Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.
Събиране и използване на лична информация
Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или връзка с конкретно лице.
Може да бъдете помолени да предоставите личната си информация по всяко време, когато се свържете с нас.
Следват някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме такава информация.
Каква лична информация събираме:
- Когато подадете заявление на сайта, ние може да събираме различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и т.н.
Как използваме вашата лична информация:
- Събрани от нас лична информацияни позволява да се свържем с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
- От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
- Можем също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
- Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация, за да администрираме такива програми.
Разкриване на трети страни
Ние не разкриваме получената от вас информация на трети страни.
Изключения:
- В случай, че е необходимо - в съответствие със закона, съдебния ред, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - разкрийте личната си информация. Можем също да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за сигурност, правоприлагане или други цели от обществен интерес.
- В случай на реорганизация, сливане или продажба, ние можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния правоприемник на трета страна.
Защита на личната информация
Ние предприемаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.
Поддържане на вашата поверителност на ниво компания
За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.
Знаем, че две прави са успоредни, ако в пресечната точка на тяхната трета права съответните ъгли са равни, или вътрешни или външни кръстосани ъгли, или сумата от вътрешните, или сумата от външните едностранни ъгли е равна на 2 д. Нека докажем, че и обратните теореми са верни, а именно:
Ако две успоредни прави се пресичат от трета, тогава:
1. съответните ъгли са равни;
2. вътрешните напречно разположени ъгли са равни;
3. външните напречно разположени ъгли са равни;
4. сумата от вътрешните едностранни ъгли е 2d;
5. сборът на външните едностранни ъгли е 2d.
Нека докажем например, че ако две успоредни прави се пресичат от трета права, тогава съответните ъгли са равни.
Нека правите AB и CD са успоредни, а MN е тяхната секуща (фиг.). Нека докажем, че съответните ъгли 1 и 2 са равни един на друг.
Да приемем, че ∠1 и ∠2 не са равни. Тогава в точка O може да се конструира ∠MOC, съответстващ и равен на ∠2 (фиг.).
Но ако ∠MOK = ∠2, тогава правата OK ще бъде успоредна на CD.
Получихме, че две прави AB и OK са проведени през точка O, успоредни на правата CD. Но това не може да бъде.
Стигнахме до противоречие, защото приехме, че ∠1 и ∠2 не са равни. Следователно нашето предположение е погрешно и ∠1 трябва да е равно на ∠2, т.е. съответните ъгли са равни.
Установете връзки между останалите ъгли. Нека правите AB и CD са успоредни, а MN е тяхната секуща (фиг.).
Току-що доказахме, че в този случай съответните ъгли са равни. Да предположим, че всеки две от тях имат по 119°. Изчислете стойността на всеки от останалите шест ъгъла. Въз основа на свойствата на съседни и вертикални ъгли получаваме, че четири от осемте ъгъла ще имат 119°, а останалите - 61°.
Оказа се, че както вътрешните, така и външните кръстосани ъгли са по двойки равни, а сборът от вътрешни или външни едностранни ъгли е равен на 180° (или 2d).
Същото ще се случи и за всяка друга стойност на равни съответни ъгли.
Последствие 1. Ако всяка от двете прави AB и CD е успоредна на една и съща трета права MN, тогава първите две права са успоредни една на друга .
Всъщност, след начертаване на секущата EF (фиг.), получаваме:
а) ∠1 = ∠3, защото AB || MN; б) ∠ 2 = ∠3, тъй като CO || MN
Следователно ∠1 = ∠2, а това са ъглите, съответстващи на правите AB и CD и секущата EF, следователно, правите AB и CD са успоредни.
Последствие 2. Ако една права е перпендикулярна на една от двете успоредни прави, тогава тя е перпендикулярна и на другата. .
Наистина, ако EF ⊥ AB, тогава ∠1 = д; ако AB || CD, тогава ∠1 = ∠2.
Следователно, ∠2 = дт.е. EF ⊥ CD .
Ако при пресичането на две линии от секуща сумата от вътрешните едностранни ъгли не е равна на 180 °, тогава линиите не са успоредни, тоест се пресичат с достатъчно продължение.
Доказателство.Ако тези прави не се пресичат, тогава те биха били успоредни и тогава сумата от вътрешните едностранни ъгли ще бъде 180°, което противоречи на условието. Теоремата е доказана.
Формулирайте обратната теорема.
3.3. Взаимно подреждане на четири прави линии.
Изследвали сме различни случаи на взаимно подреждане на две и три линии в равнината. Сега нека проучим взаимното разположение на четири прави линии в равнината. Нека да разгледаме различни случаи.
а) две пресичащи се прави пресичат две други пресичащи се прави:
б) всяка от двете пресичащи се прави пресича две успоредни прави:
в) две успоредни прави се пресичат от две успоредни прави:
г) три успоредни прави се пресичат от трета права:
д) и четирите прави са успоредни:
Какви форми можете да видите на тези снимки? Например, на фиг. 3.23, вляво, можете да видите фигура, състояща се от четири сегмента, два от които са успоредни. На фигура 3.23 се виждаче когато две успоредни прави пресичат две други успоредни прави, се получава фигура, в която противоположните страни са по двойки успоредни и равни. Нека го докажем.
Лема 1. Когато две успоредни прави пресичат две други успоредни една на друга, се получава фигура, чиито противоположни страни са успоредни.
Доказателство.Нека успоредни прави а,би успоредни линии ° С,дпресичат се в точки А,б,° С,д(фиг.3.26).
Нека докажем това AB=Cди НОD=Слънце.Нека прекараме един сегмент AC(фиг. 3.27, а). Първо, нека докажем това AB=Cд.
Ъгли Р ACDи ОТАБ аи би секанс AC.Ъгли Р КПРи Ð ACBса равни като вътрешни кръстове, лежащи на успоредни прави ° Си ди секанс AC.
На гредата АБотложете сегмента AE, равно на отсечката CD(фиг. 3.27, б) .
Ъгли Р ACDи ОТAEса равни, така че съответните им напречни греди АДи CEса равни. Това е AEи DCса съответните напречни греди на ъглите Ð КПРи Ð
ACB,но те са равни по конструкция, което означава, че ъгълът Ð
ACEравен на ъгъла Р КПР.Но ъгълът КПРравно на ъгъла Ð
ACB.Това означава, че ъглите са равни Ð
ACEи Ð
ACB,това е смисълът Ележи върху гредата ЮЗ. По строителна точка Ележи върху гредата АБ. Но тези лъчи се пресичат в една точка AT,т.е. точки ATи Емач и AB=AE=CD.
Така че доказахме, че отсечките са равни АБи ОТд. Сегменти АДи CBса равни като съответните напречни греди с равни ъгли. Твърдението на лема 1 е доказано.
Следствие 5: Противоположни ъгли на фигура ABCD са равни (фиг.3.27) .
определение:
Две директни на-зи-ва-ют-ся па-рал-лел-ни-ми, ако не повторят се-ка-ют-ся (фиг. 1). De-zna-cha-et-sya е така:.
През точка, която не лежи на дадена права линия, минава само една права линия, дадена par-al-lel-naya (фиг. 2) .
Последици от аксиомата
Последица1:
Ако права линия re-se-se-ka-et една от пара-l-lel-nyh прави линии, тогава тя re-se-ka-et и другата.
дадено:
.
Докажи:.
доказателство:
Ще правим-ка-зи-ват от против-против-не-го. Нека се преструваме Сне ре-се-ка-ет направо б(фиг. 4).
След това: (според условието), (според предпозицията). Тоест през точката Мпро-хо-дят две прави линии ( аи ° С), pa-ral-lel-nye направо-my б. И това е про-ти-во-ре-чит ак-сио-ме. Така че нашето предположение е погрешно. След това направо ° С pe-re-se-even прав б.
Последствие 2:
Ако две прави линии са пара-рал-лел-на на третата права линия, тогава те са пара-рал-лел-на(фиг. 5) .
дадено:.
Докажи:.
доказателство:
Ще правим-ка-зи-ват от против-против-не-го. Да приемем, че сме директни аи б re-re-se-ka-yut-sya в някакъв момент М(фиг. 6).
По този начин in-lu-cha-em pro-ti-in-re-chie с ak-si-o-my: през точката Мминават две прави линии, един-но-време-мъже-но пара-рал-лел-ни трета права-моя.
До-ва-тел-но нашето предположение е погрешно. Тогава .
Теореми за свойствата на успоредните прави
Тео-ре-ма 1:
Ако две прави линии са re-se-che-we se-ku-schey, тогава кръстосаните ъгли са равни(фиг. 7).
дадено:.
Докажи:.
доказателство:
Ще правим-ка-зи-ват от против-против-не-го. Нека се преструваме, че: .
След това от гредата MNможете да живеете в един ъгъл ∠ PMN, някой ще бъде равен на ∠ 2 (Ориз. 7). Но след това ∠ PMNи ∠ 2 - на кръста лежащ и равен. След това директно PMи б- pa-ral-lel-ny. След това през точката Мминават две прави линии, пара-рал-лел трети. а именно:
Po-lu-cha-eat pro-ti-vo-re-chie с ak-si-o-my. Така че нашето предположение е погрешно. Това е: .
Последица:
Ако линията е per-pen-di-ku-lyar-на една от успоредните-lel-ny прави линии, тогава тя е per-pen-di-ku-lyar-na и вторият рояк.
дадено:
Докажи:
доказателство:
1. Спе-ре-се-ка-ет а, което означава, и pe-re-se-ka-et para-ral-lel-naya към нея директно, т.е. б. Тогава С- се-ку-шая от-но-ше-нию до аи б.
2. доколкото са-ла-ют-ся на кръста на ле-жа-щи-ми. Тогава . Това е .
Тео-ре-ма 2:
Ако две успоредни прави са re-se-che-we se-ku-schey, тогава съответните ъгли са равни.
дадено:- се-ку-шая.
Докажи:(фиг. 9).
доказателство:
Ако , тогава от предишната тео-ре-ние следва, че кръстосаните ъгли са равни. Това е .
Тази статия е за успоредните прави и за успоредните прави. Първо се дава определението за успоредни прави в равнината и в пространството, въвежда се означение, дават се примери и графични илюстрации на успоредни прави. По-нататък се анализират признаците и условията на успоредност на правите. В заключение са показани решения на типични задачи за доказване на паралелност на правите, които се дават от някои уравнения на права линия в правоъгълна координатна система на равнина и в тримерно пространство.
Навигация в страницата.
Успоредни линии - основна информация.
Определение.
Две прави в равнина се наричат успоредноако нямат общи точки.
Определение.
Две линии в три измерения се наричат успоредноако лежат в една и съща равнина и нямат общи точки.
Имайте предвид, че клаузата „ако лежат в една и съща равнина“ в дефиницията на успоредните прави в пространството е много важна. Нека изясним тази точка: две прави линии в триизмерно пространство, които нямат общи точки и не лежат в една и съща равнина, не са успоредни, а са изкривени.
Ето няколко примера за успоредни прави. Противоположните ръбове на листа от тетрадката лежат на успоредни линии. Правите линии, по които равнината на стената на къщата пресича равнините на тавана и пода, са успоредни. Железопътните релси на равен терен също могат да се разглеждат като успоредни линии.
Символът "" се използва за обозначаване на успоредни линии. Тоест, ако линиите a и b са успоредни, тогава можете накратко да напишете a b.
Обърнете внимание, че ако линиите a и b са успоредни, тогава можем да кажем, че правата a е успоредна на права b, както и че правата b е успоредна на права a.
Нека изразим едно твърдение, което играе важна роля при изследването на успоредните прави в равнината: през точка, която не лежи на дадена права, минава единствената права, успоредна на дадената. Това твърдение се приема като факт (не може да се докаже въз основа на известните аксиоми на планиметрията) и се нарича аксиома на успоредните прави.
За случая в пространството теоремата е вярна: през всяка точка от пространството, която не лежи на дадена права, минава една права, успоредна на дадената. Тази теорема може лесно да бъде доказана с помощта на горната аксиома за успоредни прави (можете да намерите нейното доказателство в учебника по геометрия 10-11 клас, който е посочен в края на статията в библиографията).
За случая в пространството теоремата е вярна: през всяка точка от пространството, която не лежи на дадена права, минава една права, успоредна на дадената. Тази теорема се доказва лесно с помощта на аксиомата за успоредни прави, дадена по-горе.
Успоредност на правите - признаци и условия на успоредност.
Знак за успоредни правие достатъчно условие за успоредни прави, тоест такова условие, чието изпълнение гарантира успоредни прави. С други думи, изпълнението на това условие е достатъчно, за да се констатира факта, че правите са успоредни.
Съществуват също така необходими и достатъчни условия за успоредни прави в равнината и в триизмерното пространство.
Нека обясним значението на израза "необходимо и достатъчно условие за успоредни прави".
Вече се занимавахме с достатъчното условие за успоредни прави. А какво е "необходимото условие за успоредни прави"? От името "необходимо" става ясно, че изпълнението на това условие е необходимо, за да бъдат правите успоредни. С други думи, ако необходимото условие за успоредни прави не е изпълнено, тогава правите не са успоредни. По този начин, необходимо и достатъчно условие правите да са успоредние условие, чието изпълнение е както необходимо, така и достатъчно за успоредни прави. Тоест, от една страна, това е знак за успоредни прави, а от друга страна, това е свойство, което имат успоредните прави.
Преди да посочим необходимото и достатъчно условие за успоредност на линиите, е полезно да си припомним няколко спомагателни дефиниции.
секуща линияе права, която пресича всяка от двете дадени несъвпадащи прави.
При пресичането на две линии от секуща се образуват осем неразгърнати. Така нареченият лежащ на кръст, съотви едностранни ъгли. Нека ги покажем на чертежа.
Теорема.
Ако две прави в равнина се пресичат от секуща, тогава за техния паралелизъм е необходимо и достатъчно напречно разположените ъгли да са равни, или съответните ъгли да са равни, или сумата от едностранните ъгли да е равна на 180 градуса.
Нека покажем графична илюстрация на това необходимо и достатъчно условие за успоредни прави в равнината.
Можете да намерите доказателства за тези условия за успоредни прави в учебниците по геометрия за 7-9 клас.
Имайте предвид, че тези условия могат да се използват и в триизмерно пространство - основното е двете линии и секущата да лежат в една и съща равнина.
Ето още няколко теореми, които често се използват при доказване на паралелизъм на правите.
Теорема.
Ако две прави в равнина са успоредни на трета права, тогава те са успоредни. Доказателството за тази характеристика следва от аксиомата за успоредните прави.
Подобно условие има и за успоредни линии в триизмерно пространство.
Теорема.
Ако две прави в пространството са успоредни на трета права, тогава те са успоредни. Доказателството за тази характеристика се разглежда в уроците по геометрия в 10 клас.
Нека илюстрираме изразените теореми.
Нека дадем още една теорема, която ни позволява да докажем паралелизма на правите в равнината.
Теорема.
Ако две прави в равнина са перпендикулярни на трета права, тогава те са успоредни.
Има подобна теорема за правите в пространството.
Теорема.
Ако две прави в триизмерното пространство са перпендикулярни на една и съща равнина, тогава те са успоредни.
Нека нарисуваме картини, съответстващи на тези теореми.
Всички формулирани по-горе теореми, знаци и необходими и достатъчни условия са напълно подходящи за доказване на успоредност на правите чрез методите на геометрията. Тоест, за да се докаже успоредността на две дадени прави, е необходимо да се покаже, че те са успоредни на третата права, или да се покаже равенството на кръстосано разположените ъгли и т.н. Много от тези проблеми се решават в уроците по геометрия в гимназия. Трябва обаче да се отбележи, че в много случаи е удобно да се използва методът на координатите, за да се докаже успоредността на правите в равнина или в триизмерно пространство. Нека формулираме необходимите и достатъчни условия за паралелност на правите, които са дадени в правоъгълна координатна система.
Паралелизъм на правите в правоъгълна координатна система.
В този раздел на статията ще формулираме необходими и достатъчни условия за успоредни правив правоъгълна координатна система, в зависимост от вида на уравненията, които определят тези линии, и ние също така даваме подробни решениятипични задачи.
Нека започнем с условието за паралелизъм на две прави в равнината в правоъгълната координатна система Oxy . Неговото доказателство се основава на дефиницията на насочващия вектор на правата и дефиницията на нормалния вектор на правата върху равнината.
Теорема.
За да бъдат две несъвпадащи прави успоредни в равнина, е необходимо и достатъчно векторите на посоката на тези линии да са колинеарни, или векторите на нормата на тези линии да са колинеарни, или векторът на посоката на една права да е перпендикулярен на нормалата вектор на втория ред.
Очевидно условието за успоредност на две прави в равнината се свежда до (вектори на посоката на правите или нормални вектори на правите) или до (вектор на посоката на една права и нормален вектор на втората линия). По този начин, ако и са векторите на посоката на линиите a и b, и 
и 
са нормалните вектори на линии a и b, съответно, тогава необходимото и достатъчно условие за успоредни прави a и b може да се запише като 
, или 
, или , където t е някакво реално число. От своя страна координатите на насочващите и (или) нормалните вектори на правите a и b се намират от известните уравнения на правите.
По-специално, ако правата a в правоъгълната координатна система Oxy на равнината дефинира общото уравнение на правата на формата 
, и правата b - 
, то нормалните вектори на тези прави имат координати и съответно, а условието за паралелизъм на правите a и b ще се запише като .
Ако правата линия a съответства на уравнението на правата линия с коефициента на наклон на формата 
. Следователно, ако линиите в равнина в правоъгълна координатна система са успоредни и могат да бъдат дадени чрез уравнения на прави с коефициенти на наклон, тогава фактори на наклоналиниите ще бъдат равни. И обратното: ако несъвпадащи прави линии на равнина в правоъгълна координатна система могат да бъдат дадени от уравненията на права линия с равни коефициенти на наклон, тогава такива прави линии са успоредни.
Ако правата a и правата b в правоъгълна координатна система определят каноничните уравнения на правата в равнината на формата 
и 
, или параметрични уравнения на права линия върху равнина на формата 
и 
съответно, тогава векторите на посоката на тези линии имат координати и , а условието за паралелизъм за линии a и b се записва като .
Нека да разгледаме няколко примера.
Пример.
Успоредни ли са линиите? 
и ?
Решение.
Нека пренапишем уравнението на права линия на отсечки във формата общо уравнениенаправо: 
. Сега можем да видим, че това е нормален вектор на правата линия , и е нормален вектор на правата линия. Тези вектори не са колинеарни, тъй като няма такъв реално число t , за което равенството ( 
). Следователно необходимото и достатъчно условие за успоредност на правите в равнината не е изпълнено, следователно дадените прави не са успоредни.
Отговор:
Не, линиите не са успоредни.
Пример.
Прави и паралели ли са?
Решение.
Привеждаме каноничното уравнение на права линия към уравнението на права линия с наклон: . Очевидно уравненията на правите и не са еднакви (в този случай дадените линии биха били еднакви) и наклоните на правите са равни, следователно оригиналните прави са успоредни.
