Как да умножим десетични числа. Действия с десетични дроби Десетична таблица за умножение

§ 1 Приложение на правилото за умножение на десетични дроби

В този урок ще представите и научите как да прилагате правилото за умножение на десетични дроби и правилото за умножение на десетични дроби по единица за място, като 0,1, 0,01 и т.н. Освен това ще разгледаме свойствата на умножението, когато намираме стойностите на изрази, съдържащи десетични дроби.

Нека решим проблема:

Скоростта на автомобила е 59,8 км/ч.

Какво разстояние ще измине колата за 1,3 часа?

Както знаете, за да намерите път, трябва да умножите скоростта по времето, т.е. 59,8 по 1,3.

Нека напишем числата в колона и започнем да ги умножаваме, без да забелязваме запетаите: 8 по 3 ще бъде 24, 4 пишем 2 наум, 3 по 9 е 27, плюс 2, получаваме 29, пишем 9, 2 в нашите умове. Сега умножаваме 3 по 5, ще бъде 15 и добавяме още 2, получаваме 17.

Отидете на втория ред: 1 по 8 е 8, 1 по 9 е 9, 1 по 5 е 5, добавете тези два реда, получаваме 4, 9+8 е 17, 7 напишете 1 наум, 7 +9 е 16 плюс 1, ще бъде 17, 7 записваме 1 наум, 1+5 плюс 1 получаваме 7.

Сега да видим колко знака след десетичната запетая има в двете десетични дроби! Първата дроб има една цифра след десетичната запетая, а втората дроб има една цифра след десетичната запетая, общо две цифри. Така че вдясно в резултата трябва да преброите две цифри и да поставите запетая, т.е. ще бъде 77,74. И така, когато умножихме 59,8 по 1,3, получихме 77,74. Така че отговорът в задачата е 77,74 км.

По този начин, за да умножите две десетични дроби, трябва:

Първо: направете умножението, като игнорирате запетаите

Второ: в полученото произведение отделете със запетая толкова цифри отдясно, колкото има след запетаята в двата множителя заедно.

Ако има по-малко цифри в получения продукт, отколкото е необходимо да се разделят със запетая, тогава една или повече нули трябва да бъдат зададени отпред.

Например: 0,145 по 0,03 получаваме 435 в продукта и трябва да разделим 5 цифри отдясно със запетая, така че добавяме още 2 нули преди числото 4, поставяме запетая и добавяме още една нула. Получаваме отговора 0,00435.

§ 2 Свойства на умножението на десетични дроби

При умножаване на десетични дроби се запазват всички същите свойства на умножение, които се прилагат за естествените числа. Нека да направим някои задачи.

Задача номер 1:

Нека решим този пример, като приложим разпределителното свойство на умножението по отношение на събирането.

5.7 (общ множител) ще бъде извадено от скобите, 3.4 плюс 0.6 ще остане в скоби. Стойността на тази сума е 4, а сега 4 трябва да се умножи по 5,7, получаваме 22,8.

Задача номер 2:

Нека използваме комутативното свойство на умножението.

Първо умножаваме 2,5 по 4, получаваме 10 цели числа, а сега трябва да умножим 10 по 32,9 и получаваме 329.

Освен това, когато умножавате десетични дроби, можете да забележите следното:

При умножаване на число с неправилна десетична дроб, т.е. по-голямо или равно на 1, то се увеличава или не се променя, например:

При умножаване на число с правилна десетична дроб, т.е. по-малко от 1, намалява, например:

Нека решим един пример:

23,45 по 0,1.

Трябва да умножим 2345 по 1 и да разделим три запетаи отдясно, получаваме 2,345.

Сега нека решим друг пример: 23,45 делено на 10, трябва да преместим запетаята наляво с едно място, защото 1 нула в битова единица, получаваме 2,345.

От тези два примера можем да заключим, че умножаването на десетичен знак по 0,1, 0,01, 0,001 и т.н. означава разделяне на числото на 10, 100, 1000 и т.н., т.е. в десетична дроб преместете десетичната запетая наляво с толкова цифри, колкото нули има пред 1 в множителя.

Използвайки полученото правило, намираме стойностите на продуктите:

13,45 по 0,01

има 2 нули пред числото 1, така че преместваме запетаята наляво с 2 цифри, получаваме 0,1345.

0,02 по 0,001

има 3 нули пред числото 1, което означава, че преместваме запетаята три цифри наляво, получаваме 0,00002.

Така в този урок научихте как да умножавате десетични дроби. За да направите това, просто трябва да извършите умножението, като игнорирате запетаите, и в получения продукт да отделите със запетая толкова цифри отдясно, колкото има след запетаята в двата множителя заедно. Освен това те се запознаха с правилото за умножение на десетична дроб с 0,1, 0,01 и т.н., а също така разгледаха свойствата на умножението на десетичната дроб.

Списък на използваната литература:

Математика 5 клас. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др., 31-во изд., стер. - М: 2013.
Дидактически материали по математика 5 клас. Автор - Попов М.А. - 2013 година
Изчисляваме без грешки. Работа със самопроверка по математика 5-6 клас. Автор - Минаева С.С. - 2014 година
Дидактически материали по математика 5 клас. Автори: Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В. - 2010 г
Контролна и самостоятелна работа по математика 5 клас. Автори - Попов М.А. - 2012 година
Математика. 5 клас: учебник. за общообразователни ученици. институции / И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович. - 9-то изд., Sr. - М.: Мнемозина, 2009

В последния урок научихме как да събираме и изваждаме десетични дроби (вижте урока „Събиране и изваждане на десетични дроби“). В същото време те оцениха колко са опростени изчисленията в сравнение с обичайните „двуетажни“ фракции.

За съжаление при умножение и деление на десетични дроби този ефект не се получава. В някои случаи десетичната нотация дори усложнява тези операции.

Първо, нека въведем нова дефиниция. Ще го срещаме доста често и не само в този урок.

Значимата част от числото е всичко между първата и последната ненулева цифра, включително трейлърите. Говорим само за числа, десетичната запетая не се взема предвид.

Цифрите, включени в значимата част на числото, се наричат значими цифри. Те могат да се повтарят и дори да са равни на нула.

Например, разгледайте няколко десетични дроби и напишете съответните им значими части:

91.25 → 9125 (значещи цифри: 9; 1; 2; 5);
0.008241 → 8241 (значещи цифри: 8; 2; 4; 1);
15.0075 → 150075 (значещи цифри: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
0.0304 → 304 (значещи цифри: 3; 0; 4);
3000 → 3 (има само една значима цифра: 3).

Моля, обърнете внимание: нулите в значителната част от числото не отиват никъде. Вече се сблъскахме с нещо подобно, когато се научихме да преобразуваме десетични дроби в обикновени (вижте урока „Десетични дроби“).

Тази точка е толкова важна и тук се правят грешки толкова често, че ще публикувам тест по тази тема в близко бъдеще. Не пропускайте да практикувате! И ние, въоръжени с концепцията за значителна част, ще продължим всъщност към темата на урока.

Десетично умножение

Операцията за умножение се състои от три последователни стъпки:

За всяка дроб запишете значимата част. Ще получите две обикновени цели числа - без знаменатели и десетични точки;
Умножете тези числа по всеки удобен начин. Директно, ако числата са малки, или в колона. Получаваме значителната част от желаната дроб;
Разберете къде и с колко цифри се измества десетичната запетая в оригиналните дроби, за да се получи съответната значима част. Извършете обратни смени на значителната част, получена в предишната стъпка.

Нека ви напомня още веднъж, че нулите отстрани на значимата част никога не се вземат предвид. Пренебрегването на това правило води до грешки.

0,28 ± 12,5;

6,3 1,08;

132,5 0,0034;

0,0108 1600,5;

5,25 10 000.

Работим с първия израз: 0,28 12,5.

Нека изпишем значимите части за числата от този израз: 28 и 125;
Техният продукт: 28 125 = 3500;
В първия множител десетичната запетая се измества с 2 цифри надясно (0,28 → 28), а във втория - с още 1 цифра. Общо е необходимо изместване наляво с три цифри: 3500 → 3,500 = 3,5.

Сега нека се справим с израза 6.3 1.08.

Нека изпишем значимите части: 63 и 108;
Техният продукт: 63 108 = 6804;
Отново две премествания надясно: съответно с 2 и 1 цифра. Общо - отново 3 цифри вдясно, така че обратното изместване ще бъде 3 цифри вляво: 6804 → 6.804. Този път няма нули в края.

Стигнахме до третия израз: 132,5 0,0034.

Значителни части: 1325 и 34;
Техният продукт: 1325 34 = 45 050;
В първата дроб десетичната запетая отива надясно с 1 цифра, а във втората - с цели 4. Общо: 5 надясно. Извършваме изместване с 5 наляво: 45050 → .45050 = 0.4505. Нулата беше премахната в края и добавена отпред, за да не остане „гола“ десетична точка.

Следният израз: 0,0108 1600,5.

Пишем значими части: 108 и 16 005;
Умножаваме ги: 108 16 005 = 1 728 540;
Преброяваме числата след десетичната запетая: в първото число има 4, във второто - 1. Общо - отново 5. Имаме: 1 728 540 → 17,28540 = 17,2854. В крайна сметка „допълнителната“ нула беше премахната.

И накрая, последният израз: 5,25 10 000.

Значими части: 525 и 1;
Умножаваме ги: 525 1 = 525;
Първата дроб е изместена с 2 цифри надясно, а втората дроб е изместена с 4 цифри наляво (10 000 → 1,0000 = 1). Общо 4 − 2 = 2 цифри вляво. Извършваме обратно изместване с 2 цифри надясно: 525, → 52 500 (трябваше да добавим нули).

Обърнете внимание на последния пример: тъй като десетичната точка се движи в различни посоки, общото изместване е чрез разликата. Това е много важен момент! Ето още един пример:

Помислете за числата 1,5 и 12 500. Имаме: 1,5 → 15 (преместване с 1 надясно); 12 500 → 125 (преместване 2 наляво). „Стъпваме“ 1 цифра надясно и след това 2 цифри наляво. В резултат пристъпихме 2 − 1 = 1 цифра наляво.

Десетично деление

Разделянето е може би най-трудната операция. Разбира се, тук можете да действате по аналогия с умножението: разделете значимите части и след това „преместете“ десетичната точка. Но в този случай има много тънкости, които отричат потенциалните спестявания.

Така че нека да разгледаме един общ алгоритъм, който е малко по-дълъг, но много по-надежден:

Преобразувайте всички десетични знаци в обикновени дроби. С малко практика тази стъпка ще ви отнеме няколко секунди;
Разделете получените дроби по класическия начин. С други думи, умножете първата дроб по "обърната" втора (вижте урока " Умножение и деление на числови дроби");
Ако е възможно, върнете резултата като десетичен знак. Тази стъпка също е бърза, защото често знаменателят вече има степен десет.

Задача. Намерете стойността на израза:

3,51: 3,9;

1,47: 2,1;

6,4: 25,6:

0,0425: 2,5;

0,25: 0,002.

Разглеждаме първия израз. Първо, нека преобразуваме obi дроби в десетични:

Правим същото с втория израз. Числителят на първата дроб отново се разлага на множители:

В третия и четвъртия пример има важен момент: след като се отървем от десетичната нотация, се появяват отменяеми дроби. Ние обаче няма да извършим това намаление.

Последният пример е интересен, защото числителят на втората дроб е просто число. Тук просто няма какво да се факторизира, така че го считаме за „празно“:

Понякога делението води до цяло число (говоря за последния пример). В този случай третата стъпка изобщо не се изпълнява.

Освен това при разделяне често се появяват „грозни“ дроби, които не могат да бъдат преобразувани в десетични знаци. Това е мястото, където делението се различава от умножението, където резултатите винаги се изразяват в десетична форма. Разбира се, в този случай последната стъпка отново не се изпълнява.

Обърнете внимание и на 3-ти и 4-ти пример. В тях съзнателно не редуцираме обикновените дроби, получени от десетични числа. В противен случай това ще усложни обратната задача - представяне на крайния отговор отново в десетична форма.

Запомнете: основното свойство на дробта (както всяко друго правило в математиката) само по себе си не означава, че трябва да се прилага навсякъде и винаги, при всяка възможност.

В този урок ще разгледаме всяка от тези операции една по една.

Съдържание на урока

Добавяне на десетични знаци

Както знаем, десетичната дроб се състои от цяло число и дробна част. При добавяне на десетични знаци целите и дробните части се добавят отделно.

Например, нека добавим десетичните знаци 3.2 и 5.3. По-удобно е да добавяте десетични дроби в колона.

Първо, записваме тези две дроби в колона, като целите части трябва да са под целите части, а дробните под дробните части. В училище това изискване се нарича "запетая под запетая" .

Нека напишем дробите в колона, така че запетаята да е под запетаята:

Събираме дробните части: 2 + 3 = 5. Записваме петицата в дробната част на нашия отговор:

Сега събираме целите части: 3 + 5 = 8. Записваме осмицата в цялата част на нашия отговор:

Сега отделяме със запетая цялата част от дробната част. За да направим това, ние отново следваме правилото "запетая под запетая" :

Получих отговор 8.5. Така че изразът 3,2 + 5,3 е равен на 8,5

3,2 + 5,3 = 8,5

Всъщност не всичко е толкова просто, колкото изглежда на пръв поглед. Тук също има подводни камъни, за които сега ще говорим.

Места в десетични знаци

Десетичните числа, както и обикновените числа, имат свои собствени цифри. Това са десети места, стотни места, хилядни места. В този случай цифрите започват след десетичната запетая.

Първата цифра след десетичната запетая отговаря за десетите, втората цифра след десетичната запетая за стотните, третата цифра след десетичната запетая за хилядните.

Десетичните цифри съхраняват полезна информация. По-специално, те съобщават колко десети, стотни и хилядни има в десетичната запетая.

Например, помислете за десетичната запетая 0,345

Позицията, в която се намира тройката, се нарича десето място

Позицията, в която се намира четворката, се нарича стотни място

Позицията, в която се намира петицата, се нарича хилядни

Нека да разгледаме тази фигура. Виждаме, че в категорията на десетите има тройка. Това предполага, че има три десети в десетичната дроб 0,345.

Ако съберем дробите и тогава ще получим оригиналната десетична дроб 0,345

Първо получихме отговора, но го преобразувахме в десетична и получихме 0,345.

Добавянето на десетични числа следва същите правила като добавянето на обикновени числа. Добавянето на десетични дроби става чрез цифри: десети се добавят към десети, стотни към стотни, хилядни към хилядни.

Следователно, когато добавяте десетични дроби, е необходимо да следвате правилото "запетая под запетая". Запетая под запетая осигурява същия ред, в който десети се добавят към десети, стотни към стотни, хилядни към хилядни.

Пример 1Намерете стойността на израза 1,5 + 3,4

Първо събираме дробните части 5 + 4 = 9. Записваме деветката в дробната част на нашия отговор:

Сега събираме целите части 1 + 3 = 4. Записваме четирите в цялата част на нашия отговор:

Сега отделяме със запетая цялата част от дробната част. За да направите това, отново спазваме правилото "запетая под запетая":

Получих отговор 4.9. Значи стойността на израза 1,5 + 3,4 е 4,9

Пример 2Намерете стойността на израза: 3,51 + 1,22

Записваме този израз в колона, като спазваме правилото "запетая под запетая"

Първо, добавете дробната част, а именно стотните 1+2=3. Записваме тройката в стотната част на нашия отговор:

Сега добавете десети от 5+2=7. Записваме седемте в десетата част на нашия отговор:

Сега съберете целите части 3+1=4. Записваме четирите в цялата част на нашия отговор:

Разделяме със запетая цялата част от дробната част, като спазваме правилото „запетая под запетаята“:

Получих отговор 4.73. Значи стойността на израза 3,51 + 1,22 е 4,73

3,51 + 1,22 = 4,73

Както при обикновените числа, при събиране на десетични дроби, . В този случай една цифра се записва в отговора, а останалите се прехвърлят към следващата цифра.

Пример 3Намерете стойността на израза 2,65 + 3,27

Записваме този израз в колона:

Добавете стотни от 5+7=12. Числото 12 няма да се побере в стотната част от нашия отговор. Следователно в стотната част записваме числото 2 и прехвърляме единицата към следващия бит:

Сега добавяме десетите от 6+2=8 плюс единицата, която получихме от предишната операция, получаваме 9. Пишем числото 9 в десетата от нашия отговор:

Сега съберете целите части 2+3=5. Записваме числото 5 в цялата част на нашия отговор:

Получих отговор 5,92. Значи стойността на израза 2,65 + 3,27 е 5,92

2,65 + 3,27 = 5,92

Пример 4Намерете стойността на израза 9,5 + 2,8

Запишете този израз в колона

Добавяме дробните части 5 + 8 = 13. Числото 13 няма да се побере в дробната част на нашия отговор, така че първо записваме числото 3 и прехвърляме единицата към следващата цифра или по-скоро я прехвърляме към цяло число част:

Сега добавяме целите части 9+2=11 плюс единицата, която получихме от предишната операция, получаваме 12. Записваме числото 12 в цялата част на нашия отговор:

Разделете със запетая цялата част от дробната част:

Получих отговор 12.3. Значи стойността на израза 9,5 + 2,8 е 12,3

9,5 + 2,8 = 12,3

Когато събирате десетични дроби, броят на цифрите след десетичната запетая и в двете дроби трябва да е еднакъв. Ако няма достатъчно цифри, тогава тези места в дробната част се запълват с нули.

Пример 5. Намерете стойността на израза: 12,725 + 1,7

Преди да напишем този израз в колона, нека направим броя на цифрите след десетичната запетая в двете дроби еднакви. Десетичната дроб 12,725 има три цифри след десетичната запетая, докато дробта 1,7 има само една. Така че в дробта 1,7 в края трябва да добавите две нули. След това получаваме дробта 1700. Сега можете да напишете този израз в колона и да започнете да изчислявате:

Добавете хилядни от 5+0=5. Записваме числото 5 в хилядната част от нашия отговор:

Добавете стотни от 2+0=2. Записваме числото 2 в стотната част на нашия отговор:

Добавете десети от 7+7=14. Числото 14 няма да се побере в една десета от нашия отговор. Затова първо записваме числото 4 и прехвърляме единицата към следващия бит:

Сега добавяме целите части 12+1=13 плюс единицата, която получихме от предишната операция, получаваме 14. Записваме числото 14 в цялата част на нашия отговор:

Разделете със запетая цялата част от дробната част:

Получих отговора 14 425. Значи стойността на израза 12,725+1,700 е 14,425

12,725+ 1,700 = 14,425

Изваждане на десетични знаци

Когато изваждате десетични дроби, трябва да следвате същите правила, както при добавяне: „запетая под запетая“ и „равен брой цифри след десетичната запетая“.

Пример 1Намерете стойността на израза 2,5 − 2,2

Записваме този израз в колона, като спазваме правилото "запетая под запетая":

Изчисляваме дробната част 5−2=3. Записваме числото 3 в десетата част на нашия отговор:

Изчислете цялата част 2−2=0. Пишем нула в цялата част на нашия отговор:

Разделете със запетая цялата част от дробната част:

Получихме отговора 0,3. Значи стойността на израза 2,5 − 2,2 е равна на 0,3

2,5 − 2,2 = 0,3

Пример 2Намерете стойността на израза 7,353 - 3,1

Този израз има различен брой цифри след десетичната запетая. В дробта 7.353 има три цифри след десетичната запетая, а в дробта 3.1 има само една. Това означава, че в дробта 3.1 трябва да се добавят две нули в края, за да бъде броят на цифрите в двете дроби еднакъв. Тогава получаваме 3100.

Сега можете да напишете този израз в колона и да го изчислите:

Получих отговор 4253. Значи стойността на израза 7,353 − 3,1 е 4,253

7,353 — 3,1 = 4,253

Както при обикновените числа, понякога ще трябва да вземете едно от съседния бит, ако изваждането стане невъзможно.

Пример 3Намерете стойността на израза 3,46 − 2,39

Извадете стотни от 6−9. От числото 6 не изваждайте числото 9. Следователно трябва да вземете единица от съседната цифра. След като вземем единица от съседната цифра, числото 6 се превръща в числото 16. Сега можем да изчислим стотните от 16−9=7. Записваме седемте в стотната част на нашия отговор:

Сега извадете десети. Тъй като взехме една единица в категорията десети, цифрата, която се намираше там, намаля с една единица. С други думи, десетото място вече не е числото 4, а числото 3. Нека изчислим десетите от 3−3=0. Пишем нула в десетата част на нашия отговор:

Сега извадете целите части 3−2=1. Записваме единицата в цялата част на нашия отговор:

Разделете със запетая цялата част от дробната част:

Получих отговор 1.07. Значи стойността на израза 3,46−2,39 е равна на 1,07

3,46−2,39=1,07

Пример 4. Намерете стойността на израза 3−1.2

Този пример изважда десетична запетая от цяло число. Нека запишем този израз в колона, така че цялата част от десетичната дроб 1,23 да е под числото 3

Сега нека направим броя на цифрите след десетичната запетая еднакъв. За да направите това, след числото 3 поставете запетая и добавете една нула:

Сега извадете десети: 0−2. Не изваждайте от нула числото 2. Следователно трябва да вземете единица от съседната цифра. Като вземете единица от съседната цифра, 0 се превръща в числото 10. Сега можете да изчислите десетите от 10−2=8. Записваме осемте в десетата част на нашия отговор:

Сега извадете целите части. Преди това числото 3 се намираше в цялото число, но ние взехме назаем една единица от него. В резултат се превърна в числото 2. Следователно изваждаме 1 от 2. 2−1=1. Записваме единицата в цялата част на нашия отговор:

Разделете със запетая цялата част от дробната част:

Получих отговор 1.8. Значи стойността на израза 3−1,2 е 1,8

Десетично умножение

Умножаването на десетични числа е лесно и дори забавно. За да умножите десетични числа, трябва да ги умножите като обикновени числа, като игнорирате запетаите.

След като получите отговора, е необходимо да отделите със запетая цялата част от дробната част. За да направите това, трябва да преброите броя на цифрите след десетичната запетая в двете дроби, след това да преброите същия брой цифри вдясно в отговора и да поставите запетая.

Пример 1Намерете стойността на израза 2,5 × 1,5

Ние умножаваме тези десетични дроби като обикновени числа, игнорирайки запетаите. За да игнорирате запетаите, можете временно да си представите, че те отсъстват напълно:

Получихме 375. В това число е необходимо да се отдели със запетая цялата част от дробната част. За да направите това, трябва да преброите броя на цифрите след десетичната запетая в части от 2,5 и 1,5. В първата дроб има една цифра след десетичната запетая, във втората дроб също има една. Общо две числа.

Връщаме се към числото 375 и започваме да се движим отдясно наляво. Трябва да преброим две цифри отдясно и да поставим запетая:

Получих отговор 3,75. Значи стойността на израза 2,5 × 1,5 е 3,75

2,5 х 1,5 = 3,75

Пример 2Намерете стойността на израза 12,85 × 2,7

Нека умножим тези десетични знаци, като игнорираме запетаите:

Получихме 34695. В това число трябва да отделите със запетая цялата част от дробната част. За да направите това, трябва да изчислите броя на цифрите след десетичната запетая в части от 12,85 и 2,7. В дробта 12.85 има две цифри след десетичната запетая, в дробта 2.7 има една цифра - общо три цифри.

Връщаме се към числото 34695 и започваме да се движим от дясно на ляво. Трябва да преброим три цифри отдясно и да поставим запетая:

Получих отговора 34 695. Значи стойността на израза 12,85 × 2,7 е 34,695

12,85 х 2,7 = 34,695

Умножение на десетична запетая с обикновено число

Понякога има ситуации, когато трябва да умножите десетична дроб с обикновено число.

За да умножите десетично и обикновено число, трябва да ги умножите, независимо от запетаята в десетичната запетая. След като получите отговора, е необходимо да отделите със запетая цялата част от дробната част. За да направите това, трябва да преброите броя на цифрите след десетичната запетая в десетичната дроб, след това в отговора да преброите същия брой цифри вдясно и да поставите запетая.

Например умножете 2,54 по 2

Умножаваме десетичната дроб 2,54 по обичайното число 2, като игнорираме запетаята:

Получихме числото 508. В това число трябва да отделите със запетая цялата част от дробната част. За да направите това, трябва да преброите броя на цифрите след десетичната запетая във фракцията 2,54. Дробта 2,54 има две цифри след десетичната запетая.

Връщаме се към числото 508 и започваме да се движим от дясно на ляво. Трябва да преброим две цифри отдясно и да поставим запетая:

Получих отговор 5.08. Значи стойността на израза 2,54 × 2 е 5,08

2,54 х 2 = 5,08

Умножаване на десетични знаци по 10, 100, 1000

Умножаването на десетични знаци по 10, 100 или 1000 се извършва по същия начин като умножаването на десетични знаци по обикновени числа. Необходимо е да извършите умножението, като игнорирате запетаята в десетичната дроб, след което в отговора отделете цялата част от дробната част, като броите същия брой цифри отдясно, колкото е имало цифри след десетичната запетая в десетичната запетая фракция.

Например умножете 2,88 по 10

Нека умножим десетичната дроб 2,88 по 10, като игнорираме запетаята в десетичната дроб:

Получихме 2880. В това число трябва да отделите цялата част от дробната част със запетая. За да направите това, трябва да преброите броя на цифрите след десетичната запетая във фракцията 2,88. Виждаме, че в дробта 2,88 има две цифри след десетичната запетая.

Връщаме се към числото 2880 и започваме да се движим отдясно наляво. Трябва да преброим две цифри отдясно и да поставим запетая:

Получих отговор 28.80. Изхвърляме последната нула - получаваме 28,8. Значи стойността на израза 2,88 × 10 е 28,8

2,88 х 10 = 28,8

Има втори начин за умножаване на десетични дроби по 10, 100, 1000. Този метод е много по-прост и удобен. Състои се в това, че запетаята в десетичната дроб се премества надясно с толкова цифри, колкото нули има в множителя.

Например, нека решим предишния пример 2,88×10 по този начин. Без да даваме изчисления, веднага разглеждаме фактора 10. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че има една нула. Сега в дробта 2,88 преместваме десетичната запетая надясно с една цифра, получаваме 28,8.

2,88 х 10 = 28,8

Нека се опитаме да умножим 2,88 по 100. Веднага гледаме коефициента 100. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че има две нули. Сега в дробта 2,88 преместваме десетичната запетая надясно с две цифри, получаваме 288

2,88 х 100 = 288

Нека се опитаме да умножим 2,88 по 1000. Веднага гледаме коефициента 1000. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че има три нули. Сега в дробта 2,88 преместваме десетичната запетая надясно с три цифри. Третата цифра я няма, затова добавяме още една нула. В резултат на това получаваме 2880.

2,88 x 1000 = 2880

Умножаване на десетични знаци по 0,1 0,01 и 0,001

Умножаването на десетични числа по 0,1, 0,01 и 0,001 работи по същия начин като умножаването на десетичен знак по десетичен знак. Необходимо е да се умножават дроби като обикновени числа и да се постави запетая в отговора, като се преброят толкова цифри отдясно, колкото цифри има след десетичната запетая в двете дроби.

Например, умножете 3,25 по 0,1

Ние умножаваме тези дроби като обикновени числа, игнорирайки запетаите:

Получихме 325. В това число трябва да отделите цялата част от дробната част със запетая. За да направите това, трябва да изчислите броя на цифрите след десетичната запетая в части от 3,25 и 0,1. В дробта 3.25 има две цифри след десетичната запетая, в дробта 0.1 има една цифра. Общо три числа.

Връщаме се към числото 325 и започваме да се движим отдясно наляво. Трябва да преброим три цифри отдясно и да поставим запетая. След като преброим три цифри, установяваме, че числата са свършили. В този случай трябва да добавите една нула и да поставите запетая:

Получихме отговора 0,325. Значи стойността на израза 3,25 × 0,1 е 0,325

3,25 х 0,1 = 0,325

Има втори начин за умножаване на десетични числа по 0,1, 0,01 и 0,001. Този метод е много по-лесен и удобен. Състои се в това, че запетаята в десетичната дроб се премества наляво с толкова цифри, колкото нули има в множителя.

Например, нека решим предишния пример 3,25 × 0,1 по този начин. Без да даваме никакви изчисления, веднага разглеждаме фактора 0,1. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че има една нула. Сега в дробта 3,25 преместваме десетичната запетая наляво с една цифра. Премествайки запетаята с една цифра наляво, виждаме, че няма повече цифри преди тройката. В този случай добавете една нула и поставете запетая. В резултат на това получаваме 0,325

3,25 х 0,1 = 0,325

Нека опитаме да умножим 3,25 по 0,01. Веднага погледнете множителя от 0,01. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че има две нули. Сега в дробта 3.25 преместваме запетаята наляво с две цифри, получаваме 0.0325

3,25 х 0,01 = 0,0325

Нека опитаме да умножим 3,25 по 0,001. Незабавно погледнете множителя от 0,001. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че има три нули. Сега в дробта 3.25 преместваме десетичната запетая наляво с три цифри, получаваме 0.00325

3,25 × 0,001 = 0,00325

Не бъркайте умножението на десетичните знаци по 0,1, 0,001 и 0,001 с умножението по 10, 100, 1000. Често срещана грешка, която повечето хора правят.

При умножение с 10, 100, 1000 запетаята се премества надясно с толкова цифри, колкото нули има в множителя.

А при умножение по 0,1, 0,01 и 0,001 запетаята се премества наляво с толкова цифри, колкото нули има в множителя.

Ако в началото е трудно да запомните, можете да използвате първия метод, при който умножението се извършва както при обикновените числа. В отговора ще трябва да отделите цялата част от дробната част, като преброите толкова цифри отдясно, колкото цифри има след десетичната запетая в двете дроби.

Деление на по-малко число на по-голямо. Напреднало ниво.

В един от предишните уроци казахме, че при разделяне на по-малко число на по-голямо се получава дроб, в чийто числител е делимото, а в знаменателя е делителя.

Например, за да разделите една ябълка на две, трябва да напишете 1 (една ябълка) в числителя и да напишете 2 (двама приятели) в знаменателя. Резултатът е дроб. Така всеки приятел ще получи ябълка. С други думи, половин ябълка. Дроб е отговорът на проблем как да разделя една ябълка между две

Оказва се, че можете да разрешите този проблем допълнително, ако разделите 1 на 2. В края на краищата дробна черта във всяка дроб означава деление, което означава, че това деление е разрешено и в дроб. Но как? Свикнали сме, че дивидентът винаги е по-голям от делителя. А тук, напротив, дивидентът е по-малък от делителя.

Всичко ще стане ясно, ако си спомним, че дроб означава смачкване, разделяне, разделяне. Това означава, че модулът може да бъде разделен на колкото желаете части, а не само на две части.

При разделянето на по-малко число на по-голямо се получава десетична дроб, в която цялата част ще бъде 0 (нула). Дробната част може да бъде всичко.

И така, нека разделим 1 на 2. Нека решим този пример с ъгъл:

Не може човек да се раздели на две просто така. Ако зададете въпрос "колко две има в едно" , тогава отговорът ще бъде 0. Следователно, на частно пишем 0 и поставяме запетая:

Сега, както обикновено, умножаваме частното по делителя, за да извадим остатъка:

Дойде моментът, в който единицата може да бъде разделена на две части. За да направите това, добавете още една нула вдясно от получената:

Получихме 10. Делим 10 на 2, получаваме 5. Записваме петицата в дробната част на нашия отговор:

Сега изваждаме последния остатък, за да завършим изчислението. Умножаваме 5 по 2, получаваме 10

Получихме отговора 0,5. Значи частта е 0,5

Половин ябълка може да се напише и с помощта на десетичната дроб 0,5. Ако добавим тези две половини (0,5 и 0,5), отново получаваме оригиналната една цяла ябълка:

Тази точка може да бъде разбрана и ако си представим как 1 см е разделен на две части. Ако разделите 1 сантиметър на 2 части, ще получите 0,5 cm

Пример 2Намерете стойността на израза 4:5

Колко петици има в четири? Въобще не. Пишем частно 0 и поставяме запетая:

Умножаваме 0 по 5, получаваме 0. Пишем нула под четворката. Незабавно извадете тази нула от дивидента:

Сега нека започнем да разделяме (разделяме) четирите на 5 части. За да направите това, вдясно от 4 добавяме нула и разделяме 40 на 5, получаваме 8. Пишем осемте на частно.

Завършваме примера, като умножаваме 8 по 5 и получаваме 40:

Получихме отговора 0,8. Значи стойността на израза 4:5 е 0,8

Пример 3Намерете стойността на израз 5: 125

Колко числа 125 има в пет? Въобще не. Пишем 0 на лично и поставяме запетая:

Умножаваме 0 по 5, получаваме 0. Пишем 0 под петицата. Незабавно извадете от петте 0

Сега нека започнем да разделяме (разделяме) петте на 125 части. За да направите това, вдясно от тези пет пишем нула:

Разделете 50 на 125. Колко числа 125 има в 50? Въобще не. Така че в частното отново записваме 0

Умножаваме 0 по 125, получаваме 0. Записваме тази нула под 50. Веднага изваждаме 0 от 50

Сега разделяме числото 50 на 125 части. За да направите това, вдясно от 50 пишем още една нула:

Разделете 500 на 125. Колко са числата 125 в числото 500. В числото 500 има четири числа 125. Записваме четирите насаме:

Завършваме примера, като умножаваме 4 по 125 и получаваме 500

Получихме отговора 0,04. Значи стойността на израза 5:125 е 0,04

Деление на числа без остатък

Така че, нека поставим запетая в частното след единицата, като по този начин показваме, че разделянето на целите части е приключило и преминаваме към дробната част:

Добавете нула към остатъка 4

Сега разделяме 40 на 5, получаваме 8. Записваме осемте насаме:

40−40=0. Получено 0 в остатъка. Така разделението е напълно завършено. Разделянето на 9 на 5 води до десетичен знак от 1,8:

9: 5 = 1,8

Пример 2. Разделете 84 на 5 без остатък

Първо разделяме 84 на 5 както обикновено с остатък:

Получени на лично 16 и още 4 в остатъка. Сега разделяме този остатък на 5. Поставяме запетая в частния и добавяме 0 към остатъка 4

Сега разделяме 40 на 5, получаваме 8. Записваме осемте в частното след десетичната запетая:

и завършете примера, като проверите дали все още има остатък:

Деление на десетична запетая на обикновено число

Десетичната дроб, както знаем, се състои от цяло число и дробна част. Когато разделяте десетична дроб на редовно число, първо трябва:

разделете цялата част от десетичната дроб на това число;
след разделянето на цялата част, трябва незабавно да поставите запетая в частната част и да продължите изчислението, както при обикновеното деление.

Например, нека разделим 4,8 на 2

Нека напишем този пример като ъгъл:

Сега нека разделим цялата част на 2. Четири делено на две е две. Пишем двойката насаме и веднага поставяме запетая:

Сега умножаваме частното по делителя и виждаме дали има остатък от делението:

4−4=0. Остатъкът е нула. Все още не пишем нула, тъй като решението не е завършено. След това продължаваме да смятаме, както при обикновеното деление. Намалете 8 и го разделете на 2

8: 2 = 4. Записваме четирите в частното и веднага го умножаваме по делителя:

Получих отговор 2.4. Стойност на израза 4,8: 2 е равно на 2,4

Пример 2Намерете стойността на израза 8,43:3

Разделяме 8 на 3, получаваме 2. Веднага поставете запетая след двете:

Сега умножаваме частното по делителя 2 × 3 = 6. Записваме шестицата под осмицата и намираме остатъка:

Делим 24 на 3, получаваме 8. Записваме осмицата на частно. Веднага го умножаваме по делителя, за да намерим остатъка от делението:

24−24=0. Остатъкът е нула. Нулата все още не е записана. Вземете последните три от дивидента и разделете на 3, получаваме 1. Незабавно умножете 1 по 3, за да завършите този пример:

Получих отговор 2.81. Значи стойността на израза 8,43:3 е равна на 2,81

Деление на десетична запетая на десетична запетая

За да разделите десетична дроб на десетична дроб, в дивидента и в делителя, преместете запетаята надясно със същия брой цифри, колкото има след десетичната точка в делителя, и след това разделете на редовно число.

Например, разделете 5,95 на 1,7

Нека запишем този израз като ъгъл

Сега, в делителя и в делителя, преместваме запетаята надясно със същия брой цифри, колкото има след десетичната запетая в делителя. Делителят има една цифра след десетичната запетая. Така че трябва да преместим запетаята надясно с една цифра в делителя и в делителя. Прехвърляне:

След преместване на десетичната запетая надясно с една цифра, десетичната дроб 5,95 се превърна в дроб 59,5. И десетичната дроб 1,7, след преместване на десетичната запетая надясно с една цифра, се превърна в обичайното число 17. И ние вече знаем как да разделим десетичната дроб на обичайното число. По-нататъшното изчисление не е трудно:

Запетаята е преместена надясно, за да се улесни разделянето. Това е позволено поради факта, че при умножаване или деление на делителя и делителя на едно и също число, частното не се променя. Какво означава?

Това е една от интересните характеристики на разделението. Нарича се частна собственост. Помислете за израз 9: 3 = 3. Ако в този израз делимото и делителя се умножат или разделят на едно и също число, тогава частното 3 няма да се промени.

Нека умножим дивидент и делител по 2 и да видим какво ще се случи:

(9 × 2) : (3 × 2) = 18: 6 = 3

Както се вижда от примера, коефициентът не се е променил.

Същото се случва, когато поставим запетая в делителя и в делителя. В предишния пример, където разделихме 5,91 на 1,7, преместихме запетаята с една цифра надясно в делителя и делителя. След преместване на запетаята дробта 5,91 беше преобразувана във фракцията 59,1, а фракцията 1,7 беше преобразувана в обичайното число 17.

Всъщност вътре в този процес се извърши умножение по 10. Ето как изглеждаше:

5,91 × 10 = 59,1

Следователно броят на цифрите след десетичната запетая в делителя зависи от това по какво ще бъдат умножени дивидентът и делителят. С други думи, броят на цифрите след десетичната запетая в делителя ще определи колко цифри в делителя и в делителя запетаята ще бъде преместена надясно.

Десетично деление на 10, 100, 1000

Деленето на десетична запетая на 10, 100 или 1000 се извършва по същия начин като . Например, нека разделим 2,1 на 10. Нека решим този пример с ъгъл:

Но има и втори начин. По-лек е. Същността на този метод е, че запетаята в делителя се премества наляво с толкова цифри, колкото нули има в делителя.

Нека решим предишния пример по този начин. 2.1: 10. Гледаме разделителя. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че има една нула. Така че в делимото 2.1 трябва да преместите запетаята наляво с една цифра. Преместваме запетаята наляво с една цифра и виждаме, че вече няма останали цифри. В този случай добавяме още една нула преди числото. В резултат на това получаваме 0,21

Нека се опитаме да разделим 2,1 на 100. В числото 100 има две нули. Така че в делимото 2.1 трябва да преместите запетаята наляво с две цифри:

2,1: 100 = 0,021

Нека се опитаме да разделим 2,1 на 1000. В числото 1000 има три нули. Така че в делимото 2.1 трябва да преместите запетаята наляво с три цифри:

2,1: 1000 = 0,0021

Десетично деление на 0,1, 0,01 и 0,001

Разделянето на десетична запетая на 0,1, 0,01 и 0,001 се извършва по същия начин като . В делителя и в делителя трябва да преместите запетаята надясно с толкова цифри, колкото има след десетичната запетая в делителя.

Например, нека разделим 6,3 на 0,1. Първо преместваме запетаите в делителя и в делителя надясно с толкова цифри, колкото има след десетичната запетая в делителя. Делителят има една цифра след десетичната запетая. Така че преместваме запетаите в делителя и в делителя надясно с една цифра.

След преместване на десетичната запетая с една цифра надясно, десетичната дроб 6,3 се превръща в обичайното число 63, а десетичната дроб 0,1, след преместване на десетичната запетая с една цифра надясно, се превръща в единица. А разделянето на 63 на 1 е много просто:

Значи стойността на израза 6,3:0,1 е равна на 63

Но има и втори начин. По-лек е. Същността на този метод е, че запетаята в дивидента се прехвърля надясно с толкова цифри, колкото нули има в делителя.

Нека решим предишния пример по този начин. 6,3:0,1. Нека да разгледаме разделителя. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че има една нула. Така че в делимото 6.3 трябва да преместите запетаята надясно с една цифра. Преместваме запетаята надясно с една цифра и получаваме 63

Нека се опитаме да разделим 6,3 на 0,01. Делителят 0,01 има две нули. Така че в делимото 6.3 трябва да преместите запетаята надясно с две цифри. Но в дивидента има само една цифра след десетичната запетая. В този случай трябва да се добави още една нула в края. В резултат на това получаваме 630

Нека опитаме да разделим 6,3 на 0,001. Делителят на 0,001 има три нули. Така че в делимото 6.3 трябва да преместите запетаята надясно с три цифри:

6,3: 0,001 = 6300

Задачи за самостоятелно решаване

Хареса ли ви урока?
Присъединете се към нашата нова група Vkontakte и започнете да получавате известия за нови уроци

Назад напред

внимание! Визуализацията на слайда е само за информационни цели и може да не представя пълния обем на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

Целта на урока:

По забавен начин запознайте учениците с правилото за умножаване на десетична дроб по естествено число, с битова единица и правилото за изразяване на десетична дроб като процент. Развиват способността за прилагане на придобитите знания при решаване на примери и задачи.
Развиване и активиране на логическото мислене на учениците, способността за идентифициране на модели и обобщаването им, укрепване на паметта, способността да си сътрудничат, да оказват помощ, да оценяват своята работа и работата един на друг.
Да култивира интерес към математиката, активност, мобилност, способност за общуване.

Оборудване:интерактивна дъска, плакат с шифрограма, плакати с изказвания на математиците.

По време на часовете

Организиране на времето.
Устното броене е обобщение на предварително изучен материал, подготовка за изучаване на нов материал.
Обяснение на нов материал.
Домашна работа.
Математическо физическо възпитание.
Обобщаване и систематизиране на усвоените знания в игрова форма с помощта на компютър.
Класиране.

2. Момчета, днес нашият урок ще бъде малко необичаен, защото няма да го прекарам сам, а с моя приятел. И моят приятел също е необичаен, сега ще го видите. (На екрана се появява анимационен компютър.) Приятелят ми има име и може да говори. Как се казваш, приятел? Компоша отговаря: "Казвам се Компоша." Готови ли сте да ми помогнете днес? ДА! Добре тогава, нека започнем урока.

Днес получих криптирана шифрограма, момчета, която трябва да решим и дешифрираме заедно. (На дъската е поставен плакат с устна сметка за добавяне и изваждане на десетични дроби, в резултат на което момчетата получават следния код 523914687. )

5	2	3	9	1	4	6	8	7
1	2	3	4	5	6	7	8	9

Komposha помага за дешифрирането на получения код. В резултат на декодирането се получава думата МНОЖЕНИЕ. Умножението е ключовата дума на темата на днешния урок. Темата на урока се показва на монитора: „Умножаване на десетична дроб с естествено число“

Момчета, знаем как се извършва умножението на естествени числа. Днес ще разгледаме умножението на десетични числа с естествено число. Умножението на десетична дроб с естествено число може да се разглежда като сбор от членове, всеки от които е равен на тази десетична дроб, а броят на членовете е равен на това естествено число. Например: 5.21 3 \u003d 5,21 + 5, 21 + 5,21 \u003d 15,63Така че 5,21 3 = 15,63. Представяйки 5,21 като обикновена дроб от естествено число, получаваме

И в този случай получихме същия резултат от 15,63. Сега, като игнорираме запетаята, нека вземем числото 521 вместо числото 5,21 и да умножим по даденото естествено число. Тук трябва да запомним, че в един от факторите запетаята е преместена две места надясно. При умножаване на числата 5, 21 и 3 получаваме произведение равно на 15,63. Сега, в този пример, ще преместим запетаята наляво с две цифри. Така, с колко пъти е увеличен един от множителите, с толкова пъти е намален продуктът. Въз основа на сходните точки на тези методи правим заключение.

За да умножите десетична запетая по естествено число, трябва:
1) пренебрегвайки запетаята, извършете умножение на естествени числа;
2) в полученото произведение отделете със запетая отдясно толкова знака, колкото има в десетичната дроб.

На монитора се показват следните примери, които анализираме заедно с Компоша и момчетата: 5.21 3 = 15.63 и 7.624 15 = 114.34. След като покажа умножение с кръгло число 12,6 50 \u003d 630. След това се обръщам към умножението на десетична дроб по битова единица. Показани са следните примери: 7423 100 \u003d 742.3 и 5.2 1000 \u003d 5200. И така, въвеждам правилото за умножаване на десетична дроб с битова единица:

За да умножите десетична дроб с битови единици 10, 100, 1000 и т.н., е необходимо да преместите запетаята надясно в тази дроб с толкова цифри, колкото нули има в записа на битовата единица.

Завършвам обяснението с изразяване на десетична дроб като процент. Въвеждам правилото:

За да изразите десетичен знак като процент, умножете го по 100 и добавете знака %.

Давам пример на компютър 0,5 100 \u003d 50 или 0,5 \u003d 50%.

4. В края на обяснението давам на момчетата домашна работа, която също се показва на монитора на компютъра: № 1030, № 1034, № 1032.

5. За да могат момчетата да си починат малко, да консолидират темата, правим сесия по математическо физическо възпитание заедно с Компоша. Всички се изправят, показват на класа решените примери и трябва да отговорят дали примерът е верен или не. Ако примерът е решен правилно, те вдигат ръце над главата си и пляскат с длани. Ако примерът не е решен правилно, момчетата протягат ръце отстрани и месят пръстите си.

6. А сега малко почивка, можете да решавате задачите. Отворете учебника си на страница 205, № 1029. в тази задача е необходимо да се изчисли стойността на изразите:

Задачите се появяват на компютъра. Докато се решават, се появява картина с изображение на лодка, която, когато е напълно сглобена, отплава.

№ 1031 Изчислете:

Решавайки тази задача на компютър, ракетата постепенно се развива, решавайки последния пример, ракетата отлита. Учителят дава малко информация на учениците: „Всяка година космически кораби излитат към звездите от казахстанската земя от космодрума Байконур. Близо до Байконур, Казахстан строи новия си космодрум Байтерек.

No 1035. Задача.

Колко ще измине автомобил за 4 часа, ако скоростта на автомобила е 74,8 км/ч.

Тази задача е придружена от звуков дизайн и показване на кратко условие на задачата на монитора. Ако проблемът е разрешен, нали, тогава колата започва да се движи напред към флага на финала.

№ 1033. Запишете десетичните числа като проценти.

0,2 = 20%; 0,5 = 50%; 0,75 = 75%; 0,92 = 92%; 1,24 =1 24%; 3,5 = 350%; 5,61= 561%.

Решавайки всеки пример, когато се появи отговорът, се появява буква, което води до думата Много добре.