Опция 1. при
1. Графика на функция y=f(х) показано на фигурата.
Посочете най-голямата стойност на тази функция 1
на сегмента [ а; b]. А 0 1 b x
1) 2,5; 2) 3; 3) 4; 4) 2.
https://pandia.ru/text/78/524/images/image003_127.gif" width="242" height="133 src="> 1) -4; 2) -2; 3) 4; 4) 2.
4. Функции y=f(х) зададен на сегмента [ а; b]. при
Фигурата показва графика на неговата производна
y=f ´(х). Изследвайте за крайности 1 b
функция y=f(х). Моля, посочете количеството в отговора си. а 0 1 x
минимум точки.
1) 6; 2) 7; 3) 4;
5. Намерете най-голямата стойност на функция y \u003d -2x2 + 8x -7.
1) -2; 2) 7; 3) 1;
6. Намерете най-малката стойност на функция 
на сегмента .
1) https://pandia.ru/text/78/524/images/image005_87.gif" width="17" height="48 src=">.
7. Намерете най-малката стойност на функция y=|2x+3| - .
1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image006_79.gif" width="17" height="47"> ; 4) - .
https://pandia.ru/text/78/524/images/image009_67.gif" width="144" height="33 src="> има минимум в точката xo=1,5?
1) 5; 2) -6; 3) 4; 4) 6.при
9. Посочете най-голямата стойност на функцията y=f(х) ,
1 x
0 1
1) 2,5; 2) 3; 3) -3;
y=lg(100 – х2 ).
1) 10 ; 2) 100 ; 3) 2 ; 4) 1 .
11. Намерете най-малката стойност на функция y=2грях-1.
1) -1 ; 2) -3 ; 3) -2 ; 4) - .
Тест 14 Най-голямата (най-малката) стойност на функцията.
https://pandia.ru/text/78/524/images/image013_44.gif" width="130" height="115 src=">1. Графика на функцията y=f(х) показано на фигурата.
Посочете най-малката стойност на тази функция 1
на сегмента [ а; b]. А b
0 1 х
1) 0; 2) - 4 ,5; 3) -2; 4) - 3.
 |
2. при Фигурата показва графика на функцията y=f(х).
Колко максимални точки има функцията?
1
0 1 x 1) 5; 2) 6; 3) 4; 4) 1.
3. В кой момент е функцията y \u003d 2x2 + 24x -25приема най-малка стойност?
https://pandia.ru/text/78/524/images/image018_37.gif" width="76" height="48"> на сегмента [-3;-1].
1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image020_37.gif" width="17" height="47 src=">; 2); 4) - 5.
https://pandia.ru/text/78/524/images/image022_35.gif" width="135" height="33 src="> има минимум в точката xo = -2?
; 2) -6;; 4) 6.при
9. Посочете най-малката стойност на функцията y=f(х) ,
чиято графика е показана на фигурата. 1 x
0 1
1) -1,5; 2) -1; 3) -3;
10. Намерете най-голямата стойност на функция y=дневник11 (121 – х2 ).
1) 11;; 3) 1;
11. Намерете най-голямата стойност на функция y=2cos+3.
1) 5 ; 2) 3 ; 3) 2 ; 4) .
Отговори :
С тази услуга можете намиране на най-голямата и най-малката стойност на функцияедна променлива f(x) с дизайна на решението в Word. Следователно, ако е дадена функцията f(x,y), е необходимо да се намери екстремумът на функцията на две променливи. Можете също така да намерите интервалите на увеличаване и намаляване на функцията.
Правила за въвеждане на функция:
Необходимо условие за екстремум на функция на една променлива
Уравнението f "0 (x *) \u003d 0 е необходимо условие за екстремума на функция на една променлива, т.е. в точката x * първата производна на функцията трябва да изчезне. То избира стационарни точки x c, в които функцията не се увеличава и не намалява.Достатъчно условие за екстремум на функция на една променлива
Нека f 0 (x) е два пъти диференцируем по отношение на x, принадлежащ на множеството D . Ако в точката x * е изпълнено условието:F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0
Тогава точката x * е точката на локалния (глобален) минимум на функцията.
Ако в точката x * е изпълнено условието:
F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0
Тази точка x * е локален (глобален) максимум.
Пример #1. Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията: на сегмента.
Решение. 
Критичната точка е 1 x 1 = 2 (f'(x)=0). Тази точка принадлежи на сегмента. (Точката x=0 не е критична, тъй като 0∉).
Изчисляваме стойностите на функцията в краищата на сегмента и в критичната точка.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2, f(3)=3 8 / 81
Отговор: f min = 5 / 2 за x=2; f max =9 при x=1
Пример #2. Използвайки производни от по-висок порядък, намерете екстремума на функцията y=x-2sin(x) .
Решение.
Намерете производната на функцията: y’=1-2cos(x) . Нека намерим критичните точки: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Намираме y''=2sin(x), изчисляваме, така че x= π / 3 +2πk, k∈Z са минималните точки на функцията; 
, така че x=- π / 3 +2πk, k∈Z са максималните точки на функцията.
Пример #3. Изследвайте функцията екстремум в околността на точката x=0.
Решение. Тук е необходимо да се намерят екстремумите на функцията. Ако екстремумът x=0, тогава разберете неговия тип (минимум или максимум). Ако сред намерените точки няма x = 0, тогава се изчислява стойността на функцията f(x=0).
Трябва да се отбележи, че когато производната от всяка страна на дадена точка не променя знака си, възможните ситуации не са изчерпани дори за диференцируеми функции: може да се случи, че за произволно малък квартал от едната страна на точката x 0 или от двете страни производната променя знака. В тези точки трябва да се прилагат други методи за екстремно изследване на функциите.
Пример #4. Разделете числото 49 на два члена, чийто продукт ще бъде най-големият.
Решение. Нека х е първият член. Тогава (49-x) е вторият член.
Продуктът ще бъде максимален: x (49-x) → макс
В задача B14 от изпита по математика трябва да намерите най-малката или най-голямата стойност на функция на една променлива. Това е доста тривиална задача от математическия анализ и поради тази причина всеки абитуриент може и трябва да се научи как да я решава нормално. Нека анализираме няколко примера, които учениците решиха на диагностичната работа по математика, която се проведе в Москва на 7 декември 2011 г.
В зависимост от интервала, на който се изисква да се намери максималната или минималната стойност на функцията, за решаване на този проблем се използва един от следните стандартни алгоритми.
I. Алгоритъм за намиране на най-голямата или най-малката стойност на функция върху сегмент:
- Намерете производната на функция.
- Изберете от точките, за които се подозира екстремум, тези, които принадлежат на даден сегмент и област на функцията.
- Изчислете стойности функции(не производно!) в тези точки.
- Сред получените стойности изберете най-голямата или най-малката, тя ще бъде желаната.
Пример 1Намерете най-малката стойност на функция
г = х 3 – 18х 2 + 81х+ 23 на сегмента.
Решение:действаме според алгоритъма за намиране на най-малката стойност на функция на сегмент:
- Обхватът на функцията не е ограничен: D(y) = Р.
- Производната на функцията е: да = 3х 2 – 36х+ 81. Обхватът на производната на функция също не е ограничен: D(y') = Р.
- Нули на производната: да = 3х 2 – 36х+ 81 = 0, така че х 2 – 12х+ 27 = 0, откъдето х= 3 и х= 9, нашият интервал включва само х= 9 (една точка съмнителна за екстремум).
- Намираме стойността на функцията в точка, подозрителна за екстремум, и в краищата на интервала. За удобство на изчисленията представяме функцията във формата: г = х 3 – 18х 2 + 81х + 23 = х(х-9) 2 +23:
- г(8) \u003d 8 (8-9) 2 +23 \u003d 31;
- г(9) = 9 (9-9) 2 +23 = 23;
- г(13) = 13 (13-9) 2 +23 = 231.
И така, от получените стойности най-малката е 23. Отговор: 23.
II. Алгоритъмът за намиране на най-голямата или най-малката стойност на функция:
- Намерете обхвата на функцията.
- Намерете производната на функция.
- Определете точките, които са подозрителни за екстремум (тези точки, в които производната на функцията изчезва, и точките, в които няма двустранна крайна производна).
- Отбележете тези точки и областта на функцията върху числовата ос и определете знаците производна(не функции!) върху получените интервали.
- Определете стойности функции(не производна!) в минималните точки (тези точки, в които знакът на производната се променя от минус на плюс), най-малката от тези стойности ще бъде най-малката стойност на функцията. Ако няма минимални точки, тогава функцията няма минимална стойност.
- Определете стойности функции(не производна!) в максималните точки (тези точки, в които знакът на производната се променя от плюс на минус), най-голямата от тези стойности ще бъде най-голямата стойност на функцията. Ако няма максимални точки, тогава функцията няма максимална стойност.
Пример 2Намерете най-голямата стойност на функцията.
Най-голямата стойност на функцията се нарича най-голямата, най-малката стойност е най-малката от всички нейни стойности.
Една функция може да има само една най-голяма и само една най-малка стойност или може да няма никаква. Намирането на най-големите и най-малките стойности на непрекъснати функции се основава на следните свойства на тези функции:
1) Ако в някакъв интервал (краен или безкраен) функцията y=f(x) е непрекъсната и има само един екстремум и ако това е максимумът (минимумът), то това ще бъде най-голямата (най-малката) стойност на функцията в този интервал.
2) Ако функцията f(x) е непрекъсната на някакъв сегмент, тогава тя задължително има най-големите и най-малките стойности на този сегмент. Тези стойности се достигат или в екстремните точки, разположени вътре в сегмента, или в границите на този сегмент.
За да намерите най-големите и най-малките стойности на сегмента, се препоръчва да използвате следната схема:
1. Намерете производната.
2. Намерете критичните точки на функцията, където =0 или не съществува.
3. Намерете стойностите на функцията в критични точки и в краищата на сегмента и изберете от тях най-голямото f max и най-малкото f min.
При решаването на приложни проблеми, по-специално оптимизационни проблеми, са важни проблемите за намиране на най-големите и най-малките стойности (глобален максимум и глобален минимум) на функция в интервала X. За решаването на такива проблеми трябва да се основава на условието , изберете независима променлива и изразете изследваната стойност чрез променлива. След това намерете желаната максимална или минимална стойност на получената функция. В този случай интервалът на промяна на независимата променлива, който може да бъде краен или безкраен, също се определя от условието на задачата.
Пример.Резервоарът, който има формата на правоъгълен паралелепипед с квадратно дъно, отворен отгоре, трябва да бъде калайдисан отвътре с калай. Какви трябва да са размерите на резервоара с вместимост 108 литра. вода, така че цената на калайдисването й да е най-малка?
Решение.Разходите за покриване на резервоара с калай ще бъдат най-ниски, ако за даден капацитет неговата повърхност е минимална. Означаваме с a dm - страната на основата, b dm - височината на резервоара. Тогава площта S на неговата повърхност е равна на
И 
Получената връзка установява връзката между повърхността на резервоара S (функция) и страната на основата a (аргумент). Изследваме функцията S за екстремум. Намерете първата производна, приравнете я на нула и решете полученото уравнение:
Следователно a = 6. (a) > 0 за a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.
Пример. Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция 
между.
Решение: Посочената функция е непрекъсната по цялата числова ос. Производна на функция
Производна при и при . Нека изчислим стойностите на функцията в тези точки:
.
Стойностите на функцията в краищата на дадения интервал са равни на . Следователно най-голямата стойност на функцията е при , най-малката стойност на функцията е при .
Въпроси за самопроверка
1. Формулирайте правилото на L'Hopital за разкриване на несигурности на формата . Избройте различните видове несигурности, за които може да се използва правилото на L'Hospital.
2. Формулирайте признаци на нарастваща и намаляваща функция.
3. Дефинирайте максимума и минимума на функция.
4. Формулирайте необходимото условие за съществуването на екстремум.
5. Какви стойности на аргумента (какви точки) се наричат критични? Как да намерите тези точки?
6. Кои са достатъчни признаци за съществуването на екстремум на функция? Очертайте схема за изследване на функция за екстремум, използвайки първата производна.
7. Очертайте схемата за изследване на функцията за екстремум с помощта на втората производна.
8. Определете изпъкналост, вдлъбнатост на крива.
9. Каква е инфлексната точка на графиката на функция? Посочете как да намерите тези точки.
10. Формулирайте необходимите и достатъчни признаци за изпъкналост и вдлъбнатост на кривата върху даден сегмент.
11. Дефинирайте асимптотата на кривата. Как да намеря вертикалната, хоризонталната и наклонената асимптота на графика на функция?
12. Очертайте общата схема за изследване на функция и построяване на нейната графика.
13. Формулирайте правило за намиране на най-големите и най-малките стойности на функция на даден сегмент.
И за да го решите, имате нужда от минимални познания по темата. Следващата учебна година приключва, всички искат да отидат на почивка и за да доближа този момент, веднага се заемам с работата:
Да започнем с района. Посочената в условието площ е ограничен затворен набор от точки в равнината. Например набор от точки, ограничени от триъгълник, включително ЦЕЛИЯ триъгълник (ако от граници„Изкарайте“ поне една точка, тогава зоната вече няма да бъде затворена). На практика има и области с правоъгълна, кръгла и малко по-сложна форма. Трябва да се отбележи, че в теорията на математическия анализ се дават строги определения ограничения, изолация, граници и др., но мисля, че всеки е наясно с тези концепции на интуитивно ниво и сега не е необходимо повече.
Плоската площ стандартно се обозначава с буквата и като правило се дава аналитично - чрез няколко уравнения (не непременно линеен); по-рядко неравенства. Типичен словесен оборот: "затворена зона, ограничена от линии".
Неразделна част от разглежданата задача е изграждането на площта върху чертежа. Как да го направим? Необходимо е да начертаете всички изброени линии (в случая 3 прав) и анализирайте случилото се. Желаната област обикновено е леко щрихована и нейната граница е подчертана с удебелена линия: 
Същата област може да бъде зададена линейни неравенства: , които по някаква причина по-често се пишат като списък с изброяване, а не система.
Тъй като границата принадлежи на региона, тогава всички неравенства, разбира се, нестроги.
И сега същината на въпроса. Представете си, че оста върви право към вас от началото на координатите. Помислете за функция, която непрекъснато във всекиобластна точка. Графиката на тази функция е повърхност, а малкото щастие е, че за да решим днешния проблем, изобщо не е нужно да знаем как изглежда тази повърхност. Може да се намира отгоре, отдолу, да пресича равнината - всичко това не е важно. А важно е следното: съгл Теореми на Вайерщрас, непрекъснато V ограничено затворенплощ, функцията достига своя максимум (от "най-високите")и най-малко (от "най-ниските")стойности, които трябва да бъдат намерени. Тези стойности са постигнати или V стационарни точки, принадлежащи към регионад , илив точки, които лежат на границата на този регион. От което следва прост и прозрачен алгоритъм за решение:
Пример 1
В ограничено затворено пространство
Решение: Първо, трябва да изобразите областта на чертежа. За съжаление, за мен е технически трудно да направя интерактивен модел на проблема и затова веднага ще дам окончателната илюстрация, която показва всички „подозрителни“ точки, открити по време на проучването. Обикновено те се записват един след друг, когато бъдат намерени: 
Въз основа на преамбюла решението може удобно да се раздели на две точки:
I) Да намерим неподвижни точки. Това е стандартно действие, което многократно сме изпълнявали в урока. за екстремуми на няколко променливи:
Намерена неподвижна точка принадлежиобласти: (маркирайте го на чертежа), което означава, че трябва да изчислим стойността на функцията в дадена точка:
- както е в статията Най-голямата и най-малката стойност на функция в сегмент, ще маркирам важните резултати с удебелен шрифт. В тетрадка е удобно да ги кръжите с молив.
Обърнете внимание на второто ни щастие - няма смисъл да проверявате достатъчно условие за екстремум. Защо? Дори ако в точката функцията достигне, напр. местен минимум, то това НЕ ОЗНАЧАВА, че получената стойност ще бъде минималенв целия регион (вижте началото на урока за безусловните крайности) .
Ами ако стационарната точка НЕ принадлежи на областта? Почти нищо! Трябва да се отбележи, че и да преминете към следващия параграф.
II) Проучваме границата на региона.
Тъй като границата се състои от страни на триъгълник, е удобно изследването да се раздели на 3 подпараграфа. Но е по-добре да не го правите така или иначе. От моя гледна точка в началото е по-изгодно да се разглеждат сегменти, успоредни на координатните оси, и на първо място тези, които лежат на самите оси. За да уловите цялата последователност и логика на действията, опитайте се да изучите края "на един дъх":
1) Нека се заемем с долната страна на триъгълника. За да направим това, заместваме директно във функцията:
Като алтернатива можете да го направите по следния начин: 
Геометрично това означава, че координатната равнина (което също е дадено от уравнението)"изрязан" от повърхности"пространствена" парабола, чийто връх веднага попада под съмнение. Нека разберем къде е тя:
- получената стойност "удари" в зоната и може да се окаже, че в точката (маркирайте на чертежа)функцията достига най-голямата или най-малката стойност в цялата област. Както и да е, нека направим изчисленията:
Други "кандидати" са, разбира се, края на сегмента. Изчислете стойностите на функцията в точки 
(маркирайте на чертежа):
Тук, между другото, можете да извършите устна мини-проверка на „съкратената“ версия: 
2) За да изучим дясната страна на триъгълника, ние я заместваме във функцията и „подреждаме нещата там“:
Тук веднага извършваме груба проверка, „звънейки“ на вече обработения край на сегмента:
, Страхотен.
Геометричната ситуация е свързана с предходната точка:
- получената стойност също „влезе в обхвата на нашите интереси“, което означава, че трябва да изчислим на какво е равна функцията в появилата се точка:
Нека разгледаме втория край на сегмента:
Използване на функцията 
, да проверим: 
3) Вероятно всеки знае как да изследва останалата страна. Заместваме във функцията и извършваме опростявания:
Редът свършва 
вече са проучени, но в черновата все още проверяваме дали сме намерили функцията правилно 
:
– съвпадна с резултата от алинея 1;
– съвпадна с резултата от 2-ра алинея.
Остава да разберем дали има нещо интересно вътре в сегмента:
- Има! Замествайки права линия в уравнението, получаваме ординатата на тази „интересност“:
Маркираме точка на чертежа и намираме съответната стойност на функцията:
Нека контролираме изчисленията според "бюджетната" версия 
:
, поръчка.
И последната стъпка: ВНИМАТЕЛНО прегледайте всички "тлъсти" числа, препоръчвам дори на начинаещите да направят един списък: 
от които избираме най-голямата и най-малката стойност. Отговорпишете в стила на задачата за намиране най-голямата и най-малката стойност на функцията на интервала:
За всеки случай още веднъж ще коментирам геометричния смисъл на резултата:
– тук е най-високата точка на повърхността в района;
- тук е най-ниската точка на повърхността в района.
В анализирания проблем открихме 7 „съмнителни“ точки, но техният брой варира от задача до задача. За триъгълен регион минималният "набор за изследване" се състои от три точки. Това се случва, когато функцията например се задава самолет- съвсем ясно е, че няма стационарни точки и функцията може да достигне максималните / минималните стойности само във върховете на триъгълника. Но няма такива примери веднъж, два пъти - обикновено трябва да се справите с някакъв вид повърхност от 2-ри ред.
Ако решите малко такива задачи, тогава триъгълниците могат да ви замаят главата и затова съм подготвил необичайни примери за вас, за да го направите квадрат :))
Пример 2
Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция 
в затворена зона, ограничена с линии
Пример 3
Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция в ограничена затворена област.
Обърнете специално внимание на рационалния ред и техника на изследване на границата на района, както и на веригата от междинни проверки, които почти напълно ще избегнат изчислителните грешки. Най-общо казано, можете да го решите както искате, но в някои проблеми, например в същия Пример 2, има всички шансове значително да усложните живота си. Приблизителен пример за завършване на задачи в края на урока.
Ние систематизираме алгоритъма за решение, в противен случай, с моето старание на паяк, той някак си се загуби в дълга нишка от коментари на първия пример:
- На първата стъпка изграждаме зона, желателно е да я засенчваме и подчертаваме границата с дебела линия. По време на решението ще се появят точки, които трябва да бъдат поставени върху чертежа.
– Намерете стационарни точки и изчислете стойностите на функцията само в тези, които принадлежат към местността . Получените стойности са маркирани в текста (например оградени с молив). Ако стационарната точка НЕ принадлежи към областта, тогава отбелязваме този факт с икона или устно. Ако изобщо няма стационарни точки, тогава правим писмено заключение, че те липсват. Във всеки случай този елемент не може да бъде пропуснат!
– Проучване на граничната зона. Първо, изгодно е да се работи с прави линии, които са успоредни на координатните оси (ако има такива). Стойностите на функциите, изчислени в "подозрителни" точки, също са подчертани. По-горе беше казано много за техниката на решаване, а по-долу ще бъде казано още нещо - четете, препрочитайте, задълбавайте!
- От избраните числа изберете най-големите и най-малките стойности и дайте отговор. Понякога се случва функцията да достигне такива стойности в няколко точки наведнъж - в този случай всички тези точки трябва да бъдат отразени в отговора. нека например 
и се оказа, че това е най-малката стойност. Тогава пишем това
Последните примери са посветени на други полезни идеи, които ще бъдат полезни на практика:
Пример 4
Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция в затворена област 
.
Запазил съм формулировката на автора, в която площта е дадена като двойно неравенство. Това условие може да бъде написано в еквивалентна система или в по-традиционна форма за този проблем: 
Напомням ви, че с нелинейнисрещнахме неравенства на и ако не разбирате геометричния смисъл на записа, моля, не отлагайте и изяснете ситуацията точно сега ;-)
Решение, както винаги, започва с изграждането на зоната, която е един вид "подметка": 
Хм, понякога трябва да гризете не само гранита на науката ....
I) Намерете стационарни точки: 
Системата на мечтите на идиота :) 
Стационарната точка принадлежи на региона, а именно лежи на неговата граница.
И така, нищо ... забавният урок мина - това означава да пиете правилния чай =)
II) Проучваме границата на региона. Без повече шум, нека започнем с оста x:
1) Ако , тогава
Намерете къде е върхът на параболата:
– Ценете такива моменти – „улучвайте“ право в точката, от която вече всичко е ясно. Но не забравяйте да проверите: 
Нека изчислим стойностите на функцията в краищата на сегмента: 
2) Ще се справим с долната част на „подметката“ „на едно заседание“ - без никакви комплекси я заместваме във функцията, освен това ще се интересуваме само от сегмента:
Контрол:
Сега това вече внася известно съживяване в монотонното каране по назъбена писта. Нека намерим критичните точки:
Ние решаваме квадратно уравнениепомниш ли този ... Въпреки това, не забравяйте, разбира се, в противен случай няма да прочетете тези редове =) Ако в двата предишни примера изчисленията в десетични дроби бяха удобни (което, между другото, е рядкост), тогава тук чакаме обичайното обикновени дроби. Намираме корените "x" и, използвайки уравнението, определяме съответните координати на "играта" на точките "кандидат": 
Нека изчислим стойностите на функцията в намерените точки: 
Проверете сами функцията.
Сега внимателно проучваме спечелените трофеи и ги записваме отговор:
Ето ги "кандидатите", значи "кандидатите"!
За самостоятелно решение:
Пример 5
Намерете най-малката и най-голямата стойност на функция 
в затворена зона 
Запис с къдрави скоби гласи така: „набор от точки, такива че“.
Понякога в такива примери те използват Метод на умножителя на Лагранж, но едва ли ще възникне реална нужда от използването му. Така например, ако е дадена функция със същата област "de", след заместване в нея - с производна без затруднения; освен това всичко е съставено в „един ред“ (със знаци), без да е необходимо да се разглеждат отделно горните и долните полукръгове. Но, разбира се, има и по-сложни случаи, където без функцията на Лагранж (където , например, е същото кръгово уравнение)трудно е да минеш - колко трудно е да минеш без добра почивка!
Всичко най-добро за преминаване на сесията и до скоро следващия сезон!
Решения и отговори:
Пример 2: Решение: начертайте областта на чертежа:
