Ostrogradsky-Gaussov teorem. Gaussov teorem za električnu indukciju (električni pomak) Primjena Ostrogradsky-Gaussovog teorema za izračun električnih polja stvorenih ravninama, kuglama i cilindrima

Gaussov teorem za električnu indukciju (električni pomak)[

Za polje u dielektričnom mediju Gaussov elektrostatski teorem može se napisati i na drugi način (alternativno) - kroz tok vektora električnog pomaka (električna indukcija). U ovom slučaju, formulacija teorema je sljedeća: protok vektora električnog pomaka kroz zatvorenu površinu proporcionalan je slobodnom električnom naboju sadržanom unutar te površine:

U diferencijalnom obliku:

Gaussov teorem za magnetsku indukciju

Tok vektora magnetske indukcije kroz bilo koju zatvorenu površinu jednak je nuli:

ili u diferencijalnom obliku

To je ekvivalentno činjenici da u prirodi ne postoje “magnetski naboji” (monopoli) koji bi stvarali magnetsko polje, npr. električni naboji stvoriti električno polje. Drugim riječima, Gaussov teorem za magnetsku indukciju pokazuje da je magnetsko polje (potpuno) vrtlog.

Gaussov teorem za Newtonovu gravitaciju

Za jakost polja Newtonove gravitacije (gravitacijsko ubrzanje) Gaussov se teorem praktički podudara s onim u elektrostatici, s iznimkom samo konstanti (i dalje ovisnih o proizvoljnom izboru sustava jedinica) i, što je najvažnije, predznaka:

Gdje g- jakost gravitacionog polja, M- gravitacijski naboj (tj. masa) unutar površine S, ρ - gustoća mase, G- Newtonova konstanta.

Vodiči u električnom polju. Polje unutar vodiča i na njegovoj površini.

Vodiči su tijela kroz koja električni naboji mogu prelaziti s nabijenog tijela na nenabijeno. Sposobnost vodiča da prolaze električne naboje kroz sebe objašnjava se prisutnošću slobodnih nositelja naboja u njima. Vodiči su metalna tijela u čvrstom i tekuće stanje, otopine tekućih elektrolita. Slobodni naboji vodiča uvedenog u električno polje počinju se kretati pod njegovim utjecajem. Preraspodjela naboja uzrokuje promjenu električnog polja. Kada jakost električnog polja u vodiču postane nula, elektroni se prestaju kretati. Fenomen razdvajanja različitih naboja u vodiču koji se nalazi u električnom polju naziva se elektrostatička indukcija. Unutar vodiča nema električnog polja. Koristi se za elektrostatičku zaštitu - zaštitu pomoću metalnih vodiča od električnog polja. Površina vodljivog tijela bilo kojeg oblika u električnom polju je ekvipotencijalna površina.

Kondenzatori

Da bi dobili uređaje koji bi pri niskom potencijalu u odnosu na medij na sebi akumulirali (kondenzirali) primjetne naboje, koriste se činjenicom da se električni kapacitet vodiča povećava kako mu se približavaju druga tijela. Doista, pod utjecajem polja koje stvaraju nabijeni vodiči, na tijelu dovedenom do njega pojavljuju se inducirani (na vodiču) ili pridruženi (na dielektriku) naboji (sl. 15.5). Naboji suprotni predznakom od naboja vodiča q nalaze se bliže vodiču nego oni istog imena s q, pa stoga imaju veliki utjecaj na njegov potencijal.

Stoga, kada se bilo koje tijelo približi nabijenom vodiču, jakost polja se smanjuje, a time i potencijal vodiča. Prema jednadžbi to znači povećanje kapacitivnosti vodiča.

Kondenzator se sastoji od dva vodiča (ploče) (slika 15.6), odvojena dielektričnim slojem. Kada se na vodič dovede određena razlika potencijala, njegove ploče se naelektrišu jednakim nabojima suprotnog predznaka. Električni kapacitet kondenzatora shvaća se kao fizikalna veličina proporcionalna naboju q i obrnuto proporcionalna razlici potencijala između ploča.

Odredimo kapacitet ravnog kondenzatora.

Ako je površina ploče S i naboj na njoj q, tada je jakost polja između ploča

S druge strane, potencijalna razlika između ploča dolazi od

Energija sustava točkastih naboja, nabijenog vodiča i kondenzatora.

Svaki sustav naboja ima neku potencijalnu energiju interakcije, koja je jednaka radu utrošenom na stvaranje tog sustava. Energija sustava točkastih naboja q 1 , q 2 , q 3 ,… q N definira se na sljedeći način:

Gdje φ 1 – potencijal električnog polja kojeg stvaraju svi naboji osim q 1 na mjestu gdje se nalazi naboj q 1, itd. Ako se promijeni konfiguracija sustava naboja, mijenja se i energija sustava. Za promjenu konfiguracije sustava mora se raditi.

Potencijalna energija sustava točkastih naboja može se izračunati i na drugi način. Potencijalna energija dva točkasta naboja q 1 , q 2 na međusobnoj udaljenosti je jednak. Ako postoji više naboja, tada se potencijalna energija ovog sustava naboja može definirati kao zbroj potencijalnih energija svih parova naboja koji se mogu sastaviti za ovaj sustav. Dakle, za sustav od tri pozitivna naboja, energija sustava je jednaka

Energija nabijenog usamljenog vodiča i kondenzatora

Ako izolirani vodič ima naboj q, tada oko njega postoji električno polje čiji je potencijal na površini vodiča jednak , a kapacitet C. Povećajmo naboj za iznos dq. Pri prijenosu naboja dq iz beskonačnosti mora se izvršiti rad jednak . Ali potencijal elektrostatskog polja danog vodiča u beskonačnosti je nula. Zatim

Pri prijenosu naboja dq s vodiča u beskonačnost isti rad vrše i sile elektrostatskog polja. Prema tome, kada se naboj vodiča poveća za iznos dq, potencijalna energija polja raste, tj.

Integracijom ovog izraza nalazimo potencijalnu energiju elektrostatskog polja nabijenog vodiča dok njegov naboj raste od nule do q:

Primjenom relacije možemo dobiti sljedeće izraze za potencijalnu energiju W:

Za nabijeni kondenzator razlika potencijala (napon) je dakle jednaka omjeru za ukupna energija njegovo elektrostatičko polje ima oblik

Uvedimo pojam strujanja vektora električne indukcije. Razmotrimo infinitezimalno područje. U većini slučajeva potrebno je znati ne samo veličinu mjesta, već i njegovu orijentaciju u prostoru. Uvedimo pojam vektorske površine. Dogovorimo se da pod vektorom površine podrazumijevamo vektor usmjeren okomito na površinu i brojčano jednak veličini površine.

Slika 1 - Prema definiciji vektora - mjesta

Nazovimo tok vektora kroz platformu
točkasti umnožak vektora I
. Tako,

Vektor protoka kroz proizvoljnu površinu nalazi se integracijom svih elementarnih tokova

(4)

Ako je polje jednolično i površina ravna koji se nalazi okomito na polje, tada:

. (5)

Zadani izraz određuje broj linija sile koje probijaju mjesto po jedinici vremena.

Ostrogradsky-Gaussov teorem. Divergencija jakosti električnog polja

Strujanje vektora električne indukcije kroz proizvoljnu zatvorenu površinu jednaki algebarski zbroj besplatni električni naboji , pokriven ovom površinom

(6)

Izraz (6) je O-G teorem u integralnom obliku. Teorem 0-G radi s integralnim (ukupnim) učinkom, tj. Ako
nije poznato znači li to nepostojanje naboja u svim točkama proučavanog dijela prostora ili je zbroj pozitivnih i negativnih naboja koji se nalaze na različitim točkama tog prostora jednak nuli.

Da bi se pronašli locirani naboji i njihova veličina u danom polju, potrebna je relacija koja povezuje vektor električne indukcije u datoj točki s nabojem u istoj točki.

Pretpostavimo da trebamo odrediti prisutnost naboja u točki A(Sl.2)

Slika 2 – Za izračunavanje vektorske divergencije

Primijenimo O-G teorem. Tok vektora električne indukcije kroz proizvoljnu plohu koja ograničava volumen u kojem se točka nalazi A, je jednako

Algebarski zbroj naboja u volumenu može se napisati kao volumenski integral

(7)

Gdje - naknada po jedinici volumena ;

- element volumena.

Da bi se dobila veza između polja i naboja u točki A smanjit ćemo volumen skupljanjem površine do točke A. U ovom slučaju obje strane naše jednakosti dijelimo s vrijednošću . Pomicanjem do granice dobivamo:

.

Desna strana dobivenog izraza je, po definiciji, volumetrijska gustoća naboja u razmatranoj točki u prostoru. Lijeva strana predstavlja granicu omjera toka vektora električne indukcije kroz zatvorenu površinu i volumena ograničenog ovom površinom, kada volumen teži nuli. Ova skalarna veličina je važna karakteristika električnog polja i naziva se vektorska divergencija .

Tako:

,

stoga

, (8)

Gdje - volumetrijska gustoća naboja.

Pomoću ovog odnosa jednostavno se rješava inverzni problem elektrostatike, tj. pronalaženje raspodijeljenih naboja u poznatom polju.

Ako vektor je zadan, što znači da su njegove projekcije poznate
,
,
na koordinatne osi kao funkciju koordinata i izračunati raspodijeljenu gustoću naboja koji su stvorili određeno polje, ispada da je dovoljno pronaći zbroj tri parcijalne derivacije tih projekcija s obzirom na odgovarajuće varijable. Na onim točkama za koje
bez naknade. Na mjestima gdje
pozitivan, postoji pozitivan naboj s volumenskom gustoćom jednakom
, i na onim točkama gdje
će imati negativnu vrijednost, postoji negativan naboj, čija je gustoća također određena vrijednošću divergencije.

Izraz (8) predstavlja teorem 0-G u diferencijalnom obliku. U ovom obliku teorem pokazuje da da su izvori električnog polja slobodni električni naboji; linije polja vektora električne indukcije počinju i završavaju kod pozitivnih, odnosno negativnih naboja.

Kada ima mnogo naboja, javljaju se poteškoće pri izračunavanju polja.

Gaussov teorem pomaže u njihovom prevladavanju. Suština Gaussov teorem svodi se na sljedeće: ako je proizvoljan broj naboja mentalno okružen zatvorenom površinom S, tada se protok jakosti električnog polja kroz elementarno područje dS može napisati kao dF = Esosα۰dS gdje je α kut između normale na ravnina i vektor čvrstoće . (Sl. 12.7)

Ukupni tok kroz cijelu površinu bit će jednak zbroju tokova svih naboja koji su nasumično raspoređeni unutar nje i proporcionalan veličini tog naboja

(12.9)

Odredimo tok vektora intenziteta kroz sfernu površinu polumjera r u čijem se središtu nalazi točkasti naboj +q (sl. 12.8). Pravci napetosti su okomiti na površinu kugle, α = 0, stoga je cosα = 1. Tada je

Ako je polje formirano sustavom naboja, tada

Gaussov teorem: protok vektora jakosti elektrostatskog polja u vakuumu kroz bilo koju zatvorenu površinu jednak je algebarskom zbroju naboja sadržanih unutar te površine, podijeljenom s električnom konstantom.

(12.10)

Ako unutar sfere nema naboja, tada je F = 0.

Gaussov teorem olakšava izračunavanje električna polja sa simetrično raspoređenim nabojima.

Uvedimo pojam gustoće raspodijeljenih naboja.

Linearna gustoća označava se τ i karakterizira naboj q po jedinici duljine ℓ. U opći pogled može se izračunati pomoću formule

(12.11)

Kod jednolike raspodjele naboja linearna gustoća je jednaka

Površinska gustoća se označava sa σ i karakterizira naboj q po jedinici površine S. Općenito, određuje se formulom

(12.12)

Kod jednolike raspodjele naboja po površini površinska gustoća je jednaka

Volumna gustoća se označava s ρ i karakterizira naboj q po jedinici volumena V. Općenito, određuje se formulom

(12.13)

Kod jednolike raspodjele naboja jednak je
.

Kako je naboj q jednoliko raspoređen na kugli, tada

σ = konst. Primijenimo Gaussov teorem. Nacrtajmo sferu polumjera kroz točku A. Tok vektora napetosti na slici 12.9 kroz sfernu plohu polumjera jednak je cosα = 1, jer je α = 0. Prema Gaussovoj teoremi,
.

ili

(12.14)

Iz izraza (12.14) slijedi da je jakost polja izvan nabijene kugle jednaka jakosti polja točkastog naboja smještenog u središtu kugle. Na površini kugle, tj. r 1 = r 0, napetost
.

Unutar sfere r 1< r 0 (рис.12.9) напряжённость Е = 0, так как сфера радиусом r 2 внутри никаких зарядов не содержит и, по теореме Гаусса, поток вектора сквозь такую сферу равен нулю.

Cilindar polumjera r 0 jednoliko je nabijen površinskom gustoćom σ (sl. 12.10). Odredimo jakost polja u proizvoljno odabranoj točki A. Nacrtajmo kroz točku A zamišljenu cilindričnu plohu polumjera R i duljine ℓ. Zbog simetrije tok će izlaziti samo kroz bočne površine cilindra, jer su naboji na cilindru radijusa r 0 ravnomjerno raspoređeni po njegovoj površini, tj. linije napetosti bit će radijalne ravne linije, okomite na bočne površine obaju cilindara. Budući da je protok kroz bazu cilindara jednak nuli (cos α = 0), i bočna površina cilindar je okomit na silnice (cos α = 1), tada

ili

(12.15)

Izrazimo vrijednost E kroz σ - površinsku gustoću. A-priorat,

stoga,

Zamijenimo vrijednost q u formulu (12.15)

(12.16)

Prema definiciji linearne gustoće,
, gdje
; zamijenimo ovaj izraz u formulu (12.16):

(12.17)

oni. Jakost polja koju stvara beskonačno dug nabijeni cilindar proporcionalna je linearnoj gustoći naboja i obrnuto proporcionalna udaljenosti.

Jačina polja koju stvara beskonačna ravnomjerno nabijena ravnina

Odredimo jakost polja koju stvara beskonačna jednoliko nabijena ravnina u točki A. Neka je površinska gustoća naboja ravnine jednaka σ. Kao zatvorenu plohu zgodno je izabrati valjak čija je os okomita na ravninu, a desna baza sadrži točku A. Ravnina dijeli valjak na pola. Očito je da su silnice okomite na ravninu i paralelne s bočnom površinom cilindra, pa cjelokupno strujanje prolazi samo kroz bazu cilindra. Na obje baze jakost polja je ista, jer točke A i B su simetrične u odnosu na ravninu. Tada je protok kroz bazu cilindra jednak

Prema Gaussovoj teoremi,

Jer
, To
, gdje

(12.18)

Dakle, jakost polja beskonačno nabijene ravnine proporcionalna je gustoći površinskog naboja i ne ovisi o udaljenosti do ravnine. Stoga je polje ravnine jednoliko.

Jakost polja koju stvaraju dvije suprotno jednoliko nabijene paralelne ravnine

Rezultirajuće polje koje stvaraju dvije ravnine određeno je načelom superpozicije polja:
(Slika 12.12). Polje koje stvara svaka ravnina jednoliko je, jakosti tih polja jednake su veličine, ali suprotnog smjera:
. Prema principu superpozicije, ukupna jakost polja izvan ravnine je nula:

Između ravnina jakosti polja imaju iste smjerove, pa je rezultirajuća jakost jednaka

Dakle, polje između dvije različito nabijene ravnine je jednoliko i njegov intenzitet dvostruko je jači od intenziteta polja koje stvara jedna ravnina. Lijevo i desno od ravnina nema polja. Polje konačnih ravnina ima isti oblik, distorzija se pojavljuje samo u blizini njihovih granica. Pomoću dobivene formule možete izračunati polje između ploča ravnog kondenzatora.

Cilj sata: Ostrogradski–Gaussov teorem postavio je ruski matematičar i mehaničar Mihail Vasiljevič Ostrogradski u obliku općeg matematičkog teorema i njemački matematičar Carl Friedrich Gauss. Ovaj se teorem može koristiti pri proučavanju fizike na specijaliziranoj razini, budući da omogućuje racionalnije izračune električnih polja.

Da bi se izveo Ostrogradsky-Gaussov teorem, potrebno je uvesti tako važne pomoćne koncepte kao što su vektor električne indukcije i tok ovog vektora F.

Poznato je da se elektrostatsko polje često prikazuje pomoću linija sile. Pretpostavimo da smo odredili napetost u točki koja leži na granici između dva medija: zraka (=1) i vode (=81). U ovom trenutku, pri prelasku iz zraka u vodu, jakost električnog polja prema formuli smanjit će se za 81 puta. Ako zanemarimo vodljivost vode, tada će se za isto toliko smanjiti i broj linija sile. Pri rješavanju različitih problema proračuna polja, zbog diskontinuiteta vektora napona na granici između medija i na dielektriku, stvaraju se određene neugodnosti. Da bi ih se izbjeglo, uvodi se novi vektor koji se naziva vektor električne indukcije:

Vektor električne indukcije jednak je umnošku vektora i električne konstante i dielektrične konstante medija u određenoj točki.

Očito je da se pri prolasku kroz granicu dvaju dielektrika broj linija električne indukcije ne mijenja za polje točkastog naboja (1).

U SI sustavu vektor električne indukcije mjeri se u kulonima po kvadratnom metru (C/m2). Izraz (1) pokazuje da brojčana vrijednost vektora ne ovisi o svojstvima medija. Vektorsko polje se grafički prikazuje slično kao i polje intenziteta (npr. za točkasti naboj vidi sl. 1). Za vektorsko polje vrijedi princip superpozicije:

Tok električne indukcije

Vektor električne indukcije karakterizira električno polje u svakoj točki prostora. Možete uvesti drugu količinu koja ovisi o vrijednostima vektora ne u jednoj točki, već u svim točkama površine ograničene ravnom zatvorenom konturom.

Da bismo to učinili, razmotrimo ravni zatvoreni vodič (strujni krug) s površinom S, smješten u jednolično električno polje. Normala na ravninu vodiča zaklapa kut sa smjerom vektora električne indukcije (slika 2).

Protok električne indukcije kroz površinu S je veličina jednaka umnošku modula vektora indukcije s površinom S i kosinusa kuta između vektora i normale:

Ovaj teorem nam omogućuje da pronađemo tok vektora električne indukcije kroz zatvorenu površinu unutar koje se nalaze električni naboji.

Neka se najprije jedan točkasti naboj q nalazi u središtu kugle proizvoljnog radijusa r 1 (slika 3). Zatim ; . Izračunajmo ukupni tok indukcije koji prolazi cijelom površinom ove kugle: ; (). Ako uzmemo sferu polumjera , tada je i F = q. Ako nacrtamo sferu koja ne pokriva naboj q, tada je ukupni tok F = 0 (budući da će svaka linija ući u površinu i izaći iz nje drugi put).

Dakle, F = q ako se naboj nalazi unutar zatvorene površine i F = 0 ako se naboj nalazi izvan zatvorene površine. Protok F ne ovisi o obliku plohe. Također je neovisan o rasporedu naboja unutar površine. To znači da dobiveni rezultat vrijedi ne samo za jedan naboj, već i za bilo koji broj proizvoljno lociranih naboja, ako samo pod q mislimo na algebarski zbroj svih naboja koji se nalaze unutar površine.

Gaussov teorem: tok električne indukcije kroz bilo koju zatvorenu površinu jednak je algebarskom zbroju svih naboja koji se nalaze unutar površine: .

Iz formule je jasno da je dimenzija električnog toka jednaka dimenziji električnog naboja. Stoga je jedinica toka električne indukcije kulon (C).

Napomena: ako je polje neuniformno i površina kroz koju se određuje tok nije ravnina, tada se ta površina može podijeliti na infinitezimalne elemente ds i svaki element se može smatrati ravnim, a polje u njegovoj blizini jednolikim. Stoga, za bilo koje električno polje, tok vektora električne indukcije kroz površinski element je: dF=. Kao rezultat integracije, ukupni tok kroz zatvorenu površinu S u bilo kojem nehomogenom električnom polju jednak je: , gdje je q algebarski zbroj svih naboja okruženih zatvorenom površinom S. Izrazimo posljednju jednadžbu preko jakosti električnog polja (za vakuum): .

Ovo je jedna od Maxwellovih temeljnih jednadžbi za elektromagnetsko polje, zapisana u integralnom obliku. Pokazuje da su izvor vremenski konstantnog električnog polja stacionarni električni naboji.

Odredimo sada jakost polja za nekoliko slučajeva koristeći Ostrogradsky-Gaussov teorem.

1. Električno polje jednoliko nabijene sferne površine.

Kugla polumjera R. Neka je naboj +q jednoliko raspoređen po sfernoj površini polumjera R. Raspodjela naboja po površini karakterizirana je gustoćom površinskog naboja (slika 4). Gustoća površinskog naboja je omjer naboja i površine na kojoj je raspoređen. . U SI.

Odredimo jakost polja:

a) izvan sferne površine,
b) unutar sferne površine.

a) Uzmite točku A, koja se nalazi na udaljenosti r>R od središta nabijene sferne površine. Nacrtajmo u mislima kroz nju sfernu plohu S polumjera r, koja ima zajedničko središte s nabijenom sfernom plohom. Iz razmatranja simetrije očito je da su silnice radijalne linije okomite na plohu S i jednoliko prodiru ovu plohu, tj. napetost u svim točkama ove površine je konstantne veličine. Primijenimo Ostrogradsky-Gaussov teorem na ovu sfernu površinu S radijusa r. Stoga je ukupni tok kroz sferu N = E? S; N=E. Na drugoj strani . Izjednačavamo: . Dakle: za r>R.

Dakle: napetost koju stvara jednoliko nabijena kuglasta površina izvan nje jednaka je kao da je cijeli naboj u njezinu središtu (sl. 5).

b) Odredimo jakost polja u točkama koje leže unutar nabijene sferne površine. Uzmimo točku B udaljenu od središta sfere . Tada je E = 0 na r

2. Jakost polja jednoliko nabijene beskonačne ravnine

Razmotrimo električno polje koje stvara beskonačna ravnina, nabijena konstantnom gustoćom u svim točkama ravnine. Zbog simetrije možemo pretpostaviti da su zatezne linije okomite na ravninu i usmjerene od nje u oba smjera (slika 6).

Odaberimo točku A koja leži desno od ravnine i izračunajmo u ovoj točki koristeći Ostrogradsky-Gaussov teorem. Kao zatvorenu plohu odaberemo cilindričnu plohu tako da je bočna ploha valjka paralelna sa silnicama, a njegova baza paralelna s ravninom i baza prolazi točkom A (slika 7). Izračunajmo tok napetosti kroz razmatranu cilindričnu površinu. Tok kroz bočnu plohu je 0, jer linije napetosti su paralelne s bočnom površinom. Tada se ukupni tok sastoji od tokova i koji prolaze kroz baze cilindra i . Oba ova toka su pozitivna =+; =; =; ==; N=2.

– presjek ravnine koji leži unutar odabrane cilindrične površine. Naboj unutar ove površine je q.

Zatim ; – može se uzeti kao točkasti naboj) s točkom A. Za pronalaženje ukupnog polja potrebno je geometrijski zbrojiti sva polja koja stvara svaki element: ; .

Vektorski tok jakosti električnog polja. Neka mala platforma DS(Sl. 1.2) sijeku silnice električnog polja čiji je smjer s normalom n kut na ovu stranicu a. Uz pretpostavku da vektor napetosti E ne mijenja unutar stranice DS, definirajmo protok vektora napetosti kroz platformu DS Kako

DFE =E DS cos a.(1.3)

Budući da je gustoća vodova jednaka brojčanoj vrijednosti napetosti E, zatim broj dalekovoda koji prelaze to područjeDS, bit će brojčano jednaka vrijednosti protokaDFEkroz površinuDS. Predstavimo desnu stranu izraza (1.3) kao skalarni produkt vektora E IDS= nDS, Gdje n– jedinični vektor normalan na površinuDS. Za elementarno područje d S izraz (1.3) ima oblik

dFE = E d S

Preko cijele stranice S tok vektora napetosti računa se kao integral po površini

Strujanje vektora električne indukcije. Tok vektora električne indukcije određuje se slično kao i tok vektora jakosti električnog polja

dFD = D d S

Postoji određena nejasnoća u definicijama protoka zbog činjenice da za svaku površinu dva normale u suprotnom smjeru. Za zatvorenu površinu, vanjska normala se smatra pozitivnom.

Gaussov teorem. Razmotrimo točka pozitivna električno punjenje q, koji se nalazi unutar proizvoljne zatvorene površine S(Slika 1.3). Tok vektora indukcije kroz površinski element d S jednaki
(1.4)

Komponenta d S D = d S cos apovršinski element d S u smjeru vektora indukcijeDsmatrati elementom sferne površine radijusa r, u čijem se središtu nalazi nabojq.

S obzirom da d S D/ r 2 je jednako elementarno tjelesno kut dw, ispod koje od mjesta gdje se nalazi nabojqpovršinski element d vidljiv S, transformiramo izraz (1.4) u oblik d FD = q d w / 4 str, odakle je nakon integracije po cijelom prostoru oko naboja, tj. unutar prostornog kuta od 0 do 4str, dobivamo

FD = q.

Protok vektora električne indukcije kroz zatvorenu površinu proizvoljnog oblika jednak je naboju unutar te površine..

Ako proizvoljna zatvorena površina S ne pokriva točkasti naboj q(Sl. 1.4), zatim, konstruirajući stožastu plohu s vrhom u točki gdje se nalazi naboj, dijelimo plohu S na dva dijela: S 1 i S 2. Vektor protoka D kroz površinu S nalazimo kao algebarski zbroj tokova kroz površine S 1 i S 2:

.

Obje površine od točke gdje se nalazi naboj q vidljiv iz jednog čvrstog kuta w. Stoga su tokovi jednaki

Budući da pri proračunu protoka kroz zatvorenu površinu koristimo vanjska normala na površinu, lako je vidjeti da tok F 1D < 0, тогда как поток Ф2D> 0. Ukupni protok F D= 0. To znači da protok vektora električne indukcije kroz zatvorenu površinu proizvoljnog oblika ne ovisi o nabojima koji se nalaze izvan ove površine.

Ako je električno polje stvoreno sustavom točkastih naboja q 1 , q 2 ,¼ , qn, koji je prekriven zatvorenom površinom S, tada se, u skladu s načelom superpozicije, tok vektora indukcije kroz tu površinu određuje kao zbroj tokova koje stvara svaki od naboja. Protok vektora električne indukcije kroz zatvorenu površinu proizvoljnog oblika jednak je algebarskom zbroju naboja koje ta površina pokriva.:

Treba napomenuti da su optužbe q i ne moraju biti točkasti, nužan uvjet je da nabijena površina mora biti potpuno prekrivena površinom. Ako se u prostoru omeđenom zatvorenom plohom S, električni naboj distribuira kontinuirano, tada treba pretpostaviti da je svaki elementarni volumen d V ima naboj. U ovom slučaju, na desnoj strani izraza (1.5), algebarski zbroj naboja zamijenjen je integracijom po volumenu unutar zatvorene površine S:

(1.6)

Izraz (1.6) je najopćenitija formulacija Gaussov teorem: protok vektora električne indukcije kroz zatvorenu površinu proizvoljnog oblika jednak je ukupnom naboju u volumenu koji pokriva ova površina i ne ovisi o nabojima koji se nalaze izvan površine koja se razmatra. Gaussov teorem također se može napisati za tok vektora jakosti električnog polja:

.

Važno svojstvo električnog polja proizlazi iz Gaussovog teoreme: linije sile počinju ili završavaju samo na električnim nabojima ili idu u beskonačnost. Naglasimo još jednom da unatoč tome što jakost električnog polja E i električna indukcija D ovise o položaju u prostoru svih naboja, tokovi tih vektora kroz proizvoljnu zatvorenu površinu S određuju se samo oni naboji koji se nalaze unutar površine S.

Diferencijalni oblik Gaussovog teorema. Imajte na umu da integralni oblik Gaussov teorem karakterizira odnos između izvora električnog polja (naboja) i karakteristika električnog polja (napetost ili indukcija) u volumenu V proizvoljna, ali dovoljna za formiranje integralnih odnosa, veličina. Dijeljenjem volumena V za male količine V i, dobivamo izraz

vrijedi i u cjelini i za svaki pojam. Transformirajmo dobiveni izraz na sljedeći način:

(1.7)

i razmotrite granicu kojoj teži izraz na desnoj strani jednakosti, zatvoren u vitičaste zagrade, za neograničeno dijeljenje volumena V. U matematici se ta granica naziva divergencija vektor (u ovom slučaju vektor električne indukcije D):

Vektorska divergencija D u kartezijevim koordinatama:

Tako se izraz (1.7) transformira u oblik:

.

Uzimajući u obzir da kod neograničenog dijeljenja zbroj na lijevoj strani zadnjeg izraza prelazi u volumenski integral, dobivamo

Rezultirajući odnos mora biti zadovoljen za bilo koji proizvoljno odabrani volumen V. To je moguće samo ako su vrijednosti integranda u svakoj točki prostora iste. Prema tome, divergencija vektora D povezana je s gustoćom naboja u istoj točki jednakošću

ili za vektor jakosti elektrostatičkog polja

Ove jednakosti izražavaju Gaussov teorem u diferencijalni oblik.

Imajte na umu da se u procesu prijelaza na diferencijalni oblik Gaussovog teorema dobiva relacija koja ima opći karakter:

.

Izraz se naziva formula Gauss-Ostrogradskog i povezuje volumenski integral divergencije vektora s protokom tog vektora kroz zatvorenu površinu koja ograničava volumen.

Pitanja

1) Koji je fizikalni smisao Gaussovog teorema za elektrostatsko polje u vakuumu

2) U središtu kocke nalazi se točkasti nabojq. Što je tok vektora? E:

a) kroz punu površinu kocke; b) kroz jednu od ploha kocke.

Hoće li se odgovori promijeniti ako:

a) naboj nije u središtu kocke, već unutar nje ; b) naboj je izvan kocke.

3) Što su linearna, površinska, volumna gustoća naboja.

4) Navedite odnos volumena i gustoće površinskog naboja.

5) Može li polje izvan suprotno i jednoliko nabijenih paralelnih beskonačnih ravnina biti različito od nule?

6) Električni dipol smješten je unutar zatvorene površine. Koliki je protok kroz ovu površinu