Например изрази:
а - b + ° С, х 2 - г 2 , 5х - 3г - z- полиноми.
Мономите, които съставляват полинома, се наричат членове на полинома. Помислете за полинома:
7а + 2b - 3° С - 11
изрази: 7 а, 2b, -3° Си -11 са членовете на полинома. Забележете члена -11. Не съдържа променлива. Такива членове, състоящи се само от числа, се наричат Безплатно.
Общоприето е, че всеки моном е частен случай на полином, състоящ се от един член. В този случай моном е името на полином с един член. За полиноми, състоящи се от два и три члена, има и специални имена - съответно бином и трином:
7а- мономиални
7а + 2b- бином
7а + 2b - 3° С- тричлен
Подобни членове
Подобни членове- мономи, включени в полином, които се различават един от друг само по коефициент, знак или изобщо не се различават (противоположните мономи също могат да бъдат наречени подобни). Например в полином:
| 3а 2 b | + | 5абв 2 | + | 2а 2 b | - | 7абв 2 | - | 2а 2 b |
членове 3 а 2 b, 2а 2 bи 2 а 2 b, както и членове 5 абв 2 и -7 абв 2 са подобни условия.
Привличане на подобни членове
Ако полиномът съдържа подобни членове, тогава той може да бъде намален до по-проста форма чрез комбиниране на подобни членове в едно. Това действие се нарича привеждане на подобни членове. Първо, нека затворим всички подобни термини отделно в скоби:
(3а 2 b + 2а 2 b - 2а 2 b) + (5абв 2 - 7абв 2)
За да комбинирате няколко подобни мономи в едно, трябва да добавите техните коефициенти и да оставите буквените множители непроменени:
((3 + 2 - 2)а 2 b) + ((5 - 7)абв 2) = (3а 2 b) + (-2абв 2) = 3а 2 b - 2абв 2
Редуцирането на подобни членове е операция за заместване на алгебричната сума на няколко подобни мономи с един моном.
Полином със стандартна форма
Полином със стандартна формае полином, всички членове на който са мономи със стандартна форма, сред които няма подобни членове.
За да приведете полином в стандартна форма, достатъчно е да намалите подобни членове. Например, представете израза като полином от стандартната форма:
3xy + х 3 - 2xy - г + 2х 3
Първо, нека намерим подобни термини:
Ако всички членове на полином със стандартна форма съдържат една и съща променлива, тогава членовете му обикновено се подреждат от най-голямата към най-малката степен. Свободният член на полинома, ако има такъв, се поставя на последно място - вдясно.
Например полином
3х + х 3 - 2х 2 - 7
трябва да се напише така:
х 3 - 2х 2 + 3х - 7
След като изучаваме мономи, преминаваме към полиноми. Тази статия ще ви разкаже за цялата необходима информация, необходима за извършване на действия върху тях. Ще дефинираме полином със съпътстващи дефиниции на член на полином, тоест свободен и подобен, ще разгледаме полином със стандартна форма, ще въведем степен и ще се научим как да я намираме и ще работим с нейните коефициенти.
Полином и неговите термини - определения и примери
Дефиницията на полином е дадена в 7 клас след изучаване на мономи. Нека да разгледаме пълното му определение.
Определение 1
ПолиномИзчислява се сумата от мономи, а самият моном е частен случай на полином.
От определението следва, че примерите за полиноми могат да бъдат различни: 5 , 0 , − 1 , х, 5 a b 3, x 2 · 0 , 6 · x · (− 2) · y 12 , - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z и т.н. От дефиницията имаме това 1+x, a 2 + b 2 и изразът x 2 - 2 x y + 2 5 x 2 + y 2 + 5, 2 y x са полиноми.
Нека да разгледаме още някои определения.
Определение 2
Членове на полиномасъставните му мономи се наричат.
Да разгледаме пример, при който имаме полином 3 x 4 − 2 x y + 3 − y 3, състоящ се от 4 члена: 3 x 4, − 2 x y, 3 и − y 3. Такъв моном може да се счита за полином, който се състои от един член.
Определение 3
Полиномите, които съдържат 2, 3 тринома, имат съответното име - биномИ тричлен.
От това следва, че израз на формата x+y– е бином, а изразът 2 x 3 q − q x x x + 7 b е тричлен.
Според училищната програма работихме с линеен бином от вида a · x + b, където a и b са някои числа, а x е променлива. Нека разгледаме примери за линейни биноми от вида: x + 1, x · 7, 2 − 4 с примери за квадратни триноми x 2 + 3 · x − 5 и 2 5 · x 2 - 3 x + 11.
За трансформиране и решаване е необходимо да се намерят и въведат подобни термини. Например полином от формата 1 + 5 x − 3 + y + 2 x има подобни членове 1 и - 3, 5 x и 2 x. Те са разделени на специална група, наречена подобни членове на полинома.
Определение 4
Подобни членове на полиномса подобни термини, открити в полином.
В примера по-горе имаме, че 1 и - 3, 5 x и 2 x са подобни членове на полинома или подобни членове. За да опростите израза, намерете и редуцирайте подобни членове.
Полином със стандартна форма
Всички мономи и полиноми имат свои специфични имена.
Определение 5
Полином със стандартна формае полином, в който всеки член, включен в него, има моном със стандартна форма и не съдържа подобни членове.
От дефиницията става ясно, че е възможно да се редуцират полиноми от стандартната форма, например 3 x 2 − x y + 1 и __формула__, а записът е в стандартна форма. Изразите 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z и 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z не са полиноми от стандартна форма, тъй като първият от тях има подобни членове в форма 3 · x 2 и − x 2, а вторият съдържа моном от формата x · y 3 · x · z 2, който се различава от стандартния полином.
Ако обстоятелствата го изискват, понякога полиномът се редуцира до стандартна форма. Концепцията за свободен член на полином също се счита за полином със стандартна форма.
Определение 6
Свободен член на полиноме полином със стандартна форма, който няма буквална част.
С други думи, когато полином в стандартна форма има число, той се нарича свободен член. Тогава числото 5 е свободен член на многочлена x 2 z + 5, а полиномът 7 a + 4 a b + b 3 няма свободен член.
Степен на полином - как да го намерим?
Самата дефиниция на степента на полином се основава на дефиницията на полином със стандартна форма и на степени на мономи, които са негови компоненти.
Определение 7
Степен на полином от стандартна формасе нарича най-голямата от степените, включени в неговата нотация.
Нека разгледаме един пример. Степента на многочлена 5 x 3 − 4 е равна на 3, тъй като мономите, включени в неговия състав, имат степени 3 и 0, а по-големият от тях е съответно 3. Дефиницията на степента от полинома 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x е равна на най-голямото от числата, тоест 2 + 3 = 5, 4 + 1 = 5 и 1, което означава 5 .
Необходимо е да се разбере как се намира самата степен.
Определение 8
Степен на полином от произволно числое степента на съответния полином в стандартна форма.
Когато полиномът не е записан в стандартна форма, но трябва да намерите степента му, трябва да го намалите до стандартната форма и след това да намерите необходимата степен.
Пример 1
Намерете степента на полином 3 a 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12.
Решение
Първо, нека представим полинома в стандартна форма. Получаваме израз на формата:
3 a 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12 = = (3 a 12 − 2 a 12 − a 12) − 2 · (a · a) · (b · b) · (c · в) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2
При получаване на полином със стандартна форма откриваме, че два от тях се открояват ясно - 2 · a 2 · b 2 · c 2 и y 2 · z 2 . За да намерим градусите, преброяваме и откриваме, че 2 + 2 + 2 = 6 и 2 + 2 = 4. Вижда се, че най-големият от тях е 6. От дефиницията следва, че 6 е степента на полинома − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 и следователно първоначалната стойност.
Отговор: 6 .
Коефициенти на полиномни членове
Определение 9Когато всички членове на полином са мономи от стандартната форма, тогава в този случай те имат името коефициенти на полиномни членове.С други думи, те могат да бъдат наречени коефициенти на полинома.
При разглеждане на примера е ясно, че полином от формата 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 съдържа 4 полинома: 2 x, − 0, 5 x y, 3 x и 7 със съответните им коефициенти 2, − 0, 5, 3 и 7. Това означава, че 2, − 0, 5, 3 и 7 се считат за коефициенти на членовете на даден полином от формата 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7. Когато конвертирате, е важно да обърнете внимание на коефициентите пред променливите.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
Ключови думи на резюмето: Полином, стандартна форма на полином, членове на полином, полиноми, нулев полином, степен на полином, редукция на подобни членове, водещ коефициент, свободен член на полином.
Изразяване 5a 2 b – 3ab – 4a 3 + 7 представлява сумата от мономи 5a 2 b, –5ab, –4a 3 и 7 . Такива изрази се наричат полиноми.
✅ Определение. Полиномът е сборът от мономи.
Мономите, които съставляват полинома, се наричат членове на полинома . Например членовете на полинома x 3 y – 4x 2 + 9 са мономи на x 3 y, – 4x 2 и 9.
Нарича се полином, състоящ се от два члена бином , а полином, състоящ се от три члена е тричлен . Моном се счита за полином, състоящ се от един член. Понякога се наричат полиноми полиноми и биноми - биноми (от гръцките думи "poly" - "много", "nomos" - "член, част" и латинските "bi" - "два, два пъти").
Познавайки стойностите на променливите, включени в полинома, можете да изчислите стойността на полинома.
Пример 1.Нека намерим стойността на полинома –0,3x 2 y – x 3 + 7y
при x = –0,2, y = –1
.
Ние имаме:
–0,3x 2 y – x 3 +7y = –0,3 (–0,2) 2 (–1) – (–0,2) 3 + 7 (–1) = 0,012 + 0,008 – 7 = –6 ,98.
Стандартна форма на полином
В полином 13x 2 y + 4 + 8xy – 6x 2 y – 9 първият и четвъртият термин имат една и съща буквена част. Членове на полином, които имат една и съща буквена част, се наричат подобни членове. Термините, които нямат буквена част, също се считат за подобни термини.
Сумата от подобни членове на полином може да бъде заменена с моном. Такава идентична трансформация се нарича редукция на подобни членове или привеждане на подобни условия. Намаляването на такива членове се основава на комутативните и комбинативните свойства на събирането и разпределителното свойство на умножението.
Пример 2.
Нека представим подобни членове на полинома 13x 2 y + 4 + 8xy – 6x 2 y – 9.
Ние имаме:
13x 2 y + 4 + 8xy – 6x 2 y – 9 = (13x 2 y – 6x 2 y) + 8xy + (4 – 9) = (13 – 6)x 2 y + 8xy – 5 = 7x 2 y + 8xy - 5.
В полином 7x 2 y + 8xy – 5 всеки член е моном със стандартна форма и няма подобни членове сред тях. Такива полиноми се наричат полиноми със стандартна форма.
Да разгледаме полином със стандартна форма За 3 – 5a 3 b 2 + 7 . Неговите членове са мономи от трета, пета и нулева степен. Най-голямата от тези степени се нарича степен на полинома. Така този полином е полином от пета степен.
Степен на полиномстандартната форма е най-голямата от степените на включените в нея мономи. Степента на произволен полином е степента на идентично равен полином със стандартна форма.
Пример 3.
Нека определим степента на полинома a 6 + 2a 2 b – a 6 + 1
.
За да направим това, намаляваме полинома до стандартна форма: a 6 + 2a 2 b – a 6 + 1 = 2a 2 b + 1
.
Степента на получения полином е три. Това означава, че степента на дадения многочлен е равна на три.
Ако полиномът е ненулево число, тогава степента на такъв полином е 0. Числото нула се нарича нулев полином . Степента му се счита за несигурна.
Сред полиномите се разграничават полиноми с една променлива. Полином от n-та степен с една променлива в стандартна форма се записва, както следва: a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + ... + a n-2 x 2 + a n-1 x + a n, Където х- променлива, a 0, a 1 a 2, …, a n-1, a n- произволни числа, n ∈ N или n = 0. Коефициент при x nНаречен старши коефициент (в нашия случай това е 0). Извиква се член, който не съдържа променливата x безплатен член полином (в нашия случай това е n). Например водещият коефициент на полинома x 4 + 2x 3 – x 2 + 3x е равно на 1 и фиктивният член е нула.
Обърнете внимание, че стойността на полином с променлива x при x = 0 е равна на свободния член на този полином, а при x = 1 - на сумата от неговите коефициенти.
Това е обобщение по математика по темата. Изберете следващите стъпки:
- Отидете на следващото резюме:
В този урок ще си припомним основните дефиниции на тази тема и ще разгледаме някои типични проблеми, а именно редуциране на полином до стандартна форма и изчисляване на числова стойност за дадени стойности на променливи. Ще решим няколко примера, в които редукцията до стандартна форма ще се използва за решаване на различни видове задачи.
Предмет:Полиноми. Аритметични действия върху мономи
Урок:Намаляване на полином до стандартна форма. Типични задачи
Нека си припомним основното определение: полиномът е сбор от мономи. Всеки моном, който е част от полином като член, се нарича негов член. Например:
бином;
полином;
бином;
Тъй като полиномът се състои от мономи, първото действие с полином следва от тук - трябва да приведете всички мономи в стандартна форма. Нека ви напомним, че за да направите това, трябва да умножите всички числени множители - да получите числов коефициент и да умножите съответните степени - да получите буквената част. В допълнение, нека обърнем внимание на теоремата за произведението на степените: когато степените се умножават, техните показатели се събират.
Нека разгледаме важна операция - редуциране на полином до стандартна форма. Пример:
Коментар: за да приведете полином в стандартен вид, трябва да приведете всички мономи, включени в състава му, в стандартен вид, след което, ако има подобни мономи - и това са мономи с една и съща буквена част - да извършите действия с тях .
И така, разгледахме първия типичен проблем - привеждане на полином до стандартна форма.
Следващият типичен проблем е изчисляването на специфичната стойност на полином за дадени числени стойности на променливите, включени в него. Нека продължим да разглеждаме предишния пример и да зададем стойностите на променливите:
Коментар: нека си припомним, че единица на всяка естествена степен е равна на единица, а нула на всяка естествена степен е равна на нула, освен това припомняме, че когато умножаваме произволно число по нула, получаваме нула.
Нека да разгледаме няколко примера за типични операции за привеждане на полином в стандартна форма и изчисляване на неговата стойност:
Пример 1 - привеждане в стандартна форма:
Коментар: първата стъпка е да приведете мономите към стандартната форма, трябва да приведете първия, втория и шестия; второ действие - привеждаме подобни термини, тоест извършваме дадените аритметични операции върху тях: добавяме първото с петото, второто с третото, пренаписваме останалите без промени, тъй като те нямат подобни.
Пример 2 - изчислете стойността на полинома от пример 1 при дадени стойности на променливите:
Коментар: когато изчислявате, трябва да запомните, че единица на всяка естествена степен е единица; ако е трудно да се изчислят степени на две, можете да използвате таблицата на степените.
Пример 3 - вместо звездичка поставете моном, така че резултатът да не съдържа променлива:
Коментар: независимо от задачата, първото действие винаги е едно и също - привеждане на полинома в стандартен вид. В нашия пример това действие се свежда до привеждане на подобни условия. След това трябва внимателно да прочетете условието отново и да помислите как можем да се отървем от монома. Очевидно, за да направите това, трябва да добавите същия моном към него, но с обратен знак - . След това заменяме звездичката с този моном и се уверяваме, че нашето решение е правилно.
В този урок ще си припомним основните дефиниции на тази тема и ще разгледаме някои типични проблеми, а именно редуциране на полином до стандартна форма и изчисляване на числова стойност за дадени стойности на променливи. Ще решим няколко примера, в които редукцията до стандартна форма ще се използва за решаване на различни видове задачи.
Предмет:Полиноми. Аритметични действия върху мономи
Урок:Намаляване на полином до стандартна форма. Типични задачи
Нека си припомним основното определение: полиномът е сбор от мономи. Всеки моном, който е част от полином като член, се нарича негов член. Например:
бином;
полином;
бином;
Тъй като полиномът се състои от мономи, първото действие с полином следва от тук - трябва да приведете всички мономи в стандартна форма. Нека ви напомним, че за да направите това, трябва да умножите всички числени множители - да получите числов коефициент и да умножите съответните степени - да получите буквената част. В допълнение, нека обърнем внимание на теоремата за произведението на степените: когато степените се умножават, техните показатели се събират.
Нека разгледаме важна операция - редуциране на полином до стандартна форма. Пример:
Коментар: за да приведете полином в стандартен вид, трябва да приведете всички мономи, включени в състава му, в стандартен вид, след което, ако има подобни мономи - и това са мономи с една и съща буквена част - да извършите действия с тях .
И така, разгледахме първия типичен проблем - привеждане на полином до стандартна форма.
Следващият типичен проблем е изчисляването на специфичната стойност на полином за дадени числени стойности на променливите, включени в него. Нека продължим да разглеждаме предишния пример и да зададем стойностите на променливите:
Коментар: нека си припомним, че единица на всяка естествена степен е равна на единица, а нула на всяка естествена степен е равна на нула, освен това припомняме, че когато умножаваме произволно число по нула, получаваме нула.
Нека да разгледаме няколко примера за типични операции за привеждане на полином в стандартна форма и изчисляване на неговата стойност:
Пример 1 - привеждане в стандартна форма:
Коментар: първата стъпка е да приведете мономите към стандартната форма, трябва да приведете първия, втория и шестия; второ действие - привеждаме подобни термини, тоест извършваме дадените аритметични операции върху тях: добавяме първото с петото, второто с третото, пренаписваме останалите без промени, тъй като те нямат подобни.
Пример 2 - изчислете стойността на полинома от пример 1 при дадени стойности на променливите:
Коментар: когато изчислявате, трябва да запомните, че единица на всяка естествена степен е единица; ако е трудно да се изчислят степени на две, можете да използвате таблицата на степените.
Пример 3 - вместо звездичка поставете моном, така че резултатът да не съдържа променлива:
Коментар: независимо от задачата, първото действие винаги е едно и също - привеждане на полинома в стандартен вид. В нашия пример това действие се свежда до привеждане на подобни условия. След това трябва внимателно да прочетете условието отново и да помислите как можем да се отървем от монома. Очевидно, за да направите това, трябва да добавите същия моном към него, но с обратен знак - . След това заменяме звездичката с този моном и се уверяваме, че нашето решение е правилно.
