Площа сегмента кола формула за висотою. Геометрія кола. Дано діаметр D і центральний кут φ

Площа кругового сегмента дорівнює різниці площі відповідного кругового сектора та площі трикутника, утвореного радіусами відповідного сегменту сектора та хордою, що обмежує сегмент.

Приклад 1

Довжина хорди, що стягує коло, дорівнює величині а. Градусна міра дуги, що відповідає хорді, дорівнює 60 °. Знайти площу кругового сегмента.

Рішення

Трикутник, утворений двома радіусами і хордою, є рівнобедреним, тому висота, проведена з вершини центрального кута на бік трикутника, утворену хордою, також буде бісектрисою центрального кута, поділивши його навпіл і медіаною, поділивши навпіл хорду. Знаючи, що синус кута дорівнює співвідношення протилежного катета до гіпотенузи, можна обчислити величину радіуса:

Sin 30 ° = a/2: R = 1/2;

Sc = πR²/360°*60° = πa²/6

S▲=1/2*ah де h - висота, проведена з вершини центрального кута до хорди. По теоремі Піфагора h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.

Відповідно, S▲=√3/4*a².

Площа сегмента, що обчислюється як Sсег = Sc - S▲, дорівнює:

Sсег = πa²/6 - √3/4*a²

Підставивши числове значення замість величини a, можна легко обчислити числове значення площі сегмента.

Приклад 2

Радіус кола дорівнює величині а. Градусна міра дуги, що відповідає сегменту, дорівнює 60 °. Знайти площу кругового сегмента.

Рішення:

Площу сектора, що відповідає заданому куту можна обчислити за такою формулою:

Sc = πа²/360°*60° = πa²/6,

Площа відповідного сектора трикутника обчислюється так:

S▲=1/2*ah де h - висота, проведена з вершини центрального кута до хорди. По теоремі Піфагора h=√(a²-a²/4)= √3*a/2.

Відповідно, S▲=√3/4*a².

І, нарешті, площа сегмента, що обчислюється як Sсег = Sc - S▲, дорівнює:

Sсег = πa²/6 - √3/4*a².

Рішення обох випадках практично ідентичні. Таким чином можна зробити висновок, що для обчислення площі сегмента в найпростішому випадку достатньо знати величину кута, що відповідає дузі сегмента і один з двох параметрів - або радіус кола, або довжину хорди, що стягує дугу кола, що утворює сегмент.

• 01.10.2018

  На базі wi-fi модуля NodeMcu v3 з чіпом ESP8266 (ESP-12e) можна зробити (наприклад) термометр на цифровому датчику 18B20, інформація про температуру за допомогою GET запиту буде вирушити в базу даних MySQL. Наступний скетч дозволяє відправляти запити GET на вказану сторінку, в моєму випадку це test.php. #include #include …

• 22.09.2014

  Автоматичний стаціонарний світлорегулятор, керований фоторезистором R7, призначений для експлуатації в жорстких умовах холодного та помірно холодного клімату за температури довкіллявід -25 до +45 °С, відносної вологості повітря до 85 % при температурі +20 °С та атмосферному тиску в межах 200...900 мм рт.ст. Світлорегулятор застосовують для регулювання освітленості індивідуального …

• 25.09.2014

  Щоб уникнути пошкодження проводки під час ремонтних робіт, необхідно використовувати прилад для виявлення прихованої проводки. Прилад виявляє не тільки місце прихованої проводки, а й місце пошкодження прихованої проводки. Прилад є підсилювач звукової частоти, в першому каскаді для підвищення вхідного опору використовується польовий транзистор. У другому каскаді ОУ. Датчик - ...

• 03.10.2014

  Пропонований пристрій стабілізує напругу до 24В та струмом до 2А із захистом від замикання. У разі нестійкого запуску стабілізатора слід застосувати синхронізацію від автономного генератора рис імпульсів. 2 . Схема стабілізатора показано на рис.1. На VT1 VT2 зібрано тригер Шмітта, який керує потужним регулюючим транзистором VT3. Деталі: VT3 забезпечений тепловідведенням.

Визначення сегмента кола

Сегмент- це геометрична фігура, яка виходить шляхом відсікання частини кола хордою.

Онлайн-калькулятор

Знаходиться ця фігура між хордою та дугою кола.

Це відрізок, що лежить усередині кола і з'єднує дві довільно вибрані точки на ньому.

При відсіканні частини кола хордою можна розглянути дві фігури: це наш сегмент та рівнобедрений трикутник, бічні сторони якого – радіуси кола.

Площу сегмента можна знайти як різницю площ сектора кола і цього рівнобедреного трикутника.

Площу сегмента можна знайти декількома способами. Зупинимося на них докладніше.

Формула площі сегмента кола через радіус і довжину дуги кола, висоту та основу трикутника

S = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ a S=\frac(1)(2)\cdot R\cdot s-\frac(1)(2)\cdot h\cdot aS =2 1 ​ ⋅ R ⋅s −2 1 ​ ⋅ h ⋅a

R R R- радіус кола;
s s s- Довжина дуги;
h h h- Висота рівнобедреного трикутника;
a a a- Довжина основи цього трикутника.

Дано коло, його радіус, чисельно рівний 5 (див.), Висота, яка проведена до основи трикутника, рівна 2 (див.), Довжина дуги 10 (див.). Знайти площу сегмента кола.

Рішення

R = 5 R = 5 R =5
h = 2 h = 2 h =2
s = 10 s = 10 s =1 0

Для обчислення площі нам не вистачає лише підстави трикутника. Знайдемо його за формулою:

A = 2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R − h) = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 − 2) = 8 a=2\cdot\sqrt(h\cdot(2\cdot R-h))=2\cdot\ sqrt (2 cdot (2 cdot 5-2)) = 8a =2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R − h )​ = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 − 2 ) ​ = 8

Тепер можна обчислити площу сегмента:

S = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ a = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 10 − 1 2 ⋅ 2 ⋅ 8 = 17 S=\frac(1)(2)\cdot R\cdot s-\frac (1)(2)\cdot h\cdot a=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 10-\frac(1)(2)\cdot 2\cdot 8=17S =2 1 ​ ⋅ R ⋅s −2 1 ​ ⋅ h ⋅a =2 1 ​ ⋅ 5 ⋅ 1 0 − 2 1 ​ ⋅ 2 ⋅ 8 = 1 7 (Див. кв.)

Відповідь: 17 см. кв.

Формула площі сегмента кола за радіусом кола та центральним кутом

S = R 2 2 ⋅ (α − sin ⁡ (α)) S=\frac(R^2)(2)\cdot(\alpha-sin(\alpha))S =2 R 2 ​ ⋅ (α − sin (α))

R R R- радіус кола;
α \alpha α - центральний кут між двома радіусами, що стягує хорду, що вимірюється в радіанах.

Знайти площу сегмента кола, якщо радіус кола дорівнює 7 (див.), а центральний кут 30 градусів.

Рішення

R = 7 R = 7 R =7
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

Перекладемо спочатку кут у градусах у радіани. Оскільки π \pi π радіан дорівнює 180 градусів, то:
3 0 ∘ = 3 0 ∘ ⋅ π 18 0 ∘ = π 6 30^(\circ)=30^(\circ)\cdot\frac(\pi)(180^(\circ))=\frac(\pi )(6)3 0 ∘ = 3 0 ∘ ⋅ 1 8 0 ∘ π ​ = 6 π ​ радіан. Тоді площа сегменту:

S = R 2 2 ⋅ (α − sin ⁡ (α)) = 49 2 ⋅ (π 6 − sin ⁡ (π 6)) ≈ 0.57 S=\frac(R^2)(2)\cdot(\alpha- \sin(\alpha))=\frac(49)(2)\cdot\Big(\frac(\pi)(6)-\sin\Big(\frac(\pi)(6)\Big)\Big )\approx0.57S =2 R 2 ​ ⋅ (α − sin (α)) =2 4 9 ​ ⋅ ( 6 π ​ − sin ( 6 π ​ ) ) ≈ 0 . 5 7 (Див. кв.)

Відповідь: 0.57 см. кв.

Коло, його частини, їх розміри та співвідношення - речі, з якими ювелір постійно стикається. Кільця, браслети, касти, трубки, кулі, спіралі - багато всього круглого доводиться робити. Як же все це порахувати, особливо якщо тобі пощастило в школі прогуляти уроки геометрії?

Давайте спочатку розглянемо, які кола бувають частини і як вони називаються.

• Коло - лінія, що обмежує коло.
• Дуга - частина кола.
• Радіус - відрізок, що з'єднує центр кола з будь-якою точкою кола.
• Хорда - відрізок, що з'єднує дві точки кола.
• Сегмент - частина кола, обмежена хордою та дугою.
• Сектор - частина кола, обмежена двома радіусами та дугою.

Величина, що цікавить нас, та їх позначення:

Тепер побачимо, які завдання, пов'язані з частинами кола, доводиться вирішувати.

• Знайти довжину розгортки будь-якої частини кільця (браслету). Заданий діаметр і хорда (варіант: діаметр та центральний кут), знайти довжину дуги.
• Є малюнок на площині, треба дізнатися про його розмір у проекції після згинання в дугу. Задані довжина дуги та діаметр, знайти довжину хорди.
• Дізнатись висоту деталі, отриманої згинанням плоскої заготовки в дугу. Варіанти вихідних даних: довжина дуги та діаметр, довжина дуги та хорда; Визначити висоту сегмента.

Життя підкаже й інші приклади, а ці я навів лише у тому, щоб показати необхідність завдання якихось двох параметрів знаходження всіх інших. Ось цим ми й займемося. А саме, візьмемо п'ять параметрів сегмента: D, L, X, φ і H. Потім, вибираючи з них усі можливі пари, вважатимемо їх вихідними даними та шляхом мозкового штурму знаходити всі інші.

Щоб даремно не вантажити читача, докладних рішенья наводити не буду, а наведу лише результати у вигляді формул (ті випадки, де немає формального рішення, я обговорю по ходу справи).

І ще одне зауваження: про одиниці виміру. Всі величини, крім центрального кута, вимірюються в тих самих абстрактних одиницях. Це означає, що якщо, наприклад, ви задаєте одну величину в міліметрах, то іншу не треба задавати в сантиметрах, а результуючі значення вимірюватимуться в тих же міліметрах (а площі в квадратних міліметрах). Те саме можна сказати і про дюйми, фути і морські милі.

І тільки центральний кут завжди вимірюється в градусах і ні в чому іншому. Тому що, як показує практика, люди, які проектують щось кругле, не схильні вимірювати кути в радіанах. Фраза «кут пі на чотири» багатьох ставить у глухий кут, тоді як «кут сорок п'ять градусів» — зрозуміла всім, оскільки це всього на п'ять градусів вище за норму. Однак, у всіх формулах буде присутнім як проміжна величина ще один кут - α. За змістом, це половина центрального кута, виміряна в радіанах, але в цей сенс можна спокійно не вникати.

1. Дані діаметр D та довжина дуги L

; довжина хорди ;
висота сегмента ; центральний кут .

2. Дані діаметр D та довжина хорди X

; довжина дуги;
висота сегмента ; центральний кут .

Оскільки хорда ділить коло на два сегменти, це завдання не одне, а два рішення. Щоб отримати друге, потрібно у наведених вище формулах замінити кут α на кут .

3. Дано діаметр D і центральний кут φ

; довжина дуги;
довжина хорди ; висота сегмента .

4. Дані діаметр D та висота сегмента H

; довжина дуги;
довжина хорди ; центральний кут .

6. Дано довжину дуги L і центральний кут φ

; діаметр;
довжина хорди ; висота сегмента .

8. Дано довжину хорди X і центральний кут φ

; довжина дуги ;
діаметр; висота сегмента .

9. Дані довжина хорди X та висота сегмента H

; довжина дуги ;
діаметр; центральний кут .

10. Дано центральний кут φ і висота сегмента H

; діаметр ;
довжина дуги; довжина хорди .

Уважний читач не міг не помітити, що я пропустив два варіанти:

5. Дано довжину дуги L і довжину хорди X

7. Дані довжина дуги L та висота сегмента H

Це якраз ті два неприємні випадки, коли завдання немає рішення, яке можна було б записати у вигляді формули. А завдання не таке вже рідкісне. Наприклад, у вас є плоска заготівля довжини L і ви хочете зігнути її так, щоб її довжина стала X (або висота стала H). Якого діаметра взяти оправлення (ригель)?

Завдання це зводиться до розв'язання рівнянь:
; - у варіанті 5
; - У варіанті 7
і хоч вони й не вирішуються аналітично, проте легко вирішуються програмним способом. І я навіть знаю де взяти таку програму: на цьому самому сайті, під ім'ям . Все те, що я довго розповідаю, вона робить за мікросекунди.

Для повноти картини додамо до результатів наших обчислень довжину кола та три значення площ – кола, сектора та сегмента. (Площі нам дуже допоможуть при обчисленні маси всяких круглих і напівкруглих деталей, але про це в окремій статті.) Всі ці величини обчислюються за одними й тими самими формулами:

довжина кола ;
площа кола ;
площа сектора ;
площа сегменту ;

І насамкінець ще раз нагадаю про існування абсолютно безкоштовної програми, яка виконує всі перераховані обчислення, звільняючи вас від необхідності згадувати, що таке арктангенс і де його шукати.

Математична величина площі відома з часів стародавньої Греції. Ще в ті далекі часи греки з'ясували, що площею є суцільна частина поверхні, яка з усіх боків обмежена замкнутим контуром. Це числова величина, що вимірюється у квадратних одиницях. Площа є чисельною характеристикою як плоских. геометричних фігур(планіметричних), і поверхонь тіл у просторі (об'ємних).

В даний час вона зустрічається не тільки в рамках шкільної програмина уроках геометрії та математики, а й в астрономії, побуті, у будівництві, у конструкторських розробках, у виробництві та багатьох інших людей. Дуже часто до обчислення площ сегментів ми вдається на присадибній ділянці при оформленні ландшафтної зони або ремонтних роботах ультрасучасного дизайну приміщення. Тому знання методів обчислення площі різних стануть у нагоді завжди і скрізь.

Для обчислення площі кругового сегмента та сегмента сфери необхідно розібратися з геометричними термінами, які знадобляться під час обчислювального процесу.

Перш за все, сегментом кола називається фрагмент плоскої фігури кола, який розташований між дугою кола і хордою, що відсікає її. Не варто це поняття плутати із фігурою сектора. Це зовсім різні речі.

Хордою називається відрізок, який з'єднує дві точки, що лежать на колі.

Центральний кут утворюється між двома відрізками – радіусами. Він вимірюється в градусах дугою, яку впирається.

p align="justify"> Сегмент сфери утворюється при відсіканні будь-якої площиною частини При цьому основою сферичного сегмента виходить коло, а висотою є перпендикуляр, що виходить від центру кола до перетину з поверхнею сфери. Ця точка перетину називається вершиною сегмента кулі.

Щоб визначити площу сегмента сфери, потрібно знати відсіченого кола і висоту кульового сегмента. Твір цих двох складових і буде площею сегмента сфери: S = 2πRh, де h - висота сегмента, 2πR - довжина кола, а R - радіус великого кола.

Для того, щоб обчислити площу сегмента кола, можна вдатися до наступних формул:

1. Щоб знайти площу сегмента найпростішим способом, необхідно обчислити різницю між площею сектора, в який вписаний сегмент, і у якого основа є хордою сегмента: S1 = S2-S3, де S1 - площа сегмента, S2 - площа сектора і S3 - площа трикутник.

Можна скористатися наближеною формулою обчислення площі кругового сегмента: S=2/3*(a*h), де a - основа трикутника або h - висота сегмента, яка є результатом різниці між радіусом кола та

2. Площа сегмента, що відрізняється від півкола, підраховується так: S = (π R2:360)*α ± S3, де π R2 - площа кола, α - градусний західцентрального кута, що містить дугу сегмента кола, S3 - площа трикутника, який утворився між двома радіусами кола та хордою, що володіє кутом у центральній точці кола та двома вершинами у місцях зіткнення радіусів з колом.

Якщо кут α< 180 градусов, используется знак минус, если α >180 градусів, застосовується знак плюс.

3. Обчислити площу сегмента можна й іншими методами за допомогою тригонометрії. Як правило, за основу береться трикутник. Якщо центральний кут вимірюється в градусах, тоді прийнятна наступна формула: S = R2 * (π*(α/180) - sin α)/2, де R2 - квадрат радіуса кола, α - градусна міра центрального кута.

4. Щоб розрахувати площу сегмента за допомогою тригонометричних функцій, можна скористатися й іншою формулою за умови, що центральний кут вимірюється в радіанах: S = R2 * (α - sin α)/2, де R2 - квадрат радіуса кола, α - градусна міра центрального кута.