клас: 6
Презентация към урока
Назад Напред
внимание! Визуализациите на слайдовете са само за информационни цели и може да не представят всички функции на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.
Цел на урока: Обобщете и систематизирайте знанията на учениците по темата „Разделение на обикновени дроби“ с помощта на мултимедийни технологии.
Цели на урока:
Образователни:
- консолидиране на теоретични знания: определяне на реципрочни числа; правила за събиране, изваждане, умножение, деление на обикновени дроби; правило за намиране на дроб от число.
- развиват способността за прилагане на придобитите теоретични знания за решаване на проблеми;
- извършва контрол на знанията с помощта на компютърен тест.
Образователни:
- развиват познавателния интерес, интелектуалните и творчески способности на учениците;
- формиране на информационна култура, овладяване на умения за търсене и анализ на информация;
Образователни:
- преподават самостоятелни дейности за придобиване на знания;
- формиране на съзнателни мотиви за учене, самоусъвършенстване, самообразование;
- култивирайте всеотдайност и постоянство в постигането на целите;
- насърчаване на взаимопомощ.
План на урока:
- Организационна и мотивационна, поставяне на цели на урока. обобщаване и затвърждаване на понятия, определения, правила. (I – устно броене)
- Тестване. (II)
- Задълбочаване, прилагане на знанията, развиване на мисленето. (III-VIII)
- Резултати. (IX)
- домашна работа. (X)
Напредък на урока
Днес нашият урок по математика ще бъде свързан с литературата. Очаква ни необичайно пътешествие. Тъй като имаме урок по математика, пътуването ще бъде математическо. Темата на нашия урок е „Деление на дроби“. Преди да тръгнете, трябва да проверите дали всички са готови.
I. Устно броене
(слайд 2)
| - | * | : 4 |
| 3 - 1 | * | : |
| + | 1 * | : |
| * 5 | : | 6: |
Повтаряме:
- Кои числа се наричат реципрочни?
- правила за събиране, изваждане, умножение и деление на дроби.
И така, тръгнахме на път. И както вече се досещате, ще пътуваме по приказките на А.С. В коя приказка ще спрем за първи път, ще разберете от думите, които ще получите при решаване на примери с деление. На учениците се раздават карти със задачи и карти с ключове. Ако е възможно да се работи на компютри, тогава учениците решават тест с избираем отговор, създаден в Microsoft Excel. В резултат на това те ще получат необходимите думи.
II. Програмиран (диференциран) контрол. (тест)
| Вариант I | Вариант II | Вариант III | IV вариант |
Ключови карти
| I век | r | О | д | м |
| 1 | ||||
| 2 | ||||
| 3 | ||||
| 4 | 1 | 9 | 10 | 8 |
| II век | s | b | А | до | r |
| 1 | |||||
| 2 | |||||
| 3 | 40 | 42 | 41 | 43 | 44 |
| 4 | |||||
| 5 | 7 |
| III век | r | А | Т | до | И | с |
| 1 | ||||||
| 2 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 |
| 3 | ||||||
| 4 | ||||||
| 5 | ||||||
| 6 | 1 |
| IV век | Т | r | s | О | до |
| 1 | |||||
| 2 | |||||
| 3 | 60 | 65 | 61 | 63 | 64 |
| 4 | |||||
| 5 | |||||
| 6 |
Получихме думите: корито, риба, старец, море. В коя приказка попаднахме? В приказка за рибар и риба. Кой помни началото на тази приказка? ( слайд 3)
Един старец живееше със своята стара жена
Край най-синьото море;
Живееха в порутена землянка
Точно тридесет години и три години.
Героите на приказката ни предлагат да разрешим проблема.
III.
(слайд 4)
Щука, каракуда и костур заедно тежат 1 кг. Колко тежи всяка риба, ако щуката е 1 пъти по-тежка от каракуда, а масата на костура е равна на масата на каракуда.
IV. За да разберете името на следващата приказка на A.S. Пушкин, трябва да отворите 2 сандъка.
За да направите това, трябва да решите 2 уравнения. Уравненията се решават по вариантите, след което учениците сменят тетрадките и се проверяват решенията. ( слайдове 5-9)
Вариант I
Вариант II
Сандъците се отварят и се появява заглавието: Приказката за цар Салтан. (пълно заглавие на приказката: Приказката за цар Салтан, за неговия син, славния и могъщ герой княз Гуидон Салтанович и за красивата принцеса лебед.)
V.
(слайдове 10-12)
В морето лежи остров,
На острова има град,
С църкви със златни куполи,
С кули и градини;
Този град се управлява от принц Гуидон. Ще разберем кого можем да срещнем там, като изпълним следната задача:
Пред вас е верига от три числа; във всеки ред трябва да премахнете допълнителното число.
Намерете сбора на допълнителните числа. + 32 + = 33
В този град има няколко чудеса.
Един от тях е
Морето ще набъбне силно,
Ще кипи, ще вие,
Втурва се към празния бряг,
Ще се плиска в бързия бряг,
И ще се озоват на брега
В мащаби, като топлината на скръбта,
Тридесет и трима герои.
VI. Следващата приказка на А.С. Пушкин ще ви каже отговора, който ще получим при решаването на примера за всички действия.
(слайд 13)
1 : ((слайдове 16-17)
Кралят до прозореца - en на иглата за плетене,
Вижда как петел бие,
Изложение източно.В коя приказка сме? В приказката за златния петел. Нашето пътешествие е към своя край и ще го завършим с думите, с които завършва приказката за златното петле.
За да разберете фразата, подредете числата във възходящ ред!
Резултатът беше фразата: „Приказката е лъжа, но в нея има намек!“ Какво означава тази фраза?
клас: 6
Презентация към урока
Назад Напред
внимание! Визуализациите на слайдовете са само за информационни цели и може да не представят всички функции на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.
Цели на урока:
Образователен аспект:
- повторете и задълбочете знанията по темата „Делене на обикновени дроби“
Аспект на развитието:
- развиват умения за анализ и сравнение на материал;
- развиват внимание, памет, реч, логическо мислене, независимост;
- насърчаване на развитието на умения за извършване на самооценка на образователните дейности.
Образователен аспект:
- внушава на учениците умението за независимост в работата, преподава упорит труд и точност;
- култивирайте необходимостта от оценка на собствените дейности и работата на съучениците;
- култивира култура на речта, внимание към точността на формулировката.
Форми на организиране на образователни дейности:
- фронтална, индивидуална, игрова
Използвани технологии:
- технология за сътрудничество;
- информационни технологии;
- игрови технологии.
Оборудване:
- компютър;
- мултимедиен проектор;
- Microsoft Office PowerPoint презентация;
- карти със задачи
Напредък на урока
I. Организационен момент
II. Устно броене
1. Пресметнете значенията на изрази, сглобете пъзела.
Учител:Момчета, разпознавате ли какво е показано на тази снимка?
Усолие Сибирское е един от най-старите градове в района на Ангара. Основан е като селище през 1669 г. благодарение на завоевателите на сибирските простори, Енисейските казаци, братята Михалеви, които откриват солен извор на брега на река Ангара. и построил солница.
2. Без да извършвате никакви действия, сравнете коефициента с дивидента:
III. Повторение на предварително изучен материал
1. Представете десетичната дроб като дроб. В таблицата напишете буквите, съответстващи на намерените отговори (работете по двойки).
0,4 - А 1.2 - стр 0,006 - P 3.6 - аз 0,9 - W 5.008 – Т 0,05 - U 2.16 - О 0,37 - D 4.44 - C 5.08 - К 2.15 – М
Името на града Иркутск идва от река Иркут, която се влива в Ангара. Градът датира от първата Иркутска крепост, основана от казаците под ръководството на Яков Похабов на 6 юли 1661 г. До септември 1670 г. на мястото на крепостта е построена крепост с четири кули и е наречена Кремъл. Иркутск, почти от самото начало, беше най-важната крепост за търговия с Китай. През града минаваха всички руско-китайски търговски кервани.
2. Изразете дробта като десетична дроб. Подредете получените числа във възходящ ред и прочетете думата (самостоятелно, последвано от проверка).
Отговори: 0,8; 0,5; 0,25; 0,12; 0,032; 0,07, дума – Байкал (хипервръзка към единната колекция на ЦОР).
IV. Затвърдяване на научения материал
1. Попълнете празните места:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
2. Игра „Лото“ (учениците трябва да решат първия пример, след това да преминат към примера, който започва с числото, получено при решаването на предишния, и да направят изречение).
| Вариант I | Вариант II | ||||
при източника |
|||||
лишеи |
с покритие |
||||
Отговори: Скала Шаманка - мрамор, покрит с червен лишей;
Шаманският камък е скала, разположена при извора на Ангара.
V. Физкултурна минутка
Ръцете отстрани, ръцете по-широки.
Едно, две, три, четири.
Сега решихме да скочим.
Едно, две, три, четири.
Изпънахме се по-високо, по-високо...
Клякаме - по-ниско, по-ниско.
Станахме и седнахме...
Станахме и седнахме...
И сега седнахме на бюрата си.
VI. Решение на проблема
Решете проблема:две коли, тръгнали едновременно една срещу друга от градовете Усолие-Сибирское и Иркутск, разстоянието между които е 80 км. Скоростта на първия автомобил е равна на скоростта на втория. Намерете скоростите на всяка кола, ако се срещнат след четиридесет минути.
Нека x (км/ч)- скорост на втория автомобил
Тогава x (км/ч)- скорост на първата кола
x+ x (км/ч)- скорост на приближаване
Знаейки, че колите са се срещнали чи караха заедно 80 км,Нека съставим уравнение:
(x+X) * =80
(x+X) =80:
х = 120:1
отговор:
- 1 вариант ПЪРЖЕНЕ
- Вариант 2 OMUL
VIII. домашна работа
Създайте задача
Технологична карта на урока.
Име на учителя: Степанова Дария Сергеевна
Място на работа: MAOU "Средно училище № 76"
Длъжност: учител по математика
Предмет: математика
Тема на урока: „Деление на обикновени дроби“.
Тип урок : урок за откриване на нови знания.
ЦЕЛ НА УРОКА:
Образователни: да се формира идея за разделяне на обикновени дроби, да се развие първичната способност за разделяне на числа, написани под формата на дроби.
Образователни: развитие на математическото мислене и изчислителните умения на учениците.
Образователни: насърчаване на интереса към математиката,насърчаване на култура на математическа нотация.
Оборудване : Учебник за 6-ти клас на общообразователните институции / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, С. И. Шварцбурд - М.: Мнемосина, 2007 г.мултимедиен проектор, презентация за урок по тази тема, раздавателни материали.
план:
Организационен момент (1 мин.).
Целеполагане и мотивация (7 мин.).
Откриване на нови знания (13 мин.).
Физкултурна минута (1 мин.).
Консолидиране на нови неща (15 мин.).
Обобщавайки. Размисъл (3 мин.).
Домашна работа (1 мин.).
-Здравейте! Да проверим дали всичко е готово за урока?
Те проверяват. Изваждат тетрадки и химикалки, ако ги няма.
– Нека си спомним с каква нова концепция се запознахме в предишните уроци?
-Кои числа се наричат реципрочни?
-Добре! браво! Сега нека решим устно примерите от слайда.
– Какво получаваме от 1 изваждане?
– Какво трябва да направим, за да решим втория пример?
- На какво е равно?
– Тогава допълнителният множител за първата дроб е равен на?
-Браво! Какво е NOZ в третия пример?
– Как изчисляваме следния пример? Как да умножим дроб по дроб?
-Какво можете да направите, преди да умножите?
-Така е, браво! Как да умножим естествено число по дроб?
– Какво трябва да направим преди да умножим?
-Браво! Как да решим следния пример?
- Така е, какво получаваме?
Добре! Следващ пример.
-Браво! Какво трябва да се направи, за да се умножат следващите две числа?
-Как ще решим следващата задача?
– С понятието реципрочни числа
– Числата се наричат реципрочни, ако сумата им е едно.
(един ученик анализира един пример на глас).
–Намерете най-малкия общ знаменател.
–14, тъй като 14 се дели на 7.
–две. Умножавайки дроба по две, получаваме 
. Нека добавим към дроб 
, получаваме отговора 
.
– Тъй като 7 и 5 са взаимно прости числа, най-малкият общ знаменател е 35.
За първата дроб допълнителният коефициент е 5, за втората дроб е 7. Умножете първата дроб по 5, получаваме 
, втората дроб от 7, получаваме 
. Разликата е 
.
– За да умножите дроб по дроб, трябва да умножите числителите на дробите и да запишете това произведение в числителя, да умножите знаменателите и да запишете произведението в знаменателя.
– Можете да намалите 4 и 8 с 4 и 3 и 9 с 3, получаваме една шеста
– За да умножите естествено число по обикновена дроб, трябва да умножите числителя по това число и да оставите знаменателя непроменен.
– Нека съкратим 23 и 23. Отговор 9.
– Първо трябва да запишете смесеното число в неправилна дроб и след това да го умножите.
– Да вземем дробта, да я умножим с. Можем да съкратим 7 и 7. Отговор .
–Нищо не може да бъде съкратено. Умножаваме 4 и 5, записваме 20 в числителя, 7 в знаменателя или 
.
– Трябва да представите смесени числа като неправилни дроби. Получаваме и 
. Можем да намалим 5 и 15 с 3 и 22 и 2 с 2. В числителя получаваме 11 знаменател 3 или 
.
– Не знаем как да разделим.
- Каква според вас е темата на нашия урок днес?
-Върно! Отворете тетрадките си и запишете датата и темата на урока.
- Каква е нашата цел за днешния урок?
-А за да се научим да делим, какво първо трябва да научим?
–вярно! За да направите това, първо разгледайте проблема. Площта на правоъгълника е 
. Една страна дължина 
. Намерете дължината на другата страна.
– Дайте формулата за площта на правоъгълник.
– Знаем ширината и площта, но не и дължината. Как да означим неизвестна величина?
– Можем ли да направим уравнение сега?
- Вие и аз вече сме решавали такива уравнения с помощта на реципрочни числа. Нека го решим.
– Какво получаваме от дясната страна на уравнението?
-Какво получаваме от лявата страна на уравнението?
- Добре. Намерете на какво е равна дължината. Да се върнем към уравнението и да си спомним как да намерим неизвестен множител?
-Точно! Приложете това към нашето уравнение, какво получаваме?
–Но вече знаем на какво е равнох .
- И как го намерихме?
– И по отношение на коя фракция?
– Тоест можем да създадем следното равенство: 
.
– Въз основа на това равенство опитайте се да формулирате правило за деление на обикновени дроби. За това ще ви помогне карта No1, попълнете празните места в нея.
-Така е, браво! Запишете това определение в буквена форма в бележника си. Проверете го.
-Можем ли сега да решим примера, който ни затрудни в началото (нека да разгледаме примера)?
– Деление на обикновени дроби.
(Отворете тетрадки, запишете темата на урока).
-Научете как да разделяте дроби.
-Правилото за деление на дроби.
– С = аб .
– х .
–да 
.
– Трябва да умножите двете страни на уравнението по реципрочното число, число . Тоест на .
– От дясната страна произведението на две взаимно обратни числа ще ни даде едно.
–От лявата страна продуктът и . Нищо не може да бъде съкратено, така че получаваме 
. 
.
За да намерите неизвестен множител, трябва да разделите продукта на известния множител.
– 
.
–. Умножихме по.
-Обратно.
– За да разделите една дроб на друга, трябва да умножите дивидента по реципрочната стойност на делителя.
- да, 
.
- А сега да загреем малко. Свивайте и разпускайте юмруци. Изправете раменете си. Движете главата си, докато следвате снежинката.
-Точно! Научете се да прилагате правилото на практика.
(На слайда има примери. Извикваме учениците един по един на дъската, останалите работят в тетрадки.)
-Браво! Имате карта номер 2 на бюрата си. Направете го сами. Задача: Попълнете празните места в примерите, за да образувате правилни равенства.
- Проверете се! Ако всички празни места са попълнени правилно или една грешка - оценка "5", ако 2-4 грешки - оценка "4", ако 5-7 грешки - оценка "3".
- Решете примери.
(попълнете карти със задачи №2)
(проверяват, оценяват сами)
- Нека да обобщим! Мислите ли, че постигнахме целта, поставена в началото на урока?
-Нека повторим правилото, което научихме днес. (питаме няколко студента).
-Добре! браво! Имате карти с различни цветове на вашите маси, използвайте ги, за да оцените резултата от работата си днес в клас.
– За да разделите една дроб на друга, трябва да умножите дивидента по реципрочната стойност на делителя.
(вдигнете карти).
-Отворете дневниците си и запишете домашните си.
-Благодаря за урока!
(Напишете домашните в дневници).
Раздавателен материал.
Валяк №1
Правило за деление на обикновени дроби.
За да разделите една дроб на друга, имате нужда от дивидент ___________ на числото, ____________ делителЮ.
Карта №2
Събиране на дроби с еднакви знаменатели
Съществуват два вида събиране на дроби:
- Събиране на дроби с еднакви знаменатели;
- Събиране на дроби с различни знаменатели.
Първо, нека изучим събирането на дроби с еднакви знаменатели. Тук всичко е просто. За да добавите дроби с еднакви знаменатели, трябва да добавите техните числители и да оставите знаменателя непроменен.
Например, нека съберем дробите и . Добавете числителите и оставете знаменателя непроменен:
Този пример лесно може да бъде разбран, ако си спомним пицата, която е разделена на четири части. Ако добавите пица към пица, получавате пица:
Пример 2.Добавете дроби и .
Отговорът се оказа неправилна дроб. Когато дойде краят на задачата, обичайно е да се отървете от неправилните дроби. За да се отървете от неправилна дроб, трябва да изберете цялата част от нея. В нашия случай цялата част се изолира лесно - две разделени на две ще бъдат едно:
Този пример може лесно да бъде разбран, ако си спомним за пица, която е разделена на две части. Ако добавите още пица към пицата, получавате една цяла пица:
Пример 3. Добавете дроби и .
Отново събираме числителите и оставяме знаменателя непроменен:
Този пример лесно може да бъде разбран, ако си спомним пицата, която е разделена на три части. Ако добавите още пица към пицата, получавате пица:
Пример 4.Намерете стойността на израз 
Този пример се решава точно по същия начин като предишните. Числителите трябва да се добавят, а знаменателят да се остави непроменен:
Нека се опитаме да изобразим нашето решение с помощта на чертеж. Ако добавите пици към една пица и добавите още пици, получавате 1 цяла пица и повече пици.
Както можете да видите, няма нищо сложно в събирането на дроби с еднакви знаменатели. Достатъчно е да разберете следните правила:
- За да добавите дроби с еднакви знаменатели, трябва да добавите техните числители и да оставите знаменателя непроменен;
Събиране на дроби с различни знаменатели
Сега нека научим как да събираме дроби с различни знаменатели. При събиране на дроби знаменателите на дробите трябва да са еднакви. Но те не винаги са еднакви.
Например, дроби могат да се събират, защото имат еднакви знаменатели.
Но дробите не могат да се добавят веднага, тъй като тези дроби имат различни знаменатели. В такива случаи дробите трябва да се сведат до един и същи (общ) знаменател.
Има няколко начина за намаляване на дробите до един и същи знаменател. Днес ще разгледаме само един от тях, тъй като другите методи може да изглеждат сложни за начинаещ.
Същността на този метод е, че първо се търси LCM на знаменателите на двете дроби. След това LCM се разделя на знаменателя на първата дроб, за да се получи първият допълнителен фактор. Те правят същото и с втората дроб - LCM се разделя на знаменателя на втората дроб и се получава втори допълнителен множител.
След това числителите и знаменателите на дробите се умножават по техните допълнителни множители. В резултат на тези действия дроби с различни знаменатели се преобразуват в дроби с еднакви знаменатели. И вече знаем как да събираме такива дроби.
Пример 1. Нека съберем дробите и
Първо, намираме най-малкото общо кратно на знаменателите на двете дроби. Знаменателят на първата дроб е числото 3, а знаменателят на втората дроб е числото 2. Най-малкото общо кратно на тези числа е 6
LCM (2 и 3) = 6
Сега да се върнем към дробите и . Първо, разделете LCM на знаменателя на първата дроб и вземете първия допълнителен фактор. LCM е числото 6, а знаменателят на първата дроб е числото 3. Разделяме 6 на 3, получаваме 2.
Полученото число 2 е първият допълнителен множител. Записваме го до първата дроб. За да направите това, направете малка наклонена линия над фракцията и запишете допълнителния фактор, намерен над нея:
Правим същото с втората фракция. Разделяме LCM на знаменателя на втората дроб и получаваме втория допълнителен множител. LCM е числото 6, а знаменателят на втората дроб е числото 2. Разделяме 6 на 2, получаваме 3.
Полученото число 3 е вторият допълнителен множител. Записваме го до втората дроб. Отново правим малка наклонена линия над втората дроб и записваме допълнителния фактор, намерен над нея:
Сега имаме всичко готово за добавяне. Остава да умножим числителите и знаменателите на дробите с техните допълнителни множители:
Погледнете внимателно до какво сме стигнали. Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви знаменатели. И вече знаем как да събираме такива дроби. Нека вземем този пример до края:
Това завършва примера. Оказва се да добавите .
Нека се опитаме да изобразим нашето решение с помощта на чертеж. Ако добавите пица към пица, получавате една цяла пица и още една шеста от пица:
Намаляването на дроби до един и същи (общ) знаменател също може да бъде изобразено с помощта на картина. Намалявайки дробите и до общ знаменател, получаваме дробите и . Тези две фракции ще бъдат представени от едни и същи парчета пица. Единствената разлика ще бъде, че този път те ще бъдат разделени на равни части (приведени към един знаменател).
Първият чертеж представлява дроб (четири части от шест), а вторият чертеж представлява дроб (три части от шест). Добавяйки тези парчета, получаваме (седем парчета от шест). Тази дроб е неправилна, затова подчертахме цялата й част. В резултат на това получихме (една цяла пица и още една шеста пица).
Моля, обърнете внимание, че сме описали този пример твърде подробно. В учебните заведения не е прието да се пише толкова подробно. Трябва да можете бързо да намерите LCM на двата знаменателя и допълнителните множители към тях, както и бързо да умножите намерените допълнителни множители по вашите числители и знаменатели. Докато сме в училище, ще трябва да напишем този пример, както следва:
Но има и друга страна на монетата. Ако не си водите подробни бележки в първите етапи на изучаване на математика, тогава започват да се появяват въпроси от този сорт. „Откъде идва това число?“, „Защо дробите изведнъж се превръщат в напълно различни дроби? «.
За да улесните събирането на дроби с различни знаменатели, можете да използвате следните инструкции стъпка по стъпка:
- Намерете LCM на знаменателите на дробите;
- Разделете LCM на знаменателя на всяка дроб и получете допълнителен фактор за всяка дроб;
- Умножете числителите и знаменателите на дробите с техните допълнителни множители;
- Съберете дроби с еднакви знаменатели;
- Ако отговорът се окаже неправилна дроб, маркирайте цялата й част;
Пример 2.Намерете стойността на израз 
.
Нека използваме инструкциите, дадени по-горе.
Стъпка 1. Намерете LCM на знаменателите на дробите
Намерете LCM на знаменателите на двете дроби. Знаменателите на дробите са числата 2, 3 и 4
Стъпка 2. Разделете LCM на знаменателя на всяка дроб и получете допълнителен фактор за всяка дроб
Разделете LCM на знаменателя на първата дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на първата дроб е числото 2. Разделяме 12 на 2, получаваме 6. Получихме първия допълнителен множител 6. Записваме го над първата дроб:
Сега разделяме LCM на знаменателя на втората дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на втората дроб е числото 3. Разделяме 12 на 3, получаваме 4. Получаваме втория допълнителен множител 4. Записваме го над втората дроб:
Сега разделяме LCM на знаменателя на третата дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на третата дроб е числото 4. Разделяме 12 на 4, получаваме 3. Получаваме третия допълнителен множител 3. Записваме го над третата дроб:
Стъпка 3. Умножете числителите и знаменателите на дробите по техните допълнителни множители
Умножаваме числителите и знаменателите по техните допълнителни множители:
Стъпка 4. Добавете дроби с еднакви знаменатели
Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви (общи) знаменатели. Всичко, което остава, е да съберем тези дроби. Добавете го:
Добавката не се побираше на един ред, така че преместихме оставащия израз на следващия ред. Това е позволено в математиката. Когато израз не се побира на един ред, той се премества на следващия ред, като е необходимо да се постави знак за равенство (=) в края на първия ред и в началото на новия ред. Знакът за равенство на втория ред показва, че това е продължение на израза, който беше на първия ред.
Стъпка 5. Ако отговорът се окаже неправилна дроб, тогава изберете цялата част от нея
Нашият отговор се оказа неправилна дроб. Трябва да подчертаем цяла част от него. Подчертаваме:
Получихме отговор
Изваждане на дроби с еднакви знаменатели
Има два вида изваждане на дроби:
- Изваждане на дроби с еднакви знаменатели
- Изваждане на дроби с различни знаменатели
Първо, нека научим как да изваждаме дроби с еднакви знаменатели. Тук всичко е просто. За да извадите друга от една дроб, трябва да извадите числителя на втората дроб от числителя на първата дроб, но да оставите знаменателя същия.
Например, нека намерим стойността на израза. За да решите този пример, трябва да извадите числителя на втората дроб от числителя на първата дроб и да оставите знаменателя непроменен. Нека направим това:
Този пример лесно може да бъде разбран, ако си спомним пицата, която е разделена на четири части. Ако режете пици от пица, получавате пици:
Пример 2.Намерете стойността на израза.
Отново от числителя на първата дроб извадете числителя на втората дроб и оставете знаменателя непроменен:
Този пример лесно може да бъде разбран, ако си спомним пицата, която е разделена на три части. Ако режете пици от пица, получавате пици:
Пример 3.Намерете стойността на израз 
Този пример се решава точно по същия начин като предишните. От числителя на първата дроб трябва да извадите числителите на останалите дроби:
Както можете да видите, няма нищо сложно в изваждането на дроби с еднакви знаменатели. Достатъчно е да разберете следните правила:
- За да извадите друга от една дроб, трябва да извадите числителя на втората дроб от числителя на първата дроб и да оставите знаменателя непроменен;
- Ако отговорът се окаже неправилна дроб, тогава трябва да подчертаете цялата част от нея.
Изваждане на дроби с различни знаменатели
Например, можете да извадите дроб от дроб, защото дробите имат еднакви знаменатели. Но не можете да извадите дроб от дроб, тъй като тези дроби имат различни знаменатели. В такива случаи дробите трябва да се сведат до един и същи (общ) знаменател.
Общият знаменател се намира по същия принцип, който използвахме при събиране на дроби с различни знаменатели. Първо, намерете LCM на знаменателите на двете дроби. Тогава LCM се разделя на знаменателя на първата дроб и се получава първият допълнителен множител, който се записва над първата дроб. По същия начин LCM се разделя на знаменателя на втората дроб и се получава втори допълнителен множител, който се записва над втората дроб.
След това дробите се умножават по техните допълнителни множители. В резултат на тези операции дроби с различни знаменатели се преобразуват в дроби с еднакви знаменатели. И вече знаем как да изваждаме такива дроби.
Пример 1.Намерете значението на израза:
Тези дроби имат различни знаменатели, така че трябва да ги намалите до един и същи (общ) знаменател.
Първо намираме LCM на знаменателите на двете дроби. Знаменателят на първата дроб е числото 3, а знаменателят на втората дроб е числото 4. Най-малкото общо кратно на тези числа е 12
LCM (3 и 4) = 12
Сега да се върнем към дробите и
Нека намерим допълнителен фактор за първата дроб. За да направите това, разделете LCM на знаменателя на първата дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на първата дроб е числото 3. Разделяме 12 на 3, получаваме 4. Напишете четири над първата дроб:
Правим същото с втората фракция. Разделете LCM на знаменателя на втората дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на втората дроб е числото 4. Разделяме 12 на 4, получаваме 3. Напишете тройка върху втората дроб:
Сега сме готови за изваждане. Остава да умножим дробите по техните допълнителни множители:
Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви знаменатели. И вече знаем как да изваждаме такива дроби. Нека вземем този пример до края:
Получихме отговор
Нека се опитаме да изобразим нашето решение с помощта на чертеж. Ако изрежете пица от пица, ще получите пица
Това е подробната версия на решението. Ако бяхме в училище, щяхме да решаваме този пример по-кратко. Такова решение би изглеждало така:
Намаляването на дробите до общ знаменател също може да бъде изобразено с помощта на картина. Намалявайки тези дроби до общ знаменател, получаваме дробите и . Тези фракции ще бъдат представени от едни и същи парчета пица, но този път ще бъдат разделени на равни части (намалени до същия знаменател):
Първата снимка показва дроб (осем части от дванадесет), а втората картина показва дроб (три части от дванадесет). Като изрежем три парчета от осем парчета, получаваме пет парчета от дванадесет. Дробта описва тези пет части.
Пример 2.Намерете стойността на израз 
Тези дроби имат различни знаменатели, така че първо трябва да ги намалите до един и същи (общ) знаменател.
Нека намерим LCM на знаменателите на тези дроби.
Знаменателите на дробите са числата 10, 3 и 5. Най-малкото общо кратно на тези числа е 30
LCM(10, 3, 5) = 30
Сега намираме допълнителни множители за всяка дроб. За да направите това, разделете LCM на знаменателя на всяка дроб.
Нека намерим допълнителен фактор за първата дроб. LCM е числото 30, а знаменателят на първата дроб е числото 10. Разделяме 30 на 10, получаваме първия допълнителен множител 3. Записваме го над първата дроб:
Сега намираме допълнителен фактор за втората дроб. Разделете LCM на знаменателя на втората дроб. LCM е числото 30, а знаменателят на втората дроб е числото 3. Разделяме 30 на 3, получаваме втория допълнителен множител 10. Записваме го над втората дроб:
Сега намираме допълнителен фактор за третата дроб. Разделете LCM на знаменателя на третата дроб. LCM е числото 30, а знаменателят на третата дроб е числото 5. Разделяме 30 на 5, получаваме третия допълнителен множител 6. Записваме го над третата дроб:
Сега всичко е готово за изваждане. Остава да умножим дробите по техните допълнителни множители:
Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви (общи) знаменатели. И вече знаем как да изваждаме такива дроби. Нека завършим този пример.
Продължението на примера няма да се побере на един ред, затова преместваме продължението на следващия ред. Не забравяйте за знака за равенство (=) на новия ред:
Отговорът се оказа обикновена дроб и изглежда, че всичко ни подхожда, но е твърде тромаво и грозно. Трябва да го направим по-просто. Какво може да се направи? Можете да съкратите тази фракция.
За да намалите дроб, трябва да разделите числителя и знаменателя на (НОД) на числата 20 и 30.
И така, намираме gcd на числата 20 и 30:
Сега се връщаме към нашия пример и разделяме числителя и знаменателя на дробта на намерения gcd, тоест на 10
Получихме отговор
Умножение на дроб по число
За да умножите дроб по число, трябва да умножите числителя на дробта по това число и да оставите знаменателя непроменен.
Пример 1. Умножете дроб по числото 1.
Умножете числителя на дробта по числото 1
Записът може да се разбира като отнемащ половин 1 път. Например, ако вземете пица веднъж, ще получите пица
От законите на умножението знаем, че ако умножаемото и множителят се разменят, произведението няма да се промени. Ако изразът е записан като , тогава произведението пак ще бъде равно на . Отново правилото за умножение на цяло число и дроб работи:
Тази нотация може да се разбира като вземане на половината от едно. Например, ако има 1 цяла пица и вземем половината от нея, тогава ще имаме пица:
Пример 2. Намерете стойността на израз
Умножете числителя на дробта по 4
Отговорът беше неправилна дроб. Нека подчертаем цялата част от него:
Изразът може да се разбира като вземане на две четвърти 4 пъти. Например, ако вземете 4 пици, ще получите две цели пици
И ако разменим множителя и множителя, получаваме израза . То също ще бъде равно на 2. Този израз може да се разбира като вземане на две пици от четири цели пици:
Числото, което се умножава по дробта, и знаменателят на дробта се разрешават, ако имат общ множител, по-голям от едно.
Например, един израз може да бъде изчислен по два начина.
Първи начин. Умножете числото 4 по числителя на дробта и оставете знаменателя на дробта непроменен:
Втори начин. Четирите, които се умножават, и четирите в знаменателя на дробта могат да бъдат намалени. Тези четворки могат да бъдат намалени с 4, тъй като най-големият общ делител за две четворки е самата четворка:
Получихме същия резултат 3. След намаляване на четворките на тяхно място се образуват нови числа: две единици. Но умножаването на едно по три и след това деленето на едно не променя нищо. Следователно решението може да бъде написано накратко:
Редукцията може да се извърши дори когато решихме да използваме първия метод, но на етапа на умножаване на числото 4 и числителя 3 решихме да използваме редукцията:
Но например изразът може да се изчисли само по първия начин - умножете 7 по знаменателя на дробта и оставете знаменателя непроменен:
Това се дължи на факта, че числото 7 и знаменателят на дробта нямат общ делител, по-голям от едно, и съответно не се съкращават.
Някои ученици погрешно съкращават числото, което се умножава, и числителя на дробта. не можеш да направиш това Например следният запис не е правилен:
Намаляването на дроб означава това както числител, така и знаменателще бъдат разделени на същото число. В ситуацията с израза делението се извършва само в числителя, тъй като писането е същото като писането . Виждаме, че делението се извършва само в числителя, а в знаменателя не се дели.
Умножение на дроби
За да умножите дроби, трябва да умножите техните числители и знаменатели. Ако отговорът се окаже неправилна дроб, трябва да подчертаете цялата част от нея.
Пример 1.Намерете стойността на израза.
Получихме отговор. Препоръчително е тази фракция да се намали. Дробта може да се намали с 2. Тогава окончателното решение ще приеме следната форма:
Изразът може да се разбира като вземане на пица от половин пица. Да кажем, че имаме половин пица:
Как да вземем две трети от тази половина? Първо трябва да разделите тази половина на три равни части:
И вземете две от тези три части:
Ще направим пица. Припомнете си как изглежда пицата, разделена на три части:
Едно парче от тази пица и двете парчета, които взехме, ще имат еднакви размери:
С други думи, говорим за пица с еднакъв размер. Следователно стойността на израза е
Пример 2. Намерете стойността на израз
Умножете числителя на първата дроб по числителя на втората дроб и знаменателя на първата дроб по знаменателя на втората дроб:
Отговорът беше неправилна дроб. Нека подчертаем цялата част от него:
Пример 3.Намерете стойността на израз
Умножете числителя на първата дроб по числителя на втората дроб и знаменателя на първата дроб по знаменателя на втората дроб:
Отговорът се оказа обикновена дроб, но би било добре да бъде съкратен. За да намалите тази дроб, трябва да разделите числителя и знаменателя на тази дроб на най-големия общ делител (НОД) на числата 105 и 450.
И така, нека намерим gcd на числата 105 и 450:
Сега разделяме числителя и знаменателя на нашия отговор на gcd, който намерихме сега, тоест на 15
Представяне на цяло число като дроб
Всяко цяло число може да бъде представено като дроб. Например числото 5 може да бъде представено като . Това няма да промени значението на пет, тъй като изразът означава "числото пет, разделено на едно", а това, както знаем, е равно на пет:
Реципрочни числа
Сега ще се запознаем с една много интересна тема по математика. Нарича се "обратни числа".
Определение. Обратно на номера е число, което, когато се умножи поа дава едно.
Нека заместим в тази дефиниция вместо променливата аномер 5 и се опитайте да прочетете определението:
Обратно на номер 5 е число, което, когато се умножи по 5 дава едно.
Възможно ли е да се намери число, което, умножено по 5, дава единица? Оказва се, че е възможно. Нека си представим пет като дроб:
След това умножете тази дроб сама по себе си, просто разменете числителя и знаменателя. С други думи, нека умножим дробта сама по себе си, само с главата надолу:
Какво ще се случи в резултат на това? Ако продължим да решаваме този пример, получаваме един:
Това означава, че обратното на числото 5 е числото , тъй като когато умножите 5 по, получавате едно.
Реципрочната стойност на число може да се намери и за всяко друго цяло число.
Можете също така да намерите реципрочната стойност на всяка друга дроб. За да направите това, просто го обърнете.
Деление на дроб на число
Да кажем, че имаме половин пица:
Нека го разделим поравно между две. Колко пица ще получи всеки човек?
Вижда се, че след разделянето на половината пица се получават две еднакви парчета, всяко от които представлява пица. Така че всеки получава пица.
Умножаване на десетични числа
Десетичният запис ви позволява да умножавате дроби, като използвате почти същите правила, които използвате за умножаване на естествени числа. Разликата е, че е необходимо да се определи мястото на запетаята в получения продукт.
Нека обясним това с пример; Нека изчислим произведението 2,5 1,02.
Нека преместим запетаята в първия фактор с една цифра надясно, а във втория фактор с две цифри надясно. Така първият фактор ще се увеличи с 10 пъти, вторият с 10 2 = 100 пъти, а произведението с 10 100 = 1000 пъти.
Нека дефинираме произведението на естествените числа 25 и 102:
25 102 = 2550.
Това число е 1000 пъти по-голямо от необходимия продукт. Следователно е необходимо да се намали числото 2550 с 1000 = 10 3 пъти, т.е. да се премести запетаята в това число наляво с 3 цифри. по този начин
2,5 1,02 = 2,550 = 2,55.
Можете да мислите различно:
Така, за да умножите две десетични дроби9, е достатъчно, без да обръщате внимание на запетаите, да ги умножите като естествени числа9 и след това в полученото произведение вдясно да отделите със запетая толкова цифри, колкото е имало след запетаите в двата фактора заедно.
например,
Десетично деление
Нека да разгледаме пример за деление на десетична дроб на естествено число.
Пример. Изчислете 46,8:2.
Решение. Разделяме 4 десетици на 2 - получаваме частното число 2 (2 десетици).
Делим 6 единици на 2 - получаваме частното число 3 (3 единици).
Разделянето на цялата част е завършено;
Делим 8 десети на 2 - получаваме частното число 4 (4 десети). Остатъкът е 0 - делението е завършено.
Деленето на десетична дроб на десетична дроб се свежда до деление на естествено число чрез преместване на запетаите в делителя и делителя толкова много цифри вдясно, че делителят да стане естествено число.
Пример. Изчислете 4,42:0,2.
Решение. Тъй като делителят има една цифра след десетичната запетая, достатъчно е да преместите запетаите в делителя и делителя с една цифра надясно. Така дивидентът и делителят се увеличават 10 пъти, така че частното няма да се промени. В този случай делителят ще бъде естествено число.
Можете също да разсъждавате по следния начин:
Но не винаги се получава точен резултат при разделяне на десетични дроби. По-често трябва да се задоволявате с приблизително частно.
Пример. Намерете частното 1,723:0,03.
Решение. Да махнем запетаята в делителя: 1,723:0,03= 172,3:3. Да направим разделението.
Започвайки от мястото на стотните, числото 3 в частното се повтаря безкрайно, тъй като остатъкът, започвайки от третия етап на процеса на деление, винаги е равен на едно и също число 1.
Ако оставите първите две цифри след десетичната запетая за частното, получавате приблизително равенство: 172,3:3 ≈ 57,43.
