Написати рівняння площини, що проходить через точку. Рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно заданій прямій. Відстань до площини від точки

У цій статті ми поговоримо про те, як складається рівняння площини, що проходить через дану точкутривимірного простору перпендикулярно до заданої прямої. Спочатку розберемо принцип знаходження рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданої прямої, після чого докладно розберемо рішення характерних прикладівта завдань.

Навігація на сторінці.

Знаходження рівняння площини, що проходить через задану точку простору, перпендикулярно до заданої прямої.

Поставимо собі наступне завдання.

Нехай у тривимірному просторі зафіксована Oxyz, задана точка, пряма a і потрібно написати рівняння площини, що проходить через точку М1 перпендикулярно до прямої a.

Спершу згадаємо один важливий факт.

На уроках геометрії в середній школідоводиться теорема: через задану точку тривимірного простору проходить єдина площина, перпендикулярна до цієї прямої (доказ цієї теореми Ви можете знайти у підручнику геометрії за 10 -11 класи, вказаному у списку літератури наприкінці статті).

Тепер покажемо, як знаходиться рівняння цієї єдиної площини, що проходить через задану точку перпендикулярно заданій прямій.

За умови завдання нам дано координати x 1 , y 1 , z 1 точки М 1 , якою проходить площину . Тоді, якщо ми знайдемо координати нормального вектора площини, то зможемо скласти необхідне рівняння площини, яка проходить через задану точку перпендикулярно заданої прямої.

Приклади складання рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданої прямої.

Розглянемо рішення кількох прикладів, у яких перебуває рівняння площині, що проходить через задану точку простору перпендикулярно до заданої прямої.

приклад.

Напишіть рівняння площини, яка проходить через точку і перпендикулярна до координатної прямої Oz .

Рішення.

Напрямний вектор координатної прямої Oz , очевидно, є координатний вектор . Тоді нормальний вектор площини, рівняння якої потрібно скласти, має координати . Напишемо рівняння площини, що проходить через точку і має нормальний вектор з координатами:
.

Покажемо другий спосіб розв'язання цього завдання.

Площину, перпендикулярну до координатної прямої Oz задає неповне загальне рівнянням площини виду . Знайдемо значення З і D , у яких площина проходить через точку , підставивши координати цієї точки рівняння : . Таким чином, числа С та D пов'язані співвідношенням . Прийнявши C = 1, отримуємо D = -5. Підставляємо знайдені C=1 і D=-5 рівняння і отримуємо шукане рівняння площині, перпендикулярної до прямої Oz і проходить через точку . Воно має вигляд.

Відповідь:

приклад.

Напишіть рівняння площини, яка проходить через початок координат і перпендикулярна до прямої .

Рішення.

Так як площина, рівняння якої нам потрібно отримати, перпендикулярна до прямої то нормальним вектором площини можна прийняти напрямний вектор заданої прямої. Тоді . Залишилось написати рівняння площини, що проходить через точку і має нормальний вектор : . Це і шукане рівняння площини, що проходить через початок координат перпендикулярно до заданої прямої.

Відповідь:

приклад.

У прямокутній системі координат Oxyz у тривимірному просторі задані дві точки і . Площина проходить через точку А перпендикулярно до прямої АВ . Напишіть рівняння площини у відрізках.

Рішення.

Загальне рівняння площини, що проходить через точку і має нормальний вектор площини , запишеться як .

Залишилося перейти до необхідного рівняння площини у відрізках:

.

Відповідь:

У висновку зазначимо, що існують завдання, в яких потрібно написати рівняння площини, що проходить через задану точку і перпендикулярна до двох заданих площин, що перетинаються . По суті, рішення цього завдання зводиться до складання рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданої прямої, так як дві площини, що перетинаються, задають пряму лінію. У цьому випадку основну складність представляє процес пошуку координат нормального вектора площини, рівняння якої потрібно скласти.

Отже, вектор є нормальним вектором площини, перпендикулярної до прямої a. Напишемо рівняння площини, яка проходить через точку та має нормальний вектор :
.

Це і шукане рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданої прямої.

Відповідь:

Список літератури.

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Е.Г., Юдіна І.І. Геометрія. 7-9 класи: підручник для загальноосвітніх установ.
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Кисельова Л.С., Позняк Е.Г. Геометрія. Підручник для 10–11 класів середньої школи.
Погорєлов А.В., Геометрія. Підручник для 7-11 класів загальноосвітніх закладів.
Бугров Я.С., Микільський С.М. Вища математика. Том перший: елементи лінійної алгебри та аналітичної геометрії.
Ільїн В.А., Позняк Е.Г. Аналітична геометрія.

Розглянемо у просторі площину Q. Положення її цілком визначається завданням вектора N, перпендикулярного цій площині, і деякої фіксованої точки, що лежить у площині Q. Вектор N, перпендикулярний площині Q, називається нормальним вектором цієї площини. Якщо позначити через А, В та С проекції нормального вектора N, то

Виведемо рівняння площини Q, що проходить через дану точку і має нормальний вектор . Для цього розглянемо вектор, що з'єднує точку з довільною точкою площини Q (рис. 81).

За будь-якого положення точки М на площині Q вектор МХМ перпендикулярний до нормального вектора N площини Q. Тому скалярний твір Запишемо скалярний твір через проекції. Оскільки , а вектор , то

і, отже,

Ми показали, що координати будь-якої точки площини Q задовольняють рівняння (4). Неважко помітити, що координати точок, що не лежать на площині Q, цього рівняння не задовольняють (в останньому випадку). Отже, нами отримано шукане рівняння площини Q. Рівняння (4) називається рівнянням площини, що проходить цю точку. Воно першого ступеня щодо поточних координат

Отже, ми показали, що будь-якій площині відповідає рівняння першого ступеня щодо поточних координат.

Приклад 1. Написати рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно до вектора .

Рішення. Тут. На підставі формули (4) отримаємо

або, після спрощення,

Надаючи коефіцієнтам А, В і С рівняння (4) різні значення, ми можемо отримати рівняння будь-якої площини через точку . Сукупність площин, що проходять цю точку, називається зв'язкою площин. Рівняння (4), в якому коефіцієнти А, В і С можуть набувати будь-яких значень, називаються рівнянням зв'язки площин.

Приклад 2. Скласти рівняння площини, що проходить через три точки (рис. 82).

Рішення. Напишемо рівняння зв'язки площин, що проходять через точку

Ця стаття дає уявлення про те, як скласти рівняння площини, що проходить через задану точку тривимірного простору перпендикулярно заданій прямій. Розберемо наведений алгоритм з прикладу рішення типових завдань.

Знаходження рівняння площини, що проходить через задану точку простору перпендикулярно до заданої прямої

Нехай задано тривимірний простір та прямокутна система координат O x y z у ньому. Задано також точку М 1 (x 1 , y 1 , z 1) , пряма a і площина α , що проходить через точку М 1 перпендикулярно до прямої a . Необхідно записати рівняння площини α.

Перш ніж приступити до вирішення цього завдання, згадаємо теорему геометрії з програми 10 – 11 класів, яка свідчить:

Визначення 1

Через задану точку тривимірного простору проходить єдина площина перпендикулярна до заданої прямої.

Тепер розглянемо, як знайти рівняння цієї єдиної площині, що проходить через вихідну точку і перпендикулярної даної прямої.

Можна записати загальне рівняння площини, якщо відомі координати точки, що належить цій площині, а також координати нормального вектора площини.

Умовою завдання нам задані координати x1, y1, z1 точки М1, через яку проходить площину α. Якщо ми визначимо координати нормального вектора площини α, то отримаємо можливість записати рівняння, що шукається.

Нормальним вектором площини α , оскільки він ненульовий і лежить на прямій a , перпендикулярній площині α буде будь-який напрямний вектор прямий a . Так, завдання знаходження координат нормального вектора площини α перетворюється на завдання визначення координат напрямного вектора прямої a .

Визначення координат напрямного вектора прямої a може здійснюватися різними методами: залежить від варіанту завдання прямої a у вихідних умовах. Наприклад, якщо пряма a за умови завдання задана канонічними рівняннями виду

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

або параметричними рівняннями виду:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

то напрямний вектор прямий мати координати а x , а y і z . У разі, коли пряма a представлена двома точками М 2 (x 2 , y 2 , z 2) і М 3 (x 3 , y 3 , z 3) , то координати напрямного вектора визначатимуться як (x3 – x2, y3 – y2 , Z3 - Z2).

Визначення 2

Алгоритм для знаходження рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданої прямої:

Визначаємо координати напрямного вектора прямої a: a → = (а x, а y, а z) ;

Визначаємо координати нормального вектора площини як координати напрямного вектора прямої a:

n → = (A, B, C), де A = a x , B = a y , C = a z;

Записуємо рівняння площини, що проходить через точку М 1 (x 1 , y 1 , z 1) і має нормальний вектор n → = (A, B, C) як A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 . Це буде необхідним рівнянням площини, яка проходить через задану точку простору і перпендикулярна до даної прямої.

Отримане загальне рівняння площини: A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 дає можливість отримати рівняння площини у відрізках або нормальне рівняння площини.

Розв'яжемо кілька прикладів, використовуючи отриманий вище алгоритм.

Приклад 1

Задана точка М 1 (3 , - 4 , 5) , через яку проходить площину, і ця площина перпендикулярна до координатної прямої Про z .

Рішення

напрямним вектором координатної прямої O z буде координатний вектор k ⇀ = (0, 0, 1). Отже, нормальний вектор площини має координати (0, 0, 1). Запишемо рівняння площини, що проходить через задану точку М 1 (3, - 4, 5), нормальний вектор якої має координати (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 · (x - 3) + 0 · (y - (- 4)) + 1 · (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Відповідь: z - 5 = 0 .

Розглянемо ще один спосіб вирішити це завдання:

Приклад 2

Площина, яка перпендикулярна до прямої O z буде задана неповним загальним рівнянням площини виду З z + D = 0 , C ≠ 0 . Визначимо значення C та D: такі, при яких площина проходить через задану точку. Підставимо координати цієї точки в рівняння З + D = 0, отримаємо: З · 5 + D = 0 . Тобто. числа, C і D пов'язані співвідношенням - DC = 5 . Прийнявши З = 1, отримаємо D = -5.

Підставимо ці значення в рівняння З z + D = 0 і отримаємо необхідне рівняння площини, перпендикулярної до прямої O z і проходить через точку М 1 (3 - 4 5) .

Воно матиме вигляд: z – 5 = 0 .

Відповідь: z - 5 = 0 .

Приклад 3

Складіть рівняння площини, яка проходить через початок координат і перпендикулярна до прямої x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Рішення

Спираючись на умови завдання, можна стверджувати, що за нормальний вектор n → заданої площини можна прийняти напрямний вектор заданої прямої. Таким чином: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Запишемо рівняння площини, що проходить через точку О (0 , 0 , 0) і має нормальний вектор n → = (- 3 , - 7 , 2) :

3 · (x - 0) - 7 · (y - 0) + 2 · (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Ми отримали необхідне рівняння площини, яка проходить через початок координат перпендикулярно заданій прямій.

Відповідь:- 3 x - 7 y + 2 z = 0

Приклад 4

Задано прямокутну систему координат O x y z у тривимірному просторі, в ній – дві точки А (2 , - 1 , - 2) і B (3 , - 2 , 4) . Площина проходить через точку A перпендикулярно до прямої А В. Необхідно скласти рівняння площини у відрізках.

Рішення

Площина α перпендикулярна до прямої АВ, тоді вектор АВ → буде нормальним вектором площини α . Координати цього вектора визначаються як різниці відповідних координат точок В (3, - 2, 4) і А (2, - 1, - 2):

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Загальне рівняння площини буде записано у такому вигляді:

1 · x - 2 - 1 · y - (- 1 + 6 · (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Тепер складемо шукане рівняння площини у відрізках:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Відповідь:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Також слід зазначити, що зустрічаються завдання, вимога яких – написати рівняння площини, яка проходить через задану точку і перпендикулярна до двох заданих площин. Загалом, розв'язання цієї задачі в тому, щоб скласти рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданої прямої, тому що. дві площини, що перетинаються, задають пряму лінію.

Приклад 5

Задано прямокутну систему координат O x y z , у ній – точка М 1 (2 , 0 , - 5) . Задано також рівняння двох площин 3 x + 2 y + 1 = 0 і x + 2 z – 1 = 0 , які перетинаються прямою a . Необхідно скласти рівняння площини, що проходить через точку М1 перпендикулярно до прямої a.

Рішення

Визначимо координати напрямного вектора прямої a. Він перпендикулярний як до нормального вектора n 1 → (3 , 2 , 0) площини n → (1 , 0 , 2) , так і до нормального вектора 3 x + 2 y + 1 = 0 площини x + 2 z - 1 = 0 .

Тоді напрямним вектором α → прямий a візьмемо векторний витвірвекторів n 1 → і n 2 → :

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 · i → - 6 · j → - 2 · k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Таким чином, вектор n → = (4 , - 6 , - 2) буде нормальним вектором площини перпендикулярної до прямої a . Запишемо шукане рівняння площини:

4 · (x - 2) - 6 · (y - 0) - 2 · (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Відповідь: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Щоб отримати загальне рівняння площини, розберемо площину через задану точку.

Нехай у просторі є три вже відомі нам осі координат - Ox, Ойі Oz. Потримаємо аркуш паперу так, щоб він залишався пласким. Площиною буде сам лист та його продовження у всіх напрямках.

Нехай Pдовільна площина у просторі. Кожен перпендикулярний їй вектор називається вектором нормалі до цієї поверхні. Звичайно, йдеться про ненульовий вектор.

Якщо відома якась точка площини Pі якийсь вектор нормалі до неї, то цими двома умовами площину у просторі цілком визначено(через задану точку можна провести єдину площину перпендикулярну даному вектору). Загальне рівняння площини матиме вигляд:

Отже, умови, якими задається рівняння площини, є. Щоб отримати саме рівняння площини, що має наведений вище вигляд, візьмемо на площині Pдовільну точку M зі змінними координатами x, y, z. Ця точка належить площині лише у тому випадку, коли вектор перпендикулярний вектор(Рис. 1). Для цього, згідно з умовою перпендикулярності векторів, необхідно і достатньо, щоб скалярний добуток цих векторів дорівнював нулю, тобто

Вектор задано за умовою. Координати вектора знайдемо за формулою :

Тепер, використовуючи формулу скалярного твору векторів , Виразимо скалярне твір в координатній формі:

Бо точка M(x; y; z)обрана на площині довільно, то останньому рівнянню задовольняють координати будь-якої точки, що лежить на площині P. Для точки N, що не лежить на заданій площині, тобто. рівність (1) порушується.

приклад 1.Скласти рівняння площини, яка проходить через точку та перпендикулярна вектору .

Рішення. Використовуємо формулу (1), ще раз подивимося на неї:

У цій формулі числа A , Bі Cкоординати вектора , а числа x0 , y0 і z0 - координати точки.

Обчислення дуже прості: підставляємо ці числа у формулу та отримуємо

Множимо все, що потрібно помножити і складаємо просто числа (які без літер). Результат:

Необхідне рівняння площини у цьому прикладі виявилося загальним рівнянням першого ступеня щодо змінних координат x, y, zдовільної точки площини.

Отже, рівняння виду

називається загальним рівнянням площини .

приклад 2.Побудувати у прямокутній декартовій системікоординат площину, задану рівнянням .

Рішення. Для побудови площини необхідно і достатньо знати якісь три її точки, що не лежать на одній прямій, наприклад, точки перетину площини з осями координат.

Як знайти ці точки? Щоб знайти точку перетину з віссю Oz, потрібно в рівняння, дане в умові завдання, замість ікс та ігрека підставити нулі: x = y= 0. Тому отримуємо z= 6 . Таким чином, задана площина перетинає вісь Ozу точці A(0; 0; 6) .

Так само знаходимо точку перетину площини з віссю Ой. При x = z= 0 отримуємо y= −3 , тобто точку B(0; −3; 0) .

І, нарешті, знаходимо точку перетину нашої площини з віссю Ox. При y = z= 0 отримаємо x= 2 , тобто точку C(2; 0; 0) . За трьома отриманими в нашому рішенні точками A(0; 0; 6) , B(0; −3; 0) та C(2; 0; 0) будуємо задану площину.

Розглянемо тепер окремі випадки загального рівнянняплощині. Це випадки, коли ті чи інші коефіцієнти рівняння (2) перетворюються на нуль.

1. При D = 0 рівняння визначає площину, що проходить через початок координат, оскільки координати точки 0 (0; 0; 0) задовольняють цього рівняння.

2. При A = 0 рівняння визначає площину, паралельну осі Ox, оскільки вектор нормалі цієї площини перпендикулярний до осі. Ox(його проекція на вісь Oxдорівнює нулю). Аналогічно, при B = 0 площина паралельна осі Ой, а при C = 0 площина паралельна осі Oz.

3. При A = D = 0 рівняння визначає площину, що проходить через вісь Oxоскільки вона паралельна осі Ox (A =D = 0). Аналогічно, площина проходить через вісь Ой, а площина через вісь Oz.

4. При A = B = 0 рівняння визначає площину, паралельну координатній площині xOyоскільки вона паралельна осям Ox (A= 0) та Ой (B= 0). Аналогічно, площина паралельна площині yOz, а площина - площині xOz.

5. При A = B = D = 0 рівняння (або z = 0) визначає координатну площину xOyоскільки вона паралельна площині xOy (A = B = 0) і проходить через початок координат ( D = 0). Аналогічно, рівняння y = 0 у просторі визначає координатну площину xOz, а рівняння x = 0 - координатну площину yOz.

приклад 3.Скласти рівняння площини P, що проходить через вісь Ойі точку.

Рішення. Отже, площина проходить через вісь Ой. Тому в її рівнянні y= 0 і це рівняння має вигляд. Для визначення коефіцієнтів Aі Cскористаємося тим, що точка належить площині P .

Тому серед її координат є такі, які можна підставити в рівнянні площини, що ми вже вивели (). Дивимося ще раз на координати точки:

M0 (2; −4; 3) .

Серед них x = 2 , z= 3. Підставляємо їх у рівняння загального виглядуі отримуємо рівняння для нашого окремого випадку:

2A + 3C = 0 .

Залишаємо 2 Aу лівій частині рівняння, переносимо 3 Cу праву частину та отримуємо

A = −1,5C .

Підставивши знайдене значення Aв рівняння, отримаємо

або .

Це і є рівняння, необхідне за умови прикладу.

Вирішити завдання на рівняння площини самостійно, а потім переглянути рішення

приклад 4.Визначити площину (або площини, якщо більше однієї) щодо координатних осей або координатних площин, якщо площина задана рівнянням .

Вирішення типових завдань, які бувають на контрольні роботи- у посібнику "Завдання на площину: паралельність, перпендикулярність, перетин трьох площин в одній точці" .

Рівняння площини, що проходить через три точки

Як уже згадувалося, необхідною і достатньою умовою для побудови площини, крім однієї точки та вектора нормалі, є також три точки, що не лежать на одній прямій.

Нехай дані три різні точки , і , що не лежать на одній прямій. Так як зазначені три точки не лежать на одній прямій, вектори і не колінеарні, а тому будь-яка точка площини лежить в одній площині з точками , і тоді і тільки тоді, коли вектори , і компланарні, тобто. тоді і лише тоді, коли змішаний твір цих векторіводно нулю.