Розберемо два види розв'язання систем рівняння:

1. Рішення системи шляхом підстановки.
2. Рішення системи методом почленного складання (віднімання) рівнянь системи.

Для того, щоб вирішити систему рівнянь методом підстановкипотрібно слідувати простому алгоритму:
1. Висловлюємо. З будь-якого рівняння виражаємо одну змінну.
2. Підставляємо. Підставляємо в інше рівняння замість вираженої змінної отримане значення.
3. Вирішуємо отримане рівняння з однією змінною. Знаходимо рішення системи.

Для того щоб вирішити систему методом почленного складання (віднімання)потрібно:
1.Вибрати змінну у якої робитимемо однакові коефіцієнти.
2.Складаємо або віднімаємо рівняння, в результаті отримуємо рівняння з однією змінною.
3. Вирішуємо отримане лінійне рівняння. Знаходимо рішення системи.

Рішенням системи є точки перетину графіків функції.

Розглянемо докладно з прикладів рішення систем.

Приклад №1:

Вирішимо методом підстановки

Вирішення системи рівнянь методом підстановки

2x+5y=1 (1 рівняння)
x-10y=3 (2 рівняння)

1. Висловлюємо
Видно що у другому рівнянні є змінна x з коефіцієнтом 1, звідси виходить що найлегше висловити змінну x з другого рівняння.
x=3+10y

2.Після того, як висловили підставляємо в перше рівняння 3+10y замість змінної x.
2(3+10y)+5y=1

3. Вирішуємо отримане рівняння з однією змінною.
2(3+10y)+5y=1 (розкриваємо дужки)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Рішенням системи рівняння є точки перетинів графіків, отже нам потрібно знайти x і у, тому що точка перетину складається з x і y.Знайдемо x, в першому пункті де ми виражали туди підставляємо y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Точки прийнято записувати першому місці пишемо змінну x, але в другому змінну y.
Відповідь: (1; -0,2)

Приклад №2:

Вирішимо методом почленного складання (віднімання).

Рішення системи рівнянь шляхом складання

3x-2y=1 (1 рівняння)
2x-3y=-10 (2 рівняння)

1.Вибираємо змінну, припустимо, вибираємо x. У першому рівнянні у змінної x коефіцієнт 3, у другому 2. Потрібно зробити коефіцієнти однаковими, при цьому маємо право домножити рівняння чи розділити будь-яке число. Перше рівняння примножуємо на 2, а друге на 3 і отримаємо загальний коефіцієнт 6.

3x-2y = 1 | * 2
6x-4y = 2

2x-3y = -10 | * 3
6x-9y=-30

2.З першого рівняння віднімемо друге, щоб позбавитися від змінної x.Вирішуємо лінійне рівняння.
__6x-4y=2

5y = 32 | :5
y=6,4

3. Знаходимо x. Підставляємо у будь-яке з рівнянь знайдений y, допустимо у перше рівняння.
3x-2y=1
3x-2 * 6,4 = 1
3x-12,8 = 1
3x = 1 +12,8
3x = 13,8 |: 3
x = 4,6

Точкою перетину буде x = 4,6; y=6,4
Відповідь: (4,6; 6,4)

Хочеш готуватися до іспитів безкоштовно? Репетитор онлайн безкоштовно. Без жартів.

Рівняння– це рівність, у якому є одна чи кілька змінних.
Ми розглянемо випадок, коли в рівнянні одна змінна, тобто одна невідома кількість. По суті, рівняння - це вид математичної моделі. Тому в першу чергу рівняння необхідні для вирішення завдань.

Згадаймо, як складається математична модель на вирішення завдання.
Наприклад, у новому навчальному роцікількість учнів у школі №5 збільшилася вдвічі. Після того, як 20 учнів перейшли до іншої школи, загалом у школі №5 почало навчатися 720 учнів. Скільки учнів було торік?

Нам потрібно висловити те, що сказано за умови математичної мови. Нехай кількість учнів минулого року буде X. Тоді відповідно до умови завдання,
2X – 20 = 720. У нас вийшла математична модель, яка є рівняння з однією змінною. Якщо точніше, то це рівняння першого ступеня з одним змінним. Залишилось знайти його корінь.

Що таке корінь рівняння?

Те значення змінної, у якому наше рівняння звернеться в правильна рівністьназивається коренем рівняння. Бувають такі рівняння, які мають багато коренів. Наприклад, у рівнянні 2*X = (5-3)*X будь-яке значення X є коренем. А рівняння X = X +5 взагалі немає коренів, оскільки яке б ми підставили значення X, ми не вийде правильне рівність. Вирішити рівняння означає знайти все його коріння, або визначити, що воно не має коріння. Таким чином, щоб відповісти на наше запитання, потрібно вирішити рівняння 2X – 20 = 720.

Як розв'язувати рівняння з однією змінною?

Для початку запишемо базові визначення. Кожне рівняння має праву та ліву частини. У нашому випадку, (2X – 20) – ліва частина рівняння (вона стоїть ліворуч від знака рівності), а 720 – права частина рівняння. Доданки правої та лівої частини рівняння називаються членами рівняння. У нас членами рівняння є 2X, -20 та 720.

Відразу скажемо про дві властивості рівнянь:

Будь-який член рівняння можна переносити з правої частини рівняння до лівої, і навпаки. При цьому треба змінити знак члена рівняння на протилежний. Тобто записи виду 2X - 20 = 720, 2X - 20 - 720 = 0, 2X = 720 + 20, -20 = 720 - 2X рівносильні.
Обидві частини рівняння можна помножити або розділити на те саме число. Це число не повинно дорівнювати нулю. Тобто записи виду 2X – 20 = 720, 5*(2X – 20) = 720*5, (2X – 20):2 = 720:2 також рівносильні.

Скористайтеся цими властивостями для вирішення нашого рівняння.

Перенесемо -20 у праву частину із протилежним знаком. Отримаємо:

2X = 720 + 20. Складемо те, що у нас у правій частині. Отримаємо, що 2X = 740.

Тепер розділимо ліву та праву частини рівняння на 2.

2X:2 = 740:2 або X = 370. Ми знайшли корінь нашого рівняння і заразом знайшли відповідь на питання нашого завдання. Минулого року у школі №5 було 370 учнів.

Перевіримо, чи справді наш корінь звертає рівняння у правильну рівність. Підставимо замість X число 370 рівняння 2X – 20 = 720.

2*370-20 = 720.

Все вірно.

Отже, щоб розв'язати рівняння з однією змінною його треба призвести до так званого лінійного рівняння виду ax = b, де a та b – деякі числа. Потім ліву та праву частину розділити на число a. Отримаємо, що x = b: a.

Що означає привести рівняння до лінійного рівняння?

Розглянемо таке рівняння:

5X – 2X + 10 = 59 – 7X +3X.

Це також рівняння з однією невідомою змінною X. Наше завдання привести це рівняння до виду ax = b.

Для цього спочатку зберемо всі доданки, що мають як множник X у лівій частині рівняння, а інші доданки - у правій частині. Доданки, що мають як множник одну і ту ж літеру, називають подібними доданками.

5X - 2X + 7X - 3X = 59 - 10.

Відповідно до розподільної властивості множення ми можемо винести однаковий множник за дужки, а коефіцієнти (множники при змінній x) скласти. Цей процес також називають приведенням подібних доданків.

X(5-2+7-3) = 49.

7X = 49. Ми привели рівняння до виду ax = b, де a = 7, b = 49.

Як ми написали вище, корінням рівняння виду ax = b буде x = b:a.

Тобто X=49:7=7.

Алгоритм знаходження коренів рівняння з однією змінною.

Зібрати подібні доданки в лівій частині рівняння, інші доданки - у правій частині рівняння.
Навести подібні доданки.
Привести рівняння до виду ax = b.
Знайти коріння за такою формулою x = b:a.

Примітка. У цій статті ми не розглядали ті випадки, коли змінна зводиться в будь-який ступінь. Інакше кажучи, ми розглядали рівняння першого ступеня з одним змінним.

Рівняння

Як розв'язувати рівняння?

У цьому розділі ми згадаємо (чи вивчимо – вже кому як) найпростіші рівняння. Отже, що таке рівняння? Говорячи людською мовою, це якийсь математичний вираз, де є знак рівності та невідомий. Яке, як правило, позначається буквою «х». Вирішити рівняння- це знайти такі значення ікса, які при підстановці в вихідневираз, дадуть нам вірну тотожність. Нагадаю, що тотожність – це вираз, який не викликає сумніву навіть у людини, абсолютно не обтяженої математичними знаннями. Типу 2 = 2, 0 = 0, ab = ab і т.д. То як вирішувати рівняння?Давайте розберемося.

Рівняння бувають всякі (ось здивував, так?). Але все їхнє нескінченне різноманіття можна розбити всього на чотири типи.

4. Всі решта.)

Усіх інших, зрозуміло, найбільше, так...) Сюди входять і кубічні, і показові, і логарифмічні, і тригонометричні та інші. З ними ми у відповідних розділах щільно попрацюємо.

Відразу скажу, що іноді й рівняння перших трьох типів так накрутить, що й не впізнаєш їх… Нічого. Ми навчимося їх розмотувати.

І навіщо нам ці чотири типи? А потім, що лінійні рівняннявирішуються одним способом, квадратнііншим, дробові раціональні - третім,а іншіне наважуються зовсім! Ну, не те, щоб зовсім ніяк не наважуються, це я даремно математику образив.) Просто для них існують свої спеціальні прийоми і методи.

Але для будь-яких (повторюю - для будь-яких!) рівнянь є надійна та безвідмовна основа для вирішення. Працює скрізь і завжди. Ця основа – звучить страшно, але штука дуже проста. І дуже (дуже!)важлива.

Власне, рішення рівняння і складається з цих перетворень. на 99%. Відповідь на запитання: " Як розв'язувати рівняння?" лежить, саме, у цих перетвореннях. Натяк зрозумілий?)

Тотожні перетворення рівнянь.

У будь-яких рівнянняхдля знаходження невідомого треба перетворити та спростити вихідний приклад. Причому так, щоб за зміни зовнішнього вигляду суть рівняння не змінювалася.Такі перетворення називаються тотожнимичи рівносильними.

Зазначу, що ці перетворення відносяться саме до рівнянь.У математиці ще є тотожні перетворення виразів.Це інша тема.

Зараз ми з вами повторимо всі базові тотожні перетворення рівнянь.

Базові тому, що їх можна застосовувати до будь-якимрівнянням – лінійним, квадратним, дробовим, тригонометричним, показовим, логарифмічним тощо. і т.п.

Перше тотожне перетворення: до обох частин будь-якого рівняння можна додати (забрати) будь-яке(але те саме!) число чи вираз (зокрема і вираз із невідомим!). Суть рівняння від цього змінюється.

Ви, між іншим, постійно користувалися цим перетворенням, тільки думали, що переносите якісь складові з однієї частини рівняння до іншої зі зміною знака. Типу:

Справа знайома, переносимо двійку вправо, і отримуємо:

Насправді ви відібраливід обох частин рівняння двійку. Результат виходить той самий:

х+2 - 2 = 3 - 2

Перенесення доданків ліворуч-праворуч зі зміною знака є просто скорочений варіант першого тотожного перетворення. І навіщо нам такі глибокі знання? - Запитайте ви. В рівняннях нізащо. Переносьте, заради бога. Тільки знак не забувайте міняти. А ось у нерівностях звичка до перенесення може і в глухий кут поставити….

Друге тотожне перетворення: обидві частини рівняння можна помножити (розділити) на те саме відмінне від нулячисло чи вираз. Тут вже з'являється зрозуміле обмеження: на нуль множити безглуздо, а ділити взагалі не можна. Це перетворення ви використовуєте, коли вирішуєте щось круте, типу

Зрозуміла справа, х= 2. А як ви його знайшли? Підбором? Чи просто осяяло? Щоб не підбирати і не чекати осяяння, потрібно зрозуміти, що ви просто поділили обидві частини рівнянняна 5. При розподілі лівої частини (5х) п'ятірка скоротилася, залишився чистий ікс. Чого нам і потрібно. А при розподілі правої частини (10) на п'ять, вийшла, звісно, двійка.

От і все.

Смішно, але ці два (всього два!) тотожні перетворення лежать в основі рішення всіх рівнянь математики.ВО як! Чи має сенс подивитися на прикладах, що і як, правда?)

Приклади тотожних перетворень рівнянь. Основні проблеми.

Почнемо з першогототожного перетворення. Перенесення вліво-вправо.

Приклад для молодших.)

Припустимо, треба вирішити таке рівняння:

3-2х = 5-3х

Згадуємо заклинання: "з іксами - вліво, без іксів - вправо!"Це заклинання - інструкція із застосування першого тотожного перетворення.) Який вираз з іксом у нас справа? 3х? Відповідь неправильна! Праворуч у нас - 3х! Мінустри ікс! Отже, при перенесенні вліво, символ зміниться на плюс. Вийде:

3-2х +3х = 5

Так, ікси зібрали в купку. Займемося числами. Зліва стоїть трійка. З яким знаком? Відповідь "з ніякою" не приймається!) Перед трійкою дійсно нічого не намальовано. А це означає, що перед трійкою стоїть плюс.Так уже математики домовились. Нічого не написано, отже, плюс.Отже, у праву частину трійка перенесеться з мінусом.Отримаємо:

-2х +3х = 5-3

Залишилися дрібниці. Зліва – привести подібні, праворуч – порахувати. Відразу виходить відповідь:

У цьому прикладі вистачило одного тотожного перетворення. Друге не знадобилося. Ну і добре.)

Приклад для старших.)

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

На попередніх заняттях ми знайомилися з висловлюваннями, а також навчалися їх спрощувати та обчислювати. Тепер переходимо до більш складного та цікавого, а саме до рівнянь.

Рівняння та його коріння

Рівність, що містять змінну (-і) називаються рівняннями. Вирішити рівняння , означає визначити значення змінної, у якому рівність буде правильним. Значення змінної називають коренем рівняння .

Рівняння можуть мати як один корінь, так і кілька або взагалі жодного.

При розв'язанні рівнянь використовуються такі властивості:

якщо в рівнянні перенести доданок з однієї частини рівняння в іншу, змінивши при цьому знак на протилежний, то вийде рівняння рівносильне даному.
якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на одне й те саме число, то вийде рівняння рівносильне даному.

Приклад №1Які з чисел: -2, -1, 0, 2, 3 є корінням рівняння:

Щоб вирішити це завдання необхідно просто по черзі підставити замість змінної x кожне з чисел і виділити ті числа, у яких рівність вважається правильним.

При "х = -2":

\((-2)^2=10-3 \cdot (-2) \)

\(4=4 \) - рівність вірна, значить (-2) - корінь нашого рівняння

При "х = -1"

\((-1)^2=10-3 \cdot (-1) \)

\(1=7 \) - рівність невірна, тому (-1) - не є коренем рівняння

\(0^2=10-3 \cdot 0 \)

\(0=10 \) - рівність невірна, тому 0 не є коренем рівняння

\(2^2=10-3 \cdot 2 \)

\(4=4 \) - рівність вірна, значить 2 - корінь нашого рівняння

\(3^2=10-3 \cdot 3 \)

\(9=1 \) - рівність невірна, тому 3 не є коренем рівняння

Відповідь: із поданих чисел, корінням рівняння \(x^2=10-3x \) є числа -2 та 2.

Лінійне рівняння з однією змінною – це рівняння виду ax = b, де x – змінна, а a та b – деякі числа.

Існує велика кількістьвидів рівнянь, але рішення багатьох із них зводиться саме до вирішення лінійних рівнянь, Тому знання цієї теми є обов'язковим для подальшого навчання!

Приклад №2Розв'язати рівняння: 4(x+7) = 3-x

Для вирішення даного рівняння, в першу чергу, потрібно позбутися дужки, а для цього домножимо на 4 кожне з доданків у дужці, одержуємо:

4х + 28 = 3 - х

Тепер потрібно перенести всі значення з «х» в один бік, а решта в інший бік (не забуваючи міняти знак на протилежний), отримуємо:

4х + х = 3 - 28

Тепер віднімаємо значення ліворуч і праворуч:

Щоб знайти невідомий множник (х) потрібно твір (25) поділити на відомий множник (5):

Відповідь х = -5

Якщо сумніваєтеся у відповіді можна перевірити, підставивши отримане значення наше рівняння замість х:

4(-5+7) = 3-(-5)

8 = 8 - рівняння вирішено правильно!

Вирішити тепер щось складніше:

Приклад №3Знайти коріння рівняння: \((y+4)-(y-4)=6y \)

В першу чергу, також позбудемося дужок:

Відразу бачимо в лівій частині y та -y, а значить їх можна просто викреслити, а отримані числа просто скласти, і записати вираз:

Тепер можна перенести значення з «y» у ліву сторону, а значення з числами у праву. Але ж це не обов'язково, адже не важливо, з якого боку перебувають змінні, головне, щоб вони були без чисел, а отже, нічого переносити не будемо. Але для тих хто не зрозумів, то зробимо, як говорить правило і розділимо обидві частини на (-1), як свідчить властивість:

Щоб знайти невідомий множник, потрібно твір розділити на відомий множник:

\(y=\frac(8)(6) = \frac(4)(3) = 1\frac(1)(3) \)

Відповідь: y = \(1\frac(1)(3) \)

Можна також перевірити відповідь, але зробіть це самостійно.

Приклад №4\((0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6) \)

Тепер я просто вирішу, без пояснень, а ви подивіться на хід рішення та правильний запис розв'язання рівнянь:

\((0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6) \)

(0,5x +1,2-3,6 +4,5x = 4,8-0,3x +10,5x +0,6 \)

(0,5x +4,5x +0,3x-10,5x = 4,8 +0,6-1,2 +3,6 \)

\(x=\frac(7,8)(-5,2)=\frac(3)(-2) =-1,5 \)

Відповідь: x = -1,5

Якщо щось не зрозуміло під час рішення пишіть у коментарях

Розв'язання задач за допомогою рівнянь

Знаючи що таке рівняння та навчившись їх обчислювати - ви також відкриваєте собі доступ до розв'язання безлічі завдань, де для вирішення використовуються саме рівняння.

Не вдаватимуся в теорію, краще показати все і відразу на прикладах

Приклад №5У кошику було вдвічі менше яблук, ніж у ящику. Після того, як із кошика переклали в ящик 10 яблук, у ящику їх стало у 5 разів більше, ніж у кошику. Скільки яблук було у кошику, а скільки у ящику?

В першу чергу потрібно визначити, що ми приймемо за «х», у цьому завдання можна прийняти і ящики, і кошики, але я візьму яблука в кошику.

Значить, нехай у кошику було х яблук, тому що в ящику яблук було вдвічі більше, то візьмемо це за 2х. Після того, як із кошика яблука переклали в ящик у кошику яблук стало: х – 10, а значить, у ящику стало – (2х + 10) яблук.

Тепер можна скласти рівняння:

5(х-10) – у ящику стало в 5 разів більше яблук, ніж у кошику.

Прирівняємо перше значення і друге:

2x+10 = 5(x-10) і вирішуємо:

2х + 10 = 5х - 50

2х - 5х = -50 - 10

х = -60/-3 = 20 (яблук) - у кошику

Тепер, знаючи скільки яблук було в кошику, знайдемо скільки яблук було в ящику - оскільки їх було вдвічі більше, то результат помножимо на 2:

2 * 20 = 40 (яблук) - у ящику

Відповідь: у ящику – 40 яблук, а в кошику – 20 яблук.

Я розумію, що багато хто з вас, можливо, не до кінця розібрався у вирішенні завдань, але запевняю до цієї теми ми повернемося і ще не раз на наших уроках, а поки якщо у вас залишилися питання - ставте їх у коментарях.

Насамкінець ще кілька прикладів на вирішення рівнянь

Приклад №6\(2x - 0,7x = 0 \)

Приклад №7\(3p - 1 -(p+3) = 1 \)

Приклад №8\(6y-(y-1) = 4+5y \)

\(6y-y+1=4+5y \)

\(6y-y-5y=4-1 \)

\ (0y = 3 \) - коріння немає, т.к. на нуль ділити не можна!

Всім дякую за увагу. Якщо щось незрозуміло запитуйте у коментарях.

У вашому браузері вимкнено Javascript.
Щоб розрахувати, необхідно дозволити елементи ActiveX!

У шкільному курсіматематики вивчаються формули коренів квадратних рівнянь, з яких можна вирішувати будь-які квадратні рівняння. Однак є й інші способи розв'язання квадратних рівнянь, які дозволяють дуже швидко та раціонально вирішувати багато рівнянь. Є десять способів розв'язання квадратних рівнянь. Докладно у своїй роботі я розібрала кожен із них.

1. СПОСІБ : Розкладання лівої частини рівняння на множники.

Розв'яжемо рівняння

х 2 + 10х - 24 = 0.

Розкладемо ліву частину на множники:

х 2 + 10х - 24 = х 2 + 12х - 2х - 24 = х (х + 12) - 2 (х + 12) = (х + 12) (х - 2).

Отже, рівняння можна переписати так:

(х + 12) (х - 2) = 0

Так як твір дорівнює нулю, то принаймні один з його множників дорівнює нулю. Тому ліва частина рівняння звертається нуль при х = 2, а також при х = - 12. Це означає, що число 2 і - 12 є корінням рівняння х 2 + 10х - 24 = 0.

2. СПОСІБ : Метод виділення повного квадрата.

Розв'яжемо рівняння х 2 + 6х - 7 = 0.

Виділимо у лівій частині повний квадрат.

Для цього запишемо вираз х 2 + 6х наступному вигляді:

х 2 + 6х = х 2 + 2 х 3.

В отриманому виразі перший доданок - квадрат числа х, а другий - подвоєний добуток х на 3. Тому щоб отримати повний квадрат, потрібно додати 3 2 так як

х 2 + 2 х 3 + 32 = (х + 3) 2 .

Перетворимо тепер ліву частину рівняння

х 2 + 6х - 7 = 0,

додаючи до неї і віднімаючи 3 2 . Маємо:

х 2 + 6х - 7 =х 2 + 2 х 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (х + 3) 2 - 9 - 7 = (х + 3) 2 - 16.

Таким чином, дане рівняння можна записати так:

(х + 3) 2 – 16 = 0, (х + 3) 2 = 16.

Отже, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1, або x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. СПОСІБ :Розв'язання квадратних рівнянь за формулою.

Помножимо обидві частини рівняння

ах 2+bх + с = 0, а ≠ 0

на 4а і маємо послідовно:

4а 2 х 2 + 4аbх + 4ас = 0,

((2ах) 2 + 2ахb + b 2 ) - b 2 + 4 ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,

Приклади.

а)Розв'яжемо рівняння: 4х2+7х+3=0.

а = 4,b= 7, с = 3,D = b 2 - 4 ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0, два різні корені;

Отже, у разі позитивного дискримінанта, тобто. при

b 2 - 4 ac >0 , рівняння ах 2+bх + с = 0має два різні корені.

б)Розв'яжемо рівняння: 4х 2 - 4х + 1 = 0,

а = 4,b= - 4, с = 1,D = b 2 - 4 ac = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, один корінь;

Отже, якщо дискримінант дорівнює нулю, тобто. b 2 - 4 ac = 0 , то рівняння

ах 2+bх + с = 0має єдиний корінь,

в)Розв'яжемо рівняння: 2х 2 + 3х + 4 = 0,

а = 2,b= 3, с = 4,D = b 2 - 4 ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13 , D < 0.

Це рівняння коренів немає.

Отже, якщо дискримінант негативний, тобто. b 2 - 4 ac < 0 ,

рівняння ах 2+bх + с = 0не має коріння.

Формула (1) коренів квадратного рівняння ах 2+bх + с = 0дозволяє знайти коріння будь-якого квадратного рівняння (якщо вони є), у тому числі наведеного та неповного. Словесно формула (1) виражається так: коріння квадратного рівняння дорівнюють дробу, чисельник якого дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, плюс мінус корінь квадратний з квадрата цього коефіцієнта без вчетверного добутку першого коефіцієнта на вільний член, а знаменник є подвоєний перший коефіцієнт.

4. СПОСІБ: Розв'язання рівнянь із використанням теореми Вієта.

Як відомо, наведене квадратне рівняннямає вигляд

х 2 +px + c = 0. (1)

Його коріння задовольняють теоремі Вієта, яка при а = 1має вигляд

x 1 x 2 = q,

x 1 + x 2 = - p

Звідси можна зробити такі висновки (за коефіцієнтами p і q можна передбачити знаки коренів).

а) Якщо зведений член qнаведеного рівняння (1) позитивний ( q > 0 ), то рівняння має два однакові за знаком кореня і це заздрості від другого коефіцієнта p. Якщо р< 0 , то обидва корені негативні, якщо р< 0 , то обидва корені позитивні.

Наприклад,

x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 і x 2 = 1, так як q = 2 > 0 і p = - 3 < 0;

x 2 + 8 x + 7 = 0; x 1 = - 7 і x 2 = - 1, так як q = 7 > 0 і p= 8 > 0.

б) Якщо вільний член qнаведеного рівняння (1) негативний ( q < 0 ), то рівняння має два різні за знаком кореня, причому більший за модулем корінь буде позитивним, якщо p < 0 , або негативний, якщо p > 0 .

Наприклад,

x 2 + 4 x – 5 = 0; x 1 = - 5 і x 2 = 1, так як q= - 5 < 0 і p = 4 > 0;

x 2 – 8 x – 9 = 0; x 1 = 9 і x 2 = - 1, так як q = - 9 < 0 і p = - 8 < 0.

5. СПОСІБ: Розв'язання рівнянь способом «перекидання».

Розглянемо квадратне рівняння

ах 2+bх + с = 0,де а ≠ 0.

Помножуючи обидві його частини на а, одержуємо рівняння

а 2 х 2 + аbх + ас = 0.

Нехай ах = у, звідки х = у/а; тоді приходимо до рівняння

у 2+by+ ас = 0,

рівносильно цьому. Його коріння у 1і у 2 знайдемо за допомогою теореми Вієта.

Остаточно отримуємо

х 1 = у 1/аі х 1 = у 2/а.

При цьому способі коефіцієнт амножиться на вільний член, як би "перекидається" до нього, тому його називають способом «перекидання». Цей спосіб застосовують, коли можна легко знайти коріння рівняння, використовуючи теорему Вієта і що найважливіше, коли дискримінант є точний квадрат.

приклад.

Розв'яжемо рівняння 2х 2 - 11х + 15 = 0.

Рішення.«Перекинемо» коефіцієнт 2 до вільного члена, в результаті отримаємо рівняння

у 2 - 11у + 30 = 0.

Відповідно до теореми Вієта

у 1 = 5 х 1 = 5/2x 1 = 2,5

у 2 = 6x 2 = 6/2 x 2 = 3.

Відповідь: 2,5; 3.

6. СПОСІБ: Властивості коефіцієнтів квадратного рівняння.

А. Нехай дано квадратне рівняння

ах 2+bх + с = 0,де а ≠ 0.

1) Якщо, а+b+ с = 0 (тобто сума коефіцієнтів дорівнює нулю), то х 1 = 1,