Класификация на събитията на възможни, вероятни и случайни. Понятията прости и сложни елементарни събития. Операции върху събития. Класическата дефиниция на вероятността от случайно събитие и неговите свойства. Елементи на комбинаториката в теорията на вероятностите. геометрична вероятност. Аксиоми на теорията на вероятностите.

Едно от основните понятия на теорията на вероятностите е понятието събитие. Под събитие разбере всеки факт, който може да възникне в резултат на опит или изпитание. Под опит , или тест , се разбира като изпълнение на определен набор от условия.

Примери за събития:

• - попадение в целта при стрелба с пистолет (опит - продукт на изстрел; събитие - попадение в целта);
• - загуба на два герба при трикратно хвърляне на монета (опит - трикратно хвърляне на монета; събитие - загуба на два герба);
• - появата на грешка в измерването в зададените граници при измерване на разстоянието до целта (опит - измерване на разстояние; събитие - грешка в измерването).

Такива примери могат да бъдат цитирани безброй. Събитията се обозначават с главни букви на латиница азбуки A,B,Cи т.н.

Разграничете съвместни събития и несъвместими . Събитията се наричат ​​съвместни, ако настъпването на едно от тях не изключва настъпването на другото. В противен случай събитията се наричат ​​несъвместими. Например, хвърлят се два зара. Събитие AA е хвърляне на три точки на първия зар, събитие B е хвърляне на три точки на втория зар. А и Б са съвместни събития.

Нека магазинът получи партида обувки от същия стил и размер, но с различен цвят. Събитие А - произволно взета кутия ще бъде с черни обувки, събитие Б - кутията ще бъде с кафяви обувки, А и Б са несъвместими събития.

Събитието се нарича надежден ако непременно възниква при условията на дадения експеримент.

Едно събитие се нарича невъзможно, ако не може да се случи при условията на дадения опит. Например случайът, че стандартна част е взета от партида стандартни части, е сигурен, но нестандартна част е невъзможна.

Събитието се нарича възможен , или случаен , ако в резултат на опит може или не може да се появи. Пример за случайно събитие е откриването на дефекти на продукта по време на контрола на партида готови продукти, несъответствието между размера на обработения продукт и дадения, отказ на една от връзките на автоматизираната система за управление.

Събитията се наричат еднакво възможно ако при условията на теста нито едно от тези събития не е обективно по-вероятно от останалите. Да предположим например, че един магазин е снабден с електрически крушки (и в равни количества) от няколко производителя. Събития, състоящи се в закупуване на електрическа крушка от някоя от тези фабрики, са еднакво вероятни.

Важна концепция е пълна група от събития . Няколко събития в даден експеримент образуват пълна група, ако поне едно от тях задължително се появи в резултат на експеримента. Например в една урна има десет топки, от които шест са червени и четири са бели, пет от които са номерирани.

A - появата на червена топка с едно извличане,

B - появата на бяла топка,

C - появата на топката с номера. Събития A,B,Cобразуват пълна група от съвместни събития.

Нека въведем концепцията за противоположно или допълнително събитие. Под противоположност събитие

AЇ се разбира като събитие, което непременно трябва да се случи, ако някое събитие не се е случило

А. Противоположните събития са несъвместими и единствените възможни. Те образуват пълна група от събития.

Планирайте.

1. Случайна променлива (CV) и вероятността от събитие.

2. Закон за разпространение на SW.

3. Биномиално разпределение (разпределение на Бернули).

4. Поасоново разпределение.

5. Нормално (гаусово) разпределение.

6. Равномерно разпределение.

7. Разпределение на ученика.

2.1 Случайна променлива и вероятност за събитие

Математическата статистика е тясно свързана с друга математическа наука – теорията на вероятностите и се основава на нейния математически апарат.

Теория на вероятностите е наука, която изучава модели, генерирани от случайни събития.

Педагогическите явления са сред масовите: те обхващат големи популации от хора, повтарят се от година на година и се случват непрекъснато. Индикаторите (параметри, резултати) на педагогическия процес са от вероятностен характер: едно и също педагогическо въздействие може да доведе до различни последствия (случайни събития, случайни величини). Въпреки това, при многократно възпроизвеждане на условия, определени последствия се появяват по-често от други - това е проявата на така наречените статистически закономерности (които се изучават от теорията на вероятностите и математическата статистика).

Случайна променлива (CV) - това е числена характеристика, измерена в хода на експеримента и в зависимост от случайния резултат. SW, реализирано в хода на експеримента, само по себе си е случайно. Всеки RV дефинира вероятностно разпределение.

Основното свойство на педагогическите процеси и явления е тяхната вероятностна природа (при определени условия те могат да възникнат, да се реализират, но може и да не се появят). За такива събития съществена роляиграе концепцията за вероятността.

Вероятността (P) показва степента на възможност за дадено събитие, явление, резултат. Вероятността за невъзможно събитие е нуластр = 0, надежден - единстр = 1 (100%). Вероятността за всяко събитие е между 0 и 1, в зависимост от това колко случайно е събитието.

Ако се интересуваме от събитие А, тогава най-вероятно можем да наблюдаваме, да фиксираме фактите за неговото възникване. Необходимостта от концепцията за вероятността и нейното изчисляване очевидно ще възникне само когато наблюдаваме това събитие не всеки път или осъзнаваме, че то може или не може да се случи. И в двата случая е полезно да се използва понятието честота на възникване на дадено събитие f(A) - като съотношение на броя на случаите на неговото възникване (благоприятни изходи) към общия брой наблюдения. Честотата на възникване на случайно събитие зависи не само от степента на случайност на самото събитие, но и от броя (броя) наблюдения на това SW.

Има два типа SV проби: зависими независима. Ако резултатите от измерването на определено свойство в обекти от първата проба не влияят на резултатите от измерването на това свойство в обекти от втората проба, тогава такива проби се считат за независими. Когато резултатите от една проба влияят върху резултатите от друга проба, пробите се вземат предвид зависим. Класическият начин за получаване на зависими измервания е да се измери едно и също свойство (или различни свойства) два пъти на членове на една и съща група.

Събитие A не зависи от събитие B, ако вероятността за събитие A не зависи от това дали се е случило събитие B. Събития A и B са независими, ако P(AB)=P(A)P(B). На практика независимостта на събитието се установява от условията на опита, интуицията на изследователя и практиката.

CV е дискретна (можем да номерираме възможните й стойности), например хвърляне на зар = 4, 6, 2, и непрекъсната (нейната функция на разпределение F(x) е непрекъсната), например животът на електрическа крушка .

Очаквана стойност - числена характеристика SW, приблизително равна на средната стойност на SW:

M(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +…+x n p n

2.2 Закон за разпространение на SW

Явленията, които са случайни по природа, подчиняват ли се на някакви закони? Да, но тези закони са различни от физическите закони, с които сме свикнали. Стойностите на SW не могат да бъдат предвидени дори при известни експериментални условия, можем само да посочим вероятностите SW да приеме една или друга стойност. Но знаейки вероятностното разпределение на SW, можем да направим изводи за събитията, в които участват тези случайни променливи. Вярно е, че тези заключения също ще бъдат от вероятностен характер.

Нека някое SW е дискретно, т.е. може да приема само фиксирани стойности X i . В този случай поредица от вероятности P(X i) за всички (i=1…n) допустими стойности на това количество се нарича закон за неговото разпределение.

Законът за разпределение на SW е връзка, която установява връзка между възможните стойности на SW и вероятностите, с които тези стойности се приемат. Законът за разпределение напълно характеризира SW.

При конструирането на математически модел за проверка на статистическа хипотеза е необходимо да се въведе математическо предположение за закона за разпространение на SW (параметричен начин за изграждане на модел).

Непараметричният подход към описанието на математическия модел (SW няма параметричен закон на разпределение) е по-малко точен, но има по-широк обхват.

По същия начин, както за вероятността от случайно събитие, има само два начина да се намери за закона за разпределение на CV. Или изграждаме схема на случайно събитие и намираме аналитичен израз (формула) за изчисляване на вероятността (може би някой вече го е направил или ще го направи преди вас!), Или ще трябва да използваме експеримент и въз основа на честоти на наблюдения, направете някои предположения (изложете хипотези) относно законовото разпределение.

Разбира се, за всяко едно от „класическите“ разпределения тази работа е извършена отдавна – широко известни и много често използвани в приложната статистика са биномните и полиномиалните разпределения, геометричните и хипергеометричните разпределения, разпределенията на Паскал и Поасон, и много други.

За почти всички класически разпределения веднага бяха съставени и публикувани специални статистически таблици, усъвършенствани с увеличаване на точността на изчисленията. Без използването на много томове от тези таблици, без изучаването на правилата за използването им, практическото използване на статистиката е невъзможно през последните два века.

Днес ситуацията се промени - няма нужда да съхранявате изчислителни данни с помощта на формули (без значение колко сложни са последните!), Времето за използване на закона за разпределение за практика е намалено до минути или дори секунди. Вече има достатъчен брой различни пакети от приложни компютърни програми за тези цели.

Сред всички вероятностни разпределения има такива, които се използват най-често в практиката. Тези разпределения са проучени подробно и техните свойства са добре известни. Много от тези разпределения формират основата на цели области на знанието, като теория на масовото обслужване, теория на надеждността, контрол на качеството, теория на игрите и т.н.

2.3 Биномиално разпределение (разпределение на Бернули)

Възниква в случаите, когато се поставя въпросът: колко пъти се случва дадено събитие в поредица от определен брой независими наблюдения (експерименти), извършени при едни и същи условия.

За удобство и яснота ще приемем, че знаем стойността p - вероятността посетител, влизащ в магазина, да бъде купувач и (1 - p) = q - вероятността посетител, влизащ в магазина, да не бъде купувач.

Ако X е броят купувачи от общо n посетители, тогава вероятността да има k купувачи сред n посетители е

P(X= k) = , където k=0,1,…n (1)

Формула (1) се нарича формула на Бернули. При големи числатества биномиалното разпределение клони към нормалното.

2.4 Поасоново разпределение

Той играе важна роля в редица въпроси във физиката, теорията на комуникацията, теорията за надеждността, теорията на опашките и др. Навсякъде, където произволен брой събития (радиоактивни разпадания, телефонни обаждания, повреди на оборудването, аварии и т.н.) могат да се случат за определено време.

Помислете за най-типичната ситуация, в която възниква разпределението на Поасон. Нека някои събития (покупки в магазина) се случват в произволни моменти. Нека определим броя на появата на такива събития във времевия интервал от 0 до T.

Произволен брой събития, настъпили във времето от 0 до T, се разпределят съгласно закона на Поасон с параметъра l=aT, където a>0 е параметър на задачата, който отразява средната честота на събитията. Вероятността за k покупки за голям интервал от време (например ден) ще бъде

P(Z=k) =

(2)

2.5 Нормално (гаусово) разпределение

Нормалното (гаусово) разпределение заема централно място в теорията и практиката на вероятностно-статистическите изследвания. Като непрекъснато приближение на биномното разпределение, то е разгледано за първи път от A. De Moivre през 1733 г. След известно време нормалното разпределение отново е открито и изследвано от К. Гаус (1809) и П. Лаплас, които стигат до нормалното функция във връзка с работата по теорията грешки при наблюдение.

Непрекъсната случайна променлива хНаречен разпределени по нормалния закон, ако неговата плътност на разпределение е равна на

където

съвпада с математическото очакване на X:
=M(X), параметърът s съвпада със стандартното отклонение на X: s =s(X). Графиката на функцията на нормалното разпределение, както може да се види от фигурата, има формата на куполообразна крива, наречена Гаус, максималната точка има координати (a;

Тази крива при μ=0, σ=1 получи статут на стандарт, нарича се единична нормална крива, т.е. всички събрани данни се стремят да бъдат трансформирани, така че тяхната крива на разпределение да е възможно най-близо до тази стандартна крива .

Нормализираната крива е изобретена за решаване на проблеми в теорията на вероятностите, но на практика се оказа, че тя идеално приближава честотното разпределение с голям брой наблюдения за много променливи. Може да се приеме, че без материални ограничения на броя на обектите и времето на експеримента статистическото изследване се свежда до нормална крива.

2.6 Равномерно разпределение

Равномерното разпределение на вероятностите е най-простото и може да бъде дискретно или непрекъснато. Отделен равномерно разпределение- това е такова разпределение, за което вероятността за всяка от стойностите на CB е една и съща, тоест:

където N е броят на възможните SW стойности.

Разпределението на вероятностите на непрекъснат CB X, вземайки всичките си стойности от сегмента [a; b], се нарича равномерно, ако неговата плътност на вероятността на този сегмент е постоянна, а извън нея е равна на нула:

(5)

2.7 Разпределение на студентите

Това разпределение е свързано с нормалното разпределение. Ако RV x 1 , x 2 , … x n са независими и всеки от тях има стандартно нормално разпределение N(0,1), тогава RV има разпределение, наречено разпространение Студент:

Мнозина, изправени пред понятието "теория на вероятностите", са уплашени, мислейки, че това е нещо непосилно, много сложно. Но всъщност не всичко е толкова трагично. Днес ще разгледаме основната концепция на теорията на вероятностите, ще научим как да решаваме проблеми, като използваме конкретни примери.

Науката

Какво изучава такъв клон на математиката като „теория на вероятностите“? Тя отбелязва модели и величини. За първи път учените се интересуват от този въпрос през осемнадесети век, когато изучават хазарта. Основното понятие на теорията на вероятностите е събитие. Това е всеки факт, който е установен чрез опит или наблюдение. Но какво е опит? Друга основна концепция на теорията на вероятностите. Това означава, че тази комбинация от обстоятелства не е създадена случайно, а с определена цел. Що се отнася до наблюдението, тук самият изследовател не участва в експеримента, а просто е свидетел на тези събития, той по никакъв начин не влияе на случващото се.

Разработки

Научихме, че основната концепция на теорията на вероятностите е събитие, но не разгледахме класификацията. Всички те попадат в следните категории:

• Надежден.
• Невъзможен.
• Случаен.

Без значение какъв вид събития се наблюдават или създават в хода на опита, всички те са обект на тази класификация. Предлагаме да се запознаем с всеки от видовете поотделно.

Достоверно събитие

Това е обстоятелство, пред което са взети необходимите мерки. За да разберем по-добре същността, по-добре е да дадем няколко примера. Този закон е предмет на физиката, и химията, и икономиката, и висша математика. Теорията на вероятностите включва такава важна концепция като определено събитие. Ето няколко примера:

• Работим и получаваме възнаграждение под формата на заплати.
• Издържахме добре изпитите, издържахме състезанието, за това получаваме награда под формата на допускане до образователна институция.
• Инвестирахме пари в банката, ако трябва, ще си ги върнем.

Такива събития са надеждни. Ако сме изпълнили всички необходими условия, тогава със сигурност ще получим очаквания резултат.

Невъзможни събития

Сега ще разгледаме елементи от теорията на вероятностите. Предлагаме да преминем към обяснение на следващия тип събития, а именно невъзможното. Като начало ще посочим най-важното правило - вероятността за невъзможно събитие е нула.

Невъзможно е да се отклоните от тази формулировка при решаване на проблеми. За пояснение, ето примери за такива събития:

• Водата замръзна при температура плюс десет (това е невъзможно).
• Липсата на електричество не влияе по никакъв начин на производството (също толкова невъзможно, колкото и в предишния пример).

Не бива да се дават повече примери, тъй като описаните по-горе много ясно отразяват същността на тази категория. Невъзможното събитие никога няма да се случи по време на преживяването при никакви обстоятелства.

случайни събития

При изучаването на елементите трябва да се обърне специално внимание на този конкретен тип събития. Това изучава науката. В резултат на опита нещо може да се случи или да не се случи. Освен това тестът може да се повтаря неограничен брой пъти. Видни примери са:

• Хвърлянето на монета е преживяване или изпитание, заглавието е събитие.
• Изваждането на топката от торбата на сляпо е тест, улавянето на червена топка е събитие и т.н.

Може да има неограничен брой такива примери, но като цяло същността трябва да е ясна. За обобщаване и систематизиране на придобитите знания за събитията е дадена таблица. Теорията на вероятностите изучава само последния тип от всички представени.

Закони

Теорията на вероятностите е наука, която изучава възможността за възникване на събитие. Подобно на другите, има някои правила. Съществуват следните закони на теорията на вероятностите:

• Сходимост на последователности от случайни променливи.
• Законът за големите числа.

При изчисляване на възможността на комплекса може да се използва комплекс от прости събития за постигане на резултата по по-лесен и бърз начин. Имайте предвид, че законите на теорията на вероятностите се доказват лесно с помощта на някои теореми. Да започнем с първия закон.

Сходимост на последователности от случайни променливи

Имайте предвид, че има няколко типа конвергенция:

• Последователността от случайни променливи е сходна по вероятност.
• Почти невъзможно.
• RMS конвергенция.
• Конвергенция на разпределението.

Така че в движение е много трудно да се стигне до дъното. Ето някои определения, които да ви помогнат да разберете тази тема. Да започнем с първия поглед. Последователността се нарича сходни по вероятност, ако е изпълнено следното условие: n клони към безкрайност, числото, към което клони редицата, е по-голямо от нула и близко до единица.

Да преминем към следващ вид,почти сигурно. Казва се, че последователността се събира почти сигурнокъм случайна променлива с n, клонящо към безкрайност, и P, клонящо към стойност, близка до единица.

Следващият тип е RMS конвергенция. При използване на SC конвергенция, изследването на вектор случайни процесисе свежда до изследване на техните координатни случайни процеси.

Последният тип остава, нека го анализираме накратко, за да преминем директно към решаването на проблеми. Конвергенцията на разпределението има друго име - „слаба“, по-долу ще обясним защо. Слаба конвергенцияе сходимостта на функциите на разпределение във всички точки на непрекъснатост на ограничителната функция на разпределение.

Определено ще изпълним обещанието: слабата конвергенция се различава от всичко по-горе по това, че случайната променлива не е дефинирана на вероятностното пространство. Това е възможно, тъй като условието се формира изключително с помощта на функции на разпределение.

Закон за големите числа

Отлични помощници в доказването на този закон ще бъдат теореми на теорията на вероятностите, като например:

• Неравенството на Чебишев.
• Теорема на Чебишев.
• Обобщена теорема на Чебишев.
• Теорема на Марков.

Ако разгледаме всички тези теореми, тогава този въпрос може да се проточи за няколко десетки листа. Основната ни задача е да приложим теорията на вероятностите на практика. Каним ви да направите това точно сега. Но преди това, нека разгледаме аксиомите на теорията на вероятностите, те ще бъдат основните помощници при решаването на проблеми.

Аксиоми

С първия вече се запознахме, когато говорихме за невъзможното събитие. Нека си припомним: вероятността от невъзможно събитие е нула. Дадохме много ярък и запомнящ се пример: сняг падна при температура на въздуха тридесет градуса по Целзий.

Второто е следното: определено събитие се случва с вероятност равна на единица. Сега нека покажем как да го запишем с помощта на математическия език: P(B)=1.

Трето: Случайно събитие може или не може да се случи, но възможността винаги варира от нула до едно. Колкото по-близка е стойността до единица, толкова по-голям е шансът; ако стойността се доближава до нула, вероятността е много ниска. Нека го напишем на математически език: 0<Р(С)<1.

Помислете за последната, четвърта аксиома, която звучи така: вероятността от сумата от две събития е равна на сумата от техните вероятности. Пишем на математически език: P (A + B) \u003d P (A) + P (B).

Аксиомите на теорията на вероятностите са най-простите правила, които лесно се запомнят. Нека се опитаме да решим някои проблеми, въз основа на вече натрупаните знания.

Лотариен билет

Като начало помислете за най-простия пример - лотарията. Представете си, че сте купили един билет за лотария за късмет. Каква е вероятността да спечелите поне двадесет рубли? Общо в тиража участват хиляда билета, един от които има награда от петстотин рубли, десет от сто рубли, петдесет от двадесет рубли и сто от пет. Проблемите в теорията на вероятностите се основават на намирането на възможността за късмет. Нека заедно да разгледаме решението на горния проблем.

Ако обозначим с буквата А печалба от петстотин рубли, тогава вероятността да получим А ще бъде 0,001. Как го получихме? Просто трябва да разделите броя на "щастливите" билети на общия им брой (в този случай: 1/1000).

B е печалба от сто рубли, вероятността ще бъде равна на 0,01. Сега действахме на същия принцип като в предишното действие (10/1000)

C - печалбата е равна на двадесет рубли. Намираме вероятността, тя е равна на 0,05.

Останалите билети не представляват интерес за нас, тъй като техният награден фонд е по-малък от посочения в условието. Нека приложим четвъртата аксиома: Вероятността да спечелите поне двадесет рубли е P(A)+P(B)+P(C). Буквата P обозначава вероятността за настъпване на това събитие, вече ги намерихме в предишните стъпки. Остава само да добавим необходимите данни, в отговора получаваме 0,061. Това число ще бъде отговорът на въпроса на задачата.

тесте карти

Проблемите в теорията на вероятностите също са по-сложни, вземете например следната задача. Пред вас е тесте от тридесет и шест карти. Вашата задача е да изтеглите две карти подред, без да смесвате купчината, първата и втората карта трябва да са аса, боята няма значение.

Като начало намираме вероятността първата карта да бъде асо, за това разделяме четири на тридесет и шест. Оставят го настрана. Изваждаме втората карта, тя ще бъде асо с вероятност три тридесет и пети. Вероятността за второто събитие зависи от това коя карта сме изтеглили първа, интересуваме се дали е било асо или не. От това следва, че събитие B зависи от събитие A.

Следващата стъпка е да намерим вероятността за едновременно изпълнение, тоест умножаваме A и B. Техният продукт се намира по следния начин: умножаваме вероятността за едно събитие по условната вероятност за друго, което изчисляваме, приемайки, че първото случи се събитие, тоест изтеглихме асо с първата карта.

За да стане всичко ясно, нека дадем обозначение на такъв елемент като събития. Изчислява се, като се приема, че събитие А е настъпило. Изчислено, както следва: P(B/A).

Нека продължим решението на нашия проблем: P (A * B) \u003d P (A) * P (B / A) или P (A * B) \u003d P (B) * P (A / B). Вероятността е (4/36) * ((3/35)/(4/36). Изчислете чрез закръгляване до стотни. Имаме: 0,11 * (0,09/0,11)=0,11 * 0, 82 = 0,09 Вероятността, че ние ще изтегли два аса подред е девет стотни. Стойността е много малка, от което следва, че вероятността за настъпване на събитието е изключително малка.

Забравен номер

Предлагаме да анализираме още няколко варианта за задачи, които се изучават от теорията на вероятностите. Вече видяхте примери за решаване на някои от тях в тази статия, нека се опитаме да разрешим следния проблем: момчето забрави последната цифра от телефонния номер на своя приятел, но тъй като обаждането беше много важно, той започна да набира всичко на свой ред. Трябва да изчислим вероятността той да се обади не повече от три пъти. Решението на проблема е най-просто, ако са известни правилата, законите и аксиомите на теорията на вероятностите.

Преди да разгледате решението, опитайте се да го решите сами. Знаем, че последната цифра може да бъде от нула до девет, тоест има общо десет стойности. Вероятността да получите правилния е 1/10.

След това трябва да разгледаме варианти за произхода на събитието, да предположим, че момчето е познало правилно и веднага е отбелязало правилния резултат, вероятността за такова събитие е 1/10. Вторият вариант: първото обаждане е пропуск, а второто е в целта. Изчисляваме вероятността от такова събитие: умножаваме 9/10 по 1/9, в резултат получаваме също 1/10. Третият вариант: първото и второто обаждане се оказаха на грешен адрес, само от третото момчето стигна, където искаше. Изчисляваме вероятността от такова събитие: умножаваме 9/10 по 8/9 и по 1/8, получаваме 1/10 като резултат. Според условието на задачата други варианти не ни интересуват, така че остава да съберем резултатите, като резултат имаме 3/10. Отговор: Вероятността момчето да се обади не повече от три пъти е 0,3.

Карти с числа

Пред вас има девет карти, всяка от които съдържа число от едно до девет, числата не се повтарят. Те се поставят в кутия и се разбъркват старателно. Трябва да изчислите вероятността, че

• ще се появи четен брой;
• двуцифрен.

Преди да преминем към решението, нека уговорим, че m е броят на успешните случаи, а n е общият брой опции. Намерете вероятността числото да е четно. Няма да е трудно да се изчисли, че има четири четни числа, това ще бъде нашето m, има общо девет опции, тоест m = 9. Тогава вероятността е 0,44 или 4/9.

Разглеждаме втория случай: броят на опциите е девет и изобщо не може да има успешни резултати, тоест m е равно на нула. Вероятността изтеглената карта да съдържа двуцифрено число също е нула.

комбинаторна статистика на вероятностни събития

Теорията на вероятностите е клон на математиката, който изучава модели на случайни явления. Случайните явления са явления с несигурен изход, които възникват, когато определен набор от условия се възпроизвежда многократно. Формирането и развитието на теорията на вероятностите е свързано с имената на такива велики учени като: Кардано, Паскал, Ферма, Бернули, Гаус, Чебишев, Калмогоров и много други. Моделите на случайни явления са открити за първи път през 16-17 век. на примера на хазарта, подобен на играта на зарове. Законите за раждането и смъртта също са известни от много дълго време. Например, известна ли е вероятността новороденото да е момче? 0,515. През 19-ти и 20-ти век голям брой закономерности са открити във физиката, химията, биологията и др. В момента методите на теорията на вероятностите се използват широко в различни клонове на естествените науки и технологиите: в теорията на надеждността, теорията на масовото обслужване, теоретичната физика, геодезията, астрономията, стрелбата теория, теорията на грешките при наблюдение, теорията на автоматичното управление, общата теория на комуникацията и в много други теоретични и приложни науки. Теорията на вероятностите служи и за обосноваване на математическата и приложна статистика, която от своя страна се използва при планирането и организацията на производството, при анализа на технологичните процеси, превантивния и приемо-предавателния контрол на качеството на продукцията и за много други цели. През последните години методите на теорията на вероятностите все повече навлизат в различни области на науката и технологиите, допринасяйки за техния прогрес.

Пробен период. Събитие. Класификация на събитията

Тестът е многократно възпроизвеждане на същия набор от условия, при които е направено наблюдение. Резултатът от качествен тест е събитие. Пример 1: Урна съдържа цветни топки. От урната се взема една топка за късмет. Тест – изваждане на топката от урната; Събитие е появата на топка с определен цвят. A.2: Наборът от взаимно изключващи се резултати от едно изпитване се нарича набор от елементарни събития или елементарни резултати. Пример 2: Зарът се хвърля веднъж. Тест – подхвърляне на кокал; Събитие - загуба на определен брой точки. Наборът от елементарни резултати е (1,2,3,4,5,6). Събитията се означават с главни букви на латинската азбука: A 1, A 2, ..., A, B, C, ... Наблюдаваните събития (явления) могат да бъдат разделени на следните три вида: надеждни, невъзможни, случайни. A. 3: Едно събитие се нарича сигурно, ако в резултат на теста определено ще се случи. A4: Едно събитие се смята за невъзможно, ако в резултат на теста то никога няма да се случи. A.5: Едно събитие се нарича случайно, ако в резултат на теста то може да се случи или да не се случи. Пример 3: Тест - топката се хвърля нагоре. Събитие A = (топката ще падне) - надеждно; Събитие B=(топката ще виси във въздуха) е невъзможно; Събитието C=(топката ще падне върху главата на хвърлящия) е случайно. Случайните събития (явления) могат да бъдат разделени на следните видове: съвместни, несъвместими, противоположни, еднакво възможни. A. 6: Две събития се наричат ​​съвместни, ако в един опит настъпването на едно от тях не изключва настъпването на другото. A. 7: Две събития се считат за несъвместими, ако в един опит настъпването на едно от тях изключва настъпването на другото. Пример 4: Монета се хвърля два пъти. Събитие A - (Емблемата падна за първи път); Събитие B - (Отпадна втори герб); Събитие C - (Оглавява за първи път). Събития A и B са съвместни, A и C са несъвместими. A. 8: Няколко събития образуват пълна група в дадено изпитание, ако са несъвместими по двойки и в резултат на изпитанието едно от тези събития със сигурност ще се появи. Пример 5: Момче хвърля монета в ротативка. Събитие A = (момче печели); Събитие B=(момчето няма да спечели); A и B - образуват пълна група от събития. A.9: Две несъвместими събития, които образуват пълна група, се наричат ​​противоположни. Означава се събитието, противоположно на събитие А. Пример 6. Произвежда се един изстрел по мишената. Събитие А - хит; Събитието е пропуск.

Класификация на събитията на възможни, вероятни и случайни. Понятията прости и сложни елементарни събития. Операции върху събития. Класическата дефиниция на вероятността от случайно събитие и неговите свойства. Елементи на комбинаториката в теорията на вероятностите. геометрична вероятност. Аксиоми на теорията на вероятностите.

Класификация на събитията

Едно от основните понятия на теорията на вероятностите е понятието събитие. Под събитиеразбере всеки факт, който може да възникне в резултат на опит или изпитание. Под опит, или тест, се разбира като изпълнение на определен набор от условия.

Примери за събития:

- попадение в целта при стрелба с пистолет (опит - продукт на изстрел; събитие - попадение в целта);
- загуба на два герба по време на трикратно хвърляне на монета (опит - трикратно хвърляне на монета; събитие - загуба на два герба);
- появата на грешка в измерването в зададените граници при измерване на разстоянието до целта (експеримент - измерване на разстояние; събитие - грешка в измерването).

Такива примери могат да бъдат цитирани безброй. Събитията се обозначават с главни букви на латинската азбука и др.

Разграничете съвместни събитияи несъвместими. Събитията се наричат ​​съвместни, ако настъпването на едно от тях не изключва настъпването на другото. В противен случай събитията се наричат ​​несъвместими. Например, хвърлят се два зара. Събитие е хвърляне на три точки на първия зар, събитие е хвърляне на три точки на втория зар. и - съвместни събития. Нека магазинът получи партида обувки от същия стил и размер, но с различен цвят. Събитие - произволно взета кутия ще бъде с черни обувки, събитие - кутията ще бъде с кафяви обувки и - несъвместими събития.

Събитието се нарича надежденако непременно възниква при условията на дадения експеримент.

Едно събитие се нарича невъзможно, ако не може да се случи при условията на дадения опит. Например случайът, че стандартна част е взета от партида стандартни части, е сигурен, но нестандартна част е невъзможна.

Събитието се нарича възможен, или случаен, ако в резултат на опит може или не може да се появи. Пример за случайно събитие е откриването на дефекти на продукта по време на контрола на партида готови продукти, несъответствието между размера на обработения продукт и дадения, отказ на една от връзките на автоматизираната система за управление.

Събитията се наричат еднакво възможноако при условията на теста нито едно от тези събития не е обективно по-вероятно от останалите. Да предположим например, че един магазин е снабден с електрически крушки (и в равни количества) от няколко производителя. Събития, състоящи се в закупуване на електрическа крушка от някоя от тези фабрики, са еднакво вероятни.

Важна концепция е пълна група от събития. Няколко събития в даден експеримент образуват пълна група, ако поне едно от тях задължително се появи в резултат на експеримента. Например в една урна има десет топки, от които шест са червени и четири са бели, пет от които са номерирани. - появата на червена топка с една рисунка, - появата на бяла топка, - появата на топка с число. Събитията образуват пълна група от съвместни събития.

Нека въведем концепцията за противоположно или допълнително събитие. Под противоположностсъбитие е събитие, което задължително трябва да се случи, ако някое събитие не се случи. Противоположните събития са несъвместими и единствено възможни. Те образуват пълна група от събития. Например, ако партида от произведени продукти се състои от добри и дефектни, тогава когато един продукт бъде премахнат, той може да се окаже или добро събитие, или дефектно събитие.

Операции върху събития

При разработването на апарата и методологията за изучаване на случайни събития в теорията на вероятностите концепцията за сумата и произведението на събитията е много важна.

Сумата или обединението на няколко събития е събитие, състоящо се в настъпването на поне едно от тези събития.

Сборът на събитията се посочва, както следва:

Например, ако събитие е попадение в целта при първия изстрел, събитие - при втория, тогава събитието е попадение в целта като цяло, без значение какъв изстрел - първият, вторият или и двата заедно.

Продуктът или пресечната точка на няколко събития е събитие, състоящо се от съвместното възникване на всички тези събития.

Продуктът на събитията е означен

Например, ако събитието е попадение в мишената при първия изстрел и събитието при втория, тогава събитието е, че целта е била поразена и при двата изстрела.

Понятията сума и продукт на събитията имат ясна геометрична интерпретация. Нека събитието се състои в попадение в точката в региона , събитието - в попадение в региона , тогава събитието се състои в попадение в точката в областта, защрихована на фиг. 1, а събитието - когато точка удари областта, защрихована на фиг. 2.

Класическата дефиниция на вероятността от случайно събитие

За количествено сравнение на събитията според степента на възможността за тяхното възникване се въвежда числена мярка, която се нарича вероятност за събитие.

Вероятността за събитие е число, което е израз на мярка за обективната възможност за настъпване на събитие.

Вероятността за събитие ще бъде обозначена със символа.

Вероятността за събитие е равна на отношението на броя на благоприятните за него случаи от общия брой уникални, еднакво възможни и несъвместими случаи към броят.е.

Това е класическата дефиниция на вероятността. По този начин, за да се намери вероятността за събитие, е необходимо, след като се вземат предвид различните резултати от теста, да се намери набор от единствените възможни, еднакво възможни и несъвместими случаи, да се изчисли общият им брой, броят на случаите, благоприятни за това събитие и след това извършете изчислението по формула (1.1).

От формула (1.1) следва, че вероятността за събитие е неотрицателно число и може да варира от нула до единица в зависимост от дела на благоприятния брой случаи от общия брой случаи:

Свойства на вероятността

Имот 1. Ако всички случаи са благоприятни за дадено събитие, тогава това събитие определено ще се случи. Следователно разглежданото събитие е надеждно и вероятността за неговото възникване е , тъй като в този случай

Имот 2. Ако няма нито един благоприятен случай за дадено събитие, тогава това събитие не може да се случи в резултат на опит. Следователно, разглежданото събитие е невъзможно и вероятността за възникването му е , тъй като в този случай:

Имот 3. Вероятността за възникване на събития, образуващи пълна група, е равна на единица.

Имот 4. Вероятността за възникване на противоположното събитие се определя по същия начин като вероятността за възникване на събитието:

където е броят на случаите, благоприятстващи настъпването на обратното събитие. Следователно вероятността за възникване на противоположното събитие е равна на разликата между единица и вероятността за възникване на събитието:

Важно предимство на класическата дефиниция на вероятността от събитие е, че с негова помощ вероятността от събитие може да се определи, без да се прибягва до опит, а въз основа на логически разсъждения.

Пример 1. При набиране на телефонен номер абонатът забрави една цифра и я набра произволно. Намерете вероятността желаната цифра да бъде набрана.

Решение. Да обозначим събитието, което се състои в набиране на необходимия номер. Абонатът може да набере всяка от 10-те цифри, така че общият брой на възможните резултати е 10. Тези резултати са единствените възможни (една от цифрите е задължителна) и еднакво възможни (цифрата се набира произволно). Само един изход благоприятства събитието (необходимият брой е само един). Желаната вероятност е равна на съотношението на броя на резултатите, които благоприятстват събитието, към броя на всички резултати:

Елементи на комбинаториката

В теорията на вероятностите често се използват разположения, пермутации и комбинации. Ако е даден набор, тогава разположение (комбинация)от елементи от е всяко подредено (неподредено) подмножество от елементи на множеството. Когато поставянето се извика пермутацияот елементи.

Нека например ни е даден набор . Подредбите на трите елемента от този комплект, два по два, са , , , , , ; комбинации - , , .

Две комбинации се различават поне по един елемент, а разположенията се различават или в самите елементи, или в техния ред. Броят на комбинациите от елементи по се изчислява по формулата

е броят на поставянията на елементи от ; е броят на пермутациите на елементите.

Пример 2. Има 7 стандартни части в партида от 10 части. Намерете вероятността сред 6 произволно избрани части да има точно 4 стандартни.

Решение. Общият брой на възможните резултати от теста е равен на броя на начините, по които 6 части могат да бъдат извлечени от 10, т.е. той е равен на броя на комбинациите от 10 елемента по 6. Броят на резултатите, които благоприятстват събитието (сред 6 взети части точно 4 стандартни) се определя, както следва: 4 стандартни части могат да бъдат взети от 7 стандартни части по начини; докато останалите детайли трябва да са нестандартни; можете да вземете 2 нестандартни части от нестандартни части по начини. Следователно броят на благоприятните резултати е . Първоначалната вероятност е равна на съотношението на броя на резултатите, които благоприятстват събитието, към броя на всички резултати:

Статистическа дефиниция на вероятността

Формула (1.1) се използва за директно изчисляване на вероятностите от събития само когато опитът е сведен до схема от случаи. На практика класическата дефиниция на вероятността често е неприложима по две причини: първо, класическата дефиниция на вероятност предполага, че общият брой случаи трябва да е краен. Всъщност често не е ограничен. Второ, често е невъзможно да се представят резултатите от опита под формата на еднакво възможни и несъвместими събития.

Честотата на възникване на събитията при повтарящи се експерименти има тенденция да се стабилизира около някаква постоянна стойност. По този начин с разглежданото събитие е възможно да се свърже определена постоянна стойност, около която се групират честотите и която е характеристика на обективната връзка между набора от условия, при които се провеждат експериментите, и събитието.

Вероятността за случайно събитие е числото, около което се групират честотите на това събитие с увеличаване на броя на опитите.

Това определение на вероятността се нарича статистически.

Предимството на статистическия метод за определяне на вероятността е, че той се основава на реален експеримент. Същественият му недостатък обаче е, че за да се определи вероятността, е необходимо да се извършат голям брой експерименти, които много често са свързани с материални разходи. Статистическата дефиниция на вероятността от събитие, макар и доста пълно разкрива съдържанието на тази концепция, но не позволява реално изчисляване на вероятността.

Класическата дефиниция на вероятността разглежда пълна група от краен брой еднакво вероятни събития. На практика много често броят на възможните резултати от опитите е безкраен. В такива случаи класическата дефиниция за вероятност не се прилага. Но понякога в такива случаи можете да използвате друг метод за изчисляване на вероятността. За определеност се ограничаваме до двумерния случай.

Нека на равнината е дадена някаква площ от площ, която съдържа друга област от площ (фиг. 3). Точка се хвърля на случаен принцип в областта. Каква е вероятността точката да попадне в зоната? Предполага се, че произволно хвърлена точка може да удари всяка точка от зоната и вероятността да попадне във всяка част от зоната е пропорционална на площта на частта и не зависи от нейното местоположение и форма. В този случай, вероятността за уцелване на зоната при хвърляне на произволна точка в зоната

По този начин, в общия случай, ако възможността за случайна поява на точка вътре в определен регион на права линия, равнина или в пространството се определя не от положението на този регион и неговите граници, а само от неговия размер, т.е. дължина, площ или обем, тогава вероятността произволна точка да попадне в определена област се определя като отношението на размера на тази област към размера на цялата област, в която тази точка може да се появи. Това е геометричната дефиниция на вероятността.

Пример 3. Кръгла цел се върти с постоянна ъглова скорост. Петата част на мишената е оцветена в зелено, а останалата част е бяла (фиг. 4). Произвежда се изстрел към целта, така че уцелването на целта е надеждно събитие. Необходимо е да се определи вероятността за попадение в целевия сектор, оцветен в зелено.

Решение. Да обозначим - "изстрелът е попаднал в сектора, боядисан в зелено". Тогава . Вероятността се получава като съотношението на площта на оцветената в зелено част на целта към цялата площ на целта, тъй като уцелването на всяка част от целта е еднакво възможно.

Аксиоми на теорията на вероятностите

От статистическата дефиниция на вероятността за случайно събитие следва, че вероятността за събитие е числото, около което са групирани експериментално наблюдаваните честоти на това събитие. Следователно аксиомите на теорията на вероятностите са въведени по такъв начин, че вероятността за събитие има основните свойства на честотата.

Аксиома 1. Всяко събитие съответства на определено число, което отговаря на условието и се нарича негова вероятност.