З трактування другого закону Ньютона, можна дійти невтішного висновку, що зміна руху відбувається за допомогою сили. Механіка розглядає сили різної фізичної природи. Багато хто з них визначається за допомогою дії сил тяжіння.
У 1862 році було відкрито закон всесвітнього тяжіння І. Ньютоном. Він припустив, що сили, що утримують Місяць, тієї ж природи, що й сили, що змушують яблуко падати на Землю. Сенс гіпотези полягає у наявності дії сил тяжіння, спрямованих лінією і які з'єднують центри мас, як зображено малюнку 1 . 10 . 1 . Кулясте тіло має центр маси, що збігається з центром кулі.
Малюнок 1 . 10 . 1 . Гравітаційні сили тяжіння між тілами. F 1 → = - F 2 → .
Визначення 1
За відомих напрямів рухів планет Ньютон намагався з'ясувати, які сили діють ними. Цей процес отримав назву зворотного завдання механіки.
Основне завдання механіки – визначення координат тіла відомої маси з його швидкістю у будь-який момент часу за допомогою відомих сил, що діють на тіло, та заданою умовою (пряме завдання). Зворотна виконується з визначенням діючих сил на тіло з відомим його напрямом. Такі завдання призвели вченого до відкриття визначення закону всесвітнього тяжіння.
Визначення 2Всі тіла притягуються один до одного з силою, прямо пропорційною їх масам і обернено пропорційною квадрату відстані між ними.
F = G m 1 m 2 r 2 .
Значення G визначає коефіцієнт пропорційності всіх тіл у природі, що називається гравітаційною постійною і позначається за формулою G = 6 , 67 · 10 - 11 Н · м 2 / кг 2 (С І) .
Більшість явищ у природі пояснюються наявністю дії сили всесвітнього тяжіння. Рух планет, штучних супутників Землі, траєкторії польоту балістичних ракет, рух тіл поблизу Землі – все пояснюється законом тяжіння і динаміки.
Визначення 3
Вияв сили тяжіння характеризується наявністю сили тяжіння. Так називається сила тяжіння тіл до Землі та поблизу її поверхні.
Коли М позначається як маса Землі, R З – радіус, m – маса тіла, то формула сили тяжіння набуває вигляду:
F = G M R З 2 m = mg.
Де g – прискорення вільного падіння, що дорівнює g = G M R З 2 .
Сила тяжіння спрямована до центру Землі, як показано на прикладі Місяць-Земля. За відсутності дії інших сил тіло рухається із прискоренням вільного падіння. Його середнє значення дорівнює 9,81 м/с2. При відомому G і радіусі R 3 = 6 38 · 10 6 м проводяться обчислення маси Землі М за формулою:
M = g R 3 2 G = 5, 98 · 10 24 до р.
Якщо тіло віддаляється від Землі, тоді дія сили тяжіння і прискорення вільного падіння змінюються назад пропорційно квадрату відстані r до центру. Малюнок 1 . 10 . 2 показує, як змінюється сила тяжіння, що діє на космонавта корабля при віддаленні від Землі. Очевидно, що F притягування його до Землі дорівнює 700 Н.
Малюнок 1 . 10 . 2 . Зміна сили тяжіння, що діє на космонавта при віддаленні Землі.
Приклад 1
Земля-Луна підходить як приклад взаємодії системи двох тіл.
Відстань до Місяця – r Л = 3 , 84 · 10 6 м. Воно в 60 разів більше радіусу Землі R З. Отже, за наявності земного тяжіння прискорення вільного падіння α Л орбіти Місяця становитиме α Л = g R З r Л 2 = 9,81 м/с 2 60 2 = 0,0027 м/с 2 .
Воно спрямоване до центру Землі і отримало назву доцентрового. Розрахунок проводиться за формулою a Л = ? 2 r Л = 4 ? Результати і розрахунки, виконані різними способами, говорять про те, що Ньютон мав рацію у своєму припущенні єдиної природи сили, що утримує Місяць на орбіті, і сили тяжіння.
Місяць має власне гравітаційне поле, яке визначає прискорення вільного падіння g на поверхні. Маса Місяця у 81 разів менша за масу Землі, а радіус у 3,7 рази. Звідси видно, що прискорення g Л слід визначати з виразу:
g Л = G M Л R Л 2 = G M З 3, 7 2 T 3 2 = 0, 17 g = 1, 66 м/с 2 .
Така слабка гравітація характерна для космонавтів, які перебувають на Місяці. Тому можна робити величезні стрибки та кроки. Стрибок вгору на метр Землі відповідає семиметровому на Місяці.
Рух штучних супутників зафіксовано поза земної атмосфери, на них діють сили тяжіння Землі. Траєкторія космічного тіла може змінюватись в залежності від початкової швидкості. Рух штучного супутника по навколоземній орбіті наближено приймається як відстань до центру Землі, що дорівнює радіусу R З. Вони літають на висотах 200 - 300 км.
Визначення 4
Звідси випливає, що доцентрове прискорення супутника, яке повідомляється силами тяжіння, дорівнює прискоренню вільного падіння g . Швидкість супутника прийме позначення 1 . Її називають першою космічною швидкістю.
Застосувавши кінематичну формулу для доцентрового прискорення, отримуємо
a n = ? 1 2 R З = g , ? 1 = g R З = 7, 91 · 10 3 м / с.
За такої швидкості супутник зміг облетіти Землю за час, що дорівнює T 1 = 2 πR З υ 1 = 84 м і н 12 с.
Але період звернення супутника по круговій орбіті поблизу Землі набагато більше, ніж зазначено вище, оскільки існує різницю між радіусом реальної орбіти і радіусом Землі.
Супутник рухається за принципом вільного падіння, що віддалено схоже на траєкторію снаряда або балістичної ракети. Різниця полягає у великій швидкості супутника, причому радіус кривизни його траєкторії досягає довжини радіусу Землі.
Супутники, які рухаються круговими траєкторіями на великих відстанях, мають ослаблене земне тяжіння, обернено пропорційне квадрату радіуса r траєкторії. Тоді знаходження швидкості супутника слідує за умовою:
υ 2 до = g R 3 2 r 2 , υ = g R 3 R З r = υ 1 R 3 r .
Тому наявність супутників на високих орбітах говорить про меншу швидкість їх руху, ніж з навколоземної орбіти. Формула періоду звернення дорівнює:
T = 2 πr υ = 2 πr υ 1 r R З = 2 πR з υ 1 r R 3 3 / 2 = T 1 2 π R З.
T 1 приймає значення періоду звернення супутника навколоземною орбітою. Т збільшується з розмірами радіуса орбіти. Якщо r має значення 6 , 6 R 3 то супутника дорівнює 24 годинах. При його запуску в площині екватора спостерігатиметься, як висить над деякою точкою земної поверхні. Застосування таких супутників відоме у системі космічного радіозв'язку. Орбіту, що має радіус r = 6, 6 R З, називають геостаціонарною.
Малюнок 1 . 10 . 3 . Модель руху супутників.
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
ВИЗНАЧЕННЯ
Закон всесвітнього тяжіння відкрив І. Ньютоном:
Два тіла притягуються один до одного з прямо пропорційною добутку їх і обернено пропорційною квадрату відстані між ними:
Опис закону всесвітнього тяжіння
Коефіцієнт - це гравітаційна стала. У системі СІ гравітаційна стала має значення:
Ця постійна, як видно, дуже мала, тому сили тяжіння між тілами, що мають невеликі маси, також малі і практично не відчуваються. Проте рух космічних тіл повністю визначається гравітацією. Наявність всесвітнього тяжіння або, іншими словами, гравітаційної взаємодії пояснює, на чому «тримаються» Земля і планети, і чому вони рухаються навколо Сонця певними траєкторіями, а не відлітають від нього геть. Закон всесвітнього тяжіння дозволяє визначити багато характеристик небесних тіл – мас планет, зірок, галактик і навіть чорних дірок. Цей закон дозволяє з великою точністю розрахувати орбіти планет і створити математичну модель Всесвіту.
За допомогою закону всесвітнього тяжіння можна розрахувати космічні швидкості. Наприклад, мінімальна швидкість, за якої тіло, що рухається горизонтально над поверхнею Землі, не впаде на неї, а рухатиметься по круговій орбіті – 7,9 км/с (перша космічна швидкість). А, щоб залишити Землю, тобто. подолати її гравітаційне тяжіння, тіло повинне мати швидкість 11,2 км/с (друга космічна швидкість).
Гравітація є одним із найдивовижніших феноменів природи. У відсутності сил гравітації існування Всесвіту було б неможливим, Всесвіт не міг би навіть виникнути. Гравітація відповідальна за багато процесів у Всесвіті – її народження, існування порядку замість хаосу. Природа гравітації досі остаточно нерозгадана. Досі ніхто не зміг розробити гідний механізм і модель гравітаційної взаємодії.
Сила тяжіння
Окремим випадком прояву гравітаційних сил є сила тяжіння.
Сила тяжіння завжди спрямована вертикально вниз (у напрямку центру Землі).
Якщо тіло діє сила тяжкості, то тіло робить . Вид руху залежить від напрямку та модуля початкової швидкості.
З дією сили тяжіння ми зустрічаємося щодня. через деякий час виявляється на землі. Книжка, випущена з рук, падає вниз. Підстрибнувши, людина не відлітає у відкритий космос, а опускається вниз на землю.
Розглядаючи вільне падіння тіла поблизу поверхні Землі як результат гравітаційної взаємодії цього тіла із Землею, можна записати:
звідки прискорення вільного падіння:
Прискорення вільного падіння залежить від маси тіла, а залежить від висоти тіла над Землею. Земна куля трохи сплюснуть біля полюсів, тому тіла, що знаходяться біля полюсів, розташовані трохи ближче до центру Землі. У зв'язку з цим прискорення вільного падіння залежить від широти місцевості: на полюсі воно трохи більше, ніж на екваторі та інших широтах (на екваторі м/с, на Північному полюсі екваторі м/с).
Ця ж формула дозволяє знайти прискорення вільного падіння на поверхні будь-якої планети масою та радіусом.
Приклади розв'язання задач
ПРИКЛАД 1 (завдання про «зважування» Землі)
| Завдання | Радіус Землі км, прискорення вільного падіння поверхні планети м/с . Використовуючи ці дані, оцінити приблизно масу Землі. |
| Рішення | Прискорення вільного падіння на поверхні Землі: звідки маса Землі: У системі Сі радіус Землі Підставивши у формулу чисельні значення фізичних величин, оцінимо масу Землі:
|
| Відповідь | Маса Землі кг. |
м.
ПРИКЛАД 2
| Завдання | Супутник Землі рухається круговою орбітою на висоті 1000 км від поверхні Землі. З якою швидкістю рухається супутник? За який час супутник зробить один повний оберт навколо Землі? |
| Рішення | По сила, що діє на супутник з боку Землі, дорівнює добутку маси супутника на прискорення, з яким він рухається:
З боку землі на супутник діє сила гравітаційного тяжіння, яка за законом всесвітнього тяжіння дорівнює: де і маси супутника та Землі відповідно. Оскільки супутник знаходиться на певній висоті над поверхнею Землі, відстань від нього до центру Землі: де радіус Землі. |
(Терміни гравітація та тяжіння рівнозначні).
Прискорення, яке відчуває тіло m 2 , що знаходиться на відстані rвід цього тіла m 1 , так само:
.
Ця величина не залежить від природи (складу) та маси тіла, що отримує прискорення. У цьому співвідношенні виражається експериментальний факт, відомий ще Галілаю, згідно до якого всі тіла падають у гравітат. поле Землі з прискоренням.
Ньютон встановив, що прискорення і сила обернено пропорційні, зіставивши прискорення тіл, що падають поблизу поверхні Землі, з прискоренням, з яким рухається Місяць по своїй орбіті. (Радіус Землі приблизна відстань до Місяця були на той час відомі.) Далі було показано, що із закону всесвітнього тяжіння випливають закони Кеплера, які були знайдені І. Кеплером шляхом обробки численних спостережень за рухами планет. Так з'явилася небесна механіка. Блискучим підтвердженням ньютонівської теорії Т. було передбачення існування планети за Ураном (англ. астроном Дж. Адамс, франц. астроном У. Левер'є, 1843-45 рр.) і відкриття цієї планети, яку назвали Нептун (нім. астроном І. Галле , 1846).
У ф-ли, що описують рух планет, входить твір Gі маси Сонця, воно відоме з великою точністю. Для визначення константи Gпотрібні лабораторні досліди щодо вимірювання сили гравітацій. взаємодії двох тіл із відомою масою. Перший такий досвід було поставлено англ. вченим Г. Кавендішем (1798). Знаючи G, вдається визначити абс. значення маси Сонця, Землі та ін. небесних тіл.
Закон тяжіння у формі (1) безпосередньо застосовується до точкових тіл. Можна показати, що він справедливий і для протяжних тіл зі сферично-симетричним розподілом маси, причому rє відстань між центрами симтерії тел. Для сферич. тіл, розташованих досить далеко один від одного, закон (1) справедливий приблизно.
У ході розвитку теорії Т. уявлення про безпосередню силову взаємодію тіл поступово поступилося місцем уявленню про поле. Гравітац. поле в теорії Ньютона характеризується потенціалом, де x,y,z- координати, t- Час, і навіть напруженістю поля , тобто.
.
Потенціал гравітації. поля, створюваного сукупністю мас, що покояться, не залежить від часу. Гравітац. потенціали дек. тіл задовольняють принципи суперпозиції, тобто. потенціал к.-л. точці їхнього загального поля дорівнює сумі потенціалів аналізованих тіл.
Передбачається, що гравітація. поле описується інерційної системі координат, тобто. в системі координат, щодо якої тіло зберігає стан спокою або рівномірного прямолінійного руху, якщо на нього не діють ніякі сили. У гравітації. поле сила, що діє на частинку речовини, дорівнює добутку її маси на напруженість поля в місці знаходження частки: F=mg. Прискорення частки щодо інерційної системи координат (т.зв. абс. прискорення) є, очевидно, g.
Точкове тіло з масою dmстворює гравітації. потенціал
.
Суцільне середовище, розподілене у просторі із щільністю (може залежати і від часу), створює гравітація. потенціал, що дорівнює сумі потенціалів всіх елементів середовища. У цьому випадку напруженість поля виражається як векторна сума напруженостей, створюваних усіма частинками.
Гравітац. потенціал підпорядковується ур-нію Пуассона:
. (2)
Зрозуміло, що потенціал ізольованого сферично-симетричного тіла залежить лише від r. Поза таким тілом потенціал збігається з потенціалом точкового тіла, розташованого в центрі симетрії і має ту ж масу m. Якщо при r>R, то при r>R. Тим самим обґрунтовується наближення матеріальних точок у небесній механіці, де зазвичай мають справу з майже сферич. тілами, до того ж, досить далеко один від одного. Точне ур-ня Пуассноа з урахуванням реального, несиметричного розподілу мас використовується, наприклад, щодо будівництва Землі методами гравіметрії. Закон Т. у формі ур-ня Пуассона застосовується при теоретич. дослідженні будови зірок. У зірках сила Т., що змінюється від точки до точки, врівноважується градієнтом тиску; в зірках, що обертаються, до градієнта тиску додається відцентрова сила.
Зазначимо деякі важливі особливості класич. Теорія Т.
1) У ур-нии руху матеріального тіла - другий закон механіки Ньютона, ma=F(де F- діюча сила, a- придбання тілом прискорення), і в закон тяжіння Ньютона входить та сама характеристика тіла - його маса. Тим самим мається на увазі, що інертна маса тіла та його гравітації. маса рівні (докладніше див. у розділі 3).
2) Миттєве значення гравітації. потенціалу повністю визначається миттєвим розподілом мас у всьому просторі та граничними умовами для потенціалу на нескінченності. Для обмежених розподілів речовини приймають умову звернення до нуля на нескінченності (при ). Додавання до потенціалу постійного доданку порушує умову на нескінченності, але не змінює напруженість поля gі змінює ур-ния руху матеріальних тіл у цьому полі.
3) Перехід відповідно до перетворення Галілея ( x"=x-vt, t"=t) від однієї інерційної системи координат до іншої, що рухається щодо першої з постійною швидкістю v, не змінює ур-ня Пуассона і змінює ур-ния руху матеріальних тел. Інакше кажучи, механіка, включаючи ньютонівську теорію Т., інваріантна щодо перетворень Галілея.
4) Перехід від інерційної системи координат до прискорення рухомої з прискоренням a(t)(Без обертання) не змінює ур-ня Пуассона, але призводить до появи додаткового, не залежить від координат члена maв ур-нях руху. Точно такий же човн в ур-нях руху виникає, якщо в інерційній системі координат до гравітації. потенціалу додати доданок, що лінійно залежить від координат, , тобто. додати однорідне поле Т. Т.о., однорідне поле Т. може бути компенсовано в умовах прискореного руху.
2. Рух тіл під впливом сил тяжіння
Найважливішим завданням ньютонівської небесної механіки явл. завдання руху двох точкових матеріальних тіл, що взаємодіють гравітаційно. На її рішення, використовуючи закон тяжіння Ньютона, становлять ур-ния руху тел. Св-ва рішень цих ур-ний відомі з вичерпною повнотою. За відомим рішенням можна встановити, що деякі величини, що характеризують систему, залишаються постійними в часі. Їх називають інтегралами руху. основ. інтегралами руху (зберігаються величинами) явл. Енергія, імпульс, момент імпульсу системи. Для системи двох тіл повна механіч. енергія E, що дорівнює сумі кінетич. енергії ( T) та потенційної енергії ( U), зберігається:
E=T+U= Const ,
де Кінетіч. енергія двох тіл.
У класич. Небесної механіки потенційна енергія обумовлена гравітаціями. взаємодією тел. Для пари тіл гравітаційна (потенційна) енергія дорівнює:
,
де – гравітац. потенціал, створюваний масою m 2 у точці знаходження маси m 1 а - потенціал, створюваний масою m 1 у точці знаходження маси m 2 . Нульовим значенням Uмають тіла, рознесені на нескінченно велику відстань. Оскільки при зближенні тіл їх кінетич. енергія збільшується, а потенційна енергія зменшується, отже, знак Uнегативний.
Для стаціонарних гравітуючих систем порівн. значення абс. величини гравітації. енергії вдвічі більше порівн. значення кінетич. енергії частинок, що становлять систему (див. ). Так, наприклад, для малої маси m, що обертається круговою орбітою навколо центрального тіла , умова рівності відцентрової сили mv 2 /rсилі тяжіння призводить до , тобто. кінетич. енергія, тоді як. Отже, U=-2Tі E=U+T=-T= const
У ньютонівській теорії Т. зміна положення частки миттєво призводить до зміни поля у всьому просторі (гравітація взаємодія здійснюється з нескінченною швидкістю). Інакше кажучи, в класич. теорії Т. поле служить цілям опису миттєвої взаємодії з відривом, воно має собст. ступенями свободи, не може поширюватися та випромінюватись. Зрозуміло, що таке уявлення про гравітації. поле справляє лише приблизно при досить повільних рухах джерел. Врахування кінцевої швидкості поширення гравітацій. взаємодії виробляється у релятивистській теорії Т. (див. нижче).
У нерелятивістській теорії Т. повна механічна енергія системи тіл (що включає енергію гравітаційної взаємодії) повинна залишатися незмінною нескінченно довго. Теорія Ньютона допускає систематич. зменшення цієї енергії лише за наявності диссипації, що з перетворенням частини енергії на теплоту, напр. за непружних зіткнень тел. Якщо тіла в'язкі, їх деформації і коливання під час руху в гравітац. поле також зменшують енергію системи тіл за рахунок перетворення енергії на теплоту.
3. Прискорення та тяжіння
Інертною масою тіла ( m i) називають величину, що характеризує його здатність набувати те чи інше прискорення під дією заданої сили. Інертна маса входить до другого закону механіки Ньютона. Гравітац. маса ( m g) характеризує здатність тіла створювати те чи інше поле Т. Гравітаці. маса входить у закон Т.
З дослідів Галілея з тією точністю, з якою вони були поставлені, випливало, що всі тіла падають з однаковим прискоренням, незалежно від їхньої природи та інертної маси. Це означає, що сила, з якою діє Земля на ці тіла, залежить тільки від їх інертної маси, причому сила пропорційна інертній масі тіла, що розглядається. Але за третім законом Ньютона тіло, що вивчається, діє на Землю точно з такою ж силою, з якою Земля діє на тіло. Отже, сила, що створюється падаючим тілом, залежить тільки від однієї з його характеристик - інертної маси - і пропорційна їй. У той самий час падаюче тіло діє Землю із силою, обумовленої гравітац. масою тіла. Т.о., для всіх тіл гравітації. маса пропорційна інертній. Вважаючи m iі m gпросто збігаються, знаходять з експериментів конкретне чисельне значення постійної G.
Пропорційність інертної та гравітації. мас у тіл різної природи була предметом дослідження в дослідах угор. фізика Р. Етвеша (1922), амер. фізика Р. Дікке (1964 р.) та радянського фізика В.Б. Брагінського (1971). Вона перевірена у лабораторії з високою точністю (з похибкою
Висока точність цих експериментів дозволяє оцінити вплив масу різних видів енергії зв'язку між частинками тіла (див. ). Пропорційність інертної та гравітації. мас означає, що фіз. взаємодії всередині тіла однаковим чином беруть участь у створенні його інертної та гравітації. мас.
Щодо системи координат, що рухається із прискоренням a, всі вільні тіла набувають однакового прискорення - a. Через рівність інертної та гравітації. мас всі вони набувають таке ж прискорення щодо інерційної системи координат під впливом гравітацій. поля з напруженістю g=-a. Саме тому можна сказати, що з погляду законів механіки однорідне гравітація. поле не відрізняється від поля прискорень. У неоднорідному гравітації. поле компенсація напруженості поля прискоренням відразу у всьому просторі неможлива. Однак напруженість поля може бути компенсована прискоренням спеціально підібраної системи координат вздовж усієї траєкторії тіла, що вільно рухається під дією сил Т. Така система координат зв. вільно падає. У ньому має місце явище невагомості.
Рух косміч. корабля (ИСЗ) у полі Т. Землі можна як рух падаючої системи координат. Прискорення космонавтів і всіх предметів на кораблі щодо Землі однаково і прискоренню вільного падіння, а щодо один одного практично дорівнює нулю, тому вони знаходяться в невагомості.
При вільному падінні у неоднорідному гравітації. полекомпенсація напруженості поля прискоренням може бути повсюдної, оскільки прискорення сусідніх вільно падаючих частинок зовсім однаково, тобто. частинки мають відносне прискорення. У косміч. кораблі відносні прискорення практично непомітні, оскільки по порядку величини вони становлять см/с 2 де r- відстань від корабля до центру Землі, - маса Землі, x- Розмір корабля. Цими прискореннями можна знехтувати та ситати гравітац. поле Землі на відстані rвід її центру однорідним в обсязі з характерним розміром x. У будь-якому заданому обсязі простору неоднорідність гравітації. поля може бути встановлена спостереженнями досить високої точності, але при будь-якій заданій точності спостережень можна вказати обсяг простору, в якому поле буде виглядати однорідним.
Відносні прискорення проявляють себе, наприклад, Землі як океанських припливів. Сила, з якою Місяць притягує Землю, різна у різних точках Землі. Найближчі до Місяця частини водної поверхні притягуються сильніше, ніж центр тяжіння Землі, а він, у свою чергу, - сильніший, ніж найвіддаленіші частини світового океану. Уздовж лінії, що з'єднує Місяць і Землю, відносні прискорення спрямовані від центру Землі, а ортогональних напрямах - до центру. В результаті водна оболонка Землі деформується так, що вона витягується у вигляді еліпсоїда вздовж лінії Земля-Місяць. Через обертання Землі приливні горби двічі на добу прокочуються поверхнею океану. Аналогічна, але менша припливна деформація викликається неоднорідністю гравітації. поля Сонця.
А. Ейнштейн, виходячи з еквівалентності однорідних полів Т. та прискорених систем координат у механіці, припустив, що така еквівалентність поширюється взагалі на всі без винятку фіз. явища. Цей постулат називають принципом еквівалентності: всі фізичні процеси протікають абсолютно однаково (за однакових умов) в інерційній системі відліку, що знаходиться в однорідному гравітаційному полі, і в системі відліку, що поступається поступово з прискоренням за відсутності гравітацій. поля. Принцип еквівалентності відіграв важливу роль у побудові ейнштейнівської теорії Т.
4. Релятивістська механіка та теорія поля
Вивчення ел.-магн. явищ М. Фарадеєм та Д. Максвеллом у другій половині 19 ст. спричинило створення теорії ел.-магн. поля. Висновки цієї теорії були підтверджені експериментально. Ур-ния Максвелла неінваріантні щодо перетворень Галілея, але інваріантні щодо перетворень Лоренца, тобто. закони електромагнетизму однаково формулюються у всіх інерційних системах координат, пов'язаних з перетвореннями Лоренца.
Якщо інерційна система координат x", y", z", t"рухається щодо інерційної системи координат x, y, z, tз постійною швидкістю vу напрямку осі x, то перетворення Лоренца мають вигляд:
y"=y, z"=z, .
При малих швидкостях () та зневаженні членами ( v/c) 2 і vx/c 2 ці перетворення перетворюються на перетворення Галілея.
Логіч. аналіз протиріч, що виникали при зіставленні висновків теорії ел.-магн. явищ із класич. уявленнями про простір та час, призвів до побудови приватної (спеціальної) теорії відносності. Вирішальний крок було зроблено А. Ейнштейном (1905 р.), величезну роль її побудові зіграли праці нідерландського фізика Р. Лоренца і франц. математика А. Пуанкаре. Приватна теорія відносності вимагає перегляду класичних уявлень про простір та час. У класич. фізика проміжок часу між двома подіями (напр., між двома спалахами світла), а також поняття одночасності подій мають абсолютний сенс. Вони залежать від руху спостерігача. У приватній теорії відносності це не так: міркування про інтервали часу між подіями та про відрізки довжини залежать від руху спостерігача (пов'язаної з ним системи координат). Ці величини виявляються відносними приблизно тому ж сенсі, у якому відносними, залежними від розташування спостерігачів, явл. їх судження про вугілля, під яким вони бачать одну і ту ж пару предметів. Інваріантним, абсолютним, незалежно від системи координат, явл. лише 4-мірний інтервал dsміж подіями, що включає як проміжок часу dt, і елемент відстані між ними:
ds 2 =c 2 dt 2 -dx 2 -dy 2 -dz 2
. (3)
Перехід від однієї інерційної системи до іншої, що зберігає ds 2 незмінним, здійснюється саме відповідно до перетворення Лоренца.
Інваріантність ds 2 означає, що простір і час поєднуються в єдиний 4-мірний світ - простір-час. Вираз (3) можна записати також у вигляді: 
, (4)
де індекси та пробігають значення 0, 1, 2, 3 і за ними проводиться підсумовування, x 0 =ct, x 1 =x,
x 2 =y, x 3 =z, , Інші величини дорівнюють нулю. Набір величин називають метричним тензором плоского простору-часу або світу Мінковського [в загальній теорії відносності (ОТО) було показано, що простір-час має кривизну, див. нижче].
У терміні " метрич тензор " слово " метричний " свідчить про роль цих величин щодо відстані і проміжків часу. У випадку метрич. тензор являє собою сукупність десяти функцій, що залежать від x 0 , x 1 , x 2 , x 3 у вибраній системі координат. Метрич. тензор (або просто метрика) дозволяє визначити відстань та проміжок часу між подіями, що віддаляються на .
Спец. теорія відносності встановлює граничну швидкість руху матеріальних тіл і взагалі поширення взаємодій. Ця швидкість збігається зі швидкістю світла у вакуумі. Разом зі зміною уявлень про простір та час спец. Теорія відносності уточнила поняття маси, імпульсу, сили. У релятивістської механіки, тобто. у механіці, інваріантній щодо перетворень Лоренца, інертна маса тіла залежить від швидкості: , де m 0 – тіла. Енергія тіла та його імпульс поєднуються у 4-компонентний вектор енергії-імпульсу. Для суцільного середовища можна запровадити щільність енергії, щільність імпульсу та щільність потоку імпульсу. Ці величини поєднуються в 10-компонентну величину - тензор енергії-імпульсу. Всі компоненти піддаються спільному перетворенню під час переходу від однієї системи координат до іншої. Релятивістська теорія ел.-магн. поля (електродинаміка) значно багатші за електростатику, справедливу лише в межі повільних рухів зарядів. В електродинаміці відбувається об'єднання електрич. та магнітного полів. Облік кінцевої швидкості поширення змін поля і запізнення передачі взаємодії призводить до поняття эл.-магн. хвиль, які несуть енергію з випромінюючої системи.
Аналогічно релятивістська теорія Т. виявилася складнішою за ньютонівську. Гравітац. поле тіла, що рухається має ряд св-в, подібних св-вам ел.-магн. поля зарядженого тіла, що рухається в електродинаміці. Гравітац. поле на великій відстані від тіл залежить від положення та руху тіл у минулому, оскільки гравітація. поле поширюється із кінцевою швидкістю. Стає можливим випромінювання та поширення гравітацій. хвиль (див.). Релятивістська теорія Т., як і можна було припускати, виявилася нелінійною.
5. Кривизна простору-часу у ВТО
Відповідно до принципу еквівалентності, жодними спостереженнями, використовуючи будь-які закони природи, не можна відрізнити прискорення, створюваного однорідним полем Т., від прискорення системи координат, що рухається. В однорідному гравітації. поле можна домогтися рівності нулю прискорення всіх частинок, поміщених у цю область простору, якщо розглядати їх у системі координат, що вільно падає разом з частинками. Таку систему координат представляють подумки у вигляді лабораторії з жорсткими стінками і годинником, що знаходиться в ній. Інакше справа в неоднорідному гравітації. поле, в якому сусідні вільні частинки мають відносні прискорення. Вони рухатимуться з прискоренням, хай і невеликим, щодо центру лабораторії (системи координат), і таку систему координат слід визнати лише локально інерційною. Вважати систему координат інерційною можна лише у тій області, де допустимо знехтувати відносними прискореннями частинок. Отже, у неоднорідному гравітації. поле лише в малій області простору-часу та з обмеженою точністю можна розглядати простір-час як плоский і користуватися ф-лою (3) для визначення інтервалу між подіями.
Неможливість запровадити інерційну систему координат у неоднорідному гравітації. поле робить всі мислимі системи координат більш менш рівноправними. Ур-ня гравітації. поля мають бути записані так, щоб вони були справедливі у всіх координатних системах, не віддаючи переваги к.-л. з них. Звідси й назва релятивістської теорії Т. - загальна теорія відносності.
Гравітац. поля, що складаються реальними тілами, такими як Сонце або Земля, завжди неоднорідні. Їх називають справжніми чи непереборними полями. У такому гравітації. поле ніяка локально-інерційна система координат не може бути поширена на весь простір-час. Це означає, що інтервал ds 2 не може бути приведений до виду (3) у всьому просторово-часовому континуумі, тобто 2000 р.; простір-час не може бути плоским. Ейнштейн прийшов до радикальної ідеї ототожнити неоднорідні гравітації. поля з кривизною простору-часу. З цих позицій гравітація. поле будь-якого тіла можна як спотворення цим тілом геометрії простору-часу.
Основи математич. апарату геометрії простору, що має кривизну (неевклідову геометрію), було закладено у працях Н.І. Лобачевського, угор. математика Я. Бойаї, нім. математиків К. Гаусса та Г. Рімана. У неевклідовій геометрії викривлений простір-час характеризується метрич. тензором, що входить у вираз для інваріантного інтервалу: 
, (5)
окремим випадком цього виразу явл. ф-ла (4). Маючи набір ф-ций, можна вирішити питання існування таких координатних перетворень, к-рые перевели б (5) в (3), тобто. дозволили б перевірити, чи не є простір-час плоским. Шукані перетворення здійсненні тоді, і тільки тоді, коли деякий тензор, складений з ф-цій, квадратів їх перших похідних і других похідних, дорівнює нулю. Цей тензор називають тензором кривизни. У випадку він, природно, не дорівнює нулю.
Набір величин використовують для інваріантного, незалежно від вибору системи координат, описи геометрич. св-в викривленого простору-часу. З фіз. погляду тензор кривизни, висловлюючись через другі похідні від гравітації. потенціалів, описує приливні прискорення в неоднорідному гравітації. поле.
Тензор кривизни – величина розмірна, його розмірність – квадрат зворотної довжини. Кривизні в кожній точці простору-часу відповідають характерні довжини – радіуси кривизни. У малій просторово-часовій області, що оточує дану точку, викривлений простір-час не відрізняється від плоскої точністю до малих членів, де l- Характерний розмір області. У цьому сенсі кривизна світу має ті ж св-вами, що, скажімо, і кривизна земної кулі: у малих областях вона несуттєва. Тензор кривизни у цій точці не можна "знищити" жодними перетвореннями координат. Однак у певній системі координат і з наперед відомою точністю поле Т. у малій області простору-часу можна вважати відсутнім. У цій галузі всі закони фізики набувають тієї форми, яка узгоджується зі спец. теорією відносності. Так поводиться принцип еквівалентності, покладений основою теорії Т. за її побудові.
Метрич. тензор простору-часу, і зокрема кривизна світу, доступні експериментальному визначенню. Щоб довести кривизну земної кулі, треба мати маленький "ідеальний" масштаб і з його допомогою виміряти відстань між досить віддаленими точками поверхні. Зіставлення виміряних відстаней вкаже на відміну від реальної геометрії від евклідової. Подібним чином геометрія простору-часу може бути встановлена шляхом вимірювань, що виконуються за допомогою "ідеальних" лінійок і годин. Природно припустити, за Ейнштейном, що св-ва невеликого " ідеального " атома залежить від того, яку точку світу він поміщений. Тому, зробивши, напр., Вимірювання зсуву частоти світла (визначивши гравітац. червоне зміщення), можна в принципі визначити метрич. тензор простору-часу та його кривизну.
6. Рівняння Ейштейна
Шляхом підсумовування тензора кривизни з метрич. тензором можна утворити симетричний тензор 
, Що має стільки ж компонентів, скільки і тензор енергії імпульсу матерії, яка служить джерелом гравітац. поля.
Ейнштейн припустив, що ур-ня гравітації повинні встановлювати зв'язок між і . Крім того, він врахував, що у гравітації. поле повинні виконуватися ур-ня безперервності для матерії аналогічно до того, як виконується ур-ня безперервності струму в електродинаміці. Такі ур-ня виконуються автоматично, якщо ур-ня гравітації. поля написати так:
. (6)
Це і є ур-ня Ейнштейна, отримані ним 1916 р. Ці ур-ня випливають також із варіац. принципу, який незалежно показав ньому. математик Д. Гільберт.
Ур-ня Ейнштейна виражають зв'язок між розподілом і рухом матерії, з одного боку, і геометричні. св-вами простору-часу - з іншого.
У ур-ниях (6) в лівій частині стоять компоненти тензора, що описує геометрію простору-часу, а в правій - компоненти тензора енергії-імпульсу, що описує фіз. св-ва речовини та полів (джерел гравітації. поля). Величини - не просто ф-ції, що описують гравітаційне поле, але водночас - компоненти метричного тензора простору-часу.
Ейнштейн писав, що більша частина його робіт (спец. теорія відносності, квантова природа світла) йшла в руслі актуальних проблем свого часу. Вони були б зроблені ін. вченими із запізненням не більше 2-3 років, якби ці роботи не зробив він сам.Для ВТО Ейнштейн робив виняток і писав, що релятивістська теорія Т., можливо, затрималася б на 50. Цей прогноз, по суті, виправдався, тому що саме в 60-х рр. 20 ст з'явилися нові загальні методи теорії поля і виник ін. підхід до нелінійної теорії Т., що виходить з поняття поля, заданого в плоскому просторі-часі, було показано, що такий шлях призводить до тих же ур-ням, до яких прийшов Ейнштейн на основі геометричних. інтерпретації Т.
Слід підкреслити, що саме в астрономії і космології зустрічаються питання, в яких брало геометрич. підхід явл. кращим. Як приклад можна вказати космологіч. теорію просторово-замкнутого Всесвіту, а також теорію . Тому теорія Ейнштейна, що спирається на геометричні. поняття, що повністю зберігає своє значення.
У геометричні. інтерпретація руху матеріальної точки в гравітації. поле є рухом по 4-мірної траєкторії - геодезич. лінії простору-часу. У світі, що має кривизну, геодезич. лінія узагальнює поняття прямої лінії в евклідовій геометрії. Ур-ня руху речовини, які у ур-ниях Ейнштейна, зводяться до ур-ниям геодезич. ліній для точкових тіл. Тіла (частки), які не можна вважати точковими, відхиляються у своєму русі від геодезич. ліній і зазнають дії приливних сил.
7. Слабкі гравітаційні поля та ефекти, що спостерігаються.
Поле Т. більшості астрономіч. об'єктів явл. слабким. Прикладом може бути гравітац. поле землі. Щоб тіло назавжди залишило Землю, треба надати біля Землі швидкість 11,2 км/с, тобто. швидкість, малу проти швидкістю світла. Іншими словами, гравітація. потенціал Землі малий проти квадратом швидкості світла, як і явл. критерієм слабкості гравітації. поля.У наближенні слабкого поля з ур-ний ОТО випливають закони ньютонівської теорії тяжіння та механіки. Ефекти ОТО в таких умовах є лише незначними поправками.
Найпростішим ефектом, хоч і важким для спостережень, явл. уповільнення перебігу часу в гравітації. поле, або, у більш поширеному формулюванні, ефект зсуву частоти світла. Якщо світловий сигнал з частотою випущений у точці зі значенням гравітацій. потенціалу і прийнятий з частотою в точці зі значенням потенціалу (де є такий самий дослідник для порівняння частоти), то повинна виконуватися рівність . Ефект гравітації. усунення частоти світла було передбачено Ейнштейном ще 1911 р. виходячи з закону збереження енергії фотона в гравітац. поле. Він надійно встановлений у спектрах зірок, виміряний з точністю до 1% у лабораторії та з точністю до в умовах косміч. польоту. У найбільш точному експерименті використовувався воднево-мазерний стандарт частоти, який був встановлений на косміч. ракеті, що піднялася до висоти 10 тис. км. Інший такий самий стандарт був встановлений на Землі. Порівняння їх частот здійснювалося різних висотах. Результати підтвердили зміну частоти, що передбачається.
При проходженні поблизу тіла, що тяжіє, ел.-магн. сигнал зазнає релятивістської затримки в часі поширення. За своєю фіз. природі цей ефект подібний до попереднього. По радіоспостереження планет і особливо міжпланетних косміч. кораблів, ефект затримки збігається з розрахунковим значенням не більше 0,1% (див. ).
Найбільш важливим з погляду перевірки ОТО явл. поворот орбіти тіла, що обертається навколо центру, що тяжіє (його називають також ефектом зсуву перигелія). Цей ефект дозволяє виявити нелінійний характер релятивістського граївтац. поля. Відповідно до ньютонівської небесної механіки, рух планет навколо Сонця описується ур-ням еліпса: , де p=a(1-e 2) - параметр орбіти, a- велика піввісь, e- Ексцентриситет (див.). З урахуванням релятивістських поправок траєкторія має вигляд:
.
За кожен оберт планети навколо Сонця велика вісь її еліптич. орбіти повертається у бік руху на кут . Для Меркурія релятивістський кут повороту становить століття. Той факт, що кут повороту накопичується з плином часу, полегшує можливість спостереження цього ефекту. За один оборот кут повороту великої осі орбіти настільки незначний ~ 0,1", що його виявлення суттєво ускладнюється викривленням променів світла в межах Сонячної системи. Проте совр. радіолокаційні дані підтверджують релятивістський ефект зсуву перигелія Меркурія з точністю 1%.
Перелічені ефекти зв. класичними. Можлива перевірка та інших передбачень ОТО (напр., прецесії осі гіроскопа) у слабкому гравітації. поле Сонячної системи. Релятивістські ефекти використовуються як перевірки теорії, а й уточнення астрофизических параметрів, напр., визначення маси компонентів подвійних зірок. Так, у подвійній системі, що включає пульсар PSR 1913+16, спостерігається ефект зсуву перигелію, що дозволило визначити сумарну масу компонентів системи з точністю 1%.
8. Тяжіння та квантова фізика
Рівняння Ейнштейна включають класичне гравітація. поле, що характеризується компонентами метрич. тензора, і ензор енергії-імпульсу матерії. Для опису руху тяжіючих тіл квантова природа матерії, як правило, не є важливою. Це відбувається тому, що зазвичай мають справу з гравітаціями. взаємодією макроскопіч. тіл, що складаються з величезної кількості атомів і молекул. Квантовомеханічний опис руху таких тіл практично не відрізняється від класичного. Наука поки що не має експериментальних даних про гравітації. взаємодії в умовах, коли стають суттєвими квантові св-ва частинок, що взаємодіють з гравітаціями. полем, і квантові св-ва самого гравітації. поля.
Квантові процеси за участю гравітації. поля є важливими в космосі (див. , ) і, можливо, стануть доступними вивченню також в лабораторних умовах. Об'єднання теорії Т. з квантовою теорією - одне з найважливіших завдань фізики, до вирішення якої вже приступили.
У звичайних умовах вплив гравітації. поля на квантові системи дуже мало. Щоб збудити атом зовніш. гравітації. полем, відносне прискорення, створюване гравітації. полем з відривом " радіусу атома водню " див і рівне , мало б бути порівняно з прискоренням, з к-рым рухається електрон в атомі, . (Тут - радіус кривизни гравітації. поля Землі, рівний: 
див.) У гравітації. поле Землі із запасом 10 19 це співвідношення не виконується, отже атоми в земних умовах під дією гравітації не збуджуються і не відчувають зрушень енергетич. рівнів.
Проте в деяких умовах можливість переходів у квантовій системі під впливом гравітац. поля можуть бути помітними. Саме на цьому принципі засновані деякі совр. припущення щодо детектування гравітацій. хвиль.
У спеціально створених (макроскопічних) квантових системах перехід між сусідніми квантовими рівнями може статися навіть під впливом слабкого змінного поля гравітацій. хвилі. Прикладом такої системи може бути ел.-магн. поле в порожнині з стінами, що добре відбивають. Якщо спочатку в системі було Nквантів поля (фотонів) (), то під впливом гравітацій. хвилі їх число з помітною ймовірністю може змінитися і стати рівним N+2 або N-2. Інакше кажучи, можливі переходи сенергетич. рівня , і вони в принципі доступні для виявлення.
Особливо важливою є роль інтенсивних гравітацій. полів. Такі поля, ймовірно, існували на початку розширення Всесвіту, поблизу космологічних. сингулярності та можуть виникати на пізніх стадіях гравітацій. колапсу. Висока інтенсивність цих полів проявляється в тому, що вони здатні проводити до ефектів, що спостерігаються (народженню пар частинок) навіть у відсутність атомів, реальних частинок або фотонів. Ці поля надають ефективний вплив на фіз. вакуум – фіз. поля у нижчому енергетичному стані. У вакуумі завдяки флуктуаціям квантованих полів постійно виникають і зникають т.зв. віртуальні частки, що реально не спостерігаються. Якщо інтенсивність зовніш. гравітації. поля настільки велика, що у відстанях, притаманних квантових полів і частинок, воно здатне виконувати роботу, що перевищує енергію пари частинок, то результаті може статися народження пари частинок - перетворення їх із віртуальної пари на реальну. Необхідною умовою цього процесу має бути порівнянність характерного радіусу кривизни, що описує інтенсивність гравітації. поля, з комптонівською довжиною хвилі , що зіставляється частинкам з масою спокою m. Аналогічна умова повинна виконуватися для безмасових частинок для того, щоб був можливий процес народження пари квантів з енергією. У вищезгаданому прикладі порожнини, що містить ел.-магн. поле, цей процес аналогічний переходу з ймовірністю, порівнянною з одиницею, з вакуумного стану N=0 в стан, що описує два кванти, N=2. У звичайних гравітаціях. полях ймовірність таких процесів мізерно мала. Однак у космосі вони могли призводити до народження частинок у дуже ранньому Всесвіті, а також до т.зв. квантового "випаровування" чорних дірок малої маси (згідно) робіт англ. вченого С. Хокінга).
Інтенсивні гравітації. поля, здатні суттєво впливати на нульову флуктуацію ін. фіз. полів повинні так само ефективно впливати і на власні нульові флуктуації. Якщо можливий народження квантів фіз. полів, то з тією ж ймовірністю (а в деяких випадках з ще більшою ймовірністю) повинен бути можливий процес народження квантів самого гравітації. поля - гравіони. Суворий та вичерпний розгляд таких процесів можливий лише на основі квантової теорії Т. Така теорія ще не створена. Застосування до гравітації. полю тих же ідей і методів, які призвели до успішного побудови квантової електродинаміки, наштовхується на серйозні труднощі. Зараз ще не ясно, якими шляхами піде розвиток квантової теорії Т. Безсумнівно одне - найважливішим способом перевірки таких теорій буде пошук явищ, що передбачаються теорією в космосі.
Чому випущений із рук камінь падає на Землю? Тому що його притягує Земля, скаже кожен із вас. Насправді камінь падає на Землю з прискоренням вільного падіння. Отже, на камінь із боку Землі діє сила, спрямовану Землі.
Згідно з третім законом Ньютона і камінь діє на Землю з такою ж за модулем силою, спрямованою до каменю. Іншими словами, між Землею та каменем діють сили взаємного тяжіння.
Здогад Ньютона
Ньютон був першим, хто спочатку здогадався, а потім і суворо довів, що причина, що викликає падіння каменю на Землю, рух Місяця навколо Землі та планет навколо Сонця, одна й та сама. Це сила тяжіння, що діє між будь-якими тілами Всесвіту. Ось перебіг його міркувань, наведених у головному праці Ньютона «Математичні засади натуральної філософії»: «Покинутий горизонтально камінь відхилиться під впливом тяжкості від прямолінійного шляху і, описавши криву траєкторію, впаде нарешті Землю. Якщо його кинути з більшою швидкістю, він впаде далі» (рис. 3.2). Продовжуючи ці міркування, Ньютон приходить до висновку, що якби не опір повітря, то траєкторія каменю, кинутого з високої гори з певною швидкістю, могла б стати такою, що він взагалі ніколи не досяг би поверхні Землі, а рухався навколо неї «подібно до того , як планети описують у небесному просторі свої орбіти».
Мал. 3.2
Зараз нам став настільки звичним рух супутників навколо Землі, що пояснювати думку Ньютона докладніше не потрібно.
Отже, на думку Ньютона, рух Місяця навколо Землі або планет навколо Сонця - це теж вільне падіння, але лише падіння, яке триває, не припиняючись, мільярди років. Причиною такого «падіння» (чи йдеться дійсно про падіння звичайного каменю на Землю або рух планет по їх орбітах) є сила всесвітнього тяжіння. Від чого ця сила залежить?
Залежність сили тяжіння від маси тіл
У § 1.23 йшлося про вільне падіння тел. Згадувалися досліди Галілея, які довели, що Земля повідомляє всім тілам у цьому місці те саме прискорення незалежно від своїх маси. Це можливо лише в тому випадку, якщо сила тяжіння Землі прямо пропорційна масі тіла. Саме в цьому випадку прискорення вільного падіння, що дорівнює відношенню сили земного тяжіння до маси тіла, є постійною величиною.
Справді, у разі збільшення маси m, наприклад, удвічі призведе до збільшення модуля сили теж удвічі, а прискорення, яке дорівнює відношенню , залишиться незмінним.
Узагальнюючи цей висновок для сил тяжіння між будь-якими тілами, робимо висновок, що сила всесвітнього тяжіння прямо пропорційна масі тіла, на яке ця сила діє. Але у взаємному тяжінні беруть участь щонайменше два тіла. На кожне з них, згідно з третім законом Ньютона, діють однакові за модулем сили тяжіння. Тому кожна з цих сил має бути пропорційна як масі одного тіла, так і масі іншого тіла.
Тому сила всесвітнього тяжіння між двома тілами прямо пропорційна добутку їх мас:
Від чого залежить сила тяжіння, що діє на дане тіло з боку іншого тіла?
Залежність сили тяжіння від відстані між тілами
Можна припустити, що сила тяжіння має залежати від відстані тіла. Щоб перевірити правильність цього припущення та знайти залежність сили тяжіння від відстані між тілами, Ньютон звернувся до руху супутника Землі – Місяця. Її рух був у ті часи вивчений набагато точніше, ніж рух планет.
Звернення Місяця навколо Землі відбувається під впливом сили тяжіння з-поміж них. Приблизно орбіту Місяця вважатимуться окружністю. Отже, Земля повідомляє Місяцю доцентрове прискорення. Воно обчислюється за формулою
де R - радіус місячної орбіти, що дорівнює приблизно 60 радіусам Землі, Т = 27 діб 7 год 43 хв = 2,4 10 6 с - період обігу Місяця навколо Землі. Враховуючи, що радіус Землі R 3 = 6,4 10 6 м, отримаємо, що доцентрове прискорення Місяця дорівнює:
Знайдене значення прискорення менше прискорення вільного падіння тіл біля Землі (9,8 м/с 2) приблизно 3600 = 60 2 раз.
Таким чином, збільшення відстані між тілом і Землею у 60 разів призвело до зменшення прискорення, що повідомляється земним тяжінням, а отже, і самої сили тяжіння у 60 2 разів (1).
Звідси випливає важливий висновок: прискорення, яке повідомляє тілам сила тяжіння до Землі, зменшується пропорційно квадрату відстані до центру Землі:
де C 1 - постійний коефіцієнт, однаковий всім тел.
Закони Кеплера
Дослідження руху планет показало, що цей рух викликаний силою тяжіння до Сонця. Використовуючи ретельні багаторічні спостереження датського астронома Тихо Браге, німецький вчений Йоган Кеплер на початку XVII ст. встановив кінематичні закони руху планет – звані закони Кеплера.
Перший закон Кеплера
Всі планети рухаються еліпсами, в одному з фокусів яких знаходиться Сонце.
Еліпсом (рис. 3.3) називається плоска замкнута крива, сума відстаней від будь-якої точки якої до двох фіксованих точок, званих фокусами, постійна. Ця сума відстаней дорівнює довжині великої осі АВ еліпса, тобто.
де F 1 і F 2 – фокуси еліпса, а b = – його велика піввісь; О – центр еліпса. Найближча до Сонця точка орбіти називається перигелієм, а найдальша від нього точка – афелієм. Якщо Сонце знаходиться у фокусі F 1 (див. рис. 3.3), то точка А – перигелій, а точка В – афелій.
Мал. 3.3
Другий закон Кеплера
Радіус-вектор планети за однакові проміжки часу описує рівні площі. Так, якщо заштриховані сектори (рис. 3.4) мають однакові площі, то шляхи s 1 , s 2 , s 3 будуть пройдені планетою за рівні проміжки часу. З малюнка видно, що s1 > s2. Отже, лінійна швидкість руху планети у різних точках її орбіти неоднакова. У перигелії швидкість планети найбільша, афелії - найменша.
Мал. 3.4
Третій закон Кеплера
Квадрати періодів обігу планет навколо Сонця відносяться як куби великих півосей їх орбіт.. Позначивши велику піввісь орбіти і період звернення однієї з планет через b 1 і T 1 а інший через b 2 і Т 2 , третій закон Кеплера можна записати так:
На підставі законів Кеплера можна зробити певні висновки про прискорення, які повідомляють планети Сонцем. Ми для простоти вважатимемо орбіти не еліптичними, а круговими. Для планет Сонячної системи ця заміна не є надто грубим наближенням.
Тоді сила тяжіння з боку Сонця у цьому наближенні має бути спрямована всім планет до центру Сонця.
Якщо через Т позначити періоди звернення планет, а через R – радіуси їх орбіт, то, згідно з третім законом Кеплера, для двох планет можна записати
Нормальне прискорення під час руху по колу а = ω 2 R. Тому відношення прискорень планет
Використовуючи рівняння (3.2.4), отримаємо
Оскільки третій закон Кеплера справедливий всім планет, то прискорення кожної планети назад пропорційно квадрату відстані її до Сонця:
Постійна 2 однакова для всіх планет, але не збігається з постійною 1 у формулі для прискорення, що повідомляється тілам земною кулею.
Вирази (3.2.2) і (3.2.6) показують, що сила тяжіння в обох випадках (притягнення до Землі та притягнення до Сонця) повідомляє всім тілам прискорення, що не залежить від їхньої маси і спадне пропорційно квадрату відстані між ними:
Закон всесвітнього тяготіння
Існування залежностей (3.2.1) та (3.2.7) означає, що сила всесвітнього тяжіння
У 1667 р. Ньютон остаточно сформулював закон всесвітнього тяжіння:
Сила взаємного тяжіння двох тіл прямо пропорційна добутку мас цих тіл і обернено пропорційна квадрату відстані між ними. Коефіцієнт пропорційності G називається гравітаційною(2) постійною.
Взаємодія точкових та протяжних тіл
Закон всесвітнього тяжіння (3.2.8) справедливий лише для таких тіл, розміри яких зневажливо малі порівняно з відстанню між ними. Інакше висловлюючись, він справедливий лише матеріальних точок. При цьому сили гравітаційної взаємодії спрямовані вздовж лінії, яка з'єднує ці точки (рис. 3.5). Такі сили називаються центральними.
Мал. 3.5
Для знаходження сили тяжіння, що діє дане тіло з боку іншого, у разі, коли розмірами тіл знехтувати не можна, надходять таким чином. Обидва тіла подумки поділяють настільки малі елементи, щоб кожен із новачків можна було вважати точковим. Складаючи сили тяжіння, що діють на кожен елемент даного тіла з боку всіх елементів іншого тіла, набувають чинності, що діє на цей елемент (рис. 3.6). Виконавши таку операцію для кожного елемента даного тіла і склавши отримані сили, знаходять повну силу тяжіння, що діє на це тіло. Завдання це складне.
Мал. 3.6
Є, однак, практично важливий випадок, коли формула (3.2.8) застосовна до протяжних тіл. Можна довести, що сферичні тіла, щільність яких залежить лише від відстаней до їхніх центрів, при відстанях між ними, більших сум їх радіусів, притягуються з силами, модулі яких визначаються формулою (3.2.8). У цьому випадку R – це відстань між центрами куль.
І, нарешті, оскільки розміри падаючих Землю тіл набагато менше розмірів Землі, ці тіла можна як точкові. Тоді під R у формулі (3.2.8) слід розуміти відстань від тіла до центру Землі.
Запитання для самоперевірки
- Відстань від Марса до Сонця на 52% більша за відстань від Землі до Сонця. Яка тривалість року на Марсі?
- Як зміниться сила тяжіння між кулями, якщо алюмінієві кулі (рис. 3.7) замінити сталевими кулями тієї самої маси? того ж обсягу?
Мал. 3.7
(1) Цікаво, що, будучи студентом, Ньютон зрозумів, що Місяць рухається під впливом тяжіння Землі. Але на той час радіус Землі був відомий неточно, і розрахунки не привели до правильного результату. Лише через 16 років з'явилися нові, виправлені дані і закон всесвітнього тяжіння був опублікований.
(2) Від латинського слова gravitas – тяжкість.
Гравітація, вона ж тяжіння чи тяжіння - це універсальна властивість матерії, якою володіють всі предмети і тіла у Всесвіті. Суть гравітації полягає в тому, що всі матеріальні тіла притягують до себе всі інші тіла, що знаходяться довкола.
Земне тяжіння
Якщо гравітація - це загальне поняття і якість, які мають усі предмети у Всесвіті, то земне тяжіння - це окремий випадок цього всеосяжного явища. Земля притягує себе всі матеріальні об'єкти, що у ній. Завдяки цьому люди і тварини можуть спокійно переміщатися землею, річками, морями і океанами - залишатися в межах своїх берегів, а повітря - не літати безкрайніми просторами Космосу, а утворювати атмосферу нашої планети.
Виникає справедливе питання: якщо всі предмети мають гравітацію, чому Земля притягує до себе людей і тварин, а не навпаки? По-перше, ми теж притягуємо до себе Землю, просто порівняно з її силою тяжіння наша гравітація мізерно мала. По-друге, сила гравітації прямо пропорційно залежить від маси тіла: що менше маса тіла, то нижчі його гравітаційні сили.
Другий показник, від якого залежить сила тяжіння - це відстань між предметами: чим більша відстань, тим менша дія гравітації. У тому числі завдяки цьому планети рухаються на своїх орбітах, а не падають одна на одну.
Примітно, що своєю сферичною формою Земля, Місяць, Сонце та інші планети завдячують саме силі тяжіння. Вона діє у напрямку центру, підтягуючи до нього речовину, яка становить «тіло» планети.
Гравітаційне поле Землі
Гравітаційне поле Землі – це силове енергетичне поле, яке утворюється навколо нашої планети завдяки дії двох сил:
- гравітації;
- відцентрової сили, яка своєю появою зобов'язана обертанню Землі навколо своєї осі (добове обертання).
Оскільки гравітація і відцентрова сила діють постійно, то і гравітаційне поле є постійним явищем.
Незначний вплив на полі мають сили тяжіння Сонця, Місяця та деяких інших небесних тіл, а також атмосферних мас Землі.
Закон всесвітнього тяжіння та сер Ісаак Ньютон
Англійський фізик, сер Ісаак Ньютон, за відомою легендою, одного разу гуляючи по саду вдень, побачив на небі Місяць. У цей час з гілки впало яблуко. Ньютон тоді займався вивченням закону руху і знав, що яблуко падає під впливом гравітаційного поля, а Місяць обертається орбітою навколо Землі.
І тут на думку геніальному вченому, осяяну інсайтом, спало на думку, що, можливо, яблуко падає на землю, підкоряючись тій самій силі, завдяки якій Місяць знаходиться на своїй орбіті, а не носиться безладно по всій галактиці. Так було відкрито закон всесвітнього тяжіння, він же Третій закон Ньютона.
Мовою математичних формул цей закон виглядає так:
F=GMm/D 2 ,
де F- сила взаємного тяжіння між двома тілами;
M- Маса першого тіла;
m- Маса другого тіла;
D 2- Відстань між двома тілами;
G- гравітаційна постійна, рівна 6,67 х10-11.
