Обща формулировка на проблема: вероятностите за някои събития са известни, но вероятностите за други събития, които са свързани с тези събития, трябва да бъдат изчислени. В тези задачи има нужда от такива операции върху вероятностите като събиране и умножение на вероятности.
Например, два изстрела са били изстреляни по време на лов. Събитие А- удряне на патица от първия изстрел, събитие Б- удар от втория изстрел. След това сборът от събития Аи Б- удар от първи или втори изстрел или от два изстрела.
Задачи от различен тип. Дават се няколко събития, например монета се хвърля три пъти. Необходимо е да се намери вероятността или трите пъти гербът да падне, или гербът да падне поне веднъж. Това е проблем с умножението.
Добавяне на вероятности за несъвместими събития
Добавяне на вероятности се използва, когато е необходимо да се изчисли вероятността за комбинация или логическа сума от случайни събития.
Сума от събития Аи Бопределят А + Били А ∪ Б. Сборът от две събития е събитие, което се случва, ако и само ако се случи поне едно от събитията. Означава, че А + Б- събитие, което се случва, ако и само ако се случи събитие по време на наблюдението Аили събитие Б, или в същото време Аи Б.
Ако събитията Аи Бса взаимно несъвместими и техните вероятности са дадени, вероятността едно от тези събития да настъпи в резултат на едно изпитание се изчислява чрез добавяне на вероятности.
Теорема за събиране на вероятности.Вероятността да се случи едно от двете взаимно несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите на тези събития:
Например, два изстрела са били изстреляни по време на лов. Събитие НО– удряне на патица от първия изстрел, събитие AT– удар от втория изстрел, събитие ( НО+ AT) - удар от първия или втория изстрел или от два изстрела. Така че, ако две събития НОи ATтогава са несъвместими събития НО+ AT- настъпването на поне едно от тези събития или две събития.
Пример 1Кутия съдържа 30 топки с еднакъв размер: 10 червени, 5 сини и 15 бели. Изчислете вероятността цветна (не бяла) топка да бъде взета без да гледате.
Решение. Да предположим, че събитието НО– „червената топка е взета“ и събитието AT- "Синята топка е взета." Тогава събитието е „взема се цветна (не бяла) топка“. Намерете вероятността за събитие НО:
и събития AT:
Събития НОи AT- взаимно несъвместими, тъй като ако се вземе една топка, не могат да се вземат топки с различни цветове. Следователно използваме добавянето на вероятности:
Теорема за събиране на вероятности за няколко несъвместими събития.Ако събитията съставляват пълния набор от събития, тогава сумата от техните вероятности е равна на 1:
Сумата от вероятностите за противоположни събития също е равна на 1:
Противоположните събития образуват пълен набор от събития и вероятността за пълен набор от събития е 1.
Вероятностите за противоположни събития обикновено се обозначават с малки букви. стри q. По-специално,
от което следват следните формули за вероятността от противоположни събития:
Пример 2Целта в таблото е разделена на 3 зони. Вероятността даден стрелец да стреля по мишена в първата зона е 0,15, във втората зона - 0,23, в третата зона - 0,17. Намерете вероятността стрелецът да уцели целта и вероятността стрелецът да пропусне целта.
Решение: Намерете вероятността стрелецът да уцели целта:
Намерете вероятността стрелецът да пропусне целта:
По-трудни задачи, в които трябва да приложите както събиране, така и умножение на вероятности - на страницата "Различни задачи за събиране и умножение на вероятности" .
Добавяне на вероятности за взаимно съвместни събития
Две случайни събития се наричат съвместни, ако настъпването на едно събитие не изключва възникването на второ събитие в същото наблюдение. Например, когато хвърляте зар, събитието НОсе счита за появата на числото 4 и събитието AT- отпадане на четно число. Тъй като числото 4 е четен брой, двете събития са съвместими. На практика има задачи за изчисляване на вероятностите за настъпване на едно от съвместните събития.
Теорема за събиране на вероятности за съвместни събития.Вероятността да се случи едно от съвместните събития е равна на сумата от вероятностите на тези събития, от която се изважда вероятността за общото настъпване на двете събития, тоест произведението на вероятностите. Формулата за вероятностите за съвместни събития е както следва:
Защото събитията НОи ATсъвместим, събитие НО+ ATвъзниква, ако се случи едно от трите възможни събития: или АБ. Съгласно теоремата за събиране на несъвместими събития изчисляваме, както следва:
Събитие НОвъзниква, ако се случи едно от двете несъвместими събития: или АБ. Въпреки това, вероятността за възникване на едно събитие от няколко несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите на всички тези събития:
По същия начин:
Замествайки изрази (6) и (7) в израз (5), получаваме формулата за вероятност за съвместни събития:
При използване на формула (8) трябва да се има предвид, че събитията НОи ATможе да бъде:
- взаимно независими;
- взаимно зависими.
Формула за вероятност за взаимно независими събития:
Формула за вероятност за взаимно зависими събития:
Ако събитията НОи ATса непоследователни, то тяхното съвпадение е невъзможен случай и следователно, П(АБ) = 0. Четвъртата формула за вероятност за несъвместими събития е както следва:
Пример 3В автомобилните състезания, когато шофирате в първата кола, вероятността за победа, когато шофирате във втората кола. Да намеря:
- вероятността и двете коли да спечелят;
- вероятността поне една кола да спечели;
1) Вероятността първата кола да спечели не зависи от резултата на втората кола, така че събитията НО(първата кола печели) и AT(втора кола победи) - независими събития. Намерете вероятността и двете коли да спечелят:
2) Намерете вероятността една от двете коли да спечели:
По-трудни задачи, в които трябва да приложите както събиране, така и умножение на вероятности - на страницата "Различни задачи за събиране и умножение на вероятности" .
Решете сами проблема със събирането на вероятности и след това вижте решението
Пример 4Хвърлят се две монети. Събитие А- загуба на герб на първата монета. Събитие Б- загуба на герб на втората монета. Намерете вероятността за събитие ° С = А + Б .
Умножение на вероятностите
Умножението на вероятностите се използва, когато трябва да се изчисли вероятността за логически продукт на събития.
В този случай случайните събития трябва да са независими. За две събития се казва, че са взаимно независими, ако настъпването на едно събитие не влияе на вероятността за настъпване на второто събитие.
Теорема за умножение на вероятностите за независими събития.Вероятността за едновременно възникване на две независими събития НОи ATе равно на произведението на вероятностите за тези събития и се изчислява по формулата:
Пример 5Монетата се хвърля три пъти подред. Намерете вероятността гербът да падне и трите пъти.
Решение. Вероятността гербът да падне при първото хвърляне на монета, втория път и третия път. Намерете вероятността гербът да падне и три пъти:
Решете сами задачи за умножаване на вероятностите и след това вижте решението
Пример 6Има кутия с девет нови тенис топки. Вземат се три топки за играта, след играта се връщат обратно. При избора на топки те не правят разлика между изиграни и неизиграни топки. Каква е вероятността след три игри да няма неизиграни топки в кутията?
Пример 7 32 букви от руската азбука са написани на изрязани азбучни карти. Пет карти се изтеглят на случаен принцип, една след друга, и се поставят на масата в реда, в който се появяват. Намерете вероятността буквите да образуват думата "край".
Пример 8От пълно тесте карти (52 листа) се изваждат четири карти наведнъж. Намерете вероятността и четирите от тези карти да са от една боя.
Пример 9Същият проблем като в пример 8, но всяка карта се връща в тестето, след като бъде изтеглена.
По-сложни задачи, в които трябва да приложите както събиране, така и умножение на вероятности, както и да изчислите произведението на няколко събития, на страницата „Различни задачи за събиране и умножение на вероятности“ .
Вероятността да се случи поне едно от взаимно независимите събития може да се изчисли чрез изваждане на произведението на вероятностите за противоположни събития от 1, тоест по формулата.
- Вероятност - степента (относителна мярка, количествена оценка) на възможността за настъпване на някакво събитие. Когато причините за действително настъпване на някакво възможно събитие надвишават противоположните причини, тогава това събитие се нарича вероятно, в противен случай - малко вероятно или невероятно. Преобладаването на положителните основания над отрицателните и обратно може да бъде в различна степен, в резултат на което вероятността (и невероятността) е по-голяма или по-малка. Поради това вероятността често се оценява на качествено ниво, особено в случаите, когато повече или по-малко точната количествена оценка е невъзможна или изключително трудна. Възможни са различни градации на "нива" на вероятността.
Изучаването на вероятността от математическа гледна точка е специална дисциплина - теорията на вероятностите. В теорията на вероятностите и математическата статистика понятието вероятност се формализира като числова характеристикасъбития - вероятностна мярка (или нейната стойност) - мярка за набор от събития (подмножества от набор от елементарни събития), вземаща стойности от
(\displaystyle 0)
(\displaystyle 1)
смисъл
(\displaystyle 1)
Съответства определено събитие. Невъзможно събитие има вероятност от 0 (обратното обикновено не винаги е вярно). Ако вероятността за настъпване на събитие е
(\displaystyle p)
Тогава вероятността за невъзникването му е равна на
(\displaystyle 1-p)
По-специално, вероятността
(\displaystyle 1/2)
Означава еднаква вероятност за настъпване и ненастъпване на събитието.
Класическата дефиниция на вероятността се основава на концепцията за равновероятност на резултатите. Вероятността е съотношението на броя на резултатите, които благоприятстват дадено събитие, към общия брой на еднакво вероятните резултати. Например, вероятността за получаване на "глави" или "опашки" при произволно хвърляне на монета е 1/2, ако се приеме, че се срещат само тези две възможности и те са еднакво вероятни. Тази класическа "дефиниция" на вероятността може да бъде обобщена до случая на безкраен брой възможни стойности - например, ако събитие може да се случи с еднаква вероятност във всяка точка (броят на точките е безкраен) от някаква ограничена област от пространство (равнина), тогава вероятността това да се случи в някаква част от тази допустима площ е равна на съотношението на обема (площта) на тази част към обема (площта) на площта на всички възможни точки .
Емпиричната "дефиниция" на вероятността е свързана с честотата на настъпване на събитие, въз основа на факта, че при достатъчно голям брой опити честотата трябва да клони към обективната степен на възможност за това събитие. В съвременното представяне на теорията на вероятността, вероятността се дефинира аксиоматично, като частен случай на абстрактната теория на мярката на множество. Връзката между абстрактната мярка и вероятността, която изразява степента на възможност за събитие обаче, е именно честотата на неговото наблюдение.
Вероятностното описание на определени явления е широко разпространено в съвременната наука, по-специално в иконометрията, статистическата физика на макроскопичните (термодинамични) системи, където дори в случай на класическо детерминирано описание на движението на частиците, детерминирано описание на цялата система от частици не е практически възможно и подходящо. AT квантова физикасамите описани процеси са с вероятностен характер.
Когато се хвърли монета, може да се каже, че тя ще се приземи с главата нагоре или вероятност от това е 1/2. Разбира се, това не означава, че ако една монета бъде хвърлена 10 пъти, тя непременно ще кацне на глави 5 пъти. Ако монетата е "справедлива" и ако е хвърлена много пъти, тогава главите ще се приближават много близо през половината време. Следователно има два вида вероятности: експериментален и теоретични .
Експериментална и теоретична вероятност
Ако хвърлим монета голям брой пъти – да речем 1000 – и преброим колко пъти тя изскочи с глави, можем да определим вероятността тя да изскочи. Ако главите се появят 503 пъти, можем да изчислим вероятността това да се появи:
503/1000 или 0,503.
Това е експериментален дефиниция на вероятността. Тази дефиниция на вероятността произтича от наблюдение и изследване на данни и е доста често срещана и много полезна. Например, ето някои вероятности, които са определени експериментално:
1. Шансът една жена да развие рак на гърдата е 1/11.
2. Ако целунете някой, който има настинка, тогава вероятността и вие да получите настинка е 0,07.
3. Човек, който току-що е излязъл от затвора, има 80% шанс да се върне в затвора.
Ако вземем предвид хвърлянето на монета и като вземем предвид, че е еднакво вероятно да излязат глави или опашки, можем да изчислим вероятността за издигане на глави: 1 / 2. Това е теоретичната дефиниция на вероятността. Ето някои други вероятности, които са теоретично определени с помощта на математика:
1. Ако в една стая има 30 души, вероятността двама от тях да имат една и съща рождена дата (без годината) е 0,706.
2. По време на пътуване се срещате с някого и по време на разговора откривате, че имате общ познат. Типична реакция: "Това не може да бъде!" Всъщност тази фраза не се вписва, тъй като вероятността от такова събитие е доста висока - малко над 22%.
Следователно експерименталната вероятност се определя от наблюдение и събиране на данни. Теоретичните вероятности се определят от математически разсъждения. Примери за експериментални и теоретични вероятности, като тези, обсъдени по-горе, и особено тези, които не очакваме, ни водят до важността на изучаването на вероятностите. Може да попитате: "Каква е истинската вероятност?" Всъщност няма такъв. Експериментално е възможно да се определят вероятностите в определени граници. Те могат или не могат да съвпадат с вероятностите, които получаваме теоретично. Има ситуации, в които е много по-лесно да се определи един тип вероятност, отколкото друг. Например, би било достатъчно да се намери вероятността от настинка, като се използва теоретична вероятност.
Изчисляване на експериментални вероятности
Помислете първо за експерименталната дефиниция на вероятността. Основният принцип, който използваме за изчисляване на такива вероятности, е както следва.
Принцип P (експериментален)
Ако в експеримент, в който са направени n наблюдения, ситуацията или събитието E се появяват m пъти в n наблюдения, тогава експерименталната вероятност за събитието се казва, че е P (E) = m/n.
Пример 1 Социологическо проучване. Се проведе пилотно проучванеза определяне на броя на левичарите, десняците и хората с еднакво развитие на двете ръце.Резултатите са показани на графиката.
а) Определете вероятността човекът да е дясна ръка.
б) Определете вероятността лицето да е левичар.
в) Определете вероятността лицето да владее еднакво свободно и с двете си ръце.
г) Повечето PBA турнири имат 120 играчи. Въз основа на този експеримент колко играчи могат да бъдат левичари?
Решение
а) Броят на хората, които са десняци е 82, броят на левичарите е 17, а броят на тези, които владеят еднакво свободно и с двете си ръце, е 1. Общият брой на наблюденията е 100. Така вероятността че човек е десник е П
P = 82/100, или 0,82, или 82%.
б) Вероятността човек да е левичар е P, където
P = 17/100 или 0,17 или 17%.
в) Вероятността човек да владее еднакво свободно с двете си ръце е P, където
P = 1/100 или 0,01 или 1%.
г) 120 играчи на боулинг и от (b) можем да очакваме 17% да бъдат левичари. Оттук
17% от 120 = 0,17,120 = 20,4,
тоест можем да очакваме около 20 играчи да са левичари.
Пример 2 Контрол на качеството
. За производителя е много важно да поддържа качеството на своите продукти високо ниво. Всъщност компаниите наемат инспектори за контрол на качеството, за да осигурят този процес. Целта е да се освободи минимално възможно количество дефектни продукти. Но тъй като компанията произвежда хиляди артикули всеки ден, тя не може да си позволи да инспектира всеки артикул, за да определи дали е дефектен или не. За да разбере какъв процент от продуктите са дефектни, компанията тества много по-малко продукти.
USDA изисква 80% от семената, които производителите продават, да покълнат. За да се определи качеството на семената, които земеделското дружество произвежда, се засаждат 500 семена от произведените. След това беше изчислено, че са покълнали 417 семена.
а) Каква е вероятността семето да покълне?
б) Семената отговарят ли на държавните стандарти?
Решениеа) Знаем, че от 500 засадени семена са поникнали 417. Вероятността за покълване на семената P, и
P = 417/500 = 0,834, или 83,4%.
б) Тъй като процентът на покълналите семена надвишава 80% при поискване, семената отговарят на държавните стандарти.
Пример 3 Телевизионни рейтинги. Според статистиката в Съединените щати има 105 500 000 телевизионни домакинства. Всяка седмица се събира и обработва информация за гледане на програми. В рамките на една седмица 7 815 000 домакинства бяха настроени към хитовия комедиен сериал на CBS „Всички обичат Реймънд“, а 8 302 000 домакинства бяха настроени към хита на NBC „Закон и ред“ (Източник: Nielsen Media Research). Каква е вероятността телевизорът на един дом да е настроен на „Всички обичат Реймънд“ през дадена седмица? на „Закон и ред“?
РешениеВероятността телевизорът в едно домакинство да е настроен на „Всички обичат Реймънд“ е P и
P = 7.815.000/105.500.000 ≈ 0.074 ≈ 7.4%.
Възможността домашният телевизор да е настроен на „Закон и ред“ е P и
P = 8.302.000/105.500.000 ≈ 0.079 ≈ 7.9%.
Тези проценти се наричат рейтинги.
теоретична вероятност
Да предположим, че правим експеримент, като хвърляне на монета или стреличка, теглене на карта от тесте или тестване на продукти за качество на поточна линия. Всеки възможен резултат от такъв експеримент се нарича Изход . Множеството от всички възможни резултати се нарича крайно пространство . Събитие това е набор от резултати, тоест подмножество от пространството на резултатите.
Пример 4 Хвърляне на дартс. Да предположим, че в експеримента "хвърляне на стрели" стрелата удря целта. Намерете всяко от следните:
б) Резултатно пространство
Решение
а) Резултатите са: удряне на черно (H), удряне на червено (K) и удряне на бяло (B).
б) Има място за изход (удар черно, удар червено, удар бяло), което може да се запише просто като (B, R, B).
Пример 5 Хвърляне на зарове.
Зара е куб с шест страни, всяка от които има от една до шест точки. 
Да предположим, че хвърляме зар. намирам
а) Резултати
б) Резултатно пространство
Решение
а) Резултати: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
б) Пространство на резултата (1, 2, 3, 4, 5, 6).
Означаваме вероятността събитие E да се случи като P(E). Например, "монетата ще падне на опашки" може да бъде обозначена с H. Тогава P(H) е вероятността монетата да кацне на опашки. Когато всички резултати от експеримента имат еднаква вероятност да настъпят, се казва, че те са еднакво вероятни. За да видите разликата между събития, които са еднакво вероятни и събития, които не са еднакво вероятни, помислете за целта, показана по-долу. 
За цел А са еднакво вероятни събития с черно, червено и бяло попадение, тъй като черните, червените и белите сектори са едни и същи. Въпреки това, за цел B зоните с тези цветове не са еднакви, тоест удрянето им не е еднакво вероятно.
Принцип P (теоретичен)
Ако събитие E може да се случи по m начина от n възможни равновероятни резултати от пространството на изходите S, тогава теоретична вероятност
събитие, P(E) е
P(E) = m/n.
Пример 6Каква е вероятността да хвърлите 3 чрез хвърляне на зар?
РешениеИма 6 еднакво вероятни резултата на зарчето и има само една възможност за хвърляне на числото 3. Тогава вероятността P ще бъде P(3) = 1/6.
Пример 7Каква е вероятността да се хвърли четно число на зарчето?
РешениеСъбитието е хвърляне на четно число. Това може да се случи по 3 начина (ако хвърлите 2, 4 или 6). Броят на равновероятните резултати е 6. Тогава вероятността P(четно) = 3/6, или 1/2.
Ще използваме редица примери, свързани със стандартно тесте от 52 карти. Такова тесте се състои от картите, показани на фигурата по-долу. 
Пример 8Каква е вероятността да изтеглите асо от добре разбъркано тесте карти?
РешениеИма 52 резултата (броя на картите в тестето), те са еднакво вероятни (ако тестето е добре смесено) и има 4 начина за теглене на асо, така че според принципа P вероятността
P (теглене на асо) = 4/52 или 1/13.
Пример 9Да предположим, че избираме, без да търсим един мрамор от чанта с 3 червени топчета и 4 зелени топчета. Каква е вероятността да изберете червена топка?
РешениеИма 7 еднакво вероятни резултата за получаване на която и да е топка и тъй като броят на начините за изтегляне на червена топка е 3, получаваме
P(избиране на червена топка) = 3/7.
Следните твърдения са резултати от P принципа.
Свойства на вероятността
а) Ако събитието E не може да се случи, тогава P(E) = 0.
b) Ако събитието E трябва да се случи, тогава P(E) = 1.
в) Вероятността събитието Е да се случи е число между 0 и 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.
Например, при хвърляне на монета, вероятността, че монетата кацне на ръба й, е нулева. Вероятността една монета да бъде или глави, или опашки има вероятност от 1.
Пример 10Да предположим, че 2 карти са изтеглени от тесте с 52 карти. Каква е вероятността и двамата да са пики?
РешениеБроят начини n за теглене на 2 карти от добре разбъркано тесте от 52 карти е 52 C 2 . Тъй като 13 от 52 карти са пики, броят на m начини за теглене на 2 пики е 13 C 2 . Тогава,
P (разтягане на 2 пика) = m / n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.
Пример 11Да предположим, че 3 души са избрани на случаен принцип от група от 6 мъже и 4 жени. Каква е вероятността да бъдат избрани 1 мъж и 2 жени?
РешениеБрой начини за избор на трима души от група от 10 души 10 C 3 . Един мъж може да бъде избран по 6 начина C 1, а 2 жени могат да бъдат избрани по 4 начина C 2. Според основния принцип на броене, броят на начините за избор на 1-ви мъж и 2 жени е 6 C 1 . 4C2. Тогава вероятността да бъдат избрани 1 мъж и 2 жени е
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 \u003d 3/10.
Пример 12 Хвърляне на зарове. Каква е вероятността да хвърлите общо 8 на два зара?
РешениеИма 6 възможни изхода на всеки зар. Резултатите се удвояват, тоест има 6,6 или 36 възможни начина, по които числата на два зара могат да паднат. (По-добре е кубчетата да са различни, да речем, че единият е червен, а другият е син - това ще ви помогне да визуализирате резултата.) 
На фигурата по-долу са показани двойки числа, които дават 8. Има 5 възможни начина да получите сумата равна на 8, следователно вероятността е 5/36.
Като знаем, че вероятността може да бъде измерена, нека се опитаме да я изразим в числа. Има три възможни пътя.
Ориз. 1.1. Измерване на вероятността
ВЕРОЯТНОСТ, ОПРЕДЕЛЕНА ОТ СИМЕТРИЯ
Има ситуации, в които възможните резултати са еднакво вероятни. Например, когато хвърлите монета веднъж, ако монетата е стандартна, вероятността да получите глави или опашки е една и съща, т.е. P(глави) = P(опашки). Тъй като са възможни само два резултата, тогава P(глави) + P(опашки) = 1, следователно P(глави) = P(опашки) = 0,5.
При експерименти, при които резултатите имат равни шансове за настъпване, вероятността за събитието E, P(E) е:
Пример 1.1. Монетата се хвърля три пъти. Каква е вероятността за две глави и една опашка?
Като начало, нека намерим всички възможни резултати: За да сме сигурни, че сме намерили всички възможни опции, ще използваме дървовидна диаграма (вижте Глава 1, раздел 1.3.1).
И така, има 8 еднакво вероятни резултата, следователно вероятността за тях е 1/8. Събитие Е - два "орла" и "опашки" - имаше три. Така:
Пример 1.2. Стандартен зар се хвърля два пъти. Каква е вероятността сборът от точките да е 9 или повече?
Нека намерим всички възможни резултати.
Таблица 1.2. Общият брой точки, получени при хвърляне на зар два пъти
И така, в 10 от 36 възможни резултата, сборът от точки е 9, или следователно:
ЕМПИРИЧНО ОПРЕДЕЛЕНА ВЕРОЯТНОСТ
Пример с монета от табл. 1.1 ясно илюстрира механизма за определяне на вероятностите.
С общия брой експерименти, от които са успешни, вероятността за желания резултат се изчислява, както следва:
Съотношението е относителната честота на поява на определен резултат при достатъчно дълъг експеримент. Вероятността се изчислява или на базата на данните от експеримента, на базата на минали данни.
Пример 1.3. От петстотинте тествани електрически лампи, 415 са работили повече от 1000 часа. Въз основа на данните от този експеримент може да се заключи, че вероятността за нормална работа на лампа от този тип за повече от 1000 часа е:
Забележка. Управлението е разрушително, така че не всички лампи могат да бъдат тествани. Ако бъде тествана само една лампа, тогава вероятността ще бъде 1 или 0 (т.е. дали ще може да работи 1000 часа или не). Оттук и необходимостта от повторение на експеримента.
Пример 1.4. В табл. 1.3 показва данни за опита на мъжете, работещи в компанията:
Таблица 1.3. Мъжки трудов стаж
Каква е вероятността следващият човек, нает от фирмата, да работи най-малко две години?
Решение.
Таблицата показва, че 38 от 100 служители са в компанията повече от две години. Емпиричната вероятност следващият служител да остане в компанията повече от две години е:
В същото време приемаме, че новият служител е „типичен, а условията на работа са непроменени.
СУБЕКТИВНА ОЦЕНКА НА ВЕРОЯТНОСТТА
В бизнеса често има ситуации, в които няма симетрия, няма и експериментални данни. Следователно, определянето на вероятността за благоприятен изход под влияние на възгледите и опита на изследователя е субективно.
Пример 1.5.
1. Инвестиционен експерт смята, че вероятността за печалба през първите две години е 0,6.
2. Прогноза на маркетинг мениджъра: вероятността за продажба на 1000 единици продукт през първия месец след пускането му на пазара е 0,4.
Вероятността е много лесна тема, ако се фокусирате върху значението на проблемите, а не върху формулите. Но как да се решат проблемите с вероятностите. Първо, какво е вероятност? Това е шансът да се случи някакво събитие. Ако кажем, че вероятността за някакво събитие е 50%, какво означава това? Това, че или ще се случи, или не, е едно от двете неща. По този начин изчисляването на стойността на вероятността е много просто - трябва да вземете броя на подходящи за нас опции и да разделите на броя на всички възможни опции. Например, шансът да получите опашки при хвърляне на монета е ½. Как да получим ½? Като цяло имаме две възможни опции (глави и опашки), от които една ни подхожда (опашки), така че получаваме вероятността ½.
Както вече видяхме, вероятността може да бъде изразена както в проценти, така и в обикновени числа. Важно: на изпита ще трябва да запишете отговора в цифри, а не в проценти. Приема се, че вероятността варира от 0 (никога не се случва) до 1 (абсолютно ще се случи). Можете също така да кажете това винаги
Вероятност за подходящи събития + вероятност за неподходящи събития = 1
Сега разбираме как точно да изчислим вероятността за едно събитие и дори такива задачи са в банката FIPI, но е ясно, че това не свършва дотук. За да направите живота по-забавен, в проблемите с вероятностите обикновено има поне две събития и трябва да изчислите вероятността, като вземете предвид всяко от тях.
Изчисляваме вероятността за всяко събитие поотделно, след което поставяме знаци между дробите:
1. Ако имате нужда от първото И второто събитие, тогава умножете.
2. Ако имате нужда от първото ИЛИ второ събитие, след това добавете.
Проблеми и решения на проблеми за вероятността
Задача 1.Сред естествените числа от 23 до 37 се избира на случаен принцип едно число. Намерете вероятността тя да не се дели на 5.
решение:
Вероятността е съотношението на благоприятните варианти към общия им брой.
В този интервал има 15 числа. От тях само 3 се делят на 5, така че 12 не се дели.
Вероятност тогава: 
Отговор: 0,8.
Задача 2.Двама ученици от класа са избрани на случаен принцип да служат в трапезарията. Каква е вероятността две момчета да дежурят, ако в класа има 7 момчета и 8 момичета?
решение:Вероятността е съотношението на благоприятните варианти към общия им брой. В клас от 7 момчета това са благоприятни варианти. И само 15 ученици.
Вероятност първото дежурно момче:
Вероятност второто дежурно момче:
Тъй като и двамата трябва да са момчета, умножаваме вероятностите:
Отговор: 0,2.
Задача 3.На борда на самолета има 12 места до аварийните изходи и 18 места зад преградите, разделящи кабините. Останалите седалки са неудобни за висок пътник. Пътникът В. е висок. Намерете вероятността при чекиране, при произволен избор на място, пътник Б. да получи удобно място, ако в самолета има 300 места.
решение:Пътник Б. е удобен с 30 места (12 + 18 = 30), а в самолета има 300 места. Следователно, вероятността пътник Б да получи удобно място е 30/300, т.е. 0,1.
Задача 4.В колекцията от билети по математика има само 25 билета, 10 от тях съдържат въпрос за неравенствата.
Намерете вероятността студент да не получи въпрос за неравенствата в случайно избран билет на изпита.
решение:От 25 билета 15 не съдържат въпрос за неравенствата, така че вероятността в произволно избран билет ученик да не получи въпрос за неравенства е 15/25, т.е. 0,6.
Задача 5. В колекцията от билети по химия има само 35 билета, 7 от тях съдържат въпрос за киселини.
Намерете вероятността студент да не получи въпрос за киселини в билет, избран на случаен принцип на изпита.
решение:От 35 билета 28 не съдържат въпрос за киселини, така че вероятността студент да не получи въпрос за киселини в случайно избран билет на изпита е 28/35, т.е. 0,8.
Задача 6.Средно от 500 продадени градински помпи 2 изтичат. Намерете вероятността една произволно избрана помпа да не изтече.
решение:Ако от 500 помпи 2 изтичат, тогава 498 не изпускат. Следователно, вероятността да изберете добра помпа е 498/500, т.е. 0,996.
Задача 7.Вероятността нова прахосмукачка да бъде ремонтирана в рамките на една година е 0,065. В определен град от 1000 продадени прахосмукачки през годината 70 броя пристигнаха в гаранционния сервиз.
Колко различна е честотата на събитието „гаранционен ремонт“ от вероятността в този град?
решение:Честотата на събитието "гаранционен ремонт" е 70/1000, т.е. 0,07. Тя се различава от прогнозираната вероятност с 0,005 (0,07 - 0,065 = 0,005).
Задача 8.В първенството по гимнастика участват 50 състезатели: 18 от Русия, 14 от Украйна, останалите от Беларус. Редът на изпълнение на гимнастичките се определя с жребий.
Намерете вероятността атлетът, който се представи първи, да бъде от Беларус.
решение:В първенството участват 50 участници и 18 състезатели от Беларус (50 - 18 - 14 = 18).
Вероятността спортист от Беларус да се представи първи е 18 от 50, тоест 18/50, или 0,36.
Задача 9.Научната конференция се провежда в рамките на 5 дни. Планирани са общо 80 доклада – първите три дни по 12 доклада, останалите се разпределят поравно между четвъртия и петия ден. Редът на докладите се определя чрез жребий.
Каква е вероятността докладът на професор М. да бъде насрочен за последния ден на конференцията?
решение:През първите три дни ще бъдат прочетени 36 доклада (12 ∙ 3 = 36), за последните два дни са планирани 44 доклада. Следователно за последния ден са планирани 22 доклада (44: 2 = 22). Това означава, че вероятността докладът на професор М. да бъде насрочен за последния ден на конференцията е 22/80, т.е. 0,275.
Задача 10.
Преди началото на първия кръг от шампионата по шах, участниците се разделят на случаен принцип на игрови двойки чрез теглене. Общо в шампионата участват 26 шахматисти, включително 14 участници от Русия, включително Егор Косов.
Намерете вероятността в първия кръг Егор Косов да играе с някой шахматист от Русия?
решение:В първия кръг Егор Косов може да играе с 25 шахматисти (26 - 1 = 25), от които 13 са от Русия. Това означава, че вероятността в първия кръг Егор Косов да играе с който и да е шахматист от Русия е 13/25, или 0,52.
Задача 11.
В Световното първенство участват 16 отбора. Чрез теглене на жребий те трябва да бъдат разделени на четири групи от по четири отбора. В кутията са смесени карти с групови номера: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.
Капитаните на отборите изтеглят по една карта. Каква е вероятността руският отбор да попадне във втора група?
решение:Вероятността руският отбор да бъде във втората група е равна на съотношението на броя на картите с номер 2 към общия брой карти, тоест 4/16, или 0,25.
Задача 12.В група туристи има 5 човека. С помощта на жребий те избират двама души, които трябва да отидат в селото за храна. Туристът А. би искал да отиде до магазина, но се подчинява на партидата. Каква е вероятността А да отиде в магазина?
решение:Изберете двама туристи от пет. Следователно, вероятността да бъде избран е 2/5, т.е. 0,4.
Задача 13.В група туристи има 30 души. Те се хвърлят с хеликоптер на няколко стъпки в отдалечен район, по 6 души на полет. Редът, в който хеликоптерът превозва туристи, е случаен. Намерете вероятността туристът П. да предприеме първия полет с хеликоптер.
решение:На първия полет има 6 места, общо 30. Тогава вероятността туристът да лети на първия полет с хеликоптер е 6/30, или 0,2.
Задача 14.Каква е вероятността произволно избрано естествено число от 10 до 19 да се дели на 3?
решение: естествени числаима десет от 10 до 19, от които три числа се делят на 3: 12, 15 и 18. Следователно желаната вероятност е 3/10, т.е. 0,3.
Вероятност за множество събития
Задача 1.Преди началото на волейболен мач капитаните на отборите теглят справедлив жребий, за да определят кой отбор ще започне играта с топка. Отборът "Стартер" се редува с отборите "Ротор", "Мотор" и "Стратор". Намерете вероятността "Стартерът" да започне само втората игра.
решение:
Следната опция ще ни подхожда: Stator не започва първата игра, започва втората игра, не започва третата игра. Вероятността за такова развитие на събитията е равна на произведението на вероятностите за всяко от тези събития. Вероятността за всеки от тях е 0,5, следователно: 0,5 0,5 0,5 = 0,125.
Задача 2.За да премине в следващия кръг на състезанието, един футболен отбор трябва да отбележи поне 4 точки в два мача. Ако отборът спечели, той получава 3 точки, при равенство - 1 точка, ако загуби - 0 точки. Намерете вероятността отборът да успее да премине към следващия кръг на състезанието. Имайте предвид, че във всяка игра вероятностите за победа и загуба са еднакви и равни на 0,4.
решение:
Тип въпрос: комбинация от събития.
Вероятността за произход на която и да е от тези 3 опции е равна на сумата от вероятностите на всяка от опциите: 0,08 + 0,08 + 0,16 = 0,32.
Задача 3.В класа има 21 ученици. Сред тях има две приятелки: Аня и Нина. Класът е разделен на случаен принцип в 7 групи от по 3 души всяка. Намерете вероятността Аня и Нина да са в една и съща група.
решение:
Тип въпрос: Намалете групите.
Вероятността Аня да попадне в една от групите е 1. Вероятността Нина да попадне в същата група е 2 от 20 (2 оставащи места в групата и 20 напуснали). 2/20 = 1/10 = 0,1.
Задача 4.Петя имаше в джоба си 4 рубли и 2 две рубли. Петя, без да гледа, прехвърли 3 монети в друг джоб. Намерете вероятността и двете монети от две рубли да са в един и същи джоб.
решение:
Метод номер 1
Тип задача: намаляване на групата.
Представете си, че шест монети са разделени на две групи по три монети. Вероятността първата монета от една рубла да попадне в един от джобовете (групи) = 1.
Вероятността две монети от две рубли да попаднат в един и същи джоб = броят на оставащите места в този джоб / броят на оставащите места в двата джоба = 2/5 = 0,4.
Метод номер 2
Тип въпрос: комбинация от събития.
Задачата се изпълнява по няколко начина:
Ако Петя прехвърли три от четири рубли в друг джоб (той не е прехвърлил монети от две рубли) или ако прехвърли и двете монети от две рубли и една рубла в друг джоб по един от трите начина: 1, 2, 2 ; 2, 1, 2; 2, 2, 1. Можете да изобразите това на диаграма (Питър го поставя в джоб 2, така че ще изчислим вероятностите в колоната „джоб 2“):
Задача 5. Петя имаше в джоба си 2 монети по 5 рубли и 4 монети по 10 рубли. Петя, без да гледа, прехвърли 3 монети в друг джоб. Намерете вероятността монетите от пет рубли сега да са в различни джобове.
решение:
Тип задача: намаляване на групата.
Метод номер 1
Представете си, че шест монети са разделени на две групи по три монети. Вероятността първата монета от две рубли да попадне в един от джобовете (групи) = 1. Вероятността втората монета да попадне в друг джоб = броят на оставащите места в другия / броя на оставащите места в двете джобове = 3/5 = 0,6.
Метод номер 2
Тип въпрос: комбинация от събития.
Задачата се изпълнява от няколко опции:
За да попаднат монети от пет рубли в различни джобове, Петя трябва да извади от джоба си една монета от пет рубли и две монети от десет рубли. Това може да стане по три начина: 5, 10, 10; 10, 5, 10 или 10, 10, 5. Можете да изобразите това на диаграма (Питър го поставя в джоб 2, така че ще изчислим вероятностите в колоната „джоб 2“):
Вероятността за възникване на някоя от тези 4 опции е равна на сумата от вероятностите на всяка от опциите: 
Задача 6.При произволен експеримент симетрична монета се хвърля три пъти. Намерете вероятността да се появи точно два пъти.
решение:Тип въпрос: намиране на желаното и действителното \ комбиниране на събития Ние сме доволни от три варианта:
Орел - опашки - орел;
Орел - орел - опашки;
Опашки - орел - орел;
Вероятността за всеки случай е 1/2, а за всяка опция е 1/8 (1/2 ∙ 1/2 ∙ 1/2 = 1/8)
Ще бъдем доволни или от първия, или от втория, или от третия вариант. Следователно събираме техните вероятности и получаваме 3/8 (1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8), т.е. 0,375.
Задача 7.Ако гросмайстор A. играе бяло, тогава той печели гросмайстор B. с вероятност 0,5. Ако A. играе на черно, тогава A. побеждава B. с вероятност 0,34. Грандмайсторите А. и Б. играят две партии, като във втората игра сменят цвета на фигурите. Намерете вероятността А. да спечели и двата пъти.
решение:
Тип въпрос: комбинация от събития.
Във всеки случай А. ще играе и бели, и черни, така че ще се задоволим с опцията, когато гросмайстор А. спечели, като играе на бяло (вероятност 0,5) и също да играе на черно (вероятност 0,34). Следователно е необходимо да се умножат вероятностите за тези две събития: 0,5 ∙ 0,34 = 0,17.
Задача 8.Вероятността батерията да е дефектна е 0,02. Клиентът в магазина избира произволен пакет, съдържащ две от тези батерии. Намерете вероятността и двете батерии да са добри.
решение:
Тип въпрос: комбинация от събития.
Вероятността батерията да е добра е 0,98. Купувачът се нуждае както от първата, така и от втората батерия, за да са в добро състояние: 0,98 0,98 = 0,9604.
Задача 9.На рок фестивала се изявяват групи – по един от всяка от декларираните държави. Редът на изпълнение се определя с жребий. Каква е вероятността група от САЩ да се представи след група от Канада и след група от Китай? Закръглете резултата до най-близката стотна.
решение:
Тип въпрос: комбинация от събития.
Общият брой на групите, участващи на фестивала, няма значение за отговор на въпроса. Колкото и да има, има 6 начина за посочените държави относителна позициясред високоговорителите (KIT - Китай, CAN = Канада):
...САЩ, МОЖЕ, КИТАЙ...
...САЩ, КИТАЙ, МОГАТ...
... КОМПЛЕКТ, САЩ, МОЖЕ...
... МОЖЕ, САЩ, КИТАЙ ...
... KAN, KIT, САЩ ...
…КОМПЛЕКТ, МОЖЕ, САЩ…
САЩ са зад Китай и Канада в последните два случая. Следователно, вероятността групите да бъдат разпределени на случаен принцип по този начин е равна на:
Допълнителна вероятност
Задача 1.
Автоматичната линия прави батерии. Вероятността готовата батерия да е дефектна е 0,02. Преди опаковане всяка батерия преминава през система за управление. Вероятността системата да отхвърли лоша батерия е 0,97. Вероятността системата по погрешка да отхвърли добра батерия е 0,05.
Намерете вероятността произволно избрана батерия да бъде отхвърлена.
решение:
Има 2 варианта, които ни подхождат:
Вариант А: батерията е отхвърлена, дефектна е;
Вариант Б: батерията е отхвърлена, работи.
Вероятност за вариант А: 0,02 ∙ 0,97 = 0,0194;
Вероятност за вариант Б: 0,05 ∙ 0,98 = 0,049;
Или първият, или вторият вариант ще ни подхожда: 0,0194 + 0,049 = 0,0684.
Задача 2.Две фабрики произвеждат едно и също стъкло за автомобилни фарове. Първата фабрика произвежда 60% от тези очила, втората - 40%. Първата фабрика произвежда 3% дефектни очила, а втората - 5%. Намерете вероятността чаша, случайно закупена в магазин, да бъде дефектна.
решение:
Вероятността стъклото да е закупено от първата фабрика и да е дефектно: 0,6 0,03 = 0,018.
Вероятността стъклото да е закупено от втората фабрика и да е дефектно: 0,4 0,05 = 0,02.
Вероятността случайно закупена в магазин чаша да бъде дефектна е 0,018 + 0,02 = 0,038.
Задача 3.Във фабриката за керамични сервизи 10% от произведените чинии са дефектни. При контрол на качеството на продукта се откриват 80% от дефектните плочи. Останалите плочи се продават. Намерете вероятността плоча, избрана на случаен принцип в момента на покупката, да няма дефекти. Закръглете резултата до хилядни.
решение:
Да предположим, че първоначално имаме x плочи (в края на краищата, ние постоянно се занимаваме с проценти, така че нищо не ни пречи да работим с конкретни стойности).
Тогава 0,1x са дефектни табели, а 0,9x са нормални, които веднага ще отидат в магазина. От дефектните се премахват 80%, тоест 0,08x, а остават 0,02x, които също ще отидат в магазина. По този начин общият брой плочи на рафтовете в магазина ще бъде: 0,9x + 0,02x = 0,92x. От тях 0,9x ще бъдат нормални. Съответно, според формулата, вероятността ще бъде 0,9x / 0,92x ≈ 0,978.
Задача 4.Според отзивите на клиентите Игор Игоревич оцени надеждността на два онлайн магазина. Вероятността желаният продукт да бъде доставен от магазин А е 0,91. Вероятността този продукт да бъде доставен от магазин Б е 0,89. Игор Игоревич поръча стоките наведнъж и в двата магазина. Ако приемем, че онлайн магазините работят независимо един от друг, намерете вероятността никой от магазините да не достави стоките.
Решение.Вероятността първият магазин да не достави стоката е 1 − 0,91 = 0,09. Вероятността вторият магазин да не достави стоката е 1 − 0,89 = 0,11. Вероятността за настъпване на тези две събития едновременно е равна на произведението на вероятностите за всяко от тях: 0,09 0,11 = 0,0099.
Задача 5.При производството на лагери с диаметър 70 mm, вероятността диаметърът да се различава от посочения с по-малко от 0,01 mm е 0,961. Намерете вероятността произволен лагер да има диаметър по-малък от 69,99 mm или по-голям от 70,01 mm.
решение:Дадена ни е вероятността за събитие, при което диаметърът ще бъде между 69,99 mm и 70,01 mm и е равен на 0,961. Можем да намерим вероятността на всички други опции, използвайки принципа на допълнителната вероятност: 1 − 0,961 = 0,039.
Задача 6.Вероятността ученик да реши правилно повече от 9 задачи на тест по история е 0,68. Вероятността повече от 8 задачи да бъдат решени правилно е 0,78. Намерете вероятността точно 9 задачи да бъдат решени правилно.
решение:Вероятността Т. да реши правилно повече от 8 задачи включва вероятността да реши точно 9 задачи. В същото време събития, в които О. решава повече от 9 задачи, не ни подхождат. Следователно, като извадим вероятността за решаване на повече от 8 задачи от вероятността за решаване на повече от 9 задачи, ще намерим вероятността за решаване на само 9 задачи: 0,78 - 0,68 = 0,1.
Задача 7.Ежедневно от областния център до селото се движи автобус. Вероятността в понеделник да има по-малко от 21 пътника в автобуса е 0,88. Вероятността да има по-малко от 12 пътника е 0,66. Намерете вероятността броят на пътниците да бъде между 12 и 20.
Решение.Вероятността автобусът да има по-малко от 21 пътника включва вероятността той да има между 12 и 20 пътника. В същото време събития, в които ще има по-малко от 12 пътника, не са подходящи за нас. Следователно, като извадим от първата вероятност (по-малко от 21) втората вероятност (по-малко от 12), ще намерим вероятността да има от 12 до 20 пътника: 0,88 - 0,66 = 0,22.
Задача 8.В Приказната страна има два вида време: добро и отлично, а времето, установено сутрин, остава непроменено през целия ден. Известно е, че с вероятност 0,9 времето утре ще бъде същото като днес. На 10 април времето в Приказната страна е хубаво. Намерете вероятността на 13 април да има страхотно време в Magicland.
решение:
Задачата се изпълнява от няколко опции ("X" - хубаво време, "O" - страхотно време):
Вероятността за произход на която и да е от тези 4 опции е равна на сумата от вероятностите на всяка от опциите: 0,081 + 0,081 + 0,081 + 0,001 = 0,244.
Задача 9.В Приказната страна има два вида време: добро и отлично, а времето, установено сутрин, остава непроменено през целия ден. Известно е, че с вероятност 0,8 времето утре ще бъде същото като днес. Днес е 3 юли, времето в Приказната страна е хубаво. Намерете вероятността да има страхотно време в Magicland на 6 юли.
решение:
Задачата се изпълнява от няколко опции ("X" - хубаво време, "O" - страхотно време):
Вероятността за произход на която и да е от тези 4 - x опции е равна на сумата от вероятностите на всяка от опциите: 0,128 + 0,128 + 0,128 + 0,008 = 0,392.
