Повърхности от втори ред- това са повърхнини, които са определени в правоъгълна координатна система алгебрични уравнениявтора специалност.
1. Елипсоид.
Елипсоидът е повърхност, която в определена правоъгълна координатна система се определя от уравнението:Уравнение (1) се нарича канонично уравнение на елипсоид.
Нека установим геометричната форма на елипсоида. За да направите това, разгледайте секциите на този елипсоид с равнини, успоредни на равнината Окси.Всяка от тези равнини се определя от уравнение на формата z=h, Където ч– произволно число, а правата, която се получава в сечението, се определя от две уравнения
(2)Нека проучим уравнения (2) за различни стойности ч .
> ° С(c>0), тогава уравнения (2) определят въображаема елипса, т.е. точките на пресичане на равнината z=hне съществува с този елипсоид. , Че и линия (2) се изражда в точки (0; 0; + ° С) и (0; 0; - ° С) (равнините се допират до елипсоида). , тогава уравнения (2) могат да бъдат представени катооткъдето следва, че самолетът z=hпресича елипсоида по елипса с полуоси
И . Както стойностите намаляват, така и се увеличават и достигат своите най-високи стойностив , т.е. в сечението на елипсоида с координатната равнина Оксинай-голямата елипса с полуоси и се получава.Подобна картина се получава, когато дадена повърхност се пресича от равнини, успоредни на координатните равнини OxzИ Ойз.
По този начин разглежданите сечения позволяват да се изобрази елипсоидът като затворена овална повърхност (фиг. 156). Количества a, b, cса наречени полуоскиелипсоид. Кога a=b=cелипсоидът е сфероth.
2. Еднолентов хиперболоид.
Хиперболоид с една лента е повърхност, която в някаква правоъгълна координатна система се определя от уравнението (3)Уравнение (3) се нарича канонично уравнение на хиперболоид с една лента.
Нека зададем вида на повърхността (3). За да направите това, разгледайте разрез от неговите координатни равнини Окси (y=0)ИOyx (x=0).Получаваме съответно уравненията
ИСега разгледайте сеченията на този хиперболоид с равнини z=h, успоредни на координатната равнина Окси. Получената линия в сечението се определя от уравненията
или (4)от което следва, че равнината z=h пресича хиперболоида по елипса с полуоси
И ,постигане на техните най-ниски стойностипри h=0, т.е. в сечението на този хиперболоид координатната ос Oxy произвежда най-малката елипса с полуоси a*=a и b*=b. С безкрайно увеличение
величините a* и b* нарастват безкрайно.По този начин разглежданите сечения позволяват да се изобрази хиперболоид с една лента под формата на безкрайна тръба, безкрайно разширяваща се при отдалечаване (от двете страни) от равнината Oxy.
Величините a, b, c се наричат полуоси на еднолентов хиперболоид.
3. Двулистов хиперболоид.
Двулистов хиперболоид е повърхност, която в някаква правоъгълна координатна система се определя от уравнението
Уравнение (5) се нарича канонично уравнение на двулистов хиперболоид.
Нека установим геометричния вид на повърхността (5). За да направите това, разгледайте неговите секции с координатни равнини Oxy и Oyz. Получаваме съответно уравненията
Иот което следва, че хиперболите се получават в разрези.
Сега разгледайте сеченията на този хиперболоид с равнини z=h, успоредни на координатната равнина Oxy. Линията, получена в сечението, се определя от уравненията
или (6)от което следва, че когато
>c (c>0) равнината z=h пресича хиперболоида по елипса с полуоси и . Тъй като стойностите на a* и b* се увеличават, те също се увеличават. уравнения (6) се удовлетворяват от координатите само на две точки: (0;0;+с) и (0;0;-с) (равнините се допират до дадената повърхност). уравнения (6) дефинират въображаема елипса, т.е. Няма пресечни точки на равнината z=h с този хиперболоид.Величините a, b и c се наричат полуоси на двулистов хиперболоид.
4. Елиптичен параболоид.
Елиптичен параболоид е повърхност, която в някаква правоъгълна координатна система се определя от уравнението
(7)където p>0 и q>0.
Уравнение (7) се нарича канонично уравнение на елиптичен параболоид.
Нека разгледаме разрези на тази повърхност с координатни равнини Oxy и Oyz. Получаваме съответно уравненията
Иот което следва, че сеченията дават параболи, които са симетрични спрямо оста Oz, с върхове в началото. (8)
от което следва, че при . С увеличаването на h стойностите на a и b също се увеличават; при h=0 елипсата се изражда в точка (равнината z=0 се допира до дадения хиперболоид). В ч<0 уравнения (8) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом нет.
По този начин разглежданите сечения позволяват да се изобрази елиптичен параболоид под формата на безкрайно изпъкнала купа.
Точката (0;0;0) се нарича връх на параболоида; числата p и q са неговите параметри.
В случай на p=q уравнение (8) дефинира окръжност с център на оста Oz, т.е. елипсовиден параболоид може да се разглежда като повърхност, образувана от въртенето на парабола около нейната ос (параболоид на въртене).
5. Хиперболичен параболоид.
Хиперболичен параболоид е повърхност, която в някаква правоъгълна координатна система се определя от уравнението
(9)Конична повърхнина е повърхнина, образувана от прави линии - образуващите на конуса - минаващи през дадена точка - върха на конуса - и пресичащи дадена права - водач на конуса. Нека водачът на конуса има уравненията
и върхът на конуса има координати Каноничните уравнения на генераторите на конуса като прави, минаващи през точката ) и през точката на водача ще бъдат;
Елиминирайки x, y и z от четирите уравнения (3) и (4), получаваме желаното уравнение на коничната повърхност. Това уравнение има много просто свойство: то е хомогенно (т.е. всички негови членове са с една и съща размерност) по отношение на разликите. Всъщност нека първо приемем, че върхът на конуса е в началото. Нека X, Y и Z са координатите на всяка точка от конуса; следователно те удовлетворяват уравнението на конуса. След замяната на X, Y и Z в уравнението на конуса съответно с XX, XY, XZ, където X е произволен фактор, уравнението трябва да бъде изпълнено, тъй като XX, XY и XZ са координатите на точката на линия, минаваща през началото на координатите до точката, т.е. образуваща конус. Следователно уравнението на конуса няма да се промени, ако умножим всички текущи координати по едно и също число X. От това следва, че това уравнение трябва да бъде хомогенно по отношение на текущите координати.
Ако върхът на конуса лежи в точка, ще прехвърлим началото на координатите към върха и според доказаното трансформираното уравнение на конуса ще бъде хомогенно по отношение на новите координати, т.е. да се
Пример. Напишете уравнение за конус с връх в началото и посока
Каноничните уравнения на генераторите, минаващи през върха (0, 0, C) на конуса и точката на водача, ще бъдат:
Нека елиминираме x, y и от четирите дадени уравнения. Заменяйки чрез c, ние определяме и y от последните две уравнения.
Определение 1.Конична повърхност или конус с връх в точка M 0 е повърхност, образувана от всички прави линии, всяка от които минава през точката M 0 и през някаква точка на правата γ. Точка M 0 се нарича връх на конуса, линия γ се нарича водеща. Правите, минаващи през върха на конуса и лежащи върху него, се наричат образуващи на конуса.
Теорема.Повърхнина от 2-ри ред с канонично уравнение
е конус с връх в началото, чийто водач е елипса
Доказателство.
Нека M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) е някаква точка от повърхността α, различна от началото; ?=ОM 1 – права линия, M (x; y; z) принадлежи на?. Тъй като | | , тогава, така че
Тъй като, тогава неговите координати са x 1; y 1; z 1 удовлетворяват уравнение (1). Като се вземат предвид условия (3), имаме, където t ≠ 0. Разделяне на двете страни на уравнението на t 2 ≠ 0, получаваме, че координатите на произволна точка M (x; y; z) от правата m=ОM 1 удовлетворяват уравнение (1). То се изпълнява и от координатите на точката O(0,0,0).
Така всяка точка M (x; y; z) от правата m=ОМ 1 лежи на повърхността α с уравнение (1), т.е. правата ОМ 1 =m е праволинейна образуваща на повърхността α.
Нека сега разгледаме разрез на повърхността α с равнина, успоредна на равнината Oxy с уравнението z = c ≠ 0:
Този участък е елипса с полуоси АИ b. Следователно тя пресича тази елипса. Съгласно Определение 1 повърхнина α е конус с връх ОТНОСНО(0,0,0) (Всички линии m минават през началото); образуващите на този конус са прави линии m, водачът е гореспоменатата елипса.
Теоремата е доказана.
Определение 2.Повърхнина от 2-ри ред с канонично уравнение (1) се нарича конус от втори ред.
Свойства на конус от 2-ри ред.
1ºКонусът с уравнение (1) е симетричен по отношение на всички координатни равнини, всички координатни оси и началото (тъй като всички променливи се съдържат в уравнение (1) на втора степен).
2ºВсички координатни оси имат една обща точка с конуса (1) - началото на координатите, което служи като негов връх и център едновременно
3ºСечение на конус (1) с равнини OxzИ Ойз– двойки прави линии, пресичащи се в началото; самолет Окси- точка ОТНОСНО(0,0,0).
4ºСеченията на конуса (1) с равнини, успоредни на координатните равнини, но не съвпадащи с тях, са или елипси, или хиперболи.
5ºАко А = b, тогава тези елипси са кръгове, а самият конус е повърхност на въртене. В този случай се нарича кръгъл конус.
Определение 3: конично сечение е линия, по която кръгъл конус се пресича с произволна равнина, която не минава през неговия връх. Така каноничните сечения са елипсата, хиперболата и параболата.
С тази разлика, че вместо „плоски“ графики, ще разгледаме най-често срещаните пространствени повърхности и ще се научим как компетентно да ги изграждаме на ръка. Прекарах доста време в избора на софтуерни инструменти за създаване на триизмерни чертежи и намерих няколко добри приложения, но въпреки цялата лекота на използване, тези програми не решават добре важен практически проблем. Факт е, че в обозримо историческо бъдеще учениците все още ще бъдат въоръжени с линийка и молив и дори да имат висококачествена „машинна“ рисунка, мнозина няма да могат да я прехвърлят правилно върху карирана хартия. Ето защо в ръководството е обърнато специално внимание на техниката на ръчно конструиране, а значителна част от илюстрациите на страницата са ръчно изработен продукт.
Как този референтен материал се различава от аналозите?
Имайки приличен практически опит, знам много добре с кои повърхности най-често трябва да се занимаваме в реални проблеми на висшата математика и се надявам, че тази статия ще ви помогне бързо да попълните багажа си със съответните знания и приложни умения, които представляват 90 -95% трябва да има достатъчно случаи.
Какво трябва да можете да правите в момента?
Най-основното:
Първо, трябва да можете изграждайте правилнопространствена декартова координатна система (вижте началото на статията Графики и свойства на функциите) .
Какво ще спечелите след като прочетете тази статия?
Бутилка След като усвоите материалите на урока, ще се научите бързо да определяте вида на повърхността по нейната функция и/или уравнение, да си представяте как е разположена в пространството и, разбира се, да правите чертежи. Добре е, ако не получите всичко в главата си след първото четене - винаги можете да се върнете към всеки абзац по-късно, ако е необходимо.
Информацията е по силите на всеки - за да я овладеете не са необходими никакви супер знания, специален артистичен талант или пространствено зрение.
Започнете!
На практика обикновено се дава пространствената повърхност функция на две променливиили уравнение от формата (константата от дясната страна най-често е равна на нула или единица). Първото обозначение е по-типично за математическия анализ, второто - за аналитична геометрия. Уравнението е по същество имплицитно даденофункция на 2 променливи, която в типичните случаи може лесно да се сведе до формата . Нека ви напомня за най-простия пример c:
–уравнение на равнинатамил .
– равнинна функция в изрично .
Да започнем с него:
Общи уравнения на равнини
Типичните опции за подреждане на равнини в правоъгълна координатна система са разгледани подробно в самото начало на статията. Уравнение на равнината. Нека обаче отново се спрем на уравненията, които са от голямо значение за практиката.
На първо място, трябва напълно автоматично да разпознаете уравненията на равнините, които са успоредни на координатните равнини. Фрагменти от равнини стандартно се изобразяват като правоъгълници, които в последните два случая приличат на успоредници. По подразбиране можете да изберете всякакви размери (разбира се, в разумни граници), но е желателно точката, в която координатната ос „пробива“ равнината, да е центърът на симетрия: 
Строго погледнато, координатните оси трябва да бъдат изобразени с пунктирани линии на някои места, но за да избегнем объркване, ще пренебрегнем този нюанс.
– (лява рисунка)неравенството определя най-отдалеченото от нас полупространство, като изключим самата равнина;
– (среден чертеж)неравенството определя дясното полупространство, включително равнината;
– (десен чертеж)двойното неравенство дефинира „слой“, разположен между равнините, включително и двете равнини.
За самозагряване:
Пример 1
Начертайте тяло, ограничено от равнини
Създайте система от неравенства, които определят дадено тяло.
Стар познат трябва да изплува изпод повода на молива ви. кубоид. Не забравяйте, че невидимите ръбове и лица трябва да бъдат начертани с пунктирана линия. Завърши рисуването в края на урока.
Моля те, НЕ ПРЕНЕБРЕБВАЙТЕучебни задачи, дори ако изглеждат твърде прости. В противен случай може да се случи, че сте пропуснали веднъж, пропуснали сте го два пъти и след това сте прекарали цял час, опитвайки се да разберете триизмерна рисунка в някакъв реален пример. Освен това механичната работа ще ви помогне да научите материала много по-ефективно и да развиете интелигентността си! Неслучайно в детската градина и началното училище децата се натоварват с рисуване, моделиране, конструиране и други задачи за фината моторика на пръстите. Съжалявам за отклонението, но двете ми тетрадки по психология на развитието не бива да липсват =)
Условно ще наречем следващата група равнини „пряка пропорционалност“ - това са равнини, преминаващи през координатните оси:
2) уравнение от формата задава равнина, минаваща през оста ;
3) уравнение от формата задава равнина, минаваща през оста.
Въпреки че формалният знак е очевиден (коя променлива липсва в уравнението – равнината минава през тази ос), винаги е полезно да разберете същността на случващите се събития:
Пример 2
Конструирайте равнина
Кой е най-добрият начин за изграждане? Предлагам следния алгоритъм:
Първо, нека пренапишем уравнението във формата , от което ясно се вижда, че „y“ може да вземе всякаквизначения. Нека фиксираме стойността, тоест ще разгледаме координатната равнина. Набор от уравнения пространствена линия, лежаща в дадена координатна равнина. Нека изобразим тази линия на чертежа. Правата минава през началото на координатите, така че за да се построи е достатъчно да се намери една точка. Позволявам . Отделете точка и начертайте права линия.
Сега се връщаме към уравнението на равнината. Тъй като "Y" приема всякаквистойности, тогава правата линия, построена в равнината, непрекъснато се „възпроизвежда“ наляво и надясно. Точно така се образува нашата равнина, минаваща през оста. За да завършим чертежа, поставяме две успоредни линии отляво и отдясно на правата линия и „затваряме“ символичния паралелограм с напречни хоризонтални сегменти: 
Тъй като условието не налага допълнителни ограничения, фрагмент от самолета може да бъде изобразен в малко по-малки или малко по-големи размери.
Нека отново повторим значението на пространственото линейно неравенство, използвайки примера. Как да определим полупространството, което дефинира? Нека вземем малко точка не принадлежащи къмравнина, например, точка от най-близкото до нас полупространство и заместваме нейните координати в неравенството:
получено истинско неравенство, което означава, че неравенството определя долното (спрямо равнината) полупространство, докато самата равнина не е включена в решението.
Пример 3
Конструирайте самолети
А) ;
б) .
Това са задачи за самостоятелно изграждане, в случай на затруднения използвайте подобни разсъждения. Кратки инструкции и рисунки в края на урока.
На практика особено често се срещат равнини, успоредни на оста. Специалният случай, когато равнината преминава през оста, току-що беше обсъден в параграф „be“, а сега ще анализираме по-общ проблем:
Пример 4
Конструирайте равнина
Решение: променливата „z“ не е изрично включена в уравнението, което означава, че равнината е успоредна на приложената ос. Нека използваме същата техника като в предишните примери.
Нека пренапишем уравнението на равнината във формата 
от което става ясно, че “зет” може да вземе всякаквизначения. Нека го поправим и начертаем правилна „плоска“ права линия в „родната“ равнина. За да го конструирате, е удобно да вземете референтни точки.
Тъй като "Z" приема всичкостойности, тогава конструираната права линия непрекъснато се „умножава“ нагоре и надолу, като по този начин образува желаната равнина 
. Ние внимателно съставяме успоредник с разумен размер: 
Готов.
Уравнение на равнина в отсечки
Най-важният приложен сорт. Ако всичкокоефициенти общо уравнение на равнината ненулев, то може да бъде представено във формата 
което се нарича уравнение на равнината в сегменти. Очевидно е, че равнината пресича координатните оси в точки , а голямото предимство на такова уравнение е лекотата на конструиране на чертеж:
Пример 5
Конструирайте равнина
Решение: Първо, нека създадем уравнение на равнината в сегменти. Нека хвърлим свободния член надясно и разделим двете страни на 12: 
Не, тук няма правописна грешка и всички неща се случват в космоса! Ние изследваме предложената повърхност, използвайки същия метод, който наскоро беше използван за самолети. Нека пренапишем уравнението във формата 
, от което следва, че “зет” взема всякаквизначения. Нека фиксираме и построим елипса в равнината. Тъй като "zet" приема всичкостойности, тогава конструираната елипса непрекъснато се „възпроизвежда“ нагоре и надолу. Лесно е да се разбере, че повърхността безкраен:
Тази повърхност се нарича елиптичен цилиндър. Извиква се елипса (на произволна височина). ръководствоцилиндър, а успоредните прави, минаващи през всяка точка на елипсата, се наричат формиранецилиндър (който буквално го образува). Оста е ос на симетрияповърхност (но не част от нея!).
Координатите на всяка точка, принадлежаща на дадена повърхност, задължително удовлетворяват уравнението 
.
Пространственинеравенството определя „вътрешността“ на безкрайната „тръба“, включително самата цилиндрична повърхност, и съответно обратното неравенство определя множеството от точки извън цилиндъра.
В практическите задачи най-популярният частен случай е когато ръководствоцилиндърът е кръг:
Пример 8
Построете повърхността, дадена от уравнението
Невъзможно е да се изобрази безкрайна „тръба“, така че изкуството обикновено се ограничава до „подрязване“.
Първо е удобно да се изгради кръг с радиус в равнината, а след това още няколко кръга отгоре и отдолу. Получените кръгове ( водачицилиндър) внимателно свържете с четири успоредни прави линии ( формиранецилиндър): 
Не забравяйте да използвате пунктирани линии за линии, които са невидими за нас.
Координатите на всяка точка, принадлежаща на даден цилиндър, удовлетворяват уравнението 
. Координатите на всяка точка, разположена строго вътре в „тръбата“, удовлетворяват неравенството 
, и неравенството 
определя набор от точки на външната част. За по-добро разбиране препоръчвам да разгледате няколко конкретни точки в пространството и да видите сами.
Пример 9
Построете повърхнина и намерете нейната проекция върху равнината
Нека пренапишем уравнението във формата 
от което следва, че "х" взема всякаквизначения. Нека фиксираме и изобразим в равнината кръг– с център в началото, единичен радиус. Тъй като "x" непрекъснато приема всичкостойности, тогава конструираният кръг генерира кръгъл цилиндър с ос на симетрия. Начертайте друг кръг ( ръководствоцилиндър) и внимателно ги свържете с прави линии ( формиранецилиндър). На някои места имаше припокривания, но какво да се прави, такъв наклон: 
Този път се ограничих до парче от цилиндър в пролуката и това не е случайно. На практика често е необходимо да се изобрази само малък фрагмент от повърхността.
Тук, между другото, има 6 генератора - две допълнителни прави линии "покриват" повърхността от горния ляв и долния десен ъгъл.
Сега нека да разгледаме проекцията на цилиндър върху равнина. Много читатели разбират какво е проекция, но въпреки това нека проведем още едно петминутно физическо упражнение. Моля, застанете и наведете глава над рисунката, така че точката на оста да сочи перпендикулярно на челото ви. Това, което изглежда един цилиндър от този ъгъл, е неговата проекция върху равнина. Но изглежда като безкрайна ивица, затворена между прави линии, включително самите прави линии. Тази проекция е точно така домейнфункции (горен “улей” на цилиндъра), (долен “улей”).
Между другото, нека изясним ситуацията с проекциите върху други координатни равнини. Нека слънчевите лъчи огряват цилиндъра от върха и по оста. Сянката (проекцията) на цилиндър върху равнина е подобна безкрайна ивица - част от равнината, ограничена от прави линии (- всякакви), включително самите прави линии.
Но проекцията върху равнината е малко по-различна. Ако погледнете цилиндъра от върха на оста, тогава той ще бъде проектиран в кръг с единичен радиус 
, с което започнахме строителството.
Пример 10
Построете повърхнина и намерете нейните проекции върху координатни равнини
Това е задача, която трябва да решите сами. Ако условието не е много ясно, повдигнете двете страни на квадрат и анализирайте резултата; разберете коя част от цилиндъра е определена от функцията. Използвайте многократно използваната по-горе строителна техника. Кратко решение, чертеж и коментари в края на урока.
Елиптични и други цилиндрични повърхности могат да бъдат изместени спрямо координатните оси, например:
(по познати мотиви на статията за Редове от 2-ри ред)
– цилиндър с единичен радиус с линия на симетрия, минаваща през точка, успоредна на оста. На практика обаче такива цилиндри се срещат доста рядко и е абсолютно невероятно да срещнете цилиндрична повърхност, която е „наклонена“ спрямо координатните оси.
Параболични цилиндри
Както подсказва името, ръководствотакъв цилиндър е парабола.
Пример 11
Построете повърхнина и намерете нейните проекции върху координатни равнини.
Не можах да устоя на този пример =)
Решение: Да вървим по утъпкания път. Нека пренапишем уравнението във формата, от която следва, че "zet" може да приеме всякаква стойност. Нека фиксираме и построим обикновена парабола на равнината, като предварително маркираме тривиалните референтни точки. Тъй като "Z" приема всичкостойности, тогава конструираната парабола непрекъснато се „възпроизвежда“ нагоре и надолу до безкрайност. Полагаме същата парабола, да речем, на височина (в равнината) и внимателно ги свързваме с успоредни прави линии ( оформяне на цилиндъра): 
Напомням ви полезна техника: ако първоначално не сте сигурни в качеството на рисунката, тогава е по-добре първо да нарисувате линиите много тънко с молив. След това оценяваме качеството на скицата, откриваме областите, където повърхността е скрита от очите ни, и едва след това прилагаме натиск върху стилуса.
Проекции.
1) Проекцията на цилиндър върху равнина е парабола. Трябва да се отбележи, че в този случай не може да се говори за област на дефиниране на функция на две променливи– поради причината, че уравнението на цилиндъра не се свежда до функционална форма.
2) Проекцията на цилиндър върху равнина е полуравнина, включително оста
3) И накрая, проекцията на цилиндъра върху равнината е цялата равнина.
Пример 12
Конструирайте параболични цилиндри:
а) ограничете се до фрагмент от повърхността в близкото полупространство;
б) в интервала
В случай на трудности не бързаме и разсъждаваме по аналогия с предишни примери; за щастие технологията е старателно разработена. Не е критично, ако повърхностите се окажат малко тромави - важно е правилно да се покаже основната картина. Аз самият не се притеснявам много от красотата на линиите; ако получа приемлива рисунка с оценка C, обикновено не я преправям. Между другото, примерният разтвор използва друга техника за подобряване на качеството на чертежа ;-)
Хиперболични цилиндри
Ръководстватакива цилиндри са хиперболи. Този тип повърхност, според моите наблюдения, е много по-рядко срещан от предишните типове, така че ще се огранича до един схематичен чертеж на хиперболичен цилиндър: 
Принципът на разсъждение тук е абсолютно същият - обичайният училищна хиперболаот равнината непрекъснато се „умножава“ нагоре и надолу до безкрайност.
Разглежданите цилиндри спадат към т.нар Повърхности от 2-ри ред, а сега ще продължим да се запознаваме с други представители на тази група:
Елипсоид. Сфера и топка
Каноничното уравнение на елипсоид в правоъгълна координатна система има формата 
, където са положителни числа ( полуоскиелипсоид), което в общия случай различен. Елипсоидът се нарича повърхност, така тяло, ограничена от дадена повърхност. Тялото, както мнозина предполагат, се определя от неравенството 
и координатите на всяка вътрешна точка (както и всяка повърхностна точка) задължително удовлетворяват това неравенство. Дизайнът е симетричен по отношение на координатните оси и координатните равнини: 
Произходът на термина „елипсоид“ също е очевиден: ако повърхността е „разрязана“ от координатни равнини, тогава сеченията ще доведат до три различни (в общия случай)
