2.5 Формула на Виета за полиноми (уравнения) от по-високи степени
Формулите, изведени от Vieta за квадратни уравнения, са верни и за полиноми от по-високи степени.
Нека полиномът
P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n
Има n различни корена x 1 , x 2 …, x n .
В този случай той има факторизация на формата:
a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)
Нека разделим двете части на това равенство на 0 ≠ 0 и разгънем скобите в първата част. Получаваме равенството:
x n + ()x n -1 + ... + () = x n - (x 1 + x 2 + ... + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + ... + x n -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n
Но два полинома са идентично равни тогава и само ако коефициентите при еднакви степени са равни. От това следва, че равенството
x 1 + x 2 + … + x n = -
x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =
x 1 x 2 … x n = (-1) n
Например за полиноми от трета степен
a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3
Имаме идентичности
x 1 + x 2 + x 3 = -
x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =
x 1 x 2 x 3 = -
Що се отнася до квадратните уравнения, тази формула се нарича формули на Vieta. Левите части на тези формули са симетрични полиноми от корените x 1 , x 2 ..., x n на даденото уравнение, а десните части са изразени чрез коефициента на полинома.
2.6 Уравнения, свеждащи се до квадрати (биквадратни)
Уравненията от четвърта степен се свеждат до квадратни уравнения:
ax 4 + bx 2 + c = 0,
наречен биквадратичен, освен това a ≠ 0.
Достатъчно е да поставите x 2 \u003d y в това уравнение, следователно,
ay² + by + c = 0
намерете корените на полученото квадратно уравнение
y 1,2 = 
За да намерите веднага корените x 1, x 2, x 3, x 4, заменете y с x и вземете
x2 =
x 1,2,3,4 = 
.
Ако уравнението от четвърта степен има x 1, тогава то също има корен x 2 \u003d -x 1,
Ако има x 3, тогава x 4 \u003d - x 3. Сумата от корените на такова уравнение е нула.
2x 4 - 9x² + 4 = 0
Заменяме уравнението във формулата за корените на биквадратните уравнения:
x 1,2,3,4 = 
,
знаейки, че x 1 \u003d -x 2 и x 3 \u003d -x 4, тогава:
х 3,4 = 
Отговор: x 1,2 \u003d ± 2; х 1,2 =
2.7 Изследване на биквадратни уравнения
Нека вземем биквадратното уравнение
ax 4 + bx 2 + c = 0,
където a, b, c са реални числа и a > 0. Като въведем спомагателно неизвестно y = x², разглеждаме корените на това уравнение и въвеждаме резултатите в таблица (виж Приложение № 1)
2.8 Кардано формула
Ако използваме съвременна символика, тогава извеждането на формулата на Cardano може да изглежда така:
x = 
Тази формула определя корените на общото уравнение от трета степен:
ax 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.
Тази формула е много тромава и сложна (съдържа няколко сложни радикала). Не винаги се прилага, т.к. много трудно за завършване.
F ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...
Избройте или изберете от 2-3 текста най-интересните места. По този начин разгледахме общите разпоредби за създаване и провеждане на избираеми дисциплини, които ще бъдат взети предвид при разработването на избираем курс по алгебра за 9 клас „Четириъгълни уравнения и неравенства с параметър“. Глава II. Методика за провеждане на избираема дисциплина „Квадратни уравнения и неравенства с параметър” 1.1. са често срещани...
Решения от числени изчислителни методи. За определяне на корените на уравнението не е необходимо познаване на теориите на Абел, Галоа, групите на Ли и др. и използването на специална математическа терминология: пръстени, полета, идеали, изоморфизми и др. За да решите алгебрично уравнение от n-та степен, имате нужда само от способността да решавате квадратни уравнения и да извличате корени от комплексно число. Корените могат да се определят с...
С мерни единици на физични величини в системата MathCAD? 11. Опишете подробно текстовите, графичните и математическите блокове. Лекция номер 2. Проблеми на линейната алгебра и решаване на диференциални уравнения в средата на MathCAD В задачите на линейната алгебра почти винаги става необходимо да се извършват различни операции с матрици. Панелът за оператор на матрицата се намира на панела Math. ...
В тази лекция ще се запознаем с любопитните зависимости между корените на квадратно уравнение и неговите коефициенти. Тези връзки са открити за първи път от френския математик Франсоа Виет (1540-1603).
Например, за уравнението Зx 2 - 8x - 6 \u003d 0, без да намирате неговите корени, можете, като използвате теоремата на Vieta, веднага да кажете, че сумата от корените е , а произведението на корените е
т.е. - 2. И за уравнението x 2 - 6x + 8 \u003d 0 заключаваме: сумата на корените е 6, продуктът на корените е 8; между другото, не е трудно да се досетите на какво са равни корените: 4 и 2.
Доказателство на теоремата на Виета. Корените x 1 и x 2 на квадратното уравнение ax 2 + bx + c \u003d 0 се намират по формулите
Където D \u003d b 2 - 4ac е дискриминантът на уравнението. Полагане на тези корени
получаваме
Сега изчисляваме произведението на корените x 1 и x 2. Имаме
Второто отношение е доказано:
Коментирайте.
Теоремата на Vieta е валидна и в случая, когато квадратното уравнение има един корен (т.е. когато D \u003d 0), просто в този случай се счита, че уравнението има два еднакви корена, към които се прилагат горните отношения .
Доказаните отношения за редуцираното квадратно уравнение x 2 + px + q \u003d 0 приемат особено проста форма.В този случай получаваме:
x 1 \u003d x 2 \u003d -p, x 1 x 2 \u003d q
тези. сборът от корените на даденото квадратно уравнение е равен на втория коефициент, взет с обратен знак, а произведението на корените е равно на свободния член.
С помощта на теоремата на Виета могат да се получат и други зависимости между корените и коефициентите на квадратно уравнение. Нека, например, x 1 и x 2 са корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 + px + q = 0. Тогава
Основната цел на теоремата на Виета обаче не е, че тя изразява определени връзки между корените и коефициентите на квадратно уравнение. Много по-важен е фактът, че с помощта на теоремата на Виета се извежда формула за факторизиране на квадратен тричлен, без която няма да минем в бъдеще.
Доказателство. Ние имаме
Пример 1. Разложете на множители квадратния трином 3x 2 - 10x + 3.
Решение. След като решихме уравнението Zx 2 - 10x + 3 \u003d 0, намираме корените на квадратния трином Zx 2 - 10x + 3: x 1 \u003d 3, x2 \u003d.
Използвайки теорема 2, получаваме
Има смисъл вместо това да напишем Zx - 1. Тогава накрая получаваме Zx 2 - 10x + 3 = (x - 3) (3x - 1).
Обърнете внимание, че даденият квадратен трином може да бъде разложен на множители без използване на теорема 2, като се използва методът на групиране:
Zx 2 - 10x + 3 = Zx 2 - 9x - x + 3 =
\u003d Zx (x - 3) - (x - 3) \u003d (x - 3) (Zx - 1).
Но, както виждате, при този метод успехът зависи от това дали можем да намерим успешно групиране или не, докато при първия метод успехът е гарантиран.
Пример 1. Намалете фракцията
Решение. От уравнението 2x 2 + 5x + 2 = 0 намираме x 1 = - 2,
От уравнението x2 - 4x - 12 = 0 намираме x 1 = 6, x 2 = -2. Ето защо
x 2 - 4x - 12 \u003d (x - 6) (x - (- 2)) \u003d (x - 6) (x + 2).
Сега нека намалим дадената дроб:
Пример 3. Факторизиране на изрази:
а) x4 + 5x 2 +6; б) 2x+-3
Решение а) Въвеждаме нова променлива y = x 2 . Това ще ни позволи да пренапишем дадения израз под формата на квадратен тричлен по отношение на променливата y, а именно във формата y 2 + bу + 6.
След като решихме уравнението y 2 + bу + 6 \u003d 0, намираме корените на квадратния трином y 2 + 5y + 6: y 1 \u003d - 2, y 2 \u003d -3. Сега използваме теорема 2; получаваме
y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
Остава да запомните, че y \u003d x 2, т.е. върнете се към дадения израз. Така,
x 4 + 5x 2 + 6 \u003d (x 2 + 2) (x 2 + 3).
б) Нека въведем нова променлива y = . Това ще ви позволи да пренапишете дадения израз под формата на квадратен тричлен по отношение на променливата y, а именно във формата 2y 2 + y - 3. След като решите уравнението
2y 2 + y - 3 \u003d 0, намираме корените на квадратния трином 2y 2 + y - 3:
y 1 = 1, y 2 = . Освен това, използвайки теорема 2, получаваме:
Остава да запомните, че y \u003d, т.е. върнете се към дадения израз. Така,
Разделът завършва с някои съображения, отново свързани с теоремата на Виета или по-скоро с обратното твърдение:
ако числата x 1, x 2 са такива, че x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q, тогава тези числа са корените на уравнението
Използвайки това твърдение, можете да решавате много квадратни уравнения устно, без да използвате тромави формули за корени, както и да съставяте квадратни уравнения с дадени корени. Да дадем примери.
1) x 2 - 11x + 24 = 0. Тук x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. Лесно е да се познае, че x 1 = 8, x 2 = 3.
2) x 2 + 11x + 30 = 0. Тук x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. Лесно е да се познае, че x 1 = -5, x 2 = -6.
Моля, обърнете внимание: ако свободният член на уравнението е положително число, тогава и двата корена са или положителни, или отрицателни; това е важно да се има предвид при избора на корени.
3) x 2 + x - 12 = 0. Тук x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. Лесно е да се досетите, че x 1 \u003d 3, x2 \u003d -4.
Моля, обърнете внимание: ако свободният член на уравнението е отрицателно число, тогава корените са различни по знак; това е важно да се има предвид при избора на корени.
4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. Лесно се вижда, че x = 1 удовлетворява уравнението, т.е. x 1 \u003d 1 - коренът на уравнението. Тъй като x 1 x 2 \u003d - и x 1 \u003d 1, получаваме, че x 2 \u003d -.
5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Тук x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. Ако обърнете внимание на факта, че 2830 = 283. 10 и 293 \u003d 283 + 10, тогава става ясно, че x 1 \u003d 283, x 2 \u003d 10 (сега си представете какви изчисления трябва да се извършат, за да се реши това квадратно уравнение с помощта на стандартни формули).
6) Нека съставим квадратно уравнение, така че числата x 1 \u003d 8, x 2 \u003d - 4 да служат като негови корени. Обикновено в такива случаи те съставляват редуцираното квадратно уравнение x 2 + px + q \u003d 0.
Имаме x 1 + x 2 \u003d -p, следователно 8 - 4 \u003d -p, тоест p \u003d -4. Освен това, x 1 x 2 = q, т.е. 8"(-4) = q, откъдето получаваме q = -32. И така, p \u003d -4, q \u003d -32, което означава, че желаното квадратно уравнение има формата x 2 -4x-32 \u003d 0.
В осми клас учениците се запознават с квадратни уравнения и как се решават. В същото време, както показва опитът, повечето ученици използват само един метод при решаване на пълни квадратни уравнения - формулата за корените на квадратно уравнение. За ученици с добри умения за устно броене този метод е очевидно ирационален. Учениците често трябва да решават квадратни уравнения в гимназията и там е просто жалко да отделите време за изчисляване на дискриминанта. Според мен при изучаването на квадратни уравнения трябва да се отдели повече време и внимание на приложението на теоремата на Vieta (според програмата на A.G. Mordkovich Algebra-8 са планирани само два часа за изучаване на темата „Теорема на Vieta. Разлагане на квадратен трином на линейни множители”).
В повечето учебници по алгебра тази теорема е формулирана за намалено квадратно уравнение и казва, че ако уравнението има корени и , тогава те отговарят на равенствата , .След това се формулира твърдение, обратно на теоремата на Виета, и се предлагат редица примери за работа по тази тема.
Нека да вземем конкретни примери и да проследим логиката на решението върху тях с помощта на теоремата на Vieta.
Пример 1. Решете уравнението.
Да предположим, че това уравнение има корени, а именно и . След това, по теоремата на Виета, равенствата
Обърнете внимание, че произведението на корените е положително число. И така, корените на уравнението имат същия знак. И тъй като сборът от корените също е положително число, заключаваме, че и двата корена на уравнението са положителни. Да се върнем към продукта на корените. Да приемем, че корените на уравнението са цели положителни числа. Тогава правилното първо равенство може да се получи само по два начина (до реда на множителите): или . Нека проверим за предложените двойки числа осъществимостта на второто твърдение на теоремата на Виета: 
. Така числата 2 и 3 удовлетворяват и двете равенства и следователно са корените на даденото уравнение.
Отговор: 2; 3.
Ние отделяме основните етапи на разсъждение при решаването на даденото квадратно уравнение с помощта на теоремата на Vieta:
| запишете твърдението на теоремата на Виета | (*) |
- определете знаците на корените на уравнението (Ако произведението и сумата на корените са положителни, тогава и двата корена са положителни числа. Ако произведението на корените е положително число, а сумата на корените е отрицателна, тогава и двата корена са отрицателни числа. Ако произведението на корените е отрицателно число, тогава корените имат различни знаци. Освен това, ако сборът на корените е положителен, тогава коренът с по-голям модул е положително число и ако сборът на корените е по-малък от нула, тогава коренът с по-голям модул е отрицателно число);
- изберете двойки цели числа, чието произведение дава правилното първо равенство в записа (*);
- от намерените двойки числа изберете двойката, която при заместване във второто равенство в записа (*) ще даде правилното равенство;
- посочете в отговора намерените корени на уравнението.
Нека дадем още няколко примера.
Пример 2: Решете уравнението 
.
Решение.
Нека и са корените на даденото уравнение. След това по теоремата на Vieta Отбележете, че произведението е положително, а сборът е отрицателен. Така че и двата корена са отрицателни числа. Избираме двойки фактори, които дават произведението от 10 (-1 и -10; -2 и -5). Сборът на втората двойка числа е -7. Така че числата -2 и -5 са корените на това уравнение.
Отговор: -2; -5.
Пример 3. Решете уравнението 
.
Решение.
Нека и са корените на даденото уравнение. След това по теоремата на Vieta Отбележете, че произведението е отрицателно. Така че корените са с различен знак. Сборът на корените също е отрицателно число. Следователно коренът с най-голям модул е отрицателен. Избираме двойки фактори, които дават на продукта -10 (1 и -10; 2 и -5). Сборът на втората двойка числа е -3. Така че числата 2 и -5 са корените на това уравнение.
Отговор: 2; -5.
Обърнете внимание, че теоремата на Vieta по принцип може да бъде формулирана за пълното квадратно уравнение: ако квадратното уравнение 
има корени и , тогава те отговарят на равенствата , .Прилагането на тази теорема обаче е доста проблематично, тъй като в пълното квадратно уравнение поне един от корените (ако има такъв, разбира се) е дробно число. А работата с подбора на дроби е дълга и трудна. Но все пак има изход.
Разгледайте пълното квадратно уравнение . Умножете двете страни на уравнението по първия коефициент Аи напишете уравнението във формата 
. Въвеждаме нова променлива и получаваме редуцирано квадратно уравнение, чиито корени и (ако има такива) могат да бъдат намерени с помощта на теоремата на Vieta. Тогава корените на първоначалното уравнение ще бъдат . Обърнете внимание, че е много лесно да се напише спомагателното намалено уравнение: вторият коефициент се запазва, а третият коефициент е равен на произведението асо. С определено умение учениците веднага съставят спомагателно уравнение, намират корените му с помощта на теоремата на Виета и посочват корените на даденото пълно уравнение. Да дадем примери.
Пример 4. Решете уравнението 
.
Нека съставим едно спомагателно уравнение 
и чрез теоремата на Виета намираме неговите корени. И така, корените на първоначалното уравнение 
.
Отговор: .
Пример 5. Решете уравнението 
.
Спомагателното уравнение има формата . По теоремата на Виета неговите корени са . Намираме корените на първоначалното уравнение 
.
Отговор: .
И още един случай, когато приложението на теоремата на Vieta ви позволява да намерите устно корените на пълно квадратно уравнение. Това е лесно да се докаже числото 1 е коренът на уравнението , ако и само ако. Вторият корен на уравнението се намира от теоремата на Виета и е равен на . Още едно твърдение: така че числото -1 е коренът на уравнението необходимо и достатъчно за. Тогава вторият корен на уравнението според теоремата на Виета е равен на . Подобни твърдения могат да бъдат формулирани за редуцираното квадратно уравнение.
Пример 6. Решете уравнението.
Имайте предвид, че сумата от коефициентите на уравнението е нула. И така, корените на уравнението 
.
Отговор: .
Пример 7. Решете уравнението.
Коефициентите на това уравнение удовлетворяват свойството
(всъщност 1-(-999)+(-1000)=0). И така, корените на уравнението 
.
Отговор: ..
Примери за прилагане на теоремата на Виета
Задача 1. Решете даденото квадратно уравнение с помощта на теоремата на Виета.
1. 
6. 
11. 16. 
2. 7. 
12. 17. 
3. 
8. 
13. 
18. 
4. 
9. 
14. 
19. 
5. 
10. 
15. 
20. 
Задача 2. Решете пълното квадратно уравнение, като използвате прехода към спомагателното редуцирано квадратно уравнение.
1. 
6. 
11. 
16. 
2. 
7. 
12. 
17. 
3. 
8. 
13. 
18. 
4. 
9. 
14. 
19. 
5. 
10. 
15. 
20. 
Задача 3. Решете квадратно уравнение, като използвате свойството.
Когато изучавате начини за решаване на уравнения от втори ред в училищен курс по алгебра, помислете за свойствата на получените корени. Сега те са известни като теореми на Виета. Примери за използването му са дадени в тази статия.
Квадратно уравнение
Уравнението от втори ред е равенство, което е показано на снимката по-долу.
Тук символите a, b, c са някои числа, които се наричат коефициенти на разглежданото уравнение. За да разрешите равенство, трябва да намерите x стойности, които го правят вярно.
Обърнете внимание, че тъй като максималната стойност на степента, на която x е повдигнато, е две, тогава броят на корените в общия случай също е две.
Има няколко начина за решаване на този тип равенство. В тази статия ще разгледаме един от тях, който включва използването на така наречената теорема на Виета.
Изложение на теоремата на Виета
В края на 16 век известният математик Франсоа Виет (французин) забелязва, анализирайки свойствата на корените на различни квадратни уравнения, че определени комбинации от тях отговарят на специфични отношения. По-специално, тези комбинации са техният продукт и сбор.
Теоремата на Виета установява следното: корените на квадратно уравнение, когато се сумират, дават съотношението на линейните към квадратните коефициенти, взети с обратен знак, а когато се умножат, те водят до съотношението на свободния член към квадратния коефициент .
Ако общата форма на уравнението е написана, както е показано на снимката в предишния раздел на статията, тогава математически тази теорема може да бъде написана като две равенства:
- r 2 + r 1 \u003d -b / a;
- r 1 x r 2 \u003d c / a.
Където r 1 , r 2 е стойността на корените на разглежданото уравнение.
Тези две равенства могат да се използват за решаване на редица много различни математически задачи. Използването на теоремата на Vieta в примери с решение е дадено в следващите раздели на статията.
Почти всяко квадратно уравнение \ може да бъде преобразувано във формата \ Това обаче е възможно, ако всеки член първоначално се раздели на коефициента \ пред \ Освен това може да се въведе нова нотация:
\[(\frac (b)(a))= p\] и \[(\frac (c)(a)) = q\]
Благодарение на това ще имаме уравнение \ наричано в математиката редуцирано квадратно уравнение. Корените на това уравнение и коефициентите \ са свързани помежду си, което се потвърждава от теоремата на Виета.
Теорема на Виета: Сумата от корените на редуцираното квадратно уравнение \ е равна на втория коефициент \ взет с обратен знак, а произведението на корените е свободният член \
За по-голяма яснота решаваме уравнението със следната форма:
Решаваме това квадратно уравнение, като използваме написаните правила. След като анализираме първоначалните данни, можем да заключим, че уравнението ще има два различни корена, защото:
Сега от всички множители на числото 15 (1 и 15, 3 и 5) избираме тези, чиято разлика е равна на 2. При това условие попадат числата 3 и 5. Поставяме знак минус пред по-малкото номер. Така получаваме корените на уравнението \
Отговор: \[ x_1= -3 и x_2 = 5\]
Къде мога да реша уравнението с помощта на теоремата на Vieta онлайн?
Можете да решите уравнението на нашия уебсайт https: // site. Безплатният онлайн решаващ инструмент ще ви позволи да решите онлайн уравнение с всякаква сложност за секунди. Всичко, което трябва да направите, е просто да въведете данните си в решаващия инструмент. Можете също така да гледате видео инструкцията и да научите как да решите уравнението на нашия уебсайт. И ако имате въпроси, можете да ги зададете в нашата група Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Присъединете се към нашата група, винаги се радваме да ви помогнем.
