Ще кажем, че естествено число но повечеотколкото естествено число б(и посочете a > b) ако съществува положително цяло число k, такова че a = b + k.

Теорема 1. Едно не е по-голямо от всяко естествено число.

Всъщност условието 1 > a води до 1 = a + k, което е невъзможно: за k = 1 получаваме 1 = a / , което противоречи на първата аксиома естествени числа; за k ¹ 1 намираме неговия предшественик и отново стигаме до същото противоречие.

Тази "по-голяма" връзка е антирефлексен(не е вярно, че a > a) и преходен(a > b /\ b > c => a > c), т.е стриктно отношение на реда. Освен това, тази връзка е релация от линеен ред, тоест за множеството от естествени числа е валидна теоремата за трихотомията:

Теорема за трихотомията:За всякакви две естествени числа е вярно едно и само едно от следните три твърдения:

Доказателство: Първо, ние показваме, че нито едно от трите условия не са изпълнени едновременно. Да приемем, че са изпълнени условия 1 и 2. Тогава

a = b + k, b = a + n => a = a + (n + k) => a > a,

което противоречи на антирефлексивността на "по-голямото" отношение. По същия начин се установява несъвместимостта на условия 2 и 3, условия 1 и 3.

Сега нека докажем, че едно от трите условия е задължително вярно за произволни числа a и b. Използваме математическа индукция върху b. За b = 1, в зависимост от a: или a = 1 = b, или има предшественик за a, тогава

a = c / = c + 1 = 1 + c = b + c => a > b.

Следователно, за b = 1, твърдението на теоремата е вярно. Нека направим индуктивното предположение, че теоремата е валидна за някое x, а именно, че x е сравнимо с числото a, тоест са възможни три варианта: или a > x, или x > a, или x = a. Тогава доказваме, че x / също е сравнимо с a. В първия случай a > x, тоест a = x + k. В зависимост от това дали даденото k е равно на 1 или не, получаваме

а) a \u003d x + 1 \u003d x / (теоремата е валидна)

б) a \u003d x + c / \u003d x + c + 1 \u003d x + 1 + c \u003d x / + c => a > x /.

Във втория случай x > a, но тогава

x / \u003d (a + m) +1 \u003d a + (m + 1),

т.е. x / > a. По същия начин, за x \u003d a, x / \u003d x + 1 \u003d a + 1, тоест отново x /\u003e a. Теоремата е напълно доказана.

Сега можем да представим понятията<, £, ³.

а< b ó b >а;

a £ b o a< b \/ a = b

a ³ b ó a > b \/ a = b.

Свойства на монотонност:

За операция по добавяне:

1) a > b => a + c > b + c;

2) a + c > b + c => a > b;

3) a > b / \ c > d=> a + c > b + d.

<, £, ³.

За операция за умножение:

4) a > b => a×c > b×c;

5) Закон за редукция: ac = bc => a = b

6) ac > bc => a > b;

7) a > b / \ c > d=> ac > bd.

Същите свойства важат и за други знаци.<, £, ³.

Даваме като пример доказателствата на свойства 4 и 5. Тъй като a > b, по дефиниция a = b + k, тогава a × c = (b + k) × c = b × c + k × c, което означава, че a ×c > b×c и свойство 4 е доказано. Ще докажем свойство 5 чрез противоречие. Нека ac = bc, но да предположим, че a ≠ b, но тогава според теоремата за трихотомията или a > b, или b > a, но това означава, според свойство 4, че или ac > bc, или bc > ac, което противоречи на условието (ac = bc).

Теорема за дискретността.Естествено число не може да се вмъкне между две съседни естествени числа:

(" a, x н N) не е вярно, че a< x < a /

Доказателство(метод на противоречието). Нека а< x < a / . Тогда х = а + k,

a / = x + n = a + k + n => a + 1 = a + k + n => 1 = k + n.

Последното равенство е невъзможно, тъй като противоречи на теоремата, че единицата не е по-голяма от всяко естествено число.

Терем на Архимед.За всякакви естествени числа a и b съществува естествено число n, такова че a< bn.

Нека докажем чрез индукция по b. За b = 1, n = a / . Правим индуктивното предположение, че за b = k съществува необходимото n, тоест a< kn. Но тогда тем более a < k / n = kn + k. Теорема доказана.

Най-малкият елемент от множеството Mще наречем елемент с н M такъв, че за всеки елемент m н M важи следното неравенство: с ≤ m.

Теорема за най-малкия елемент. Всяко непразно подмножество от множеството естествени числа има най-малък елемент.

Доказателство: Ако M е подмножество от N, съдържащо 1, тогава 1 ще бъде просто желаният най-малък елемент. Ако 1 не е включено в множеството M, тогава разгледайте помощното множество A, състоящо се от всички естествени числа, по-малки от всички естествени числа от множеството M:

А = (a О н| (" m О M) a< m}.

От тази конструкция следва по-специално, че множествата A и M нямат общи елементи. Освен това A не е празно, тъй като 1 Î A. B A също има елемент b такъв, че b / W A. Наистина, ако няма такъв елемент, тогава по аксиомата на индукцията може да се докаже, че A = н, но тогава M би било празно, което не отговаря на хипотезата на теоремата. Елементът b / = c просто ще бъде най-малкият елемент в множеството M. Наистина, c £ m за всяко m нM (ако това не беше така, тогава неравенството c > m щеше да е валидно за поне едно положително цяло число m, но b н A , така че b< m < c = b / , что противоречит теореме о дискретности). Кроме того, с не может быть строго меньше всех элементов множества М, иначе с Î А, что противоречит его выбору. Таким образом, с равен хотя бы одному элементу из М, а значит с Î М, то есть действительно с – наименьший элемент множества М. Теорема доказана.

Забележете, че не всяко подмножество от множеството естествени числа има най-големия елемент, но ако това подмножество е крайно, то има и най-големия елемент. Обратното също е вярно. Ако подмножество от множество естествени числа има най-големия елемент, тогава това подмножество е крайно. Може да се докаже още по-общо твърдение: непразно подмножество от множеството естествени числа е ограничено отгоре тогава и само ако е крайно (има най-големия елемент).

Задачи за независимо решение

№ 1.8. Докажете, че отношението "по-голямо от" е антирефлексивно и транзитивно върху множеството от естествени числа.

№ 1.9. Докажете свойствата на монотонност 1, 2, 3, 6, 7 от този раздел.

№ 1.10. Докажете неравенствата за всички естествени n

а) 5n > 7n – 3;

б) 2n +2 > 2n + 5;

Както знаете, наборът от естествени числа може да бъде подреден с помощта на отношението "по-малко от". Но правилата за изграждане на аксиоматична теория изискват тази връзка не само да бъде дефинирана, но и направена въз основа на понятия, които вече са дефинирани в дадената теория. Това може да стане чрез дефиниране на съотношението "по-малко от" чрез събиране.

Определение. Числото a е по-малко от числото b (a< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = б.

При тези условия се казва още, че броят бПовече ▼ аи пиши б > а.

Теорема 12.За всякакви естествени числа аи бсе осъществява едно и само едно от следните три отношения: a = b, a > b, а < б.

Пропускаме доказателството на тази теорема.. От тази теорема следва, че ако

а ¹ б,или а< b, или a > bтези. отношението "по-малко от" има свойството на свързаност.

Теорема 13.Ако а< b и б< с. тогава а< с.

Доказателство. Тази теорема изразява свойството на транзитивност на отношението "по-малко от".

Защото а< b и б< с. тогава, според дефиницията на отношението "по-малко от", има такива естествени числа да сеи какво b = a + k и c = b + I.Но след това c = (a + k)+ / и въз основа на свойството на асоциативност на събирането получаваме: c = a + (k +/). Тъй като k + I -естествено число, тогава, според определението за "по-малко от", а< с.

Теорема 14. Ако а< b, това не е вярно б< а. Доказателство. Тази теорема изразява свойството антисиметрия"по-малко" връзка.

Нека първо докажем това за всяко естествено число ане ти-!>! ■ ) нейното отношение а< а.Да приемем обратното, т.е. Какво а< а възниква. Тогава, по дефиницията на отношението "по-малко от", има такова естествено число с,Какво а+ С= а,и това противоречи на теорема 6.

Нека сега докажем, че ако а< б, тогава това не е вярно б < а.Да приемем обратното, т.е. какво ако а< b , тогава б< а изпълнено. Но от тези равенства, по теорема 12, имаме а< а, което е невъзможно.

Тъй като дефинираното от нас отношение „по-малко от“ е антисиметрично и транзитивно и има свойството на свързаност, то е релация с линеен ред и набор от естествени числа линейно подредено множество.

От определението за "по-малко от" и неговите свойства могат да се изведат известните свойства на множеството от естествени числа.

Теорема 15.От всички естествени числа едно е най-малкото число, т.е. аз< а для любого натурального числа а¹1.

Доказателство. Позволявам а -всяко естествено число. Тогава са възможни два случая: а = 1 и а ¹ 1. Ако а = 1, тогава има естествено число б,следван от a: a \u003d b " \u003d b + I = 1 + б,т.е. по дефиницията на "по-малко от", 1< а.Следователно всяко естествено число е равно на 1 или по-голямо от 1. Или едно е най-малкото естествено число.

Отношението "по-малко от" е свързано със събирането и умножението на числата по свойствата на монотонност.

Теорема 16.

a = b => a + c = b + c и a c = b c;

а< b =>а + в< b + с и ас < bс;

a > b => a + c > b + c и ac > bc.

Доказателство. 1) Валидността на това твърдение следва от уникалността на събирането и умножението.

2) Ако а< b, тогава има естествено число k,Какво а + k = b.
Тогава б+ c = (a + k) + c = a + (k + c) = a + (c+ да се)= (a + c) + k.Равенство б+ c = (a + c) + kозначава, че а + в< b + С.

По същия начин се доказва, че а< b =>асо< bс.

3) Доказателството е подобно.

Теорема 17(обратно на теорема 16).

1) а+ c = b + cили ac ~ bc-Þ a = b

2) а + в< Ь + с или асо< пр. н. еÞ а< Ь:

3) a + c > b+ с или ac > bcÞ a > b.

Доказателство. Нека докажем, например, това асо< bс Трябва а< b Да приемем обратното, т.е. че заключението на теоремата не е валидно. Тогава не може да бъде a = b.защото тогава равенството ще е в сила ac = bc(Теорема 16); не може да бъде а> б,защото тогава щеше ac > bc(Теорема!6). Следователно, според теорема 12, а< b.

От теореми 16 и 17 могат да се изведат добре познатите правила за събиране и умножение на неравенства член по член. Изпускаме ги.

Теорема 18. За всякакви естествени числа аи б; има естествено число n такова, че n b> a.

Доказателство. За всеки аима такъв номер П, Какво n > a.За да направите това, достатъчно е да вземете n = a + 1. Умножаване на член по член на неравенствата П> аи б> 1, получаваме pb > а.

Разгледаните свойства на отношението "по-малко от" предполагат важни характеристики на множеството естествени числа, които представяме без доказателство.

1. Не за всяко естествено число аняма такова естествено число P,Какво а< п < а + 1. Това свойство се нарича Имот
дискретностнабори от естествени числа и числата аи а + 1 се обади съседен.

2. Всяко непразно подмножество от естествени числа съдържа
най-малкото число.

3. Ако М- непразно подмножество от множеството естествени числа
и има номер б,че за всички числа x от Мнеизпълнено
равенство х< б,след това в множеството Ме най-голямото число.

Нека илюстрираме свойства 2 и 3 с пример. Позволявам Ме набор от двуцифрени числа. Защото Ме подмножество от естествени числа и за всички числа от това множество неравенството x< 100, то в множестве Ме най-голямото число 99. Най-малкото число, съдържащо се в даденото множество М, -номер 10.

По този начин отношението "по-малко от" ни позволи да разгледаме (и в някои случаи да докажем) значителен брой свойства на множеството от естествени числа. По-специално, той е линейно подреден, дискретен, има най-малкото число 1.

Със съотношението "по-малко" ("по-голямо") за естествени числа по-малките ученици се запознават в самото начало на обучението. И често, наред с нейната теоретико-множествена интерпретация, имплицитно се използва дефиницията, дадена от нас в рамките на аксиоматичната теория. Например учениците могат да обяснят, че 9 > 7, защото 9 е 7+2. Често и имплицитно използване на свойствата за монотонност на събиране и умножение. Например децата обясняват, че „6 + 2< 6 + 3, так как 2 < 3».

Упражнения

1 Защо наборът от естествени числа не може да бъде подреден по отношението „незабавно следване“?

Формулирайте дефиниция за връзка a > bи докаже, че е транзитивен и антисиметричен.

3. Докажете, че ако а, б, вса естествени числа, тогава:

а) а< b Þ ас < bс;

б) а+ С< b + su> а< Ь.

4. Какви теореми за монотонността на събиране и умножение могат
използвайте младши ученици, изпълнявайки задачата "Сравняване без извършване на изчисления":

а) 27 + 8 ... 27 + 18;

б) 27-8 ... 27-18.

5. Какви свойства на множеството от естествени числа се използват имплицитно от по-малките ученици при изпълнение на следните задачи:

А) Запишете числата, които са по-големи от 65 и по-малки от 75.

Б) Назовете предишното и следващите числа във връзка с числото 300 (800 609 999).

В) Кое е най-малкото и най-голямото трицифрено число.

Изваждане

В аксиоматичната конструкция на теорията на естествените числа изваждането обикновено се дефинира като обратна операция на събиране.

Определение. Изваждането на естествени числа a и b е операция, която отговаря на условието: a - b \u003d c, ако и само ако b + c \u003d a.

номер а - бсе нарича разликата между числата а и б,номер а- намаляващо, число б-изваждане.

Теорема 19.Разлика на естествените числа а- бсъществува тогава и само ако б< а.

Доказателство. Нека разликата а- бсъществува. Тогава, според дефиницията на разликата, има естествено число с,Какво b + c = a,и това означава, че б< а.

Ако б< а, тогава, по дефиницията на отношението "по-малко от", съществува естествено число c такова, че b + c = a.Тогава, според дефиницията на разликата, c \u003d a - b,тези. разлика а - бсъществува.

Теорема 20. Ако разликата на естествените числа аи бсъществува, значи е уникален.

Доказателство. Да приемем, че има две различни стойности на разликата между числата аи б;: а - б= c₁и а - б= c₂, и c₁ ¹ c₂.Тогава, по дефиниция на разликата, имаме: a = b + c₁,и a = b + c₂ : .Оттук следва, че б+ c ₁ = b + c₂ :и въз основа на теорема 17 заключаваме, c₁ = c₂..Стигнахме до противоречие с предположението, което означава, че то е невярно и тази теорема е вярна.

Въз основа на дефиницията на разликата на естествените числа и условията за нейното съществуване е възможно да се обосноват добре познатите правила за изваждане на число от сбор и сбор от число.

Теорема 21. Позволявам а. би С- цели числа.

какво ако a > c, тогава (a + b) - c = (a - c) + b.

б) Ако b > c. тогава (a + b) - c - a + (b - c).

в) Ако a > c и b > c.тогава можете да използвате някоя от тези формули.
Доказателство. В случай а) разликата в числата аи ° Ссъществува, защото а > в.Нека го обозначим с x: a - c \u003d x.където a = c + x. Ако (а+ б) - c = y.тогава, според дефиницията на разликата, а+ б = С+ в. Нека заместим в това равенство вместо аизразяване c + x:(c + x) + b = c + y.Нека използваме свойството асоциативност на събирането: c + (x + b) = c+ в. Преобразуваме това равенство въз основа на свойството монотонност на събирането, получаваме:

х + b = г..Замяна на x в това уравнение с израза а - в,ще има (а -ж) + b = y.Така ние доказахме, че ако a > c, тогава (a + b) - c = (a - c) + b

Доказателството се извършва по подобен начин в случай б).

Доказаната теорема може да се формулира като правило, което е лесно за запомняне: за да се извади число от сбора, е достатъчно това число да се извади от един член на сбора и да се добави друг член към получения резултат.

Теорема 22.Позволявам а, б и в -цели числа. Ако a > b+ c, тогава а- (b + c) = (a - b) - cили a - (b + c) \u003d (a - c) - b.

Доказателството на тази теория е подобно на доказателството на теорема 21.

Теорема 22 може да се формулира като правило, за да се извади сборът от числа от число, е достатъчно да се извади от това число последователно всеки член един след друг.

AT начално образованиематематическа дефиниция на изваждане като обратно на събиране, в общ изглед, като правило, не се дава, но се използва постоянно, като се започне с извършване на операции върху едноцифрени числа. Учениците трябва да са наясно, че изваждането е свързано със събирането и да използват тази връзка при изчисляване. Изваждайки например числото 16 от числото 40, учениците разсъждават по следния начин: „Извадете числото 16 от 40 – какво означава да намерите число, което при добавяне към числото 16 дава 40; това число ще бъде 24, тъй като 24 + 16 = 40. Така че. 40 - 16 = 24".

Правилата за изваждане на число от сбор и сбор от число в елементарния курс по математика са теоретична основаразлични методи за изчисление. Например, стойността на израза (40 + 16) - 10 може да се намери не само чрез изчисляване на сумата в скоби и след това изваждане на числото 10 от него, но и по този начин;

а) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:

б) (40 + 16) - 10 = 40 + (16- 10) = 40 + 6 = 46.

Упражнения

1. Вярно ли е, че всяко естествено число се получава от непосредствено следващото чрез изваждане на единица?

2. Каква е особеността на логическата структура на теорема 19? Може ли да се формулира с думите „необходимо и достатъчно“?

3. Докажете, че:

какво ако b > c,тогава (a + b) - c \u003d a + (b - c);

б) ако a > b + c, тогава а - (б+ в) = (а - б) - в.

4. Възможно ли е, без да се правят изчисления, да се каже кои изрази ще бъдат равни:

а) (50 + 16) - 14; г) 50 + (16 -14 ),

б) (50 - 14) + 16; д) 50 - (16 - 14);
в) (50 - 14) - 16, е) (50 + 14) - 16.

а) 50 - (16 + 14); г) (50 - 14) + 16;

б) (50 - 16) + 14; д) (50 - 14) - 16;

в) (50 - 16) - 14; д) 50 - 16 - 14.

5. Какви свойства на изваждане са теоретичната основа на следните методи на изчисление, изучавани в началния курс по математика:

12 - 2-3 12 -5 = 7

б) 16-7 \u003d 16-6 - P;

в) 48 - 30 = (40 + 8) - 30 = 40 + 8 \u003d 18;

г) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.

6. Опишете възможните начини за изчисляване на стойността на израз от формата. а - б- Си ги илюстрирайте с конкретни примери.

7. Докажете, че за б< а и всяко естествено c равенството (a - b) c \u003d ac - bc.

Инструкция. Доказателството се основава на аксиома 4.

8. Определете стойността на израза, без да извършвате писмени изчисления. Обосновете отговорите.

а) 7865 × 6 - 7865 × 5: б) 957 × 11 - 957; в) 12 × 36 - 7 × 36.

дивизия

В аксиоматичната конструкция на теорията на естествените числа разделянето обикновено се определя като обратната операция на умножението.

Определение. Делението на естествени числа a и b е операция, която удовлетворява условието: a: b = c, ако и само ако,да се когато б× c = a.

номер a:bНаречен частенчисла аи б,номер аделимо, число б- разделител.

Както е известно, деление на множество естествени числа не винаги съществува и няма такъв удобен критерий за съществуване на частно, какъвто съществува за разлика. Съществува само необходимо условие за съществуването на частното.

Теорема 23.За да съществува частно от две естествени числа аи б, това е необходимо б< а.

Доказателство. Нека частното от естествените числа аи бсъществува, т.е. има естествено число c такова, че bc = a.Тъй като за всяко естествено число 1 неравенството 1 £ с,след това, умножавайки двете му части по естествено число б, получаваме б£ пр. н. е.Но bc \u003d a,следователно, б£ а.

Теорема 24.Ако частното на естествените числа аи бсъществува, значи е уникален.

Доказателството на тази теорема е подобно на доказателството на теоремата за единствеността на разликата на естествените числа.

Въз основа на дефиницията на частните естествени числа и условията за неговото съществуване е възможно да се обосноват добре познатите правила за деление на сума (разлика, произведение) на число.

Теорема 25.Ако числата аи бразделено на числото с,след това тяхната сума a + bсе дели на c и частното, получено чрез разделяне на сбора а+ бна брой с,е равна на сумата от частните, получени при разделяне ана Си бна С, т.е. (a + b):c \u003d a: c + b:С.

Доказателство. Тъй като броят аразделена на с,тогава има такова естествено число x = а;с това a = cx.По същия начин има естествено число y = b:с,Какво

б= суНо след това a + b = cx+ su = - c(x + y).Означава, че a + bсе дели на c и частното, получено чрез разделяне на сбора а+ бна числото c, е равно на x + y,тези. ax + b: c.

Доказаната теорема може да се формулира като правило за разделяне на сума на число: за да се раздели сборът на число, е достатъчно всеки член да се раздели на това число и получените резултати да се съберат.

Теорема 26.Ако естествени числа аи бразделено на числото Си a > bтогава разликата а - бсе дели на c, а частното, получено чрез разделяне на разликата на числото c, е равно на разликата на частните, получени чрез разделяне ана Си бдо c, т.е. (a - b):c \u003d a:c - b:c.

Доказателството на тази теорема се извършва подобно на доказателството на предишната теорема.

Тази теорема може да се формулира като правило за разделяне на разликата на число: заЗа да се раздели разликата на число, е достатъчно да се раздели минусът и извадката на това число и да се извади второто от първото частно.

Теорема 27.Ако е естествено число асе дели на естествено число c, тогава за всяко естествено число бработа абсе разделя на п. В този случай частното, получено чрез разделяне на продукта абкъм номера от , е равно на произведението на частното, получено при разделяне ана с,и числа b: (a × b):c - (a:c) × b.

Доказателство. Защото аразделена на с,тогава има естествено число x такова, че a:c= x, откъдето a = cx.Умножаване на двете страни на уравнението по б,получаваме ab = (cx)b.Тъй като умножението е асоциативно, тогава (cx) b = c(x b).Оттук (a b): c \u003d x b \u003d (a: c) b.Теоремата може да се формулира като правило за разделяне на произведение на число: за да се раздели продукт на число, достатъчно е един от факторите да се раздели на това число и резултатът да се умножи по втория фактор.

В началното математическо образование определението за деление като операция на обратната на умножението, като правило, не се дава в общ вид, но се използва постоянно, като се започне от първите уроци по запознаване с делението. Учениците трябва да знаят, че делението е свързано с умножението и да използват тази връзка в изчисленията. Когато делят, например, 48 на 16, учениците разсъждават така: „Разделянето на 48 на 16 означава намиране на число, което, умножено по 16, ще бъде 48; това число ще бъде 3, тъй като 16 × 3 = 48. Следователно, 48: 16 = 3.

Упражнения

1. Докажете, че:

а) ако частното на естествените числа а и бсъществува, значи е уникален;

б) ако числа а и бсе разделят на Си a > bтогава (a - b): c \u003d a: c - b: c.
2. Възможно ли е да се твърди, че цялото дадено равенство е вярно:
а) 48:(2×4) = 48:2:4; б) 56:(2×7) = 56:7:2;

в) 850:170 = 850:10:17.

Кое правило е обобщение на тези случаи? Формулирайте го и го докажете.

3. За какви свойства на делението е теоретичната основа
изпълнение на следните задачи, предложени на учениците начално училище:

възможно ли е, без да се извършва деление, да се каже кои изрази ще имат еднакви стойности:

а) (40+ 8): 2; в) 48:3; д) (20+ 28): 2;

б) (30 + 16):3; г)(21+27):3; е) 48:2;

Вярни ли са равенствата:

а) 48:6:2 = 48:(6:2); б) 96:4:2 = 96:(4-2);

в) (40 - 28): 4 = 10-7?

4. Опишете възможните начини за изчисляване на стойността на израз
Тип:

а) (а+ b):c;б) а:б: С; в) ( а × б): С .

Илюстрирайте предложените методи с конкретни примери.

5. Намерете стойностите на израза по рационален начин; техен
обосновават действия:

а) (7 × 63):7; в) (15 × 18):(5× 6);

б) (3 × 4× 5): 15; г) (12 × 21): 14.

6. Обосновете следните методи за деление с двуцифрено число:

а) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 = 50 + 3 = 53;

б) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 = 49;

в) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:

г) (560 × 32): 16 = 560 (32:16) = 560×2 = 1120.

7. Без да разделяте на ъгъл, намерете най-рационалното
частен начин; обосновете избрания метод:

а) 495:15; в) 455:7; д) 275:55;

6) 425:85; г) 225:9; д) 455:65.

Лекция 34. Свойства на множеството от неотрицателни цели числа

1. Множеството от неотрицателни цели числа. Свойства на множеството от неотрицателни цели числа.

2. Понятието за отсечка от естествения ред от числа и преброяването на елементи от крайно множество. Редни и количествени естествени числа.

Упражнения

1.. Използвайки дефиницията за умножение, намерете стойностите на изразите:
а) 3 3; 6) 3 4; в) 4 3.

2. Запишете разпределителното свойство на умножението вляво по отношение на събирането и го докажете. Какви трансформации на изрази са възможни на негова основа? Защо се наложи да се разгледа разпределението на лявото и дясното умножение по отношение на събирането?

3. Докажете свойството на асоциативност на умножението на естествени числа. Какви трансформации на изрази са възможни на негова основа? Това свойство проучено ли е в начално училище?

4. Докажете свойството на комутативност на умножението. Дайте примери за използването му в начален курс по математика.

5. Какви свойства на умножението могат да се използват за намиране на стойността на израз:

а) 5 (10 + 4); 6)125 15 6; в) (8 379) 125?

6. Известно е, че 37 3 = 111. Използвайки това равенство, изчислете:

а) 37 18; 6) 185 12.

Обосновете всички трансформации.

7. Определете стойността на израза, без да извършвате писмени изчисления. Обосновете отговора си:

а) 8962 8 + 8962 2; б) 63402 3 + 63402 97; в) 849 +849 9.

8 .. Какви свойства на умножението ще използват учениците от началното училище, когато изпълняват следните задачи:

Възможно ли е, без да се изчислява, да се каже кои изрази ще имат еднакви стойности:

а) 3 7 + 3 5; 6) 7 (5 + 3): в) (7 + 5) 3?

Вярни ли са равенствата:

а) 18 5 2 = 18 (5 2); в) 5 6 + 5 7 = (6 + 7) 5;

б) (3 10) 17 = 3 10 17; г) 8 (7 + 9) = 8 7 + 9 8?
Възможно ли е, без да се извършват изчисления, да се сравнят стойностите на изразите:

а) 70 32 + 9 32 ... 79 30 + 79 2; 6) 87 70 + 87 8 ... 80 78 + 7 78?

Лекция 33 Изваждане и деление на неотрицателни цели числа

1. Подреждане на множеството естествени числа.

2. Определение за изваждане на цели неотрицателни числа

3. Деление на цели неотрицателни числа. Невъзможността за деление на нула. Деление с остатък.

При тези условия се казва още, че броят бПовече ▼ аи пиши б > а.

Пропускаме доказателството на тази теорема.. От тази теорема следва, че ако

а ¹ б,или а< b, или a > bтези. отношението "по-малко от" има свойството на свързаност.

Теорема 13.Ако а< b и б< с. тогава а< с.

Доказателство. Тази теорема изразява свойството на транзитивност на отношението "по-малко от".

Теорема 15.От всички естествени числа едно е най-малкото число, т.е. аз< а для любого натурального числа а¹1.

Отношението "по-малко от" е свързано със събирането и умножението на числата по свойствата на монотонност.

Поръчани комплекти

Определение 1.Много МНаречен подредениако има някаква връзка между неговите елементи а b(" апредшества б"), който има следните свойства: 1) между всеки два елемента аи бима една и само една от трите връзки: а = б, аб, ба; 2) за всеки три елемента а, би ° Сот аб, б c следва а° С.

Празният комплект се счита за подреден.

Коментирайте.Винаги разбираме знака = в смисъла на идентичност, съвпадението на елементите. Записване а = бпросто означава, че буквите аи бобозначава същия елемент от множеството М. Следователно от свойство 1) следва, че между два различни елемента има едно и само едно от двете отношения аб или ба.

Ако апредшества б, тогава те казват това бследва аи напиши: б > а.

Поведение а > бЛесно е да се провери дали има свойства, подобни на 1) и 2). Той може да се приеме като основен, след което да се определи чрез него връзката аб.

Ако е в подреден комплект Мобръщане на ролите на връзката, т.е. вместо аб пиши а > б, и обратно, получаваме нов подреден набор М", чийто ред се казва, че е обратен по отношение на реда М. Например, за горния ред в набора от естествени числа, редът ще бъде обратен:

Две подредени множества, съставени от едни и същи елементи, но разположени в различен ред, се считат за различни. Следователно, когато се определя подреден набор от гледна точка на неговите елементи, е необходимо да се посочи техния ред. Ще приемем, че записът отляво надясно съответства на реда на елементите и ще запазим предишната нотация с къдрави скоби. Един и същ комплект може да бъде поръчан по различни начини (ако съдържа поне два елемента). И така, наборът от естествени числа може да бъде подреден по обичайния начин или в обратен ред, нечетните числа могат да се поставят пред четни или обратно, като се поставят и двете във възходящ или низходящ ред. Вземете поръчани комплекти

как да бъдеш романтичен с момиче как да бъдеш по-романтичен

Светофар: цветове по ред, описание и значение