=(4·3)·2 , що підтверджує справедливість аналізованої властивості.
Покажемо малюнок, що ілюструє поєднану властивість множення натуральних чисел.
Наприкінці цього пункту зазначимо, що сполучна властивість множення дозволяє однозначно визначити множення трьох і більшої кількості натуральних чисел .
Розподільча властивість множення щодо додавання.
Наступна властивість пов'язує додавання та множення. Воно формулюється так: помножити цю суму двох чисел на дане число - це те ж саме, що скласти твір першого доданку та даного числа з добутком другого доданку і даного числа . Це так звана розподільна властивість множення щодо додавання.
За допомогою букв розподільна властивість множення щодо додавання записується як (a+b)·c=a·c+b·c(у виразі a c + b c спочатку виконується множення, після чого - додавання, докладніше про це написано в статті), де a, b і c - довільні натуральні числа. Зазначимо, що силу переміщувальної властивості множення, розподільну властивість множення можна записати в наступному вигляді: a·(b+c)=a·b+a·c.
Наведемо приклад, що підтверджує розподільну властивість множення натуральних чисел. Перевіримо справедливість рівності (3+4)·2=3·2+4·2. Маємо (3+4)·2=7·2=7+7=14 , а 3·2+4·2=(3+3)+(4+4)=6+8=14 , отже, рівність ( 3 +4) · 2 = 3 · 2 +4 · 2 правильно.
Покажемо малюнок, що відповідає розподільчій властивості множення щодо додавання.
Розподільча властивість множення щодо віднімання.
Якщо дотримуватися сенсу множення, то добуток 0 n , де n довільне натуральне число, Більше одиниці, являє собою суму n доданків, кожне з яких дорівнює нулю. Таким чином, 
. Властивості додавання дозволяють нам стверджувати, що остання сума дорівнює нулю.
Таким чином, для будь-якого натурального числа n виконується рівність 0 n = 0 .
Щоб залишалося справедливим переміщувальну властивість множення, приймемо також справедливість рівності n·0=0 для будь-якого натурального числа n .
Отже, добуток нуля та натурального числа дорівнює нулю, тобто 0·n=0і n·0=0де n – довільне натуральне число. Останнє твердження є формулюванням властивості множення натурального числа і нуля.
На закінчення наведемо пару прикладів, пов'язаних з розібраним у цьому пункті властивістю множення. Добуток чисел 45 і 0 дорівнює нулю. Якщо помножити 0 на 45970, то теж отримаємо нуль.
Тепер можна сміливо розпочинати вивчення правил, за якими проводиться множення натуральних чисел.
Список літератури.
- Математика. Будь-які підручники для 1, 2, 3, 4 класів загальноосвітніх закладів.
- Математика. Будь-які підручники для 5 класів загальноосвітніх закладів.
Ми визначили складання, множення, віднімання та розподіл цілих чисел. Ці дії (операції) мають ряд характерних результатів, які називаються властивостями. У цій статті ми розглянемо основні властивості додавання та множення цілих чисел, з яких випливають всі інші властивості цих дій, а також властивості віднімання та поділу цілих чисел.
Навігація на сторінці.
Для складання цілих чисел характерні ще кілька важливих властивостей.
Одне пов'язані з існуванням нуля. Ця властивість складання цілих чисел стверджує, що додаток до будь-якого цілого числа нуля не змінює це число. Запишемо дану властивість додавання за допомогою літер: a+0=a і 0+a=a (ця рівність справедлива через переміщувальну властивість додавання), a – будь-яке ціле число. Можна почути, що ціле число нуль називають нейтральним елементом додавання. Наведемо кілька прикладів. Сума цілого числа -78 і нуля дорівнює -78; якщо до нуля додати ціле позитивне число 999 , то результаті отримаємо число 999 .
Тепер ми дамо формулювання чергового характеристики додавання цілих чисел, що з існуванням протилежного числа для будь-якого цілого числа. Сума будь-якого цілого числа з протилежним йому числом дорівнює нулю. Наведемо літерну форму запису цієї властивості: a+(−a)=0 , де a та −a – протилежні цілі числа. Наприклад, сума 901+(−901) дорівнює нулю; аналогічно сума протилежних цілих чисел -97 і 97 дорівнює нулю.
Основні властивості множення цілих чисел
Примноження цілих чисел притаманні всі властивості множення натуральних чисел. Перелічимо основні з цих властивостей.
Також як нуль є нейтральним цілим числом щодо додавання, одиниця є нейтральним цілим числом щодо множення цілих чисел. Тобто, множення будь-якого цілого числа на одиницю не змінює число, що множиться. Так 1·a=a , де a – будь-яке ціле число. Остання рівність можна переписати у вигляді a 1 = a це нам дозволяє зробити переміщувальну властивість множення. Наведемо два приклади. Добуток цілого числа 556 на 1 дорівнює 556; добуток одиниці та цілого негативного числа −78 дорівнює −78 .
Наступна властивість множення цілих чисел пов'язана з множенням на нуль. Результат множення будь-якого цілого числа a на нуль дорівнює нулю , Тобто, a · 0 = 0 . Також справедлива рівність 0·a=0 в силу переміщувальної властивості множення цілих чисел. У окремому випадку при a=0 добуток нуля на нуль дорівнює нулю.
Для множення цілих чисел також справедлива властивість, зворотна до попереднього. Воно стверджує, що добуток двох цілих чисел дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю. У буквеному вигляді цю властивість можна записати так: a b = 0 , якщо a = 0 , або b = 0 , або і a і b рівні нулю одночасно.
Розподільча властивість множення цілих чисел щодо складання
Спільно додавання та множення цілих чисел нам дозволяє розглядати розподільну властивість множення щодо додавання, яке пов'язує дві зазначені дії. Використання додавання та множення спільно відкриває додаткові можливості, яких ми були б позбавлені, розглядаючи додавання окремо від множення.
Отже, розподільна властивість множення щодо додавання говорить, що добуток цілого числа a на суму двох цілих чисел a і b дорівнює сумі творів a b і a c , тобто, a·(b+c)=a·b+a·c. Цю ж властивість можна записати в іншому вигляді: (a+b)·c=a·c+b·c .
Розподільча властивість множення цілих чисел щодо додавання разом із сполучною властивістю додавання дозволяють визначити множення цілого числа на суму трьох і більшої кількості цілих чисел, а далі – і множення суми цілих чисел на суму.
Також зауважимо, що всі інші властивості додавання та множення цілих чисел можуть бути отримані із зазначених нами властивостей, тобто є наслідками зазначених вище властивостей.
Властивості віднімання цілих чисел
З отриманої рівності, а також з властивостей додавання і множення цілих чисел випливають наступні властивості віднімання цілих чисел (a, b і c – довільні цілі числа):
- Віднімання цілих чисел у випадку НЕ має переміщувальним властивістю: a−b≠b−a .
- Різниця рівних цілих чисел дорівнює нулю: a−a=0 .
- Властивість віднімання суми двох цілих чисел з даного цілого числа: a−(b+c)=(a−b)−c .
- Властивість віднімання цілого числа із суми двох цілих чисел: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
- Розподільча властивість множення щодо віднімання: a·(b−c)=a·b−a·c та (a−b)·c=a·c−b·c.
- І всі інші властивості віднімання цілих чисел.
Властивості поділу цілих чисел
Розмірковуючи про сенс розподілу цілих чисел, ми з'ясували, що розподіл цілих чисел - це дія, зворотна до множення. Ми дали таке визначення: розподіл цілих чисел – це знаходження невідомого множника за відомим твором та відомим множником. Тобто, ціле число c ми називаємо приватним від розподілу цілого числа a на ціле число b коли добуток c b дорівнює a .
Дане визначення, а також усі розглянуті вище властивості операцій над цілими числами дозволяють встановити справедливість таких властивостей поділу цілих чисел:
- Жодне ціле число не можна ділити на нуль.
- Властивість розподілу нуля на довільне ціле число a відмінне від нуля: 0: a = 0 .
- Властивість поділу рівних цілих чисел: a:a=1 , де a – будь-яке ціле число, відмінне від нуля.
- Властивість поділу довільного цілого числа a на одиницю: a: 1 = a.
- У випадку ділення цілих чисел НЕ має переміщувальним властивістю: a:b≠b:a .
- Властивості поділу суми та різниці двох цілих чисел на ціле число: (a+b):c=a:c+b:c та (a−b):c=a:c−b:c , де a , b , і c такі цілі числа, що і a і b ділиться на c і c відмінно від нуля.
- Властивість поділу добутку двох цілих чисел a і b на ціле число c, відмінне від нуля: (a b): c = (a: c) b, якщо a ділиться на c; (a·b):c=a·(b:c) , якщо b ділиться на c; (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c) , якщо і a і b діляться на c.
- Властивість поділу цілого числа a на добуток двох цілих чисел b і c (числа a, b і c такі, що поділ a на b·c можливий): a:(b·c)=(a:b)·c=(a :c) · b .
- Будь-які інші властивості поділу цілих чисел.
Для операції множення натуральних чисел ℕ характерний ряд результатів, які справедливі для будь-яких натуральних чисел, що множаться. Ці результати називаються властивостями. У цій статті ми сформулюємо властивості множення натуральних чисел, наведемо їх літерні визначення та приклади.
Переміщувальну властивість часто називають також переміщувальним законом множення. За аналогією з переміщувальною властивістю для складання чисел, воно формулюється так:
Переміщувальний закон множення
Від зміни місць множників твір не змінюється.
У буквеному вигляді переміщувальна властивість записується так: a · b = b · a
a і b – будь-які натуральні числа.
Візьмемо будь-які два натурних числа і наочно покажемо, що ця властивість справедлива. Обчислимо добуток 2 · 6 . За визначенням твору, необхідно число 2 повторити 6 разів. Отримуємо: 2 · 6 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 12 . Тепер поміняємо множники місцями. 6 · 2 = 6 + 6 = 12. Очевидно, що переміщувальний закон виконується.
На малюнку нижче проілюструємо переміщувальну властивість множення натуральних чисел.
Друга назва для комбінаційної властивості множення - асоціативний закон, або асоціативна властивість. Ось його формулювання.
Сполучний закон множення
Множення числа a на добуток чисел b та c рівносильне множенню добутку чисел a та b на число c .
Наведемо формулювання у буквеному вигляді:
a · b · c = a · b · c
Сполучний закон працює для трьох і більше натуральних чисел.
Для наочності наведемо приклад. Спочатку обчислимо значення 4 · 3 · 2 .
4 · 3 · 2 = 4 · 6 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24
Тепер переставимо дужки та обчислимо значення 4 · 3 · 2 .
4 · 3 · 2 = 12 · 2 = 12 + 12 = 24
4 · 3 · 2 = 4 · 3 · 2
Як бачимо, теорія збігається з практикою і властивість справедлива.
Сполучна властивість множення також можна проілюструвати малюнком.
Без розподільчого свійста не обійтися, коли в математичному вираженні одночасно присутні операції множення та додавання. Ця властивість визначає зв'язок між множенням та додаванням натуральних чисел.
Розподільча властивість множення щодо додавання
Множення суми чисел b і c на число a дорівнює сумі добутків чисел a і b і a і c.
a · b + c = a · b + a · c
a, b, c - будь-які натуральні числа.
Тепер на наочному прикладі покажемо, як працює ця властивість. Обчислимо значення виразу 4 · 3 + 2.
4 · 3 + 2 = 4 · 3 + 4 · 2 = 12 + 8 = 20
З іншого боку 4 · 3 + 2 = 4 · 5 = 20. Справедливість розподільчої властивості множення щодо додавання показана наочно.
Для кращого розуміння наведемо малюнок, що ілюструє суть множення числа на суму чисел.
Розподільча властивість множення щодо віднімання
Розподільча властивість множення щодо віднімання формулюється аналогічно даної властивості щодо додавання, слід лише враховувати знак операції.
Розподільча властивість множення щодо віднімання
Множення різниці чисел b і c на число a дорівнює різниці добутків чисел a і b і a і c .
Запишемо у формі буквеного виразу:
a · b - c = a · b - a · c
a, b, c - будь-які натуральні числа.
У попередньому прикладі замінимо "плюс" на "мінус" та запишемо:
4 · 3 - 2 = 4 · 3 - 4 · 2 = 12 - 8 = 4
З іншого боку 4 · 3 - 2 = 4 · 1 = 4. Таким чином, справедливість властивості множення натуральних чисел щодо віднімання показана наочно.
Розмноження одиниці на натуральне число
Розмноження одиниці на натуральне числоЗбільшення одиниці на будь-яке натуральне число в результаті дає це число.
За визначенням операції множення, добуток чисел 1 і a дорівнює сумі, в якому доданок 1 повторюється a раз.
1 · a = ∑ i = 1 a 1
Множення натурального числа a на одиницю є сумою, що складається з одного доданку a . Таким чином, переміщувальна властивість множення залишається справедливою:
1 · a = a · 1 = a
Помноження нуля на натуральне число
Число 0 не входить до множини натуральних чисел. Тим не менш, є сенс розглянути властивість множення нуля на натуральне число. Ця властивість часто використовується при множенні натуральних чисел стовпчиком.
Помноження нуля на натуральне число
Добуток числа 0 і будь-якого натурального числа a дорівнює числу 0 .
За визначенням, добуток 0 · a дорівнює сумі, в якій доданок 0 повторюється раз. За властивостями додавання, така сума дорівнює нулю.
В результаті множення одиниці на нуль виходить нуль. Добуток нуля на скільки завгодно велике натуральне число також дає в результаті нуль.
Напимер: 0 · 498 = 0; 0 · 9638854785885 = 0
Справедливе та протилежне. Добуток числа на нуль також дає в результаті нуль: a · 0 = 0 .
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
