Ще анализираме два вида системи за решаване на уравнения:

1. Решение на системата чрез метода на заместване.
2. Решение на системата чрез почленно събиране (изваждане) на уравненията на системата.

За да се реши системата от уравнения метод на заместванетрябва да следвате прост алгоритъм:
1. Изразяваме. От всяко уравнение ние изразяваме една променлива.
2. Заместник. Заместваме получената стойност в друго уравнение вместо изразената променлива.
3. Решаваме полученото уравнение с една променлива. Ние намираме решение на системата.

Разрешавам система чрез почленно събиране (изваждане)трябва да:
1. Изберете променлива, за която ще направим същите коефициенти.
2. Събираме или изваждаме уравненията, като в резултат получаваме уравнение с една променлива.
3. Решаваме полученото линейно уравнение. Ние намираме решение на системата.

Решението на системата са пресечните точки на графиките на функцията.

Нека разгледаме подробно решението на системите, използвайки примери.

Пример #1:

Нека решим по метода на заместването

Решаване на системата от уравнения чрез метода на заместване

2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2-ро уравнение)

1. Експрес
Вижда се, че във второто уравнение има променлива x с коефициент 1, следователно се оказва, че най-лесно е да изразим променливата x от второто уравнение.
x=3+10y

2. След като изразим, заместваме 3 + 10y в първото уравнение вместо променливата x.
2(3+10y)+5y=1

3. Решаваме полученото уравнение с една променлива.
2(3+10y)+5y=1 (отворени скоби)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Решението на системата от уравнения са пресечните точки на графиките, следователно трябва да намерим x и y, тъй като пресечната точка се състои от x и y. Нека намерим x, в първия параграф, където изразихме, заместваме y там.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Обичайно е да пишем точки на първо място, пишем променливата x, а на второ място променливата y.
Отговор: (1; -0,2)

Пример #2:

Нека решим чрез събиране (изваждане) член по член.

Решаване на система от уравнения по метода на събиране

3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2-ро уравнение)

1. Изберете променлива, да кажем, че изберем x. В първото уравнение променливата x има коефициент 3, във второто - 2. Трябва да направим коефициентите еднакви, за това имаме право да умножаваме уравненията или да разделяме на произволно число. Умножаваме първото уравнение по 2, а второто по 3 и получаваме общ коефициент 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. От първото уравнение извадете второто, за да се отървете от променливата x. Решете линейното уравнение.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Намерете x. Заместваме намереното у във всяко от уравненията, да кажем в първото уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
х=4,6

Точката на пресичане ще бъде x=4.6; y=6,4
Отговор: (4,6; 6,4)

Искате ли да се подготвите за изпити безплатно? Учител онлайн безплатно. Без майтап.

Уравнениетое равенство, в което има една или повече променливи.
Ще разгледаме случая, когато в уравнението има една променлива, тоест едно неизвестно число. По същество уравнението е вид математически модел. Следователно, на първо място, имаме нужда от уравнения за решаване на проблеми.

Нека си припомним как се съставя математически модел за решаване на задача.
Например в новия академична годинаУдвоен е броят на учениците в училище No5. След преместването на 20 ученици в друго училище, в училище No5 започват да се обучават общо 720 ученици. Колко ученици имаше миналата година?

Трябва да изразим казаното в условието на математически език. Нека броят на учениците миналата година е X. Тогава, според условието на проблема,
2X - 20 = 720. Имаме математически модел, който е уравнение с една променлива. По-точно, това е уравнение от първа степен с една променлива. Остава да открием корена му.

Какъв е коренът на уравнението?

Стойността на променливата, при която нашето уравнение се превръща в истинско равенство, се нарича корен на уравнението. Има уравнения, които имат много корени. Например в уравнението 2*X = (5-3)*X всяка стойност на X е корен. И уравнението X \u003d X + 5 изобщо няма корени, тъй като без значение какво заместваме стойността на X, няма да получим правилното равенство. Решаването на уравнение означава намиране на всичките му корени или определяне, че то няма корени. За да отговорим на нашия въпрос, трябва да решим уравнението 2X - 20 = 720.

Как се решават уравнения с една променлива?

Първо, нека напишем някои основни дефиниции. Всяко уравнение има дясна и лява страна. В нашия случай (2X - 20) е лявата страна на уравнението (то е отляво на знака за равенство), а 720 е дясната страна на уравнението. Членовете на дясната и лявата страна на уравнението се наричат членове на уравнението. Нашите членове в уравнението са 2X, -20 и 720.

Да кажем веднага за 2 свойства на уравненията:

Всеки член на уравнението може да бъде прехвърлен от дясната страна на уравнението в лявата и обратно. В този случай е необходимо да промените знака на този член на уравнението на противоположния. Това означава, че записи като 2X - 20 = 720, 2X - 20 - 720 = 0, 2X = 720 + 20, -20 = 720 - 2X са еквивалентни.
И двете страни на уравнението могат да бъдат умножени или разделени на едно и също число. Това число не трябва да е нула. Това означава, че записи като 2X - 20 = 720, 5*(2X - 20) = 720*5, (2X - 20):2 = 720:2 също са еквивалентни.

Нека използваме тези свойства, за да решим нашето уравнение.

Нека преместим -20 надясно с противоположния знак. Получаваме:

2X = 720 + 20. Нека добавим това, което имаме от дясната страна. Получаваме, че 2X = 740.

Сега разделете лявата и дясната страна на уравнението на 2.

2X:2 = 740:2 или X = 370. Намерихме корена на нашето уравнение и в същото време намерихме отговора на нашия проблем. Миналата година в училище No5 учеха 370 ученици.

Нека проверим дали нашият корен наистина превръща уравнението в истинско равенство. Нека заменим X с числото 370 в уравнението 2X - 20 = 720.

2*370-20 = 720.

Добре.

И така, за да се реши уравнение с една променлива, то трябва да се сведе до така нареченото линейно уравнение под формата ax \u003d b, където a и b са някои числа. След това разделете лявата и дясната част на числото a. Получаваме, че x = b:a.

Какво означава да приведем уравнение към линейно уравнение?

Помислете за това уравнение:

5X - 2X + 10 = 59 - 7X + 3X.

Това също е уравнение с една неизвестна променлива X. Нашата задача е да доведем това уравнение до формата ax = b.

За да направим това, първо събираме всички членове, които имат X като фактор от лявата страна на уравнението, а останалите членове от дясната страна. Термини, които имат една и съща буква като фактор, се наричат подобни термини.

5X - 2X + 7X - 3X = 59 - 10.

Съгласно разпределителното свойство на умножението, можем да извадим същия фактор извън скоби и да добавим коефициентите (множители за променливата x). Този процес се нарича още редуциране на подобни термини.

X(5-2+7-3) = 49.

7X = 49. Редуцирахме уравнението до формата ax = b, където a = 7, b = 49.

И както писахме по-горе, коренът на уравнението на формата ax \u003d b ще бъде x \u003d b: a.

Това е X = 49:7 = 7.

Алгоритъм за намиране на корените на уравнение с една променлива.

Съберете подобни членове от лявата страна на уравнението, останалите членове от дясната страна на уравнението.
Донесете подобни условия.
Приведете уравнението до формата ax = b.
Намерете корени по формулата x = b:a.

Забележка. В тази статия не разгледахме случаите, когато променливата е повдигната на произволна степен. С други думи, разгледахме уравнения от първа степен с една променлива.

Уравнения

Как се решават уравнения?

В този раздел ще си припомним (или ще изучим - както кой иска) най-елементарните уравнения. И така, какво е уравнение? Говорейки по човешки, това е някакъв вид математически израз, където има знак за равенство и неизвестно. Което обикновено се обозначава с буквата "Х". реши уравнениетое да намерите такива x-стойности, които при заместване в оригиналенизраз, ще ни даде правилната идентичност. Позволете ми да ви напомня, че идентичността е израз, който не предизвиква съмнения дори за човек, който абсолютно не е обременен с математически знания. Като 2=2, 0=0, ab=ab и т.н. И така, как решавате уравнения?Нека да го разберем.

Има всякакви уравнения (изненадах се, нали?). Но цялото им безкрайно разнообразие може да бъде разделено само на четири вида.

4. друго.)

Всичко останало, разбира се, най-вече, да ...) Това включва кубични, експоненциални, логаритмични, тригонометрични и всякакви други. Ще работим в тясно сътрудничество с тях в съответните раздели.

Веднага трябва да кажа, че понякога уравненията на първите три типа са толкова навити, че не ги разпознавате ... Нищо. Ще се научим как да ги развиваме.

И защо имаме нужда от тези четири вида? И тогава какво линейни уравнениярешен по един начин квадратдруги дробно рационално - третото,А Почивкаизобщо не е решен! Е, не че те изобщо не решават, напразно обидих математиката.) Просто те имат свои собствени специални техники и методи.

Но за всеки (повтарям - за всякакви!) уравнения е надеждна и безпроблемна основа за решаване. Работи навсякъде и винаги. Тази база - Звучи страшно, но работата е много проста. И много (Много!)важно.

Всъщност решението на уравнението се състои от същите тези трансформации. На 99%. Отговор на въпроса: " Как се решават уравнения?" лъжи, точно в тези трансформации. Ясен ли е намекът?)

Тъждествени трансформации на уравнения.

IN всякакви уравненияза да се намери неизвестното, е необходимо да се трансформира и опрости оригиналният пример. Освен това, така че при смяна външен вид същността на уравнението не се е променила.Такива трансформации се наричат идентиченили еквивалентно.

Имайте предвид, че тези трансформации са само за уравненията.В математиката все още има идентични трансформации изрази.Това е друга тема.

Сега ще повторим всички-всички-всички основни идентични трансформации на уравнения.

Основни, защото могат да бъдат приложени към всякаквиуравнения - линейни, квадратни, дробни, тригонометрични, експоненциални, логаритмични и др. и така нататък.

Първо идентично преобразуване: двете страни на всяко уравнение могат да бъдат добавени (извадени) всякакви(но същото!) число или израз (включително израз с неизвестно!). Същността на уравнението не се променя.

Между другото, постоянно си използвал тази трансформация, само си мислел, че прехвърляш някои членове от една част на уравнението в друга с промяна на знака. Тип:

Материята е позната, местим двойката надясно и получаваме:

Всъщност вие отнетот двете страни на уравнението двойка. Резултатът е същият:

х+2 - 2 = 3 - 2

Прехвърлянето на термини наляво-надясно с промяна на знака е просто съкратена версия на първата идентична трансформация. И защо се нуждаем от толкова дълбоки познания? - ти питаш. Нищо в уравненията. Мръдни, за бога. Само не забравяйте да смените знака. Но при неравенствата навикът за пренасяне може да доведе до задънена улица....

Втора трансформация на идентичността: и двете страни на уравнението могат да бъдат умножени (разделени) по едно и също ненулевчисло или израз. Тук вече се появява разбираемо ограничение: глупаво е да се умножава по нула, но изобщо е невъзможно да се дели. Това е трансформацията, която използвате, когато решите нещо готино

разбираемо, х= 2. Но как го намерихте? Избор? Или просто свети? За да не вдигате и чакате прозрение, трябва да разберете, че сте справедливи разделете двете страни на уравнениетос 5. При разделяне на лявата страна (5x), петицата беше намалена, оставяйки чисто X. Което ни трябваше. И когато разделихме дясната страна на (10) на пет, се оказа, разбира се, двойка.

Това е всичко.

Смешно е, но тези две (само две!) еднакви трансформации са в основата на решението всички уравнения на математиката.Как! Има смисъл да разгледаме примери за това какво и как, нали?)

Примери за тъждествени преобразувания на уравнения. Основни проблеми.

Да започнем с първиидентична трансформация. Преместване наляво-надясно.

Пример за най-малките.)

Да кажем, че трябва да решим следното уравнение:

3-2x=5-3x

Да си спомним заклинанието: "с Х - наляво, без Х - надясно!"Това заклинание е инструкция за прилагане на първата трансформация на идентичността.) Какъв е изразът с x вдясно? 3x? Отговорът е грешен! От дясната ни страна - 3x! Минустри х! Следователно, когато се премести наляво, знакът ще се промени на плюс. Вземете:

3-2x+3x=5

И така, X бяха събрани. Нека направим числата. Три отляво. Какъв знак? Отговорът "с нито една" не се приема!) Пред тройката наистина нищо не е нарисувано. И това означава, че пред тройката е плюс.Така че математиците се съгласиха. Нищо не е написано, значи плюс.Следователно тройката ще бъде прехвърлена от дясната страна с минус.Получаваме:

-2x+3x=5-3

Остават празни места. Отляво - дайте подобни, отдясно - пребройте. Отговорът е веднага:

В този пример беше достатъчна една идентична трансформация. Второто не беше необходимо. Ми добре.)

Пример за старейшините.)

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.

В предишните уроци се запознахме с изразите, а също така научихме как да ги опростяваме и изчисляваме. Сега преминаваме към по-трудно и интересно, а именно към уравненията.

Уравнение и неговите корени

Равенството, съдържащо променлива(и), се нарича уравнения. реши уравнението , означава да се намери стойността на променливата, за която равенството ще бъде вярно. Стойността на променливата се извиква коренът на уравнението .

Уравненията могат да имат един корен, няколко или никакъв.

При решаване на уравнения се използват следните свойства:

ако в уравнението прехвърлим члена от една част на уравнението в друга, като същевременно променим знака на противоположния, тогава получаваме уравнение, еквивалентно на даденото.
Ако двете страни на уравнението се умножат или разделят на едно и също число, тогава ще се получи уравнение, еквивалентно на даденото.

Пример #1Кои от числата: -2, -1, 0, 2, 3 са корените на уравнението:

За да решите тази задача, просто трябва последователно да замените всяко от числата вместо променливата x и да изберете онези числа, за които равенството се счита за вярно.

С "x \u003d -2":

\((-2)^2=10-3 \cdot (-2) \)

\ (4 \u003d 4 \) - равенството е вярно, което означава, че (-2) е коренът на нашето уравнение

С "x \u003d -1"

\((-1)^2=10-3 \cdot (-1) \)

\(1=7 \) - равенството е грешно, следователно (-1) не е коренът на уравнението

\(0^2=10-3 \cdot 0 \)

\(0=10 \) - равенството е грешно, така че 0 не е коренът на уравнението

\(2^2=10-3 \cdot 2\)

\ (4 \u003d 4 \) - равенството е вярно, което означава, че 2 е коренът на нашето уравнение

\(3^2=10-3 \cdot 3 \)

\(9=1 \) - равенството е грешно, така че 3 не е коренът на уравнението

Отговор: от представените числа, корените на уравнението \(x^2=10-3x \) са числата -2 и 2.

Линейно уравнение с една променлива са уравнения във формата ax = b, където x е променлива, а a и b са някои числа.

Съществува голям бройвидове уравнения, но решаването на много от тях се свежда до решаване линейни уравнения, така че познаването на тази тема е задължително за по-нататъшно обучение!

Пример #2Решете уравнението: 4(x+7) = 3-x

За да решите това уравнение, първо трябва да се отървете от скобата и за това умножаваме всеки от членовете в скобата по 4, получаваме:

4x + 28 = 3 - x

Сега трябва да прехвърлите всички стойности от "x" от едната страна и всичко останало от другата страна (като не забравяте да промените знака на противоположния), получаваме:

4x + x = 3 - 28

Сега извадете стойността отляво и отдясно:

За да намерите неизвестния фактор (x), трябва да разделите произведението (25) на известния фактор (5):

Отговор x = -5

Ако се съмнявате в отговора, можете да проверите, като заместите получената стойност в нашето уравнение вместо x:

4(-5+7) = 3-(-5)

8 = 8 - уравнението е решено правилно!

Сега да решим нещо по-трудно:

Пример #3Намерете корените на уравнението: \((y+4)-(y-4)=6y \)

Първо, отървете се и от скобите:

Веднага виждаме y и -y от лявата страна, което означава, че те могат просто да бъдат задраскани и получените числа могат просто да бъдат добавени и изразът да бъде записан:

Сега можете да местите стойностите с "y" наляво и стойностите с числа надясно. Но това не е необходимо, защото няма значение от коя страна са променливите, важното е да са без номера, което означава, че няма да прехвърляме нищо. Но за тези, които не разбират, ще направим както казва правилото и ще разделим двете части на (-1), както казва свойството:

За да намерите неизвестния фактор, трябва да разделите продукта на известния фактор:

\(y=\frac(8)(6) = \frac(4)(3) = 1\frac(1)(3) \)

Отговор: y = \(1\frac(1)(3) \)

Можете също да проверите отговора, но го направете сами.

Пример #4\((0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6) \)

Сега аз просто ще реша, без обяснение, а вие ще разгледате напредъка на решението и правилния запис на решението на уравненията:

\((0,5x+1,2)-(3,6-4,5x)=(4,8-0,3x)+(10,5x+0,6) \)

\(0,5x+1,2-3,6+4,5x=4,8-0,3x+10,5x+0,6 \)

\(0,5x+4,5x+0,3x-10,5x=4,8+0,6-1,2+3,6 \)

\(x=\frac(7,8)(-5,2)=\frac(3)(-2) =-1,5 \)

Отговор: x = -1,5

Ако нещо не е ясно по пътя, пишете в коментарите

Решаване на задачи с уравнения

Знаейки какво представляват уравненията и се научавате как да ги изчислявате, вие също отваряте достъп до решаването на много проблеми, при които уравненията се използват за решаване.

Няма да навлизам в теория, по-добре е да покажа всичко наведнъж с примери

Пример #5В кошницата имаше 2 пъти по-малко ябълки, отколкото в кутията. След като 10 ябълки бяха прехвърлени от кошницата в кутията, в кутията имаше 5 пъти повече ябълки, отколкото в кошницата. Колко ябълки имаше в кошницата и колко в кутията?

На първо място, трябва да определим какво ще вземем за "x", в тази задача можем да приемем както кутии, така и кошници, но аз ще взема ябълки в кошница.

И така, нека има x ябълки в кошницата, тъй като имаше два пъти повече ябълки в кутията, тогава приемаме това за 2x. След като ябълките бяха прехвърлени от кошницата в кутията, кошницата с ябълки стана: x - 10, което означава, че в кутията имаше - (2x + 10) ябълки.

Сега можете да направите уравнение:

5(x-10) - в кутията има 5 пъти повече ябълки, отколкото в кошницата.

Приравнете първата стойност и втората:

2x+10 = 5(x-10) и решете:

2x + 10 = 5x - 50

2x - 5x = -50 - 10

x \u003d -60 / -3 \u003d 20 (ябълки) - в кошницата

Сега, като знаем колко ябълки имаше в кошницата, ще намерим колко ябълки имаше в кутията - тъй като имаше два пъти повече, просто умножаваме резултата по 2:

2*20 = 40 (ябълки) - в кутия

Отговор: Има 40 ябълки в кутия и 20 ябълки в кошница.

Разбирам, че много от вас може да не са разбрали напълно как да решават проблеми, но ви уверявам, че ще се върнем към тази тема повече от веднъж в нашите уроци, но засега, ако все още имате въпроси, задайте ги в коментарите.

Накрая още няколко примера за решаване на уравнения

Пример #6\(2x - 0,7x = 0 \)

Пример #7\(3p - 1 -(p+3) = 1 \)

Пример #8\(6y-(y-1) = 4+5y \)

\(6y-y+1=4+5y \)

\(6y-y-5y=4-1\)

\(0y=3 \) - няма корени, защото Не можеш да делиш на нула!

Благодаря на всички за вниманието. Ако нещо не е ясно, попитайте в коментарите.

Javascript е деактивиран във вашия браузър.
ActiveX контролите трябва да са активирани, за да се правят изчисления!

IN училищен курсматематиците изучават формулите на корените на квадратните уравнения, с които можете да решите всякакви квадратни уравнения. Има обаче и други начини за решаване на квадратни уравнения, които ви позволяват да решавате много уравнения много бързо и рационално. Има десет начина за решаване на квадратни уравнения. В работата си анализирах подробно всеки от тях.

1. МЕТОД : Факторизиране на лявата страна на уравнението.

Нека решим уравнението

x 2 + 10x - 24 = 0.

Нека разложим лявата страна на множители:

x 2 + 10x - 24 \u003d x 2 + 12x - 2x - 24 \u003d x (x + 12) - 2 (x + 12) \u003d (x + 12) (x - 2).

Следователно уравнението може да бъде пренаписано като:

(x + 12)(x - 2) = 0

Тъй като продуктът е нула, тогава поне един от неговите фактори нула. Следователно лявата страна на уравнението изчезва при х = 2, както и при х = - 12. Това означава, че броят 2 И - 12 са корените на уравнението x 2 + 10x - 24 = 0.

2. МЕТОД : Метод за избор на пълен квадрат.

Да решим уравнението x 2 + 6x - 7 = 0.

Нека изберем пълен квадрат от лявата страна.

За да направим това, записваме израза x 2 + 6x in следната форма:

x 2 + 6x = x 2 + 2 x 3.

В получения израз първият член е квадратът на числото x, а вторият е двойното произведение на x по 3. Следователно, за да получите пълния квадрат, трябва да добавите 3 2, тъй като

х 2+ 2 x 3 + 3 2 \u003d (x + 3) 2.

Сега трансформираме лявата страна на уравнението

x 2 + 6x - 7 = 0,

добавяне към него и изваждане на 3 2 . Ние имаме:

x 2 + 6x - 7 =х 2+ 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

По този начин това уравнение може да бъде написано, както следва:

(x + 3) 2 - 16 = 0, (x + 3) 2 = 16.

следователно x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1 или x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. МЕТОД :Решаване на квадратни уравнения по формула.

Умножете двете страни на уравнението

ах 2+bx + c = 0, a ≠ 0

на 4а и последователно имаме:

4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0,

((2ax) 2 + 2axb + b 2 ) - b 2 + 4 ак = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b \u003d ± √ b 2 - 4ac,

2ax \u003d - b ± √ b 2 - 4ac,

Примери.

а)Нека решим уравнението: 4x2 + 7x + 3 = 0.

а = 4,b= 7, c = 3,д = b 2 - 4 ак = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

д > 0, два различни корена;

Така, в случай на положителен дискриминант, т.е. при

b 2 - 4 ак >0 , уравнението ах 2+bx + c = 0има два различни корена.

б)Нека решим уравнението: 4x 2 - 4x + 1 = 0,

а = 4,b= - 4, c = 1,д = b 2 - 4 ак = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

д = 0, един корен;

Така че, ако дискриминантът е нула, т.е. b 2 - 4 ак = 0 , тогава уравнението

ах 2+bx + c = 0има един корен

V)Нека решим уравнението: 2x 2 + 3x + 4 = 0,

а = 2,b= 3, c = 4,д = b 2 - 4 ак = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13 , д < 0.

Това уравнение няма корени.

Така че, ако дискриминантът е отрицателен, т.е. b 2 - 4 ак < 0 ,

уравнението ах 2+bx + c = 0няма корени.

Формула (1) на корените на квадратното уравнение ах 2+bx + c = 0ви позволява да намерите корените всякакви квадратно уравнение (ако има такова), включително намалено и непълно. Формула (1) се изразява устно, както следва: корените на квадратно уравнение са равни на дроб, чийто числител е равен на втория коефициент, взет с противоположния знак, плюс минус корен квадратен от този коефициент без четворно произведение на първия коефициент със свободния член, и знаменателят е два пъти по-голям от първия коефициент.

4. МЕТОД: Решаване на уравнения с помощта на теоремата на Виета.

Както е известно, даденото квадратно уравнениеима формата

х 2+px + ° С = 0. (1)

Корените му отговарят на теоремата на Виета, която, когато а =1има формата

х 1 х 2 = р,

х 1 + х 2 = - стр

От това можем да направим следните изводи (знаците на корените могат да бъдат предсказани от коефициентите p и q).

а) Ако обобщеният срок рна редуцираното уравнение (1) е положителен ( р > 0 ), тогава уравнението има два корена от един и същи знак и това е завистта на втория коефициент стр. Ако Р< 0 , тогава и двата корена са отрицателни, ако Р< 0 , тогава и двата корена са положителни.

Например,

х 2 – 3 х + 2 = 0; х 1 = 2 И х 2 = 1, защото р = 2 > 0 И стр = - 3 < 0;

х 2 + 8 х + 7 = 0; х 1 = - 7 И х 2 = - 1, защото р = 7 > 0 И стр= 8 > 0.

b) Ако сте свободен член рна редуцираното уравнение (1) е отрицателна ( р < 0 ), тогава уравнението има два корена с различен знак и по-големият корен по абсолютна стойност ще бъде положителен, ако стр < 0 , или отрицателен, ако стр > 0 .

Например,

х 2 + 4 х – 5 = 0; х 1 = - 5 И х 2 = 1, защото р= - 5 < 0 И стр = 4 > 0;

х 2 – 8 х – 9 = 0; х 1 = 9 И х 2 = - 1, защото р = - 9 < 0 И стр = - 8 < 0.

5. МЕТОД: Решаване на уравнения по метода "трансфер".

Разгледайте квадратното уравнение

ах 2+bx + c = 0,Където a ≠ 0.

Умножавайки двете му части по a, получаваме уравнението

a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Позволявам ах = у, където x = y/a; тогава стигаме до уравнението

y 2+от+ ac = 0,

еквивалентен на този. своите корени 1И при 2 може да се намери с помощта на теоремата на Vieta.

Накрая получаваме

x 1 \u003d y 1 / aИ x 1 \u003d y 2 / a.

С този метод коефициентът Асе умножава по свободния термин, сякаш „хвърлен“ към него, затова се нарича метод на прехвърляне. Този метод се използва, когато корените на дадено уравнение могат лесно да бъдат намерени с помощта на теоремата на Виета и най-важното, когато дискриминантът е точен квадрат.

Пример.

Да решим уравнението 2x 2 - 11x + 15 = 0.

Решение.Нека "прехвърлим" коефициента 2 към свободния член, в резултат на което получаваме уравнението

y 2 - 11y + 30 = 0.

Според теоремата на Виета

y 1 = 5 x 1 = 5/2х 1 = 2,5

y 2 = 6х 2 = 6/2 х 2 = 3.

Отговор: 2,5; 3.

6. МЕТОД: Свойства на коефициентите на квадратно уравнение.

А. Нека квадратното уравнение

ах 2+bx + c = 0,Където a ≠ 0.

1) Ако, a+b+ c \u003d 0 (т.е. сумата от коефициентите е нула), тогава x 1 \u003d 1,