Теория на функциите на една променлива. Математически анализ. Теория на функциите на една променлива Лекции по математически анализ 1-ва година

А.В. Гласко

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКИ АНАЛИЗ

„ЕЛЕМЕНТАРНИ ФУНКЦИИ И ГРАНИЦИ“

Москва, MSTU im. Н.Е. Бауман

§1. Логическа символика.

Когато пишем математически изрази, ще използваме следните логически символи:

	Значение	Значение

		За всеки, за всеки, за всеки (от

		Има, има, има (съществува)

		Привлича, следва (следователно)

		Еквивалентно, ако и само ако,
		необходимо и достатъчно
Така че, ако A и B са някакви твърдения, тогава

		Значение



		A или B (или A или B, или едновременно A и B)






		За всяко x, A

		Има x, за което A е валидно

		От A следва B (ако A е вярно, тогава B е вярно)
(импликация)
		A е еквивалентно на B, A възниква тогава и само ако B възниква,
		за B е необходимо и достатъчно за A
	Коментирайте. „A B“ означава, че A е достатъчно за B, а B е необходимо за A.

Пример. (x=1) => (x2 -3x+2=0) => ((x=1) (x=2)).

Понякога ще използваме друг специален символ: A =df B.

Това означава, че A = B по дефиниция.

§2. Множества. Елементи и части на комплект.

Концепцията за набор е основна концепция, която не се дефинира чрез по-прости. Думите: съвкупност, семейство, множество са негови синоними.

Примери за набори: много ученици в класна стая, много учители в отдел, много коли на паркинг и т.н.

Първичните понятия също са понятия зададен елементи взаимоотношения

между елементите на набор.

Пример. N е набор от естествени числа, неговите елементи са числата 1,2,3,... Ако x и y са елементи на N, то те са в една от следните зависимости: x=y, x u.

Нека се съгласим да обозначаваме множествата с главни букви: A, B, C, X, Y, …, а техните елементи с малки букви: a, b, c, x, y, …

Връзките между елементи или набори се обозначават със символи, вмъкнати между буквите. Например. Нека A е някакво множество. Тогава връзката a A означава, че a е елемент от множеството A. Нотацията a A означава, че a не е елемент от A.

Наборът може да бъде определен по различни начини. 1. Изброяване на елементите му.

Например A=(a, b, c, d), B=(1, 7, 10)

2. Посочване на свойствата на елементите. Нека A е множеството от елементи на a със свойството p. Това може да се запише като: A=( a:p ) или A=( ap ).

Например записът A= ( x: (x R ) (x2 -1>0) ) означава, че A е множеството от реални числа, удовлетворяващи неравенството x2 -1>0.

Нека въведем няколко важни определения.

Деф. Едно множество се нарича крайно, ако се състои от определен краен брой елементи. В противен случай се нарича безкраен.

Например, наборът от ученици в класната стая е краен, но наборът от естествени числа или наборът от точки вътре в сегмент е безкраен.

Деф. Множество, което не съдържа нито един елемент, се нарича празно и се обозначава.

Деф. Две множества се наричат равни, ако се състоят от едно и също

Тези. понятието набор не предполага определен ред на елементите. Деф. Множество X се нарича подмножество на множество Y, ако някой елемент от множеството X е елемент от множеството Y (и, най-общо казано, не всеки

елемент от множество Y е елемент от множество X). Използваната нотация е: X Y.

Например множеството от портокали O е подмножество от множеството плодове F: O F, а множеството от естествени числа N е подмножество от множеството от реални числа R: N R.

Символите “ ” и “ ” се наричат символи за включване. Всеки набор се счита за подмножество на себе си. Празното множество е подмножество на всяко множество.

Деф. Извиква се всяко непразно подмножество B на множество A, което не е равно на A

собствено подмножество.

§ 3. Диаграми на Ойлер-Вен. Елементарни операции върху множества.

Удобно е множествата да се представят графично, под формата на области в равнина. Приема се, че точките от областта съответстват на елементите на множеството. Такива графични представяния на множества се наричат диаграми на Ойлер-Вен.

Пример. A – много студенти от MSTU, B – много студенти в публиката. Ориз. 1 ясно показва, че A B .

Диаграмите на Ойлер-Вен са удобни за използване за визуално представяне на елементарни множество операции. Основните операции включват следното.

Ориз. 1. Пример за диаграма на Ойлер-Вен.

1. Пресечната точка A B на множества A и B е множество C, състоящо се от всички елементи, които едновременно принадлежат на двете множества A и B:

C=A B =df ( z: (z A) (z B) )

(на фиг. 2 комплектът C е представен от защрихованата област).

Ориз. 2. Пресечна точка на множества.

2. Обединението A B на множества A и B е множество C, състоящо се от всички елементи, принадлежащи на поне едно от множествата A или B.

C=A B =df ( z: (z A) (z B) )

(на фиг. 3 комплектът C е представен от защрихованата област).

Ориз. 3. Обединение на множества.

Ориз. 4. Разлика на множествата.

3. Разликата A\B на множества A и B се нарича множество C, състоящо се от всички елементи, принадлежащи на множество A, но не принадлежащи на множество B:

A\B =( z: (z A) (z B) )

(на фиг. 4 комплектът C е представен от зоната, защрихована в жълто).

§ 4. Множеството от реални числа.

Нека конструираме набор от реални числа R. За да направите това, помислете първо за набор от естествени числа, което дефинираме по следния начин. Нека вземем числото n=1 като първи елемент. Всеки следващ елемент ще бъде получен от предишния чрез добавяне на един:

N = (1, 1+1, (1+1)+1, …) = (1, 2, 3, …, n, …).

N = (-1, -2, -3, …, -n, …).

Набор от цели числа Zние го дефинираме като обединение на три множества: N, -N и множество, състоящо се от един елемент – нула:

Дефинираме множеството от рационални числа като набор от всички възможни отношения на цели числа:

Q = (xx = m/n; m, n Z, n 0).

Очевидно N Z Q.

Известно е, че всяко рационално число може да бъде записано като крайна реална или безкрайна периодична дроб. Достатъчни ли са рационалните числа, за да измерим всички количества, които можем да срещнем, когато изучаваме света около нас? Още в Древна Гърция беше показано, че не: ако разгледаме равнобедрен правоъгълен триъгълник с катети с дължина едно, дължината на хипотенузата не може да бъде представена като рационално число. Следователно не можем да се ограничим до набор от рационални числа. Необходимо е да се разшири понятието число. Това разширение се постига чрез въвеждане набори от ирационални числа J, което най-лесно се разглежда като набор от всички непериодични безкрайни десетични дроби.

Обединението на множества от рационални и ирационални числа се нарича

набор от реални числа R: R =Q Y.

Понякога разглеждаме и разширен набор от реални числа R, разбирайки

Удобно е реалните числа да се представят като точки на числовата ос.

Деф. Числовата ос е линия, на която са посочени началото, мащабът и посоката на отправна точка.

Установява се едно-към-едно съответствие между реални числа и точки на числовата ос: всяко реално число съответства на една точка на числовата ос и обратно.

Аксиома за пълнота (непрекъснатост) на множеството от реални числа. Каквито и непразни множества A= (a) R и B= (b) R да са такива, че за всеки a и b е изпълнено неравенството a ≤ b, съществува число cR така, че a ≤ c ≤ b (фиг. 5).

Фиг.5. Илюстрация на аксиомата за пълнота на множеството от реални числа.

§5. Числови набори. Квартал.

Деф. Числен наборсе нарича всяко подмножество на множеството R. Най-важните числови набори: N, Z, Q, J, както и

сегмент: (x R |a x b),

интервал: (a,b) (x R |a x b), (,)=R

полуинтервали: ( x R| a x b),

(x R | x b).

Най-важната роля в математическия анализ се играе от концепцията за съседство на точка върху числовата ос.

Деф. -околност на точка x 0 е интервал с дължина 2 с център в точка x 0 (фиг. 6):

u (x 0 ) (x 0 , x 0 ).

Ориз. 6. Околност на точка.

Деф. Пунктираната околност на точка е околност на тази точка,

от която е изключена самата точка x0 (фиг. 7):

u (x 0 ) u (x 0 )\(x 0 ) (x 0 ,x 0 ) (x 0 ,x 0 ).

Ориз. 7. Пунктирана околност на точка.

Деф. Дясна околност на точка x0 наречен полуинтервал

u (x 0 ), диапазон от стойности: E= [-π/2,π/2].

Ориз. 11. Графика на функцията y arcsin x.

Нека сега въведем концепцията за сложна функция ( композиции от преобразувания). Нека са дадени три множества D, E, M и f: D→E, g: E→M. Очевидно е възможно да се конструира ново преобразуване h: D→M, наречено композиция от преобразувания f и g или комплексна функция (фиг. 12).

Сложната функция се обозначава по следния начин: z =h(x)=g(f(x)) или h = f o g.

Ориз. 12. Илюстриране на понятието сложна функция.

Извиква се функцията f (x). вътрешна функция, и функцията g (y) - външна функция.

1. Вътрешна функция f(x)= x², външна функция g (y) sin y. Комплексна функция z= g(f(x))=sin(x²)

2. Сега е обратното. Вътрешна функция f (x)= sinx, външна функция g (y) y 2. u=f(g(x))=sin²(x)

Курсът е насочен към бакалаври и магистри, специализиращи в математически, икономически или природонаучни дисциплини, както и към учители по математика в средните училища и университетски преподаватели. Ще бъде полезно и за ученици, които изучават задълбочено математика.

Структурата на курса е традиционна. Курсът обхваща класическия материал по математически анализ, изучаван в първата година на университета през първия семестър. Ще бъдат представени раздели „Елементи на теорията на множествата и реални числа”, „Теория на числовите редици”, „Граница и непрекъснатост на функция”, „Диференцируемост на функция”, „Приложения на диференцируемостта”. Ще се запознаем с понятието множество, ще дадем строга дефиниция на реално число и ще изучим свойствата на реалните числа. След това ще говорим за числови последователности и техните свойства. Това ще ни позволи да разгледаме концепцията за числова функция, добре позната на учениците, на ново, по-строго ниво. Ще въведем концепцията за граница и непрекъснатост на функция, ще обсъдим свойствата на непрекъснатите функции и тяхното приложение за решаване на проблеми.

Във втората част на курса ще дефинираме производната и диференцируемостта на функция на една променлива и ще изучаваме свойствата на диференцируемите функции. Това ще ви позволи да научите как да решавате такива важни приложни проблеми като приблизително изчисляване на стойностите на функцията и решаване на уравнения, изчисляване на граници, изучаване на свойствата на функция и конструиране на нейната графика.

формат

Формата на обучение е задочна (дистанционна).
Седмичните занятия ще включват гледане на тематични видео лекции и решаване на тестови задачи с автоматизирана проверка на резултатите.
Важен елемент от изучаването на дисциплината е самостоятелното решаване на изчислителни задачи и задачи за доказателство. Решението ще трябва да съдържа строго и логически правилно разсъждение, което води до правилния отговор (в случай на изчислителен проблем) или напълно доказва изискваното твърдение (за теоретични проблеми).

Изисквания

Курсът е предназначен за 1-ва година бакалаври. Изискват се познания по начална математика на ниво гимназия (11 клас).

Програма на курса

Лекция 1.Елементи на теорията на множествата.
Лекция 2.Концепцията за реално число. Точни лица на числови множества.
Лекция 3.Аритметични действия с реални числа. Свойства на реалните числа.
Лекция 4.Числови последователности и техните свойства.
Лекция 5.Монотонни поредици. Критерий на Коши за сходимост на последователност.
Лекция 6.Концепцията за функция на една променлива. Ограничение на функцията. Безкрайно малки и безкрайно големи функции.
Лекция 7.Непрекъснатост на функцията. Класификация на точките на прекъсване. Локални и глобални свойства на непрекъснати функции.
Лекция 8.Монотонни функции. Обратна функция.
Лекция 9.Най-простите елементарни функции и техните свойства: експоненциални, логаритмични и степенни функции.
Лекция 10.Тригонометрични и обратни тригонометрични функции. Забележителни граници. Равномерна непрекъснатост на функцията.
Лекция 11.Концепцията за производна и диференциал. Геометрично значение на производната. Правила за диференциране.
Лекция 12.Производни на основни елементарни функции. Функционален диференциал.
Лекция 13.Производни и диференциали от по-високи разряди. Формулата на Лайбниц. Производни на параметрично дефинирани функции.
Лекция 14.Основни свойства на диференцируемите функции. Теореми на Рол и Лагранж.
Лекция 15.Теорема на Коши. Първото правило на L'Hopital за разкриване на несигурност.
Лекция 16.Второто правило на L'Hopital за разкриване на несигурности. Формула на Тейлър с остатъчен член във формата на Пеано.
Лекция 17.Формула на Тейлър с остатъчен член в общ вид, във форма на Лагранж и Коши. Разлагане по формулата на Маклорен на основните елементарни функции. Приложения на формулата на Тейлър.
Лекция 18.Достатъчни условия за екстремум. Асимптоти на графиката на функция. Изпъкнал.
Лекция 19.Инфлексни точки. Обща схема на функционално изследване. Примери за начертаване на графики.

Резултати от обучението

В резултат на усвояването на курса студентът ще получи разбиране за основните понятия на математическия анализ: множество, число, редица и функция, ще се запознае с техните свойства и ще се научи да прилага тези свойства при решаване на задачи.

формат

Изисквания

Програма на курса

Резултати от обучението

Нека променливата х нприема безкрайна последователност от стойности

х 1 , х 2 , ..., х н , ..., (1)

и законът за промяна на променливата е известен х н, т.е. за всяко естествено число нможете да посочите подходящата стойност х н. Следователно се приема, че променливата х не функция на н:

х н = f(n)

Нека дефинираме едно от най-важните понятия на математическия анализ - границата на последователност или, което е същото, границата на променлива х н, преминавайки през последователността х 1 , х 2 , ..., х н , ... . .

Определение.Постоянно число аНаречен граница на последователността х 1 , х 2 , ..., х н , ... . или границата на променлива х н, ако за произволно малко положително число e съществува такова естествено число н(т.е. число н), че всички стойности на променливата х н, започвайки с х н, различавам се от апо абсолютна стойност по-малко от с e. Това определение се записва накратко, както следва:

| х н - а |< (2)

пред всички н  н, или, което е същото,

Определяне на границата на Коши. Число A се нарича граница на функция f (x) в точка a, ако тази функция е дефинирана в някаква околност на точка a, с възможно изключение на самата точка a, и за всяко ε > 0 съществува δ > 0, така че за всички x, удовлетворяващи условието |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Определяне на границата на Хайне. Число A се нарича граница на функция f (x) в точка a, ако тази функция е дефинирана в някаква околност на точка a, с възможно изключение на самата точка a, и за всяка последователност, такава че сближавайки се с числото a, съответната последователност от функционални стойности се сближава с числото A.

Ако функция f (x) има граница в точка a, тогава тази граница е уникална.

Числото A 1 се нарича граница на функцията f (x) отляво в точка a, ако за всяко ε > 0 съществува δ >

Числото A 2 се нарича граница на функцията f (x) отдясно в точка a, ако за всяко ε > 0 съществува δ > 0, така че неравенството е валидно за всички

Границата отляво се обозначава с границата отдясно - Тези граници характеризират поведението на функцията отляво и отдясно на точка а. Те често се наричат еднопосочни ограничения. При обозначаването на едностранни граници за x → 0 първата нула обикновено се пропуска: и . И така, за функцията

Ако за всяко ε > 0 съществува δ-околност на точка, така че за всички x, отговарящи на условието |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, тогава те казват, че функцията f (x) има безкрайна граница в точка a:

По този начин функцията има безкраен лимит в точката x = 0. Често се разграничават граници, равни на +∞ и –∞. Така,

Ако за всяко ε > 0 съществува δ > 0, такова че за всяко x > δ неравенството |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Теорема за съществуване на точен супремум

определение:АR mR, m е горното (долното) лице на А, ако аА аm (аm).

определение:Множество A е ограничено отгоре (отдолу), ако съществува m такова, че aA, am (am) е валидно.

определение: SupA=m, ако 1) m е supremum на A

2) m’: m’ m’ не е върховната сума на A

InfA = n, ако 1) n е ниската граница на A

2) n’: n’>n => n’ не е долната граница на A

Определение: SupA=m е такова число, че: 1)  aA am

2) >0 a  A, така че a  a-

InfA = n е такова число, че: 1) 1)  aA an

2) >0 a  A, така че a E a+

Теорема:Всяко непразно множество AR, ограничено отгоре, има точен супремум и уникален.