Поверхні другого порядку– це поверхні, які у прямокутній системі координат визначаються алгебраїчними рівняннямидругого ступеня.
1. Еліпсоїд.
Еліпсоїдом називається поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат визначається рівнянням:Рівняння (1) називається канонічним рівнянням еліпсоїда.
Встановимо геометричний вигляд еліпсоїда. Для цього розглянемо перерізи даного еліпсоїда площинами, паралельними площині. Окси.Кожна з таких площин визначається рівнянням виду z=h, де h– будь-яке число, а лінія, яка виходить у перерізі, визначається двома рівняннями
(2)Досліджуємо рівняння (2) при різних значеннях h .
> c(c>0), то і рівняння (2) визначають уявний еліпс, тобто точок перетину площини z=hз цим еліпсоїдом не існує. , то і лінія (2) вироджується у крапки (0; 0; + c) та (0; 0; - c) (площини стосуються еліпсоїда). , то рівняння (2) можна подати у виглядізвідки випливає, що площина z=hперетинає еліпсоїд еліпсом з півосями
та . При зменшенні значення і збільшуються та досягають своїх найбільших значеньпри , тобто в перерізі еліпсоїда координатною площиною Oxyвиходить найбільший еліпс з півосями та .Аналогічна картина виходить і при перетині даної поверхні площинами, паралельними координатним площинам. Oxzі Oyz.
Таким чином, розглянуті перерізи дозволяють зобразити еліпсоїд як замкнуту овальну поверхню (рис. 156). Величини a, b, cназиваються півосямиеліпсоїда. В разі a=b=cеліпсоїд є сферой.
2. Односмуговий гіперболоїд.
Односмуговим гіперболоїдом називається поверхня, яка у певній прямокутній системі координат визначається рівнянням (3)Рівняння (3) називається канонічним рівнянням односмугового гіперболоїду.
Встановимо вигляд поверхні (3). Для цього розглянемо перетин координатними площинами. Oxy (y=0)іOyx (x = 0).Отримуємо відповідно рівняння
іТепер розглянемо перерізи даного гіперболоїда площинами z = h, паралельними координатній площині. Oxy. Лінія, що виходить у перерізі, визначається рівняннями
або (4)з яких випливає, що площина z=h перетинає гіперболоїд еліпсом з півосями
і ,досягають своїх найменших значеньпри h = 0, тобто. у перерізі даного гіперболоїда координатною віссю Oxy виходить найменший еліпс із півосями a*=a та b*=b. При нескінченному зростанні
величини a* та b* зростають нескінченно.Таким чином, розглянуті перерізи дозволяють зобразити односмуговий гіперболоїд у вигляді нескінченної трубки, що нескінченно розширюється при віддаленні (по обидва боки) від площини Oxy.
Величини a, b, c називаються півосями односмугового гіперболоїду.
3. Двопорожнинний гіперболоїд.
Двопорожнинним гіперболоїдом називається поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат визначається рівнянням
Рівняння (5) називається канонічним рівнянням двопорожнинного гіперболоїду.
Встановимо геометричний вигляд поверхні (5). Для цього розглянемо його переріз координатними площинами Oxy та Oyz. Отримуємо відповідно рівняння
із яких випливає, що у перерізах виходять гіперболи.
Тепер розглянемо перерізи даного гіперболоїда площинами z = h, паралельними координатній площині Oxy. Лінія, отримана у перерізі, визначається рівняннями
або (6)з яких випливає, що за
>c (c>0) площину z=h перетинає гіперболоїд еліпсом з півосями і . У разі збільшення величини a* і b* теж збільшуються. рівнянням (6) задовольняють координати двох точок: (0;0;+с) і (0;0;-с) (площини стосуються даної поверхні). рівняння (6) визначають уявний еліпс, тобто. точок перетину площини z=h з даним гіперболоїдом немає.Величина a, b та c називаються півосями двопорожнинного гіперболоїда.
4. Еліптичний параболоїд.
Еліптичним параболоїдом називається поверхня, яка у певній прямокутній системі координат визначається рівнянням
(7)де p>0 та q>0.
Рівняння (7) називається канонічним рівнянням еліптичного параболоїду.
Розглянемо перерізи даної поверхні координатними площинами Oxy та Oyz. Отримуємо відповідно рівняння
із яких випливає, що у перерізах виходять параболи, симетричні щодо осі Oz, з вершинами на початку координат. (8)
у тому числі випливає, що з . При збільшенні величини h і b теж збільшуються; при h = 0 еліпс вироджується в точку (площина z = 0 стосується даного гіперболоїда). При h<0 уравнения (8) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом нет.
Таким чином, розглянуті перерізи дозволяють зобразити еліптичний параболоїд у вигляді нескінченно опуклої чаші.
Крапка (0; 0; 0) називається вершиною параболоїда; числа p та q – його параметрами.
У разі p=q рівняння (8) визначає коло із центром на осі Oz, тобто. еліптичний параболоїд можна розглядати як поверхню, утворену обертанням параболи навколо її осі (параболоїд обертання).
5. Гіперболічний параболоїд.
Гіперболічним параболоїдом називається поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат визначається рівнянням
(9)Конічною поверхнею називається поверхня, утворена прямими - утворюючими конуса, - що проходять через дану точку - вершину конуса - і перетинають цю лінію - спрямовуючу конуса. Нехай напрямна конуса має рівняння
а вершина конуса має координати Канонічні рівняння, що утворюють конуса як прямих, що проходять через точку ) і через точку напрямної, будуть;
Виключаючи х, у та z з чотирьох рівнянь (3) і (4), отримаємо шукане рівняння конічної поверхні. Це рівняння має дуже просту властивість: воно однорідне (тобто всі його члени одного виміру) щодо різниць. Справді, допустимо спершу, що вершина конуса знаходиться на початку координат. Нехай X, У та Z - координати будь-якої точки конуса; вони задовольняють, отже, рівняння конуса. Після заміни в рівнянні конуса X, У і Z відповідно через XX, ХУ, XZ, де X - довільний множник, рівняння має задовольнятися, тому що XX, ХУ та XZ суть координати точки прямої, що проходить через початок координат у точку , тобто утворює конуса. Отже, рівняння конуса не зміниться, якщо всі поточні координати помножимо на одне число X. Звідси випливає, що це рівняння має бути однорідним щодо поточних координат.
У разі, якщо вершина конуса лежить у точці, ми перенесемо початок координат у вершину, і за доведеним перетвореним рівнянням конуса буде однорідно щодо ноних координат, тобто відносно
приклад. Скласти рівняння конуса з вершиною на початку координат і спрямовуючою
Канонічні рівняння утворюють, що проходять через вершину (0, 0, С) конуса та точку напрямної, будуть:
Виключимо х, у та з чотирьох даних рівнянь. Замінюючи через с, визначимо і з останніх двох рівнянь.
Визначення 1.Конічною поверхнею або конусом з вершиною в точці М 0 називається поверхня, утворена усіма прямими, кожна з яких проходить через точку М 0 і через точку лінії γ. Точка М 0 називається вершиною конуса, лінія - напрямної. Прямі, що проходять через вершину конуса і лежать на ньому, називаються утворюючими конуса.
Теорема.Поверхня 2-го порядку з канонічним рівнянням
є конусом з вершиною на початку координат, спрямовує яку служить еліпс
Доведення.
Нехай M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) - деяка точка поверхні α, відмінна від початку координат; ?=ОM 1 – пряма, M (x; y; z) належить?. Оскільки | | , те, що таке
Оскільки її координати x 1 ; y 1; z 1 задовольняють рівняння (1). Враховуючи умови (3), маємо, де t ≠ 0. Розділивши обидві частини рівняння на t 2 ≠ 0 отримаємо, що координати довільної точки M (x; y; z) прямий m=ОМ 1 задовольняють рівняння (1). Йому також задовольняють координати точки О(0,0,0).
Таким чином, будь-яка точка M (x; y; z) прямий m = OM 1 лежить на поверхні α з рівнянням (1), тобто пряма ОМ 1 = m - прямолінійна утворює поверхні α.
Розглянемо тепер переріз поверхні α площиною, паралельної площині Oxy з рівнянням z = c ≠ 0:
Цей переріз є еліпсом із півосями аі b. Отже, вона перетинає цей еліпс. Згідно з визначенням 1 поверхня є конусом з вершиною Про(0,0,0) (Всі прямі m проходять через початок координат); утворюють цього конуса є прямі m, напрямна – вказаний вище еліпс.
Теорему доведено.
Визначення 2.Поверхня 2-го порядку з канонічним рівнянням (1) називається конусом другого порядку.
Властивості конуса 2-го порядку.
1ºКонус з рівнянням (1) симетричний щодо всіх координатних площин, всіх координатних осей та початку координат (оскільки всі змінні містяться в рівнянні (1) у другому ступені).
2ºУсі координатні осі мають з конусом (1) єдину загальну точку – початок координат, яка служить його вершиною та центром одночасно
3ºПеретин конуса (1) площинами Oxzі Oyz- пари перетинаються на початку координат прямих; площиною Oxy- крапка Про(0,0,0).
4ºПерерізи конуса (1) площинами, паралельними координатним площинам, але з ними, є або еліпсами, або гіперболами.
5ºЯкщо а = b, то ці еліпси є колами, а сам конус – поверхнею обертання. Він називається у разі круговим конусом.
Визначення 3: конічним перерізом називається лінія по якій перетинається круговий конус з довільною площиною, що не проходить через його вершину. Таким чином, канонічними перерізами є еліпс, гіпербола та парабола.
З тією відмінністю, що замість «плоських» графіків ми розглянемо найпоширеніші просторові поверхні, а також навчимося грамотно будувати їх від руки. Я досить довго підбирав програмні засоби для побудови тривимірних креслень і знайшов пару непоганих додатків, але, незважаючи на зручність використання, ці програми погано вирішують важливе практичне питання. Справа в тому, що в найближчому історичному майбутньому студенти, як і раніше, будуть озброєні лінійкою з олівцем, і, навіть маючи якісний «машинний» креслення, багато хто не зможе коректно перенести його на картатий папір. Тому в методичці особливу увагу приділено техніці ручної побудови, і значна частина ілюстрацій сторінки є handmade-продуктом.
Чим відрізняється цей довідковий матеріал від аналогів?
Маючи пристойний практичний досвід, я дуже добре знаю, з якими поверхнями найчастіше доводиться мати справу в реальних завданнях вищої математики, і сподіваюся, що ця стаття допоможе вам у найкоротші терміни поповнити свій багаж відповідними знаннями та прикладними навичками, яких у 90-95% випадків має вистачити.
Що потрібно вміти зараз?
Найпростіше:
По-перше, необхідно вміти правильно будуватипросторову декартову систему координат (Див. початок статті Графіки та властивості функцій) .
Що ви придбаєте після прочитання цієї статті?
Пляшку Після освоєння матеріалів уроку ви навчитеся швидко визначати тип поверхні за її функцією та/або рівнянням, уявляти, як вона розташована в просторі, і, звичайно ж, виконувати креслення. Нічого страшного, якщо не все впаде в голові з одного прочитання - до будь-якого параграфа при необхідності завжди можна повернутися пізніше.
Інформація під силу кожному – для її освоєння не потрібно якихось надзнань, особливого художнього таланту та просторового зору.
Починаємо!
На практиці просторова поверхня зазвичай задається функцією двох зміннихабо рівнянням виду (Константа правої частини найчастіше дорівнює нулю або одиниці). Перше позначення більше притаманно математичного аналізу, друге – для аналітичної геометрії. Рівняння , по суті, є неявно заданоюфункцією 2 змінних, яку у типових випадках легко привести до вигляду . Нагадую найпростіший приклад з:
–рівняння площинивиду.
- функція площини в явному вигляді .
Давайте з неї і почнемо:
Поширені рівняння площин
Типові варіанти розташування площин у прямокутній системі координат детально розглянуті на початку статті Рівняння площини. Тим не менш, ще раз зупинимося на рівняннях, які мають велике значення для практики.
Перш за все, ви повинні на повному автоматі пізнавати рівняння площин, які є паралельними координатним площинам . Фрагменти площин стандартно зображують прямокутниками, які в останніх двох випадках виглядають як паралелограми. За умовчанням розміри можна вибрати будь-які (в розумних межах, звичайно), при цьому бажано, щоб точка, в якій координатна вісь «протикає» площину, була центром симетрії: 
Строго кажучи, координатні осі місцями слід було зобразити пунктиром, але щоб уникнути плутанини нехтуватимемо цим нюансом.
– (лівий креслення)нерівність задає далекий від нас напівпростір, виключаючи саму площину;
– (Середній креслення)нерівність задає праве напівпростір, включаючи площину;
– (Правий креслення)подвійна нерівність задає «шар», розташований між площинами, включаючи обидві площини.
Для самостійної розминки:
Приклад 1
Зобразити тіло, обмежене площинами
Скласти систему нерівностей, що визначають це тіло.
З-під грифеля вашого олівця має вийти старий знайомий прямокутний паралелепіпед. Не забувайте, що невидимі ребра та грані потрібно прокреслити пунктиром. Готовий креслення наприкінці уроку.
Будь ласка, НЕ ЗНЕБЕРАЙТЕнавчальними завданнями, навіть якщо вони здаються надто простими. А то може статися, раз пропустили, два пропустили, а потім витратили биту годину, вимучуючи тривимірне креслення в якомусь реальному прикладі. Крім того, механічна робота допоможе набагато ефективніше засвоїти матеріал та розвинути інтелект! Не випадково у дитячому садку та початковій школі дітей завантажують малюванням, ліпленням, конструкторами та іншими завданнями на дрібну моторику пальців. Вибачте за відступ, не пропадати ж моїм двома зошитами за віковою психологією =)
Наступну групу площин умовно назвемо "прямими пропорційностями" - це площини, що проходять через координатні осі:
2) рівняння виду задає площину, що проходить через вісь;
3) рівняння виду задає площину, що проходить через вісь.
Хоча формальна ознака очевидна (яка змінна відсутня у рівнянні – через ту вісь і проходить площину), завжди корисно розуміти суть подій, що відбуваються:
Приклад 2
Побудувати площину
Як краще здійснити побудову? Пропоную наступний алгоритм:
Спочатку перепишемо рівняння у вигляді , з якого добре видно, що «Ігрек» може приймати будь-якізначення. Зафіксуємо значення , тобто розглядатимемо координатну площину . Рівняння задають просторову пряму, що лежить у цій координатній площині. Зобразимо цю лінію на кресленні. Пряма проходить через початок координат, тому для її побудови достатньо знайти одну точку. Нехай. Відкладаємо крапку та проводимо пряму.
Тепер повертаємось до рівняння площини. Оскільки «гравець» приймає будь-якізначення, то побудована у площині пряма безперервно «тиражується» вліво та вправо. Саме так і утворюється наша площина, що проходить через вісь. Щоб завершити креслення, ліворуч і праворуч від прямої відкладаємо дві паралельні лінії та поперечними горизонтальними відрізками «замикаємо» символічний паралелограм: 
Так як умова не накладала додаткових обмежень, то фрагмент площини можна було зобразити трохи менших або більших розмірів.
Ще раз повторимо зміст просторової лінійної нерівності на прикладі. Як визначити напівпростір, який він ставить? Беремо якусь точку, не належитьплощині, наприклад, точку з ближнього до нас напівпростору і підставляємо її координати в нерівність:
Отримано правильна нерівність, Отже, нерівність задає нижній (щодо площині) напівпростір, при цьому сама площина не входить у рішення.
Приклад 3
Побудувати площини
а);
б).
Це завдання для самостійної побудови, у разі складнощів використовуйте аналогічні міркування. Короткі вказівки та креслення наприкінці уроку.
Насправді особливо поширені площини, паралельні осі . Окремий випадок, коли площина проходить через вісь, щойно був у пункті «бе», і зараз ми розберемо загальне завдання:
Приклад 4
Побудувати площину
Рішення: в рівняння в явному вигляді не бере участь змінна «зет», а значить, площина паралельна осі аплікат. Застосуємо ту ж техніку, що й у попередніх прикладах.
Перепишемо рівняння площини у вигляді 
з якого зрозуміло, що «зет» може приймати будь-якізначення. Зафіксуємо і в «рідній» площині накреслимо звичайну «плоску» пряму. Для її побудови зручно взяти опорні точки.
Оскільки «зет» приймає Усезначення, то побудована пряма безперервно «розмножується» вгору і вниз, утворюючи цим шукану площину 
. Акуратно оформляємо паралелограм розумної величини: 
Готово.
Рівняння площини у відрізках
Найважливіший прикладний різновид. Якщо Усекоефіцієнти загального рівняння площини відмінні від нуля, то воно представимо у вигляді 
, який називається рівнянням площини у відрізках. Очевидно, що площина перетинає координатні осі в точках і велика перевага такого рівняння полягає в легкості побудови креслення:
Приклад 5
Побудувати площину
Рішення: спочатку складемо рівняння площини у відрізках. Перекинемо вільний член праворуч і розділимо обидві частини на 12: 
Ні, тут не друкарська помилка і всі справи відбуваються саме в просторі! Досліджуємо запропоновану поверхню тим самим методом, що нещодавно використовували для площин. Перепишемо рівняння у вигляді 
, з якого випливає, що «зет» приймає будь-якізначення. Зафіксуємо і побудуємо у площині еліпс. Оскільки «зет» приймає Усезначення, то побудований еліпс безперервно «тиражується» вгору та вниз. Легко зрозуміти, що поверхня нескінченна:
Ця поверхня називається еліптичним циліндром. Еліпс (на будь-якій висоті) називається спрямовуючоюциліндра, а паралельні прямі, що проходять через кожну точку еліпса, називаються утворюючимициліндра (які у буквальному значенні слова його і утворюють). Вісь є віссю симетріїповерхні (але не її частиною!).
Координати будь-якої точки, що належить даній поверхні, обов'язково задовольняють рівняння 
.
Просторовенерівність задає «начинку» нескінченної «труби», включаючи саму циліндричну поверхню, і, відповідно, протилежна нерівність визначає безліч точок поза циліндром.
У практичних завданнях найбільш популярний окремий випадок, коли спрямовуючоюциліндра є коло:
Приклад 8
Побудувати поверхню, задану рівнянням
Нескінченну «трубу» зобразити неможливо, тому мистецтва обмежуються, як правило, «обрізанням».
Спочатку зручно побудувати коло радіусу в площині, а потім ще пару кіл зверху і знизу. Отримані кола ( напрямніциліндра) акуратно з'єднуємо чотирма паралельними прямими ( утворюючимициліндра): 
Не забуваймо використовувати пунктир для невидимих нам ліній.
Координати будь-якої точки, що належить даному циліндру, задовольняють рівняння 
. Координати будь-якої точки, що лежить суворо всередині «труби», задовольняють нерівність 
, а нерівність 
задає безліч точок зовнішньої частини. Для кращого розуміння рекомендую розглянути кілька конкретних точок простору та переконатися у цьому самостійно.
Приклад 9
Побудувати поверхню та знайти її проекцію на площину
Перепишемо рівняння у вигляді 
з якого випливає, що «ікс» приймає будь-якізначення. Зафіксуємо і в площині зобразимо коло- З центром на початку координат, одиничного радіусу. Оскільки «ікс» безперервно приймає Усезначення, то побудоване коло породжує круговий циліндр із віссю симетрії . Малюємо ще одне коло ( спрямовуючуциліндра) і акуратно з'єднуємо їх прямими ( утворюючимициліндра). Місцями вийшли накладки, але що робити, такий нахил: 
Цього разу я обмежився шматочком циліндра на проміжку, і це не випадково. Насправді часто й потрібно зобразити лише невеликий фрагмент поверхні.
Тут, до речі, вийшло 6 утворюючих – дві додаткові прямі «закривають» поверхню з лівого верхнього та правого нижнього кутів.
Тепер знаємо проекцію циліндра на площину. Багато читачів розуміють, що таке проекція, проте проведемо чергову фізкульт-п'ятихвилинку. Будь ласка, встаньте і схиліть голову над кресленням так, щоб вістря осі дивилося перпендикулярно вам у чоло. Те, чим з цього ракурсу здається циліндр – і є його проекція на площину. А здається він нескінченною смугою, укладеною між прямими, включаючи самі прямі. Ця проекція – це точно область визначенняфункцій (верхній "жолоб" циліндра), (нижній "жолоб").
Давайте, до речі, прояснимо ситуацію і з проекціями на інші координатні площини. Нехай промені сонця світять на циліндр з боку вістря і вздовж осі. Тінню (проекцією) циліндра на площину є аналогічна нескінченна смуга – частина площини, обмежена прямими ( – будь-яке), включаючи самі прямі.
А ось проекція на площину дещо інша. Якщо дивитися на циліндр з вістря осі, то він спроектується в коло одиничного радіусу. 
, з якої ми починали побудову.
Приклад 10
Побудувати поверхню та знайти її проекції на координатні площини
Це завдання самостійного рішення. Якщо умова не дуже зрозуміла, зведіть обидві частини квадрат і проаналізуйте результат; з'ясуйте, яку саме частину циліндра задає функція . Використовуйте методику побудови, яка неодноразово застосовувалася вище. Коротке рішення, креслення та коментарі наприкінці уроку.
Еліптичні та інші циліндричні поверхні можуть бути зміщені щодо координатних осей, наприклад:
(за знайомими мотивами статті про лініях 2-го порядку)
- Циліндр одиничного радіусу з лінією симетрії, що проходить через точку паралельно осі. Однак на практиці подібні циліндри трапляються досить рідко, і зовсім неймовірно зустріти «косу» щодо координатних осей циліндричну поверхню.
Параболічні циліндри
Як випливає з назви, спрямовуючоютакого циліндра є парабола.
Приклад 11
Побудувати поверхню та знайти її проекції на координатні площини.
Не міг утриматись від цього прикладу =)
Рішення: йдемо второваною стежкою. Перепишемо рівняння у вигляді , з якого випливає, що «зет» може набувати будь-яких значень. Зафіксуємо і збудуємо звичайну параболу на площині, попередньо відзначивши тривіальні опорні точки. Оскільки «зет» приймає Усезначення, то побудована парабола безперервно «тиражується» вгору і вниз до безкінечності. Відкладаємо таку ж параболу, скажімо, на висоті (у площині) і акуратно з'єднуємо їх паралельними прямими ( утворюючими циліндра): 
Нагадую корисний технічний прийом: якщо спочатку немає впевненості як креслення, то лінії спочатку краще прокреслити тонко-тонко олівцем. Потім оцінюємо якість ескізу, з'ясовуємо ділянки, де поверхня прихована від наших очей, і тільки потім надаємо грифелю.
Проекції.
1) Проекцією циліндра на площину є парабола. Слід зазначити, що в даному випадку не можна міркувати про області визначення функції двох змінних- З тієї причини, що рівняння циліндра не призводить до функціонального вигляду .
2) Проекція циліндра на площину є напівплощиною, включаючи вісь
3) І, нарешті, проекцією циліндра на площину є вся площина.
Приклад 12
Побудувати параболічні циліндри:
а) обмежитися фрагментом поверхні в ближньому напівпросторі;
б) на проміжку
У разі труднощів не поспішаємо та міркуємо за аналогією з попередніми прикладами, благо, технологія досконально відпрацьована. Не критично, якщо поверхні виходитимуть трохи корявими – важливо правильно відобразити принципову картину. Я і сам особливо не морочуся над красою ліній, якщо вийшов стерпний креслення «на трієчку», зазвичай не переробляю. У зразку рішення, до речі, використано ще один прийом, що дозволяє покращити якість креслення;-)
Гіперболічні циліндри
Напрямнимитаких циліндрів є гіперболи. Цей тип поверхонь, за моїми спостереженнями, зустрічається значно рідше, ніж попередні види, тому я обмежуся єдиним схематичним кресленням гіперболічного циліндра: 
Принцип міркування тут такий самий – звичайна шкільна гіперболаз площини безперервно «розмножується» вгору та вниз до нескінченності.
Розглянуті циліндри відносяться до так званих поверхням 2-го порядку, і зараз ми продовжимо знайомитись з іншими представниками цієї групи:
Еліпсоїд. Сфера та куля
Канонічне рівняння еліпсоїда у прямокутній системі координат має вигляд 
, де - позитивні числа ( півосіеліпсоїда), які в загальному випадку різні. Еліпсоїдом називають як поверхня, так і тіло, обмежена цією поверхнею. Тіло, як багато хто здогадався, задається нерівністю 
і координати будь-якої внутрішньої точки (а також будь-якої точки поверхні) обов'язково задовольняють цю нерівність. Конструкція симетрична щодо координатних осей та координатних площин: 
Походження терміна «еліпсоїд» теж очевидне: якщо поверхню «розрізати» координатними площинами, то в перерізах вийдуть три різні (загалом)
