Тема урока: Рівняння кола
Цілі уроку:
Освітні: Вивести рівняння кола, розглянувши розв'язання цього завдання як з можливостей застосування методу координат.
Вміти:
– Розпізнати рівняння кола за запропонованим рівнянням, навчити учнів складати рівняння кола за готовим кресленням, будувати коло за заданим рівнянням.
Виховні : Формування критичного мислення.
Розвиваючі : Розвиток уміння складати алгоритмічні розпорядження та вміння діяти відповідно до запропонованого алгоритму.
Вміти:
– Бачити проблему та намітити шляхи її вирішення.
– Коротко викладати свої думки усно та письмово.
Тип уроку: засвоєння нових знань.
Устаткування Кабіна: ПК, мультимедійний проектор, екран.
План уроку:
1. Вступне слово- 3 хв.
2. Актуалізація знань – 2 хв.
3. Постановка проблеми та її вирішення –10 хв.
4. Фронтальне закріплення нового матеріалу – 7 хв.
5. Самостійна роботау групах – 15 хв.
6. Презентація роботи: обговорення – 5 хв.
7. Підсумок уроку. Домашнє завдання- 3 хв.
Хід уроку
Мета цього етапу: Психологічний настрій учнів; Залучення всіх учнів до навчального процесу, створення ситуації успіху.1. Організаційний момент.
3 хвилини
Хлопці! З колом ви познайомилися ще у 5 та 8 класах. А що ви про неї знаєте?
Знаєте ви багато, і ці дані можна використовувати під час вирішення геометричних завдань. Але вирішення завдань, у яких застосовується метод координат, цього недостатньо.Чому?
Абсолютно вірно.
Тому головною метою сьогоднішнього уроку я ставлю виведення рівняння кола за геометричними властивостями цієї лінії та застосування його для вирішення геометричних завдань.
І нехайдевізом уроку стануть слова середньоазіатського вченого-енциклопедиста Ал-Біруні: «Знання - найчудовіше з володінь. Усі прагнуть до нього, саме воно не приходить».
Записують тему уроку у зошит.
Визначення кола.
Радіус.
Діаметр.
Хорд. І т.д.
Ми ще не знаємо загального виглядурівняння кола.
Учні перераховують усе, що знають про коло.
Слайд 2
Слайд 3
Мета етапу – отримати уявлення якість засвоєння учнями матеріалу, визначити опорні знання.
2. Актуалізація знань.
2 хвилини
При виведенні рівняння кола вам знадобиться вже відоме визначення кола і формула, що дозволяє знайти відстань між двома точками за їх координатами.Давайте згадаємо ці факти /пвідновлення матеріалу, вивченого раніше/:
– Запишіть формулу знаходження координат середини відрізка.
– Запишіть формулу довжини вектора.
– Запишіть формулу знаходження відстані між точками (Довжини відрізка).
Коригування записів…
Геометрична розминка.
Дано крапкиА (-1; 7) і(7; 1).
Обчисліть координати середини відрізка АВ та його довжину.
Перевіряє правильність виконання, коригує розрахунки.
Один учень біля дошки, а інші у зошитах записують формули
Колом називається геометрична фігура, що складається зі всіх точок, розташованих на заданій відстані від цієї точки.
|АВ|=√(х –х)²+(у –у)²
М(х;у), А(х;у)
Обчислюють: (3; 4)
| АВ| = 10
З лайд 4
Слайд 5
3. Формування нових знань.
12 хвилин
Мета: формування поняття - рівняння кола.
Розв'яжіть завдання:
У прямокутній системі координат побудовано коло із центром А(х;у). М(х; у) - довільна точка кола. Знайдіть радіус кола.
Чи координати будь-якої іншої точки задовольнятимуть цій рівності? Чому?
Зведемо обидві частини рівності квадрат.В результаті маємо:
r² =(х –х)²+(у –у)²-рівняння кола, де (х;у)-координати центру кола, (х;у)-координати довільної точки, що лежить на колі, r-радіус кола.
Розв'яжіть завдання:
Який вигляд матиме рівняння кола з центром на початку координат?
Отже, що треба знати для складання рівняння кола?
Запропонуйте алгоритм складання рівняння кола.
Висновок: … записати у зошит.
Радіусом називається відрізок, що з'єднує центр кола з довільною точкою, що лежить на колі. Тому r=|АМ|=√(х –х)²+(у –у)²
Будь-яка точка кола лежить на цьому колі.
Учні ведуть записи зошити.
(0; 0)-координати центру кола.
х²+у²=r², де r-радіус кола.
Координати центру кола, радіус, будь-яку точку кола.
Пропонують алгоритм…
Записують алгоритм у зошит.
Слайд 6
Слайд 7
Слайд 8
Вчитель фіксує рівність на дошці.
Слайд 9
4. Первинне закріплення.
23 хвилини
Ціль:відтворення учнями щойно сприйнятого матеріалу попередження втрати уявлень і понять. Закріплення нових знань, уявлень, понять на їх основізастосування.
Контроль ЗУН
Застосуємо отримані знання під час вирішення наступних завдань.
Завдання: Із запропонованих рівнянь назвіть номери тих, що є рівняннями кола. І якщо рівняння є рівнянням кола, то назвіть координати центру та вкажіть радіус.
Не кожне рівняння другого ступеня із двома змінними задає коло.
4х²+у²=4-рівняння еліпса.
х²+у²=0-крапка.
х²+у²=-4-це рівняння не ставить жодної постаті.
Хлопці! А що потрібно знати, щоб скласти рівняння кола?
Розв'яжіть завдання №966 стор.245 (підручник).
Вчитель викликає учня до дошки.
Чи достатньо даних, вказаних в умові завдання, щоб скласти рівняння кола?
Завдання:
Напишіть рівняння кола з центром на початку координат та діаметром 8.
Завдання : побудова кола.
Центр має координати?
Визначте радіус… та виконуйте побудову
Завдання на стор.243 (Підручник) розбирається усно.
Використовуючи план розв'язання задачі зі стор.243, розв'яжіть задачу:
Складіть рівняння кола з центром у точці А(3;2), якщо коло проходить через точку В(7;5).
1) (х-5)²+(у-3)²=36- рівняння кола;(5;3),r=6.
2) (х-1) ² + у ² = 49- рівняння кола; (1; 0), r = 7.
3) х²+у²=7- рівняння кола; (0; 0), r = √7.
4) (х+3)²+(у-8)²=2- рівняння кола; (-3; 8), r = √2.
5) 4х²+у²=4-не є рівнянням кола.
6) х²+у²=0- не є рівнянням кола.
7) х²+у²=-4- не є рівнянням кола.
Знати координати центру кола.
Довжина радіусу.
Підставити координати центру та довжину радіуса в рівняння кола загального вигляду.
Вирішують завдання № 966 стор.245 (підручник).
Даних достатньо.
Вирішують завдання.
Так як діаметр кола в два рази більший за її радіус, то r=8÷2=4. Тому х ² + у ² = 16.
Виконують побудову кіл
Робота з підручника. Завдання на стор.243.
Дано: А(3;2)-центр кола; В(7;5)є(А;r)
Знайти: рівняння кола
Рішення: r² =(х –х)²+(у –у)²
r² =(х –3)²+(у –2)²
r = АВ, r² = АВ²
r² =(7-3)²+(5-2)²
r² =25
(х –3)²+(у –2)²=25
Відповідь: (х –3)²+(у –2)²=25
Слайд 10-13
Рішення типових завдань, промовляючи спосіб розв'язання в гучному мовленні.
Вчитель викликає одного учня записати отримане рівняння.
Повернення до слайду 9
Обговорення плану вирішення цього завдання.
Слайд. 15. Вчитель викликає одного учня до дошки вирішувати це завдання.
Слайд 16.
Слайд 17.
5. Підсумок уроку.
5 хвилин
Рефлексія діяльності під час уроку.
Домашнє завдання: §3, п.91, Контрольні питання №16,17.
Завдання № 959(б, г, буд), 967.
Завдання на додаткову оцінку (проблемне завдання): Побудувати коло, задане рівнянням
х²+2х+у²-4у=4.
Про що ми говорили на уроці?
Що хотіли здобути?
Яку мету було поставлено на уроці?
Які завдання дозволяє вирішити зроблене нами «відкриття»?
Хто з вас вважає, що досяг мети, поставленої на уроці вчителем на 100%, на 50%; не досяг мети ...?
Виставлення оцінок.
Записують домашнє завдання.
Учні відповідають поставлені вчителем питання. Проводять самоаналіз своєї діяльності.
Учням необхідно висловити у слові результат та способи досягнення.
Клас: 8
Мета уроку:ввести рівняння кола, навчити учнів складати рівняння кола за готовим кресленням, будувати коло за заданим рівнянням.
Устаткування: Інтерактивна дошка.
План уроку:
- Організаційний момент – 3 хв.
- Повторення. Організація мисленнєвої діяльності – 7 хв.
- Пояснення нового матеріалу. Висновок рівняння кола – 10 хв.
- Закріплення вивченого матеріалу - 20 хв.
- Підсумок уроку – 5 хв.
Хід уроку
2. Повторення:
− (Додаток 1 Слайд 2) записати формулу знаходження координат середини відрізка;
− (Слайд 3) Записати формулу відстань між точками (довжиною відрізка).
3. Пояснення нового матеріалу.
(Слайди 4 – 6)Дати визначення рівняння кола. Вивести рівняння кола з центром у точці ( а;b) і з центром на початку координат.
(х – а ) 2 + (у – b ) 2 = R 2 − рівняння кола з центром З (а;b) , радіусом R , х і у – координати довільної точки кола .
х 2 + у 2 = R 2 − рівняння кола з центром на початку координат.
(Слайд 7)
Для того щоб скласти рівняння кола, треба:
- знати координати центру;
- знати довжину радіусу;
- підставити координати центру та довжину радіуса в рівняння кола.
4. Розв'язання задач.
У задачах № 1 – № 6 скласти рівняння кола за готовими кресленнями.
(Слайд 14)
№ 7. Заповнити таблицю.
(Слайд 15)
№ 8. Побудувати в зошиті кола, задані рівняннями:
а) ( х – 5) 2 + (у + 3) 2 = 36;
б) (х + 1) 2 + (у– 7) 2 = 7 2 .
(Слайд 16)
№ 9. Знайти координати центру та довжину радіуса, якщо АВ- Діаметр кола.
Дано: | Рішення: | ||
R | Координати центру | ||
1 | А(0 ; -6) У(0 ; 2) |
АВ 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; АВ 2 = 64; АВ = 8 . |
А(0; -6) У(0 ; 2) З(0 ; – 2) – центр |
2 | А(-2 ; 0) У(4 ; 0) |
АВ 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; АВ 2 = 36; АВ = 6. |
А (-2;0) У (4 ;0) З(1 ; 0) – центр |
(Слайд 17)
№ 10. Складіть рівняння кола з центром на початку координат, що проходить через точку До(-12;5).
Рішення.
R 2 = ОК 2
= (0 + 12) 2 +
(0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R = 13;
Рівняння кола: х 2 + у 2 = 169 .
(Слайд 18)
№ 11. Складіть рівняння кола, що проходить через початок координат із центром у точці З(3; - 1).
Рішення.
R 2 = ОС 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;
Рівняння кола: ( х – 3) 2 + (у + 1) 2 = 10.
(Слайд 19)
№ 12. Складіть рівняння кола з центром А(3;2), що проходить через У(7;5).
Рішення.
1. Центр кола – А(3;2);
2.R = АВ;
АВ 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; АВ
= 5;
3. Рівняння кола ( х – 3) 2 + (у − 2) 2
= 25.
(Слайд 20)
№ 13. Перевірте, чи лежать крапки А(1; -1), У(0;8), З(-3; -1) на колі, заданою рівнянням (х + 3) 2 + (у − 4) 2 = 25.
Рішення.
I. Підставимо координати точки А(1; -1) в рівняння кола:
(1 + 3) 2 +
(−1 − 4) 2 =
25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 = 25 - рівність неправильна, значить А(1; -1) не лежитьна колі, заданому рівнянням ( х + 3) 2 +
(у −
4) 2 =
25.
II. Підставимо координати точки У(0;8) в рівняння кола:
(0 + 3) 2 +
(8 − 4) 2 =
25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
У(0;8)лежить х + 3) 2 +
(у − 4) 2
=
25.
ІІІ.Підставимо координати точки З(-3; -1) в рівняння кола:
(−3 + 3) 2 +
(−1− 4) 2 =
25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 - рівність вірна, значить З(-3; -1) лежитьна колі, заданому рівнянням ( х + 3) 2 +
(у − 4) 2
=
25.
Підсумок уроку.
- Повторити: рівняння кола, рівняння кола з центром на початку координат.
- (Слайд 21)Домашнє завдання.
Рівняння лінії на площині
Введемо для початку поняття рівняння лінії у двовимірній системі координат. Нехай у декартовій системі координат побудовано довільну лінію $L$ (Рис. 1).
Малюнок 1. Довільна лінія у системі координат
Визначення 1
Рівняння з двома змінними $x$ і $y$ називається рівнянням лінії $L$, якщо цьому рівнянню задовольняють координати будь-якої точки, що належить лінії $L$ і не задовольняє жодна точка, що не належить лінії $L.$
Рівняння кола
Виведемо рівняння кола в декартовій системі координат $xOy$. Нехай центр кола $C$ має координати $(x_0,y_0)$, а радіус кола дорівнює $r$. Нехай точка $ M $ з координатами $ (x, y) $ - довільна точка цього кола (рис. 2).
Малюнок 2. Окружність у декартовій системі координат
Відстань від центру кола до точки $M$ обчислюється так
Але оскільки $M$ лежить на колі, то отримуємо $CM=r$. Тоді отримаємо наступне
Рівняння (1) і є рівняння кола з центром у точці $(x_0,y_0)$ та радіусом $r$.
Зокрема, якщо центр кола збігається із початком координат. То рівняння кола має вигляд
Рівняння прямої.
Виведемо рівняння прямої $l$ у декартовій системі координат $xOy$. Нехай точки $A$ і $B$ мають координати $\left\(x_1,\ y_1\right\)$ і $\(x_2,\ y_2\)$ відповідно, причому точки $A$ і $B$ обрані так, що пряма $l$ - серединний перпендикуляр до відрізка $AB$. Виберемо довільну точку $M=\(x,y\)$, що належить прямій $l$ (рис. 3).
Оскільки пряма $l$ - серединний перпендикуляр до відрізка $AB$, точка $M$ рівновіддалена від кінців цього відрізка, тобто $AM=BM$.
Знайдемо довжини даних сторін за формулою відстані між точками:
Отже
Позначимо через $ a = 2 \ left (x_1-x_2 \ right), \ b = 2 \ left (y_1-y_2 \ right), \ c = (x_2) ^ 2 + (y_2) ^ 2- (x_1) ^ 2 -(y_1)^2$, Отримуємо, що рівняння прямої в декартовій системі координат має наступний вигляд:
Приклад завдання на знаходження рівнянь ліній у системі декартової координат
Приклад 1
Знайти рівняння кола з центром у точці $ (2, 4) $. Проходить через початок координат і пряму, паралельну до осі $Ox,$ проходить через її центр.
Рішення.
Знайдемо спочатку рівняння цього кола. Для цього будемо використовувати загальне рівняння кола (виведене вище). Так як центр кола лежить у точці $ (2, 4) $, отримаємо
\[((x-2))^2+((y-4))^2=r^2\]
Знайдемо радіус кола як відстань від точки $(2,4)$ до точки $(0,0)$
Отримуємо, рівняння кола має вигляд:
\[((x-2))^2+((y-4))^2=20\]
Знайдемо тепер рівняння кола, використовуючи окремий випадок 1. Отримаємо
Коломназивається безліч точок площини, рівновіддалених від цієї точки, яка називається центром.
Якщо точка С – центр кола, R – її радіус, а М – довільна точка кола, то за визначенням кола
Рівність (1) є рівняння коларадіуса R із центром у точці С.
Нехай на площині задана прямокутна декартова системакоординат (рис. 104) та точка С( а; b) - Центр кола радіуса R. Нехай М( х; у) - довільна точка цього кола.
Оскільки |СМ| = \(\sqrt((x - a)^2 + (у - b)^2) \), то рівняння (1) можна записати так:
\(\sqrt((x - a)^2 + (у - b)^2) \) = R
(x - a) 2 + (у - b) 2 = R 2 (2)
Рівняння (2) називають загальним рівняннямколаабо рівнянням кола радіуса R з центром у точці ( а; b). Наприклад, рівняння
(x - l) 2 + ( y + 3) 2 = 25
є рівняння кола радіуса R = 5 із центром у точці (1; -3).
Якщо центр кола збігається з початком координат, то рівняння (2) набуває вигляду
x 2 + у 2 = R2. (3)
Рівняння (3) називають канонічним рівнянням кола .
Завдання 1.Написати рівняння кола радіуса R = 7 із центром на початку координат.
Безпосереднім підстановленням значення радіуса в рівняння (3) отримаємо
x 2 + у 2 = 49.
Завдання 2.Написати рівняння кола радіуса R = 9 із центром у точці С(3; -6).
Підставивши значення координат точки С та значення радіуса у формулу (2), отримаємо
(х - 3) 2 + (у- (-6)) 2 = 81 або ( х - 3) 2 + (у + 6) 2 = 81.
Завдання 3.Знайти центр і радіус кола
(х + 3) 2 + (у-5) 2 =100.
Порівнюючи дане рівняння із загальним рівнянням кола (2), бачимо, що а = -3, b= 5, R = 10. Отже, С(-3; 5), R = 10.
Завдання 4.Довести, що рівняння
x 2 + у 2 + 4х - 2y - 4 = 0
є рівнянням кола. Знайти її центр та радіус.
Перетворимо ліву частину цього рівняння:
x 2 + 4х + 4- 4 + у 2 - 2у +1-1-4 = 0
(х + 2) 2 + (у - 1) 2 = 9.
Це рівняння є рівнянням кола з центром у точці (-2; 1); радіус кола дорівнює 3.
Завдання 5.Написати рівняння кола з центром у точці С(-1; -1), що стосується прямої АВ, якщо A (2; -1), B(- 1; 3).
Напишемо рівняння прямої АВ:
або 4 х + 3y-5 = 0.
Оскільки коло стосується цієї прямої, то радіус, проведений в точку торкання, перпендикулярний до цієї прямої. Для відшукання радіусу необхідно знайти відстань від точки С(-1; -1) - центру кола до прямої 4 х + 3y-5 = 0:
Напишемо рівняння шуканого кола
(x +1) 2 + (y +1) 2 = 144 / 25
Нехай у прямокутній системі координат дане коло x 2 + у 2 = R2. Розглянемо її довільну точку М( х; у) (рис. 105).
Нехай радіус-вектор OM> точки М утворює кут величини tз позитивним напрямом осі х, тоді абсцису та ординату точки М змінюються в залежності від t
(0 tх і у через t, знаходимо
x= R cos t ; y= R sin t , 0 t
Рівняння (4) називаються параметричними рівняннями кола з центром на початку координат.
Завдання 6.Окружність задана рівняннями
x= \(\sqrt(3)\)cos t, y= \(\sqrt(3)\)sin t, 0 t
Записати канонічне рівняння цього кола.
З умови випливає x 2 = 3 cos 2 t, у 2 = 3 sin 2 t. Складаючи ці рівності почленно, отримуємо
x 2 + у 2 = 3 (cos 2 t+ sin 2 t)
або x 2 + у 2 = 3