Степенни функции с дробен показател. Силова функция. Свойства на функцията корен от n-та степен, n е четно число

Графика (фиг. 2).

Фигура 2. Графика на функцията $f\left(x\right)=x^(2n)$

Свойства на степенна функция с естествен нечетен показател

Обхват -- всички реални числа.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ е странна функция.

$f(x)$ е непрекъснат в цялата област на дефиниция.

Диапазонът е изцяло реални числа.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Функцията нараства в цялата област на дефиниция.

$f\left(x\right)0$, за $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Функцията е вдлъбната за $x\in (-\infty ,0)$ и изпъкнала за $x\in (0,+\infty)$.

Графика (фиг. 3).

Фигура 3. Графика на функцията $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

Степенна функция с цяло число

Като начало въвеждаме концепцията за степен с цяло число.

Определение 3

Степента на реално число $a$ с цяло число $n$ се ​​определя по формулата:

Фигура 4

Помислете сега за степенна функция с цяло число, нейните свойства и графика.

Определение 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ се нарича степенна функция с цяло число.

Ако степента е по-голяма от нула, тогава стигаме до случай на степенна функция с естествен показател. Вече го обсъдихме по-горе. За $n=0$ получаваме линейна функция $y=1$. Разглеждането му оставяме на читателя. Остава да разгледаме свойствата на степенна функция с отрицателен цяло число

Свойства на степенна функция с цяло отрицателно число

Обхватът е $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Ако показателят е четен, тогава функцията е четна; ако е нечетен, тогава функцията е нечетна.

$f(x)$ е непрекъснат в цялата област на дефиниция.

Диапазон на стойността:

Ако показателят е четен, тогава $(0,+\infty)$, ако е нечетен, тогава $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Ако показателят е нечетен, функцията намалява като $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. За четен показател функцията намалява като $x\in (0,+\infty)$. и нараства като $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ над целия домейн

1. Анализ на учебната литература по темата: „Свойства на степенна функция“

Изучаването на степенната функция започва в 7. клас, със специални случаи, и продължава през целия курс по алгебра. До 11 клас знанията за степенната функция се обобщават, разширяват и систематизират.

Анализът на учебната литература трябва да се извърши за 9 клас, за да се изгради съдържанието на дидактическото ръководство въз основа на този анализ на учебната литература.

Учебник: „Алгебра. 9 клас”. Мордкович А. Г., Семенов П. В. (Мнемозина, 2009)

В учебника се разглеждат степенни функции с цяло число. Теоретичен материал по темата "Степенна функция" е включен в глава " Числови функции» в отделни параграфи, които разглеждат както самите функции, така и техните свойства и графики.

Достъпно представяне на материала за ученици, голям брой примери с подробни и задълбочени решения са включени в 1 част (в учебника) и упражнения за самостоятелна работапоставени във 2-ра част (в проблемника).

Структурата на изучаването на материала:

ГЛАВА 3 Числени функции

§12. Функции, техните свойства и графики.

§13. Функции, техните свойства и графики.

§ четиринадесет. Функции, техните свойства и графика.

След това степенните функции се дефинират като функции с естествен показател (първо се дават специални случаи на степенни функции, след което се разкрива общата формула). Разглеждаме степенни функции с четен експонент, техните графики, които по-късно разкриват свойствата (обхват на стойността и област на дефиниране на функцията, четни и нечетни, монотонност, непрекъснатост, максимална и минимална стойност на функцията, изпъкналост). След това разглеждаме степенни функции с нечетен показател, както и техните графики и свойства.

В § 13 са определени степенни функции с отрицателни показатели: първо четни функции, след това нечетни. Подобно на степенните функции с естествен показател, са дадени специални случаи:

След това се разкрива общата формула, разглеждат се и графиките и свойствата.

В § 14 въвеждаме функцията

неговите свойства и графика като частен случай на степенна функция с рационален показател n =

Трансформацията на графиките (симетрия) се свежда до факта, че графиката на четната функция е симетрична спрямо оста y, а графиката на нечетната функция е около началото. Следователно, за степните функции, тази функция се разглежда на определен лъч, нейната графика се начертава и, използвайки симетрия, графика се начертава на цялата реална линия. След това се чете графиката, т.е. според графиката свойствата на функцията се изброяват според схемата:

1) област на дефиниция;

2) четен, нечетен;

3) монотонност;

4) ограниченост отдолу, отгоре;

5) най-малката и най-голяма стойностфункции;

6) непрекъснатост;

7) диапазон от стойности;

8) издутина.

а) отива в спомагателната координатна система с начало в точката, в която са получени стойностите при x = 0 и y = 0.

б) „свързва“ функцията към нова координатна система.

Пример 3. Графика на функция

Решение. Нека да преминем към спомагателната координатна система с начало в точката (-1; -2) (пунктирани линии на фиг. 117) и да "прикрепим" функцията към новата координатна система. Получаваме необходимия график (фиг. 117)

В задачника „Алгебра. 9 клас.” под редакцията на Mordkovich A. G. и Semenov P. V. е представена разнообразна система от упражнения. Комплектът от упражнения е разделен на два блока: първият съдържа задачи от две основни нива: устни (полуустни) и задачи със средна трудност; вторият блок съдържа задачи с ниво над средното или повишена трудност. На голяма част от задачите от второ и трето ниво има отговор. Тетрадката съдържа голям брой разнообразни задачи за построяване на графики на различни видове степенни функции и определяне свойствата на функция по нейната графика. Например:

№ 12.10. Начертайте функцията:

№ 12.15. Решете уравнението графично

№ 12.19. Начертайте и прочетете графиката на функция

Начертайте и прочетете графиката на функция

Учебник: „Алгебра. 9 клас”. Николски С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. (Просвещение, 2006 г.)

Този учебник е предназначен и за общообразователните класове, в които Допълнителни материалии трудните задачи могат да бъдат игнорирани. Ако има достатъчно часове, ако класът проявява интерес към математиката, то поради добавките в края на главите от учебника, както и точките и самостоятелните задачи със звездичка, които са по избор в обикновените общообразователни часове, то е възможно да се разшири и задълбочи съдържанието на изучавания материал до обема, предвиден от програмата за класове със задълбочено изучаване на математика. Тоест учебникът може да се използва както в обикновени, така и в класове със задълбочено изучаване на математика.

Структурата на изучаването на материала:

ГЛАВА II. Степен на

§ четири. градусен корен

4.1 Функционални свойства

4.2 Графика на функция

4.3 Концепцията за корен на степен

4.4 Четни и нечетни корени

4.5 Аритметичен корен

4.6 Свойства на корените

4.7 *Корен от естествено число

4.8 *Функция

Изучаването на темата започва със свойствата на функцията (например n = 2 и n = 3) и нейната графика. След това изучаваме n-тия корен, аритметичния корен и свойствата на n-ти корени и как те се прилагат към трансформиращи изрази. В часовете със задълбочено изучаване на математика се разглеждат допълнително следните теми: „Функция“, „Степен с рационален показател и неговите свойства“.

Посочено е, че функциите имат редица идентични свойства (област, нули на функцията, четност, нечетност, непрекъснатост, интервали на монотонност). Следователно е препоръчително да се разглежда, в общия случай, функция, където е някои естествено число, . Въвеждането на дефиницията на графиката на функция се осъществява чрез дефиницията на парабола. Тоест, според добре известния факт, че графиката на функция е парабола, тогава тази графика се нарича парабола от втора степен, графиката на функция се нарича парабола от та степен или накратко парабола. Свойствата на функцията се разглеждат само за неотрицателни с някои доказателства.

Изследването на изграждането на графика на функция започва с показване на графики на функции в една координатна равнина само за неотрицателни стойности.

Изучаването на функцията се основава на предварително придобити знания за аритметичния корен на степента. Изграждането на графиката на функцията се извършва в Декартова системакоординати. Като начало се разглежда степенна функция и конструкцията на нейната графика в координатната система О. По този начин се доказва, че графиката на функцията е част от степенна парабола.

1) Ако x = 0, тогава y = 0.

2) Ако, тогава.

3) Функцията се увеличава.

4) Ако, тогава.

5) Функцията е непрекъсната.

Системата от упражнения по темата "Степенна функция" е разнообразна. Съдържа обучителни задачи както устно, така и писмено. Например:

No 316. Дадена е функция

Разгледайте тази функция и начертайте нейната графика.

#318 Графика на функцията

№ 321. В една координатна система изградете графики на функции

#441 Начертайте функционална графика за:

#442 Начертайте функционална графика за:

Учебник: „Алгебра. 9 клас". Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова (Просвещение, 2009)

Този учебник е предназначен за средните училища.

Структурата на изучаването на материала:

ГЛАВА IV. Степен с рационален показател

§9. Силова функция

21. Четни и нечетни функции

22. Функция

§десет. корен n-та степен

23. Определяне на корен от n-та степен

24. Свойства на аритметичния корен от n-та степен

§единадесет. Степен с рационален показател и нейните свойства

25. Определяне на степен с дробен показател

26. Свойства с рационален показател

27. Преобразуване на изрази, съдържащи степени, с дробни показатели

Изучаването на степенна функция започва с въвеждането на понятията за четни и нечетни функции, като се използват примери за сравняване на стойности на функции за две противоположни стойности на аргумента. Освен това е дадена дефиницията на четна и нечетна функция с изграждането на съответните графики.

Казано е, че степенните функции при = 1, 2 и 3 (т.е. функции), техните свойства и графики са били изучавани по-рано. След това се изясняват свойствата на степенната функция и характеристиките на нейната графика за всяко естествено число. Функциите се разглеждат, когато показателят n е четно число, тогава n е нечетно число. Анализирайте свойствата на примери, съгласно схемата:

1. Област на дефиниране;

2. Обхват на стойността;

3. Функционални нули;

4. Паритет;

5. Нечетен;

6. Монотонност на функция.

Следващият раздел на главата е посветен на n-тия корен, в който се въвежда определението и се разглеждат свойствата.

Дефиницията се повтаря: корен квадратен от числото a е число, чийто квадрат е равен на a. Коренът на всяка естествена степен n се определя по подобен начин: коренът на n-та степен от числото a е такова число, n-та степенкоето е равно на a. За да направим това, първо разглеждаме степенна функция с нечетен показател n и нейната графика, която показва, че за всяко число a има уникална стойност x, чиято n-та степен е равна на a. Тогава се разглежда степенна функция с четен експонент n и ако, тогава има две противоположни стойности на x, тъй като такова число е едно (число 0), тъй като няма такива числа.

В края на главата се разглежда степен с рационален показател и нейните свойства.

Системата от упражнения е разнообразна. Например:

№ 503. Начертайте функция

№ 508. Решете уравнението графично

№ 513. Използвайки графиката на функцията, решете уравнението

№ 580. Начертайте функцията

№ 644. Начертайте функцията f, като знаете, че е нечетна и че нейната стойност при може да бъде намерена чрез формулата

№ 643. Начертайте функцията

№ 663. Начертайте графиката на функцията. Използвайки графиката, сравнете стойността на корените

№ 669. Начертайте функцията

Учебник: „Алгебра. 9 клас". Ш.А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. (Просвещение, 2009 г.)

При изучаването на тази тема се обръща специално внимание на свойствата на функциите и показването на тези свойства върху графики. В същото време се формират първоначални умения за извършване на най-простите трансформации на функционални графики.

Структурата на изучаването на материала:

ГЛАВА III. Силова функция

§12. Обхват на функцията

§13. Възходяща и намаляваща функция

§ четиринадесет. Четни и нечетни функции

§ петнадесет. функция

§16. Неравенства и уравнения, съдържащи степен

Основната цел на тази глава е не само да запознае учениците със степенната функция, но и да разшири известната информация за свойствата на функцията като цяло (област, монотонност, четност и нечетност на функцията), да развие способността да изследва функциите според дадена графика,

При изучаването на материала от тази глава функционалните представи на учениците се задълбочават и значително разширяват.

§12 формулира дефиницията на функцията, аргумента и обхвата на функцията. Припомня се определението за графика на функция, начините за нейното построяване, включително с помощта на елементарни трансформации.

Раздел 13 въвежда понятието степенна функция. На примери и се разкрива областта на дефиницията; припомнят се определенията за нарастваща и намаляваща функция и са дадени дефинициите за нарастване и намаляване на степенна функция.

Идеята за четна и нечетна функция се дава на учениците на визуално ниво. Урокът обхваща две задачи, в които се изисква да се начертае функцията и. Изучават се свойствата на тези функции и на базата на симетрията се дават понятията за четни или нечетни функции.

В §15 учениците получават представа за функция за различни стойности на k, научават се да изграждат графика на функция и да я четат (т.е. да определят свойствата на функция от нейната графика). С помощта на функцията се изяснява понятието обратна пропорционалност, което се споменава само в курса по алгебра за 8. клас.

Когато се изучава функция за k > 0, първо функцията се представя като частен случай на степенен закон: като се вземе предвид промяната на параметъра k.

Параграфът се занимава с четири задачи, в които се изисква да се начертаят функционални графики. В Задача 1, за да се начертае графика на функция, се използват всички свойства на функцията, изучени в предишните параграфи. В задача 2 при конструиране на графики на функции и се използва вече известното разтягане на графиката на функцията по абсцисната ос 2 пъти. И въз основа на тези две задачи се формулират свойствата на функцията за и.

В задача 4 се изисква да се изгради графика на функция (въз основа на задачи 1-2), т.е. графиката на тази функция може да бъде изградена чрез изместване на графиката на функцията по оста Ox надясно с единица и по протежение на Оста Oy надолу с 2 единици.

Системата от упражнения включва различни видовезадачи: както задължителни, така и допълнителни задачи с повишена сложност.

Сред задачите за начертаване на графики на степенни функции могат да се разграничат следните упражнения:

№ 164. Начертайте графика и намерете интервалите на нарастващи и намаляващи функции

№ 166. Начертайте скица на графиката на функцията, когато

№ 171. Начертайте графика и намерете интервалите на нарастващи и намаляващи функции

№ 174. Начертайте графика на функция

№ 179. Разберете свойствата на функция и изградете нейната графика

#180 Начертайте функция

#191 Начертайте функция

#218 Разберете дали дадена функция е четна или нечетна

Студентите, изучаващи материала, овладяват понятия като област на дефиниция, четни и нечетни функции, нарастващи и намаляващи функции на интервала.

Учениците се запознаха с концепцията за нарастващи и намаляващи функции в курса по алгебра за 8 клас, но само когато изучават тази тема, се формират дефиниции на тези понятия и следователно става възможно аналитично да се докаже нарастването или намаляването на определена функция на интервала (такива доказателства обаче не са сред задължителните умения) . Учениците се учат да намират интервали на нарастване на функция, като използват графиката на въпросната функция.

При изучаването на темата не се разглеждат примери за степенна функция с дробен показател, тъй като в този курс не се въвежда концепцията за степен с рационален показател.

При изучаването на всяка конкретна функция (включително функции) учениците ще могат да начертаят скица на графиката на въпросната функция и да изброят нейните свойства според графиката.

Учебник: „Алгебра. Задълбочено проучване. 9 клас.” Мордкович А. Г. (Мнемозина, 2006)

Взехме учебника за 2006 г., тъй като този учебник, за разлика от по-късните издания, включва степента на темата с рационален показател. Най-общо казано, в момента тази тема се изучава в гимназията, но в мултимедийното помагало сме я включили като пропедевтичен материал.

Книгата е предназначена за задълбочено изучаване на курса по математика в 9. клас гимназия. Този учебник е написан на базата на учебник за 9 клас за образователни институции (А. Г. Мордкович. Алгебра-9). Той изпълнява същата програма, но разликата е в по-задълбочено изучаване на съответните въпроси на курса: прости примери се заменят с по-сложни и интересни.

Структурата на изучаването на материала:

ГЛАВА 4. Силови функции. Степени и корени

§17. Степен с отрицателно цяло число

§осемнадесет. Функции, техните свойства и графики

§19. концепция корен nthградуса от реално число

§ двадесет. Функции, техните свойства и графики

§21. Свойства на корена n-та

§22. Преобразуване на изрази, съдържащи радикали

§23. Обобщение на понятието показател

§24. Функции, техните свойства и графики

В § 18 говорим за степенни функции с цяло число, т.е. за функции и т.н. Този параграф е разделен на точки:

Авторът припомня, че най-простият случай на такава функция беше разгледан в 7 клас - това беше функция. Този раздел започва с обсъждане на функцията. Построява се графика и свойствата на тази функция се изброяват в определен ред: 1) област на дефиниране; 2) четен, нечетен; 3) монотонност; 4) ограниченост отдолу, отгоре; 5) най-малките и най-големите стойности на функцията; 6) непрекъснатост; 7) диапазон от стойности; 8) издутина.

Свойствата бяха прочетени от графиката, сега се предлага да се докаже аналитично съществуването на редица от тези свойства.

Авторът заключава, че графиката на всяка степенна функция е подобна на графиката на функцията, само нейните клонове са насочени нагоре и са по-притиснати към оста x на сегмента и отбелязва, че кривата докосва оста x в точката (0 ; 0).

В края на параграфа е даден пример за построяване на графика на функция Конструкция: 1) преход към спомагателна координатна система с начало в точката (1; -2); 2) изграждане на крива.

1) Функция

Свойствата и графиката на степенна функция с нечетен експонент първо се разглеждат на примера на функция, чиято графика е кубична парабола.

Авторът заключава, че графиката на всяка степенна функция е подобна на графиката на функция, само че колкото по-голям е показателят, толкова по-стръмни са насочени нагоре (и съответно надолу) клоните на графиката и отбелязва, че кривата докосва оста x в точката (0; 0).

Следва пример за използване на графика на степенна функция за решаване на уравнение. Решението протича на 4 етапа: 1) разглеждат се две функции: и; 2) построяване на графика на функция; 2) чертане линейна функция; 4) намерете пресечната точка и проверете.

2) Функция

Говорим за степенни функции с отрицателен цяло число (четен). Нека първо да разгледаме примерна функция. Построена е графика и са изброени свойствата на тази функция. По-специално, доказано е свойството на функцията да намалява.

функция мултимедийна визуализация училищна математика

3) Функция

В този случай се разглеждат степенни функции с цяло отрицателно число (нечетно) и т.н. Авторът припомня, че една такава функция вече е изучавана в 8. клас - тази. Припомнят се нейните свойства и графика (хипербола) и се прави заключението, че графиката на всяка функция е подобна на хипербола.

В § 19 е дадена концепцията за n-ти корен на реално число и по-специално се отбелязва, че от всяко неотрицателно число може да се извлече корен от всяка степен (втора, трета, четвърта и т.н.), и от отрицателно число може да се извлече корен на всяка нечетна степен.

В § 20 говорим за функция, дадена в, и изучаваме нейната графика и свойства, използвайки конкретен пример (at). Според фигурата, която показва графиката на функцията и графиката на функцията, се определя симетрията на тези графики и след това се потвърждава аналитично.

В същия параграф функцията се разглежда в случай на странно за всякакви стойности. Говорим за свойствата на тази функция и изграждаме графика.

Ако е четно число, тогава графиката на функцията има формата, показана на фиг. един;

Ако е нечетно число, тогава графиката на функцията има формата, показана на фиг. 2.

В § 24 разглеждаме функция на формата, - всяко реално число (ограничаваме се до случаи на рационален показател).

1. Ако е естествено число, тогава получаваме функция (известни са графики и свойства)

2. Ако, тогава получаваме функция, т.е. В случай на четна графика има формата, показана на фиг. 3а, в случай на нечетна графика има формата, показана на фиг. 3б

ориз.

3. Ако, т.е. говорим за функция, то това е функция, където

Ситуацията е приблизително същата за всяка степенна функция на формата, където:

1. - неправилна дроб (числителят е по-голям от знаменателя). Неговата графика е крива, подобна на клон на парабола. Колкото по-висок е индексът, толкова по-стръмна е тази крива нагоре. Построена е графика и са дадени свойства.

2. - правилна дроб () (§ 20). Построена е графика и са дадени свойства.

Построена е графика и са дадени свойства.

В задачника „Алгебра. Задълбочено проучване. 9 клас.” Завич Л. И., Рязановски А. Р. представя разнообразна система от упражнения. Сложността на задачите се увеличава с увеличаване на серийните им номера. Книгата със задачи съдържа голям брой разнообразни упражнения за начертаване на графики на различни видове степенни функции, изучаване и прилагане на нейните свойства.

Например:

бр.17.05. Изграждане на функционални графики върху един чертеж

Парцел функции

номер 17.35. Начертайте функцията

и използвайки графиката, посочете интервалите на нейната монотонност, екстремни точки, екстремуми и броя на нейните нули.

Начертайте графиките на функциите:

бр.19.01. Изграждане на функционални графики върху един чертеж

№ 19.04. Парцел функции

номер 19.22. Начертайте графики и направете проучване на функции

№ 21.01. Изградете върху един чертеж графики на функции, с и, с и избройте свойствата на функцията: а) областта на дефиницията D (y); б) набор от стойности E (y); в) функционални нули; г) интервали на монотонност; д) интервали на изпъкналост; е) точки на екстремум; ж) крайности; з) четно или нечетно; и) най-голямата и най-малката стойност.

№ 21.03. Начертайте и проучете следните характеристики

№ 21.11. Изграждане на функционални графики върху един чертеж

на сегмента

№ 21.17. Парцел функции

бр.25.01. Изградете върху същия чертеж скици на графики на следните двойки функции

бр.25.05. Начертайте функционални графики и опишете техните свойства

бр.25.06. Изграждане на функционални графики върху съседни чертежи

No 25.18. Парцел функции

№ 25.30. Парцел функции

Анализът на учебната литература ни позволява да направим някои изводи

Имайки предвид стандарта на осн общо образованиев математиката виждаме, че учениците трябва да учат следните видовемощностна функция:

Специални случаи (директна, обратна пропорционалност, квадратична функция),

С естествен показател

С цяло число

С положителен рационален показател,

С рационален показател,

С нерационален индикатор,

с реален показател.

Важна роля в тази тема играе формирането на образа на функционалните графики. Също така учениците трябва да могат: да определят свойствата на функция по нейната графика; описват свойствата на изучаваните функции, изграждат техните графики. Разглеждането на стандарта ни позволява да заключим, че темата „Функция на мощността“ е включена в задължителния минимум от знания, умения и способности на учениците и следователно нашето внимание към нея е напълно оправдано.

За да се формират силни умения и способности за степенната функция, е необходимо да се изучи методологията на темата „Свойства на степенната функция“, към която се движим.

2. Методически основи за изучаване на темата „Свойства на степенна функция” в училище

Степенната функция принадлежи към класа на елементарните функции.

Целта на изучаването му е не само да запознае учениците със степенната функция, но и да разшири познатата им информация за свойствата на функциите като цяло.

При изучаването на темата "Степенна функция" те използват главно аналитичния и графичен метод за изучаване на функциите. В случаите, когато аналитичното изследване е трудно за възприемане от учениците, се използват графични методи, но последните не могат да служат като доказателство.

Студентите правят много графични произведения, докато вниманието се насочва не само към точността и точността на тяхното изпълнение, но и към рационалните методи за начертаване на графики.

Възможно е да се формират силни умения за конструиране и четене на графики на степенна функция, за да се гарантира, че всеки ученик може да изпълнява основните типове задачи самостоятелно, само ако учениците изпълняват достатъчен брой тренировъчни упражнения.

Например в списанието „Математика в училище“ Лопатина, Л.В. предлага следния урок:

Урокът-работилница има за цел учениците да придобият знания със собствен труд. Това е основният лайтмотив на развиващата се педагогика. Темата „Степенна функция“ е много подходяща за творческа работа на целия клас, тъй като степенната функция (, където е всяко рационално число) всъщност е набор от функции, които имат различни свойства в зависимост от показателя.

Обсъждането на тези свойства е най-добре организирано в групи. За да направите това, препоръчително е да разделите класа на шест групи.

На първо място, учителят трябва да си представи последователността на работа в "работилницата":

Етап I - индукция - обръщение към предишен опит;

III етап – пропуск – моментът, в който учениците трябва да осъзнаят, че има пропуски в знанията им, които те самите трябва да запълнят;

IV етап - рефлексия - определяне на степента на усвояване.

Нека опишем по-подробно всеки от етапите на урока.

I етап - индукция. Учителят напомня, че в класа вече са изучавани функции, техните свойства и графики. Тези функции могат да бъдат определени най-общо с формулата: , където - е някакво цяло число. Такава функция се нарича степенна функция. Класът получава следната задача: да изброи въпросите, на които трябва да отговорим, когато изучаваме нова функция.

Класът обсъжда тези въпроси в групи и след това всички въпроси на другите групи се събират в един списък:

Какви свойства има тази функция?

· Какъв е нейният график?

В какви ситуации се използва?

Нека започнем с отговора на последния въпрос. Нека дадем примери за няколко ситуации, в които се появява степенна функция.

Трима ученици се редуват, за да отидат до дъската и да направят съобщенията, подготвени у дома.

Първият ученик разглежда функцията, където е площта на напречното сечение на диаметъра на проводника. Слушателите забелязват, че тази степенна функция всъщност е квадратична функция, но с ограничения върху стойността на аргумента.

Вторият ученик разказва, че силата на привличане на две тела с маси се изразява с формула. Това е функция на разстоянието между тези тела. Ще има ученик в класа, който ще забележи, че вече сме начертали функция от този вид, въпреки че не сме я изучавали специално.

Третият ученик анализира разстоянието на хоризонта от наблюдателя: . Това е функция на височината, до която наблюдателят е издигнат над морското равнище. Ако самите момчета не са забелязали това, тогава учителят трябва да подчертае, че тук стойността не може да се увеличава безкрайно. Наистина, колкото и високо да е издигнат наблюдателят, той не може да види повече, отколкото позволяват възможностите на зрението му и изпъкналостта на земното кълбо. Този пример е особено показателен, тъй като позволява да се прецени целесъобразността на ограниченията върху стойностите на функцията. Тук трябва да наложим някои ограничения върху стойностите на функцията, въпреки че стойностите, теоретично погледнато, могат да се увеличават за неопределено време.

II етап – обсъждане на темата. На учениците се дава известно време да анализират свойствата на една от избраните от тях степенни функции. Основният проблем тук е изборът на функция. Една група има тенденция да опрости задачата, като се ограничи до функция за изглед, която е добре позната на всички ученици. Друга група прекалено усложнява работата си, като поема функцията на изгледа или дори и двете заедно, въпреки че общият подход към въпроса все още не е ясен за учениците.

В крайна сметка има групи, които са избрали функции, чиито графики вече са разгледани по-рано, въпреки че не им е даден необходимият акцент.

Първата група разглежда функцията на вида; маркира областта на нейната дефиниция: и нулевата стойност на функцията при. Момчетата специално се фокусираха върху факта, че функцията се увеличава в цялата област на дефиниция. Избрахме интервалите, на които функцията е по-голяма или по-малка от нула. Говорителите подчертаха, че тази функция е странна и няма нито най-голяма, нито най-малка стойност.

От тази група един ученик говори пред класа, който говори за резултатите от изследването в групата.

Втората група избра функция за разглеждане. Момчетата забелязаха, че сега ще трябва да изключат числото 0 от областта за дефиниране на функцията, т.е. . За разлика от предишната, тази функция няма нули. Но, подобно на разгледаната по-горе, тази функция е положителна за и отрицателна за. Той намалява в цялата област на дефиниция.

Представителят на тази група подчертава разликите между функциите и.

Още двама ученици говорят за функции.

По време на своите презентации всички лектори трябва да демонстрират графики на разглежданите функции.

в време IIIВ края на урока учениците трябва да обобщят знанията си. И те трябва да направят това сами, изненадани от разнообразието от разгледани функции. „Защо им е дадено едно име, ако са толкова много и са различни?“ Това е въпросът, който учениците трябва да си зададат. Задачата на учителя е неусетно да доведе учениците до този въпрос. Идва момент на така наречената празнина, когато момчетата трябва да осъзнаят недостатъците на своите знания, тяхната ограниченост или непълнота. Наистина, една от разглежданите функции има нули, другата не. Единият се увеличава в цялата област на дефиниция, другият се увеличава или намалява. Каква характеристика трябва да дадем на цялата степенна функция, така че да обхваща възможно най-много специални случаи?

В търсене на отговор на този въпрос, едно от момчетата в крайна сметка се досеща, че е удобно да се свърже формата на степенна функция с четния или нечетния показател.

Сега е подходящо да помолите групите отново да обсъдят свойствата на функциите

където - нечетно;

къде е четен;

където е странно;

къде е четно.

Още веднъж отбелязваме плана за изследване на функцията:

Посочете домейна на дефиницията.

Определете дали дадена функция е четна или нечетна (или отбележете, че не е нито четна, нито нечетна).

1. Намерете нулите на функцията, ако има такива.

2. Маркирайте интервалите на постоянство.

3. Намерете интервали на нарастване и намаляване.

4. Посочете най-голямата или най-малката стойност на функцията.

В края на учениците се представят графики на разглежданите функции = -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Тези графики са изпълнявани от представители на всяка от групите.

Сега заедно с класа изграждаме графики на функции, където е естествено число и.

отбеляза обща собственостот тези функции: и двете имат дефиниционна област - span. И двете не са нито четни, нито нечетни. И двете са по-големи от нула.

Но тези функции също имат разлики. Момчетата ги наричат ​​конкретно: функцията за изглед се увеличава в своя домейн на дефиниция, а функцията за изглед намалява в същия домейн. Функцията form има нулева стойност при, а функцията form няма нули.

На IV етап учениците трябва да направят рефлексия, т.е. определяне на степента на усвояване на материала. Целият клас получава следната задача съгласно фиг. 3.

На фиг. 3, a-h схематично показва графиките на функциите, които са дадени от формулите

Определете коя формула от дадения списък приблизително съответства на всеки от графики a-h.

В сп. "Математика в училище" Петров, Н.П. предлага проект "Изучаване на свойствата на степенна функция с помощта на Excel":

Образователният проект, описан в статията по темата „Изучаване на свойствата на функциите и използване на електронни таблици в Excel“, беше проведен от учители по математика и информатика на нашия лицей в девети клас и беше предназначен за пет урока.

Целта на проекта беше да осигури на учениците самостоятелност и инициативност в обучението нова темаи практическо приложение на предварително научен материал.

По време на изпълнението на проекта деветокласниците трябваше да покажат:

· способност за правилно формулиране на проектни задачи;

способност да анализира информация и да прави заключения;

Способност за правилно интерпретиране на получените резултати и прилагането им на практика.

Студентите бяха изправени пред задачата да изследват поведението на графики на функции с помощта на програмата Excel и след това, въз основа на получените данни, да опишат свойствата на функциите.

В резултат на проекта деветокласниците трябваше да научат обща формаграфики на функции и, научете как да изграждате и "четете" тези графики, както и да решавате графично уравнения от формата = f (x).

Имайте предвид, че работата по този проект е предназначена да насърчи развитието на способността на учениците да сравняват, подчертават общи признации разлики в графиките на степенната функция при различни стойности.

Ето стъпка по стъпка описание на проекта.

Етап I. Подготовка (проучвателен етап)

Събуждането на интереса на учениците към темата на проекта става в процеса на разговор. Учениците са поканени да решат известните им уравнения

Оказва се, че момчетата могат да решат уравнението по два начина: аналитично и графично, уравнението - по графичен начин. Те се затрудняват да решат останалите уравнения, но ако бяха запознати с графиките на функциите, биха решили задачата графично.

Резултатът от разговора е формулирането на проблемния въпрос: как изглеждат графиките на функциите и къде? След това се определят насоките за по-нататъшна работа, формулират се задачи:

1. Използвайте Excel, за да разберете как изглежда графиката на функцията за четно n и опишете свойствата на тази функция.

2. Използвайте Excel, за да разберете как изглежда графиката на функцията за нечетно n и опишете свойствата на тази функция.

3. Използвайте Excel, за да разберете как изглежда графиката на функцията за четно n и опишете свойствата на тази функция.

4. Използвайте Excel, за да разберете как изглежда графиката на функцията за нечетно n и опишете свойствата на тази функция.

След това класът се разделя на работни групи. Учителят кани учениците самостоятелно да се разделят на четири групи (по избор) и да изберат лидер във всяка група. При сформирането на групи те избират една от областите на работа в проекта (според изброените по-горе задачи).

Етап II. Планиране (аналитичен етап)

Учителят помага на групите да съставят работен план за решаване на избрания проблем и препоръчва източници за получаване на информация. Учениците самостоятелно разпределят ролите в групи. Приблизителното разпределение на ролите в групата е показано в следващата таблица. Броят на учениците в една група зависи от броя на учениците в класа.

На същия етап се обсъжда формата на представяне на резултатите от работата. В този случай беше избрана компютърна презентация с помощта на PowerPoint.

Етап III. Проучване (практически етап)

Учениците изпълняват задачи според планирания работен план. Учителят контролира дейността им и при необходимост съветва учениците.

Като пример ще дадем работния план на група №1.

1. Построяване на графики на функции с помощта на програмата Excel.

2. Сравнение на графики, формулиране на опции за препоръки за изграждане на графика на функция за естествено дори n.

3. Определяне на свойствата на функцията по графика.

4. Анализ на примери практическо приложениефункционална графика.

Въз основа на изследването студентите заключават, че графиките на функциите на формата за естествено четно n са криви, подобни на парабола, и дават препоръки за начертаване: трябва да се има предвид, че графиката е симетрична спрямо оста Oy, така че е достатъчно да се направи таблица с функционални стойности за положителни стойности на аргумента X.

Освен това на този етап се създава общ презентационен скрипт, който ще бъде усъвършенстван по време на проекта. В този сценарий по-специално се определя броят на слайдовете, целта на всеки слайд и основните обекти, които трябва да бъдат поставени върху слайдовете.

Етапи IV и V. Защита на проекта, оценка на резултатите (етапи на представяне и контрол)

Защитата на проекти (по групи) се провежда в последния от планираните часове.

Сега даваме график на уроците за работа по този проект и съдържанието на всеки урок.

Урок 1 (математика)

· Постановка на проектната задача. Определяне на направленията на работа, формулиране на целите на проекта.

· Разделяне на работни групи, избор на ръководител на групи.

· Съставяне на работен план за решаване на поставените задачи, разпределение на ролите в групите, избор на форма за представяне на резултатите.

Урок 2 (информатика)

· Говорете за предназначението на електронните таблици в Excel.

· Повторно изграждане на графики на различни функции с помощта на Excel.

· Построяване на графики на изучаваните функции със средствата на Excel. Анализ на получената информация, формулиране на заключения.

Урок 3 (математика)

Построяване и "четене" на графики на функции и

· Решаване на уравнения от вида, където по графичен начин.

· Създаване на скрипт за презентация.

Урок 4 (информатика)

Повторение на предназначението и принципите на програмата Power Point.

· Създаване на презентация.

Урок 5 (математика)

· Защита на проекти.

Даваме и общ план на урока - защитата на проекта.

1. Организационен момент.

2. Мотивация за прилагане на знания чрез идентифициране на проблеми.

Встъпително слово на учителя

В днешния урок основният обект на изучаване са функциите и техните свойства и графики. Вече знаете как да решавате уравнения от първа степен (линейни) и втора степен (квадратни) с помощта на коренни формули. Съществуват и специални формули за корени за уравнения от 3-та степен, но те са много тромави и рядко се използват на практика. За уравнения, чиято степен е по-висока от третата, общи формулиняма корени. Възниква проблемът: как могат да бъдат решени такива уравнения? Оказва се, ако не аналитично, то графично. И за да се приложи графичен метод за решаване на уравнения от вида и, човек трябва да може да чертае функции и, където.

Четири групи бяха включени в изследването на графиките на тези функции. Сега всеки от тях ще ни запознае с резултатите от свършената работа.

3. Групови изпълнения.

Представяне (защита) на проекта от всяка група, отговори на въпроси от опоненти.

4. Самооценка и оценка на всяко представяне от останалите групи (по петобална скала).

Изброяваме основните критерии за оценка:

съответствие на съдържанието с декларираната тема, точност, пълнота на представяне;

Липсата на грешки

дизайн (дизайн): как оформлението на слайдовете отговаря на естетическите изисквания;

Лесен ли е за четене текстът? дали изображението отговаря на съдържанието и др.;

убедителност, аргументираност на изказването; речева грамотност, познаване на терминологията;

пълнота на отговорите на въпросите.

Отделно се оценява взаимодействието в групата: общителност, уважение и внимание към другите участници, активност.

Изчисляват се общият брой спечелени точки и рейтинговата оценка (средноаритметична оценка); на тяхна база се прави оценка за участие в проекта.

5. Обсъждане на приноса на всеки ученик към проекта и оценяване.

6. Обобщаване (рефлексия).

7. Заключителна дума на учителя

По време на дейности по проектав тази тема вие отговорихте на въпроса какво представляват графиките на функциите и и дадохте препоръки как да ги построите. Сега можете да решите някои уравнения от формата и графично. Благодарим на всички ученици за тяхната творческа и ползотворна работа, която допринесе за постигане на целите на проекта.

Като се има предвид горното, в нашето ръководство се опитахме да отразим системен подходкъм изследването на степенната функция. За да минимизираме трудностите при работа с компютър, се постарахме да направим удобна и естествена навигация и да съобразим изискванията към дидактическия софтуер.

Запознати ли сте с функциите y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/xи т.н. Всички тези функции са специални случаи на степенната функция, т.е. функцията y=x стр, където p е дадено реално число. Свойствата и графиката на степенна функция по същество зависят от свойствата на степен с реален показател и по-специално от стойностите, за които хи стрима смисъл х стр. Нека пристъпим към подобно разглеждане на различни случаи в зависимост от показателя стр.

Индекс p=2nе четно естествено число.

В този случай мощността функция y=x 2n, където не естествено число, има следното

Имоти:

домейнът на дефиницията е всички реални числа, т.е. множеството R;

набор от стойности - неотрицателни числа, т.е. y е по-голямо или равно на 0;

функция y=x 2nдори, защото х 2n =(-x) 2n

функцията е намаляваща на интервала х<0 и се увеличава на интервала x>0.

Функционална графика y=x 2nима същата форма като например графиката на функция y=x 4 .

2. Индикатор p=2n-1- нечетно естествено число В този случай степенната функция y=x 2n-1, където е естествено число, има следните свойства:

област на дефиниране - набор R;

набор от стойности - набор R;

функция y=x 2n-1странно, защото (- х) 2n-1 =х 2n-1 ;

функцията нараства по цялата реална ос.

Функционална графика y=x2n-1има същата форма като например графиката на функцията y=x3.

3.Индикатор p=-2n, където н-естествено число.

В този случай мощността функция y=x -2n =1/х 2n има следните свойства:

набор от стойности - положителни числа y>0;

функция y =1/х 2nдори, защото 1/(-x) 2n =1/x 2n ;

функцията нараства на интервала x<0 и убывающей на промежутке x>0.

Графика на функцията y =1/х 2nима същата форма като например графиката на функцията y =1/х 2 .

4.Индикатор p=-(2n-1), където н- естествено число. В този случай мощността функция y=x -(2n-1)има следните свойства:

област на дефиниране - множество R, с изключение на x=0;

набор от стойности - набор R, с изключение на y=0;

функция y=x -(2n-1)странно, защото (- х) -(2n-1) =-х -(2n-1) ;

функцията е намаляваща на интервалите х<0 и x>0.

Функционална графика y=x -(2n-1)има същата форма като например графиката на функцията y=1/x 3 .

1. Обратни тригонометрични функции, техните свойства и графики.

Обратен тригонометрични функции, техните свойства и графики.Обратни тригонометрични функции (кръгови функции, дъгови функции) са математически функции, които са обратни на тригонометричните функции.

1. функция arcsin

Функционална графика .

арксинусчисла мсе нарича такъв ъгъл х, за което

Функцията е непрекъсната и ограничена по цялата си реална линия. функция стриктно нараства.

1. [Редактиране] Свойства на функцията arcsin

1. [Редактиране] Получаване на функцията arcsin

Като се има предвид функция През целия си домейнитя е монотонно на части, а оттам и обратното съответствие не е функция. Затова разглеждаме интервала, на който тя стриктно нараства и приема всички стойности диапазони- . Тъй като за функция на интервала всяка стойност на аргумента съответства на една стойност на функцията, тогава на този сегмент съществува обратна функция чиято графика е симетрична на графиката на функция върху отсечка спрямо права линия