U jednoličnom električnom polju sila koja djeluje na nabijenu česticu konstantna je i po veličini i po smjeru. Stoga je kretanje takve čestice potpuno slično gibanju tijela u gravitacijskom polju zemlje bez uzimanja u obzir otpora zraka. Putanja čestice je u ovom slučaju ravna i leži u ravnini koja sadrži vektore početna brzinačestice i napetosti električno polje
Potencijal elektrostatskog polja. Opći izraz koji povezuje potencijal s napetostima.
Potencijal φ u bilo kojoj točki elektrostatskog polja je fizikalna veličina određena potencijalnom energijom jediničnog pozitivnog naboja smještenog u tu točku. Potencijal polja stvoren točkastim nabojem Q jednak je
Potencijal je fizikalna veličina određena radom pomicanja jedinice pozitiva električno punjenje pri njegovom uklanjanju od date točke u polju u beskonačnost. Taj je rad brojčano jednak radu vanjskih sila (protiv sila elektrostatičkog polja) da pomaknu jedinični pozitivni naboj od beskonačnosti do ovu točku polja.
Jedinica potencijala je volt (V): 1 V je jednak potencijalu točke u polju u kojoj naboj od 1 C ima potencijalnu energiju od 1 J (1 V = 1 J/C). Uzimajući u obzir dimenziju volta, može se pokazati da je prethodno uvedena jedinica jakosti elektrostatičkog polja doista jednaka 1 V/m: 1 N/C=1 N m/(C m)=1 J/(C m)=1 V/m.
Iz formula (3) i (4) slijedi da ako polje stvara nekoliko naboja, tada je potencijal ovog polja sustava naboja jednak algebarski zbroj potencijali polja svih ovih naboja:
Intenzitet u bilo kojoj točki električnog polja jednak je gradijentu potencijala u toj točki, uzet sa suprotnim predznakom. Znak minus pokazuje da je napon E usmjeren u smjeru pada potencijala.
E = - grad phi = - N phi.
Da bismo uspostavili vezu između karakteristike sile električnog polja - intenziteta i njegove energetske karakteristike - potencijala, razmotrimo elementarni rad sila električnog polja na infinitezimalnom pomaku točkastog naboja q: dA = q E dl, isti rad je jednaka smanjenju potencijalne energije naboja q: dA = - dWp = - q dphi, gdje je dphi promjena potencijala električnog polja na duljini pomaka dl. Izjednačavanjem desnih strana izraza dobivamo: E dl = -d fi ili in Kartezijanski sustav koordinate
Ex dx + Ey dy + Ez dz = -d fi
gdje su Ex, Ey, Ez projekcije vektora napetosti na osi koordinatnog sustava. Budući da je izraz puni diferencijal, tada za projekcije vektora intenziteta imamo
Izraz u zagradama je gradijent potencijala phi.
Načelo superpozicije kao temeljno svojstvo polja. Opći izrazi za jakost i potencijal polja stvorenog u točki s radijus vektorom sustavom točkastih naboja smještenih u točkama s koordinatama (vidi odlomak 4.)
Ako načelo superpozicije razmotrimo u najopćenitijem smislu, tada će prema njemu zbroj utjecaja vanjskih sila koje djeluju na česticu biti zbroj pojedinačnih vrijednosti svake od njih. Ovo načelo vrijedi za razne linearni sustavi, tj. sustavi čije se ponašanje može opisati linearnim odnosima. Primjer bi bila jednostavna situacija u kojoj se linearni val širi u određenom mediju, u kojem će slučaju njegova svojstva biti očuvana čak i pod utjecajem poremećaja koji proizlaze iz samog vala. Ova svojstva su definirana kao specifičan zbroj učinaka svake od harmoničnih komponenti.
Načelo superpozicije može uzeti druge formulacije koje su potpuno ekvivalentne gore navedenim:
· Međudjelovanje između dviju čestica ne mijenja se kada se uvede treća čestica, koja također stupa u interakciju s prve dvije.
· Energija međudjelovanja svih čestica u sustavu s više čestica jednostavno je zbroj energija međudjelovanja parova između svih mogućih parova čestica. U sustavu nema interakcija više čestica.
· Jednadžbe koje opisuju ponašanje sustava s više čestica su linearne u broju čestica.
6 Kruženje vektora napona je rad električnih sila pri pomicanju jednog pozitivnog naboja duž zatvorene putanje L
Budući da je rad sila elektrostatskog polja duž zatvorene petlje jednak nuli (rad potencijalnih sila polja), stoga je kruženje jakosti elektrostatskog polja duž zatvorene petlje jednaka nuli.
Potencijal polja. Rad bilo kojeg elektrostatskog polja pri pomicanju nabijenog tijela u njemu iz jedne točke u drugu također ne ovisi o obliku putanje, baš kao ni rad jednolikog polja. Na zatvorenoj putanji rad elektrostatskog polja uvijek je jednak nuli. Polja s ovim svojstvom nazivamo potencijalnim. Konkretno, elektrostatsko polje točkastog naboja ima potencijalni karakter.
Rad potencijalnog polja može se izraziti promjenom potencijalne energije. Formula vrijedi za bilo koje elektrostatičko polje.
7-11 Ako silnice polja jednolikog električnog polja s intenzitetom prodiru kroz određeno područje S, tada će tok vektora intenziteta (prethodno smo zvali broj linija polja kroz područje) biti određen formulom:
gdje je En umnožak vektora i normale na dano područje (slika 2.5).
Riža. 2.5
Ukupan broj linija sila koje prolaze površinom S naziva se tok vektora intenziteta FU kroz tu površinu.
U vektorskom obliku možemo napisati skalarni produkt dva vektora, gdje je vektor .
Dakle, vektorski tok je skalar koji, ovisno o vrijednosti kuta α, može biti pozitivan ili negativan.
Pogledajmo primjere prikazane na slikama 2.6 i 2.7.
 | |||
| Riža. 2.6 | Riža. 2.7 | ||
Za sliku 2.6, površina A1 je okružena pozitivnim nabojem i strujanje je ovdje usmjereno prema van, tj. Površina A2– okružena je negativnim nabojem, ovdje je usmjeren prema unutra. Ukupni tok kroz površinu A je nula.
Za sliku 2.7, tok neće biti nula ako ukupni naboj unutar površine nije nula. Za ovu konfiguraciju, tok kroz površinu A je negativan (brojite broj linija polja).
Dakle, tok vektora napona ovisi o naboju. Ovo je značenje Ostrogradsky-Gaussovog teorema.
Gaussov teorem
Eksperimentalno utvrđen Coulombov zakon i princip superpozicije omogućuju potpuno opisivanje elektrostatskog polja zadanog sustava naboja u vakuumu. Međutim, svojstva elektrostatičkog polja mogu se izraziti u drugom, općenitijem obliku, bez pribjegavanja ideji Coulombovog polja točkastog naboja.
Predstavimo novi fizička količina, karakterizirajući električno polje - protok Φ vektora jakosti električnog polja. Neka se u prostoru u kojem se stvara električno polje nalazi neko prilično malo područje ΔS. Umnožak modula vektora s površinom ΔS i kosinusa kuta α između vektora i normale na mjesto naziva se elementarni tok vektora intenziteta kroz mjesto ΔS (slika 1.3.1):
Razmotrimo sada neku proizvoljnu zatvorenu površinu S. Ako tu površinu podijelimo na mala područja ΔSi, odredimo elementarne tokove ΔΦi polja kroz ta mala područja, a zatim ih zbrojimo, tada ćemo kao rezultat dobiti protok Φ vektor kroz zatvorenu površinu S (slika 1.3.2):
Gaussov teorem kaže:
Protok vektora jakosti elektrostatskog polja kroz proizvoljnu zatvorenu površinu jednak je algebarskom zbroju naboja unutar te površine, podijeljenom s električnom konstantom ε0.
gdje je R polumjer sfere. Tok Φ kroz sfernu površinu bit će jednak umnošku E površinom sfere 4πR2. Stoga,
Okružimo sada točkasti naboj proizvoljnom zatvorenom površinom S i razmotrimo pomoćnu sferu radijusa R0 (sl. 1.3.3).
Razmotrimo stožac s malim prostornim kutom ΔΩ na vrhu. Ovaj stožac će istaknuti malo područje ΔS0 na sferi i područje ΔS na površini S. Elementarni tokovi ΔΦ0 i ΔΦ kroz ova područja su isti. Stvarno,
Na sličan način može se pokazati da ako zatvorena površina S ne pokriva točkasti naboj q, tada je tok Φ = 0. Takav je slučaj prikazan na Sl. 1.3.2. Sve linije sila električnog polja točkastog naboja prodiru zatvorenu plohu S kroz i kroz. Unutar površine S nema naboja, pa se u tom području silnice polja ne prekidaju niti nastaju.
Generalizacija Gaussovog teorema na slučaj proizvoljne raspodjele naboja slijedi iz principa superpozicije. Polje bilo koje raspodjele naboja može se prikazati kao vektorski zbroj električnih polja točkastih naboja. Protok Φ sustava naboja kroz proizvoljnu zatvorenu površinu S bit će zbroj tokova Φi električnih polja pojedinih naboja. Ako se naboj qi nalazi unutar površine S, tada daje doprinos protoku jednak ako je ovaj naboj izvan površine, tada će doprinos njegovog električnog polja protoku biti jednak nuli.
Time je Gaussov teorem dokazan.
Gaussov teorem je posljedica Coulombovog zakona i principa superpozicije. Ali ako tvrdnju sadržanu u ovom teoremu uzmemo kao početni aksiom, tada će njegova posljedica biti Coulombov zakon. Stoga se Gaussov teorem ponekad naziva alternativnom formulacijom Coulombova zakona.
Koristeći Gaussov teorem, u nizu slučajeva moguće je lako izračunati jakost električnog polja oko nabijenog tijela ako data raspodjela naboja ima bilo kakvu simetriju i opća struktura polja se mogu pogoditi unaprijed.
Primjer je problem izračunavanja polja tankostijenog, šupljeg, jednoliko nabijenog dugog cilindra radijusa R. Ovaj problem ima osnu simetriju. Zbog simetrije, električno polje mora biti usmjereno duž polumjera. Stoga je za primjenu Gaussovog teorema preporučljivo odabrati zatvorenu plohu S u obliku koaksijalnog valjka nekog radijusa r i duljine l, zatvorenog na oba kraja (slika 1.3.4).
Za r ≥ R proći će cijeli tok vektora intenziteta bočna površina cilindar čija je površina 2πrl, budući da je protok kroz obje baze jednak nuli. Primjena Gaussovog teoreme daje:
Ovaj rezultat ne ovisi o polumjeru R nabijenog cilindra, pa vrijedi i za polje dugačke jednoliko nabijene niti.
Za određivanje jakosti polja unutar nabijenog cilindra potrebno je konstruirati zatvorenu plohu za slučaj r< R. В силу симметрии задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность гауссова цилиндра должен быть и в этом случае равен Φ = E 2πrl. Согласно теореме Гаусса, этот поток пропорционален заряду, оказавшемуся внутри замкнутой поверхности. Этот заряд равен нулю. Отсюда следует, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра равно нулю.
Na sličan način, može se primijeniti Gaussov teorem za određivanje električnog polja u nizu drugih slučajeva kada raspodjela naboja ima neku vrstu simetrije, na primjer, simetriju oko središta, ravnine ili osi. U svakom od ovih slučajeva potrebno je odabrati zatvorenu Gaussovu plohu odgovarajućeg oblika. Na primjer, u slučaju centralna simetrija Pogodno je odabrati Gaussovu plohu u obliku kugle sa središtem u točki simetrije. Na osna simetrija zatvorena površina mora biti odabrana u obliku koaksijalnog cilindra, zatvorenog na oba kraja (kao u primjeru koji je gore razmotren). Ako raspodjela naboja nema nikakvu simetriju i ne može se pogoditi opća struktura električnog polja, primjena Gaussovog teorema ne može pojednostaviti problem određivanja jakosti polja.
Razmotrimo još jedan primjer simetrične raspodjele naboja - određivanje polja ravnomjerno nabijene ravnine (sl. 1.3.5).
U tom je slučaju preporučljivo odabrati Gaussovu plohu S u obliku valjka određene duljine, zatvorenog na oba kraja. Os cilindra usmjerena je okomito na nabijenu ravninu, a njegovi krajevi nalaze se na istoj udaljenosti od nje. Zbog simetrije, polje jednoliko nabijene ravnine mora svugdje biti usmjereno duž normale. Primjena Gaussovog teoreme daje:
|
gdje je σ površinska gustoća naboja, tj. naboj po jedinici površine.
Rezultirajući izraz za električno polje jednoliko nabijene ravnine također je primjenjiv u slučaju ravnih nabijenih površina konačne veličine. U tom slučaju udaljenost od točke na kojoj se određuje jakost polja do nabijene površine trebala bi biti znatno manja od veličine površine.
I rasporedi za 7 – 11
1. Intenzitet elektrostatskog polja koje stvara jednoliko nabijena sferna površina.
Neka sferna površina polumjera R (slika 13.7) nosi jednoliko raspoređen naboj q, tj. površinska gustoća naboja u bilo kojoj točki sfere bit će ista.
a. Zatvorimo našu sfernu plohu u simetričnu plohu S radijusa r>R. Tok vektora napetosti kroz plohu S bit će jednak
Po Gaussovoj teoremi
Stoga
c. Povucimo kroz točku B, koja se nalazi unutar nabijene sferne površine, kuglu S radijusa r 2. Elektrostatičko polje lopte. Imamo kuglu radijusa R, jednoliko nabijenu volumenskom gustoćom. U bilo kojoj točki A koja leži izvan lopte na udaljenosti r od njezina središta (r>R), njezino polje je slično polju točkastog naboja koji se nalazi u središtu lopte. Zatim izvan lopte a na njegovoj površini (r=R) U točki B, koja leži unutar kuglice na udaljenosti r od njezina središta (r>R), polje je određeno samo nabojem koji se nalazi unutar kugle polumjera r. Tok vektora napetosti kroz ovu sferu jednak je s druge strane, u skladu s Gaussovim teoremom Po Gaussovoj teoremi Iz zadnja dva izraza određujemo jakost polja koju stvara jednoliko nabijena nit: Neka ravnina ima beskonačan opseg, a naboj po jedinici površine jednak σ. Iz zakona simetrije slijedi da je polje usmjereno posvuda okomito na ravninu, a ako nema drugih vanjskih naboja, onda polja s obje strane ravnine moraju biti ista. Ograničimo dio nabijene ravnine na zamišljenu cilindričnu kutiju, tako da je kutija prerezana na pola i da su njezini sastavni dijelovi okomiti, a dvije baze, svaka s površinom S, paralelne s nabijenom ravninom (slika 1.10). 12. Polje jednoliko nabijene kugle. Neka električno polje stvara naboj Q, ravnomjerno raspoređen po površini sfere radijusa R(Slika 190). Za izračun potencijala polja u proizvoljnoj točki koja se nalazi na udaljenosti r iz središta kugle potrebno je izračunati rad polja pri pomicanju jediničnog pozitivnog naboja iz dane točke u beskonačnost. Prethodno smo dokazali da je jakost polja jednoliko nabijene kugle izvan nje ekvivalentna polju točkastog naboja koji se nalazi u središtu kugle. Prema tome, izvan sfere, potencijal polja sfere će se podudarati s potencijalom polja točkastog naboja φ
(r)=Q 4πε
0r . (1) Konkretno, na površini kugle potencijal je jednak φ
0=Q 4πε
0R. Unutar sfere nema elektrostatičkog polja, tako da je rad za premještanje naboja s proizvoljne točke unutar sfere na njezinu površinu jednak nuli A= 0, stoga je razlika potencijala između tih točaka također nula Δ φ
= -A= 0. Prema tome, sve točke unutar sfere imaju isti potencijal koji koincidira s potencijalom njezine površine φ
0=Q 4πε
0R . Dakle, raspodjela potencijala polja jednoliko nabijene kugle ima oblik (sl. 191) φ
(r)=⎧⎩⎨Q 4πε
0R, npu r<RQ 4πε
0r, npu r>R . (2) Imajte na umu da unutar sfere nema polja, a potencijal je različit od nule! Ovaj primjer je jasna ilustracija činjenice da je potencijal određen vrijednošću polja od dane točke do beskonačnosti. Primjer 1. Tanka, beskonačno duga nit nabijena je jednoliko s linearnom gustoćom naboja λ
. Nađite jakost elektrostatičkog polja E(r) na proizvoljnoj udaljenosti r iz niti. Napravimo crtež: Analiza: Jer Nit ne nosi točkasti naboj, primjenjiva je DI metoda. Odaberimo infinitezimalni element duljine vodiča dl, koji će sadržavati naboj dq=dlλ. Izračunajmo jakost polja koju stvara svaki element vodiča u proizvoljnoj točki A koja se nalazi na udaljenosti od niti A. Vektor će biti usmjeren duž ravne linije koja povezuje točkasti naboj s točkom promatranja. Rezultirajuće polje dobivamo duž normale na navoj duž x osi. Potrebno je pronaći vrijednost dE x:
dE x =dE cosα. A-prior: Veličina dl, r, dosljedno se mijenjaju kada se položaj elementa mijenja dl. Izrazimo ih kroz veličinu α: Gdje dα– infinitezimalno povećanje kuta α kao rezultat rotacije radijus vektora u odnosu na točku A pri kretanju po niti za dl. Zatim dl=r 2 dα/ a. Prilikom kretanja dl od točke O kut se mijenja od 0 0 do π/2. Stoga Provjera dimenzija: [E]=V/m=kgm/mfm=KlV/Klm=V/m; Odgovor: Metoda 2. Zbog osne simetrije raspodjele naboja, sve točke koje se nalaze na jednakoj udaljenosti od niti su ekvivalentne i jakost polja u njima je ista, tj. E(r)=const, gdje je r- udaljenost od točke promatranja do niti. Smjer E u tim točkama uvijek poklapa sa smjerom normale na navoj. Po Gaussovom teoremu; Gdje Q-naboj pokriven površinom – S’ kroz koji se računa fluks biramo u obliku cilindra polumjera a i generatrise s navojem. Uzimajući u obzir da je normalan na bočnu površinu cilindra, za protok dobivamo: Jer E=konst. S strana = Na 2π
. Na drugoj strani E 2πaN=Q/ε 0 , Gdje λN=q. Odgovor:E=λ
/4πε
0 A. Primjer 2. Izračunajte napetost jednoliko nabijene beskonačne ravnine s površinskom gustoćom naboja σ
. Linije napetosti su okomite i usmjerene u oba smjera od ravnine. Kao zatvorenu plohu odaberemo plohu valjka čije su osnovice paralelne s ravninom, a os valjka okomita na ravninu. Jer generatori cilindra su paralelni s linijama napetosti (α=0, cos α=1 ),
tada je tok vektora napetosti kroz bočnu plohu jednak nuli, a ukupni fluks kroz zatvorenu cilindričnu plohu jednak zbroju teče kroz njegovu bazu. Naboj unutar zatvorene površine jednak je σ S Osnovni, temeljni , zatim: F E =2 ES glavni ili F E = = , tada je E = = Odgovor: E =, ne ovisi o duljini valjka i isti je u apsolutnoj vrijednosti na bilo kojoj udaljenosti od ravnine. Polje jednoliko nabijene ravnine je jednoliko. Primjer 3. Izračunajte polje dviju beskonačno nabijenih ravnina s površinskom gustoćom +σ odnosno –σ. E = E = 0; E = E + + E - = . Odgovor: Rezultirajuća jakost polja u području između ravnina jednaka je E =, a izvan volumena ograničenog ravninama jednaka je nuli. Primjer 4. Izračunajte jakost polja jednoliko nabijene sferne površine polumjera s površinskom gustoćom naboja +σ R. to, i, ako r< R
, то внутри замкнутой поверхности нет зарядов и электростатическое поле отсутствует (Е=0). Odgovor:. Primjer 5. Izračunajte volumenski intenzitet naboja s volumenskom gustoćom ρ
, polumjeri kuglice R. Uzmimo sferu kao zatvorenu plohu. Ako r ≥R, tada je = 4πr 2 E; E= ako r< R
, то сфера радиусом r, pokriva naboj q" jednak q"= (jer se naboji odnose kao volumeni, a volumeni kao kubovi polumjera) Zatim, prema Gaussovoj točki Odgovor:; unutar jednoliko nabijene kuglice napon linearno raste s udaljenošću r od svog središta, a izvana - smanjuje se u obrnutom razmjeru r 2 . Primjer br. 6. Izračunajte jakost polja beskonačnog, kružnog cilindra nabijenog linearnom gustoćom naboja λ
, radijus R. Tok vektora napetosti kroz krajeve cilindra je 0, a kroz bočnu površinu: Jer , ili , Zatim ako je λ > 0, E > 0, vektor Ē je usmjeren od cilindra, ako je λ< 0, Е < 0 , вектор Ē направлен к цилиндру. Ako je r< R, то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержит, поэтому в этой области Е = 0 Odgovor:(r > R); E = 0 (R>r). Ne postoji polje unutar beskonačnog okruglog cilindra jednoliko nabijenog po površini. Primjer 7. Električno polje stvaraju dvije beskonačno duge paralelne ravnine s ravninama površinskog naboja od 2 nC/m 2 i 4 nC/m 2 . Odredi jakost polja u područjima I, II, III. Izgradite grafikon ovisnosti Ē
(r) . Ravnine dijele prostor na 3 područja Smjer Ē rezultirajućeg polja je prema većem. U projekciji na r: ; «–»; ; «–»; ; «+»; Raspored Ē
(r) Odabir mjerila: E 2 =2 E 1 E 1 = 1; E2 =2 Odgovor:E I = –345 V/m; EÍ I = –172 V/m; E I II = 345 V/m. Primjer br. 8. Čvrsta lopta od ebanovine s radijusom R= 5 cm nosi naboj jednoliko raspoređen s volumenskom gustoćom ρ
=10 nC/m3. Odredite jakost električnog polja u točkama: 1) na udaljenosti r 1 = 3 cm od središta kugle; 2) na površini kugle; 3) na daljinu r 2 = 10 cm od središta kugle. Zhidkevich V.I. Električno polje ravnine // Fizika: problemi proračuna. - 2009. - br. 6. - str. 19-23. Problemi iz elektrostatike mogu se podijeliti u dvije skupine: problemi točkastih naboja i problemi naelektriziranih tijela čije se veličine ne mogu zanemariti. Rješavanje problema proračuna električnih polja i međudjelovanja točkastih naboja temelji se na primjeni Coulombova zakona i ne izaziva posebne poteškoće. Teže je odrediti jakost polja i međudjelovanje nabijenih tijela konačnih veličina: kugle, cilindra, ravnine. Pri proračunu jakosti elektrostatičkih polja različitih konfiguracija treba naglasiti važnost principa superpozicije i koristiti ga kada se razmatraju polja stvorena ne samo točkastim nabojima, već i nabojima raspoređenim po površini i volumenu. Kada se razmatra učinak polja na naboj, formula F=qE u općem slučaju vrijedi za točkasta nabijena tijela i samo u uniformnom polju primjenjiva za tijela bilo koje veličine i oblika koja nose naboj q. Električno polje kondenzatora proizlazi iz superpozicije dvaju polja koja stvara svaka ploča. U ravnom kondenzatoru jedna se ploča može smatrati tijelom s nabojemq 1postavljen u električno polje intenziteta E 2, stvorena drugom pločom. Razmotrimo nekoliko problema. 1.
Beskonačna ravnina nabijena je površinskom gustoćom σ
>0. Pronađite jakost polja E i potencijal ϕ
s obje strane aviona, s obzirom na potencijal aviona jednaka nuli. Izgradite grafikone ovisnosti E(x), ϕ
(X). x os okomita na ravninu, točka x=0 leži na ravnini. Riješenje. Električno polje beskonačne ravnine jednoliko je i simetrično u odnosu na ravninu. Njegovo napetost između intenzitet i razlika potencijala između dviju točaka jednolikog elektrostatskog polja izražava se formulom gdje je x - udaljenost između točaka, mjerena duž linije polja. Zatim ϕ
2 =
ϕ
1 -prv. Na x<0
при х>0 Ovisnosti E(x) i ϕ
(x) prikazani su na slici 1. 2.
Dvije planparalelne tanke ploče smještene na maloj udaljenosti d jedna od druge, jednoliko nabijene nabojem površinske gustoćeσ 1 i σ 2. Odredite jakosti polja u točkama koje leže između ploča i s vanjske strane. Grafički nacrtajte ovisnost o naponu E(x) i potencijal ϕ
(x), brojanje ϕ
(0)=0. Razmotrite slučajeve u kojima: a)σ 1 = -σ 2 ; b) σ 1 = σ 2; c) σ 1 =3 σ 2 - Riješenje. Budući da je udaljenost između ploča mala, one se mogu smatrati beskonačnim ravninama. Jakost polja pozitivno nabijene ravnine jednaka je i usmjerena od nje; prema njemu je usmjerena jakost polja negativno nabijene ravnine. Prema principu superpozicije, polje u bilo kojoj točki koja se razmatra stvorit će svaki od naboja zasebno. a) Polja dviju ravnina nabijenih nabojima jednakog i suprotnog predznaka (ravni kondenzator) zbrajaju se u području između ravnina i međusobno poništavaju u vanjskim područjima (sl. 2, A). Na x<0
E=
0,
ϕ
=0; na 0 Ako su ravnine konačnih dimenzija, tada polje između ravnina neće biti strogo uniformno, a polje izvan ravnina neće biti točno nula. b) Polja ravnina nabijenih nabojima jednakim po veličini i predznaku (σ 1 = σ 2 ), međusobno kompenziraju u prostoru između ravnina i zbrajaju se u vanjskim područjima (sl. 3, A). Na x<0
при 0 Pomoću grafikona E(x) (Sl. 3, b), napravimo kvalitativni grafikon ovisnosti ϕ
(x) (slika 3, c). c) Ako je σ 1 = σ 2, tada, uzimajući u obzir smjerove polja i birajući smjer udesno kao pozitivan, nalazimo: Ovisnost napetosti E o udaljenosti prikazana je na slici 4. 3.
Na jednoj od ploča ravnog kondenzatora kapaciteta S postoji naplataq 1=+3q, a s druge strane q 2
=+
q.
Odredite razliku potencijala između ploča kondenzatora. Riješenje. 1. metoda. Neka područje ploče kondenzatora S, i udaljenost između njih d. Polje unutar kondenzatora je jednoliko, pa se razlika potencijala (napona) na kondenzatoru može odrediti formulom U=E*d, gdje je E - jakost polja unutar kondenzatora. gdje je E 1, E 2 - jakost polja koju stvaraju ploče kondenzatora. Zatim 2. metoda. Dodajte naboj svakoj ploči Zatim se ploče kondenziraju satora će imati optužbe +
q i -q. Polja identičnih naboja ploča unutar kondenzatora se međusobno poništavaju. Dodani naboji nisu promijenili polje između ploča, a time ni razliku potencijala za kondenzator. U= q/c
.
4.
Tanka metalna ploča s nabojem + umetnuta je u prostor između ploča nenabijenog ravnog kondenzatora. q. Odredite razliku potencijala između ploča kondenzatora. Riješenje. Budući da kondenzator nije nabijen, električno polje stvara samo ploča koja ima naboj q (slika 5). Ovo polje je uniformno, simetrično u odnosu na ploču i njen intenzitetNeka je potencijal metalne ploče ϕ
. Zatim potencijali ploča A I U kondenzatori će biti jednaki ϕ-
ϕ A
=
ϕ
El 1; ϕ A
=
ϕ-El 1
;
ϕ-
ϕ B
=
ϕ-El 2
;
ϕ B
=
ϕ-El 2
.
Razlika potencijala između ploča kondenzatora 5.
U jednoličnom električnom polju intenziteta E 0 nabijena metalna ploča postavljena je okomito na linije sile s gustoćom naboja na površini svake strane ploče σ
(slika 6). Odredi jakost polja E" unutar i izvan ploče i gustoću površinskog nabojaσ 1 i σ 2 , koji će se pojaviti na lijevoj i desnoj strani ploče. Riješenje. Polje unutar ploče je nula i superpozicija je triju polja: vanjskog polja E 0, polje koje stvaraju naboji na lijevoj strani ploče, te polje koje stvaraju naboji na desnoj strani ploče. Stoga, 6.
U ravnom zračnom kondenzatoru jakost polja je E = 10 4 V/m. Razmak između ploča d= 2 cm.Kolika će biti razlika potencijala ako se između ploča paralelno s njima postavi metalni lim debljine ?d 0=0,5 cm (slika 7)? Riješenje. Budući da je električno polje između ploča jednoliko, dakle U=Ed, U=200 V. Ako između ploča označite lim, dobit ćete sustav od dva serijski spojena kondenzatora s razmakom između pločad 1 i d2. Kapaciteti ovih kondenzatoraNjihov ukupni kapacitet Budući da je kondenzator isključen iz izvora struje, naboj kondenzatora se ne mijenja kada se doda metalni lim: q"=CU=S"U 1 ; gdje je kapacitet kondenzatora sator prije dodavanja metalnog lima u njega. Dobivamo: U 1=
150 V. 7.
Na tanjurima A i C, koji se nalaze paralelno na udaljenosti d= 8 cm međusobno, potencijali održani ϕ 1= 60 V i ϕ 2
=-
60 V odnosno. Između njih je postavljena uzemljena ploča D na udaljenosti d 1 = 2 cm od ploče A. Koliko se promijenila jakost polja u presjecima AD i CD? Izgradite grafikone ovisnosti ϕ
(x) i E(x). Za izračun polja stvorenih nabojima koji su jednoliko raspoređeni po sfernim, cilindričnim ili ravnim površinama koristi se Ostrogradsky–Gaussov teorem (odjeljak 2.2). Metoda izračunavanja polja pomoću teorema Ostrogradski - Gauss. 1) Odaberite proizvoljnu zatvorenu plohu koja obuhvaća nabijeno tijelo. 2) Izračunavamo tok vektora napetosti kroz tu plohu. 3) Izračunavamo ukupni naboj koji pokriva ova površina. 4) Izračunate vrijednosti zamijenimo u Gaussov teorem i izrazimo jakost elektrostatičkog polja. Polje jednoliko nabijenog beskonačnog cilindra (nit).
Neka beskonačni cilindar polumjera R
jednoliko nabijen s linearnom gustoćom naboja +
τ
(slika 16). Iz razmatranja simetrije slijedi da će linije jakosti polja u bilo kojoj točki biti usmjerene duž radijalnih ravnih linija okomitih na os cilindra. Kao zatvorenu plohu biramo koaksijalan cilindar zadanog (sa zajedničkom osi simetrije) polumjera
r
i visine ℓ
. Izračunajmo vektorski tok
Gdje S
Osnovni, temeljni ,
S
strana– područje baze i bočne površine. Tok vektora napetosti kroz površine baza jednak je nuli, dakle Ukupni naboj pokriven odabranom površinom: Zamjenjujući sve u Gaussov teorem, uzimajući u obzir činjenicu da ε
= 1, dobivamo: Jačina elektrostatskog polja koju stvara beskonačno dug jednoliko nabijen cilindar ili beskonačno duga jednoliko nabijena nit u točkama koje se nalaze izvan njega: Gdje r
- udaljenost od osi
cilindar do zadane točke ( r
≥ R
); τ
- linearna gustoća naboja .
Ako r
< R
, tada zatvorena površina koja se razmatra ne sadrži naboje unutra, dakle u ovom području E
= 0, tj. unutar cilindra, bez polja
. Polje jednoliko nabijene beskonačne ravnine P Kao zatvorenu plohu odaberemo valjak čije su osnovice paralelne s nabijenom ravninom, a os je okomita na nju (slika 17). Budući da su linije koje tvore bočnu plohu cilindra paralelne s linijama napetosti, tok vektora napetosti kroz bočnu plohu je jednak nuli. Tok vektora napetosti kroz dva osnovna područja Ukupni naboj pokriven odabranom površinom: Zamjenom svega u Gaussov teorem, dobivamo: Jakost elektrostatskog polja beskonačne ravnomjerno nabijene ravnine Iz ove formule proizlazi da E
ne ovisi o duljini cilindra, odnosno jakost polja je ista u svim točkama. Drugim riječima, polje ravnomjerno nabijene ravnine homogena.
Polje dviju beskonačnih paralela suprotno nabijene ravnine P Prema principu superpozicije, Sa slike je vidljivo da su u području između ravnina linije sila suusmjerene, stoga je nastala napetost Izvan volumena ograničenog ravninama, dodana polja imaju suprotne smjerove, tako da je rezultirajući intenzitet jednak nuli. Dakle, ispada da je polje koncentrirano između ravnina. Dobiveni rezultat približno vrijedi za ravnine konačnih dimenzija, ako je udaljenost između ravnina mnogo manja od njihove površine (plosnati kondenzator). Ako su naboji istog predznaka s istom površinskom gustoćom raspoređeni na ravninama, tada između ploča nema polja, a izvan ploča se izračunava formulom (2.7). Snaga polja jednoliko nabijena kugla Polje koje stvara sferna površina radijusa
R
, nabijen površinskom gustoćom naboja
σ
, bit će središnje simetrične, stoga su linije napetosti usmjerene duž polumjera sfere (slika 19, a). Kao zatvorenu plohu izaberemo sferu polumjera r
, koji ima zajedničko središte s nabijenom sferom. Ako r
>
R
, tada sav naboj ulazi unutar površine Q
.
Tok vektora napetosti kroz površinu kugle Zamjenom ovog izraza u Gaussov teorem dobivamo: Jakost elektrostatičkog polja izvan jednoliko nabijene kugle: Gdje r
- udaljenost od centra
sfere. Iz ovoga je jasno da je polje identično polju točkastog naboja iste veličine smještenog u središtu kugle. Ako r
<
R
, onda zatvorena površina ne sadrži naboje unutra, dakle Unutar nabijene sfere nema polja
(Slika 19, b). Jakost polja volumena nabijena lopta P Polje u ovom slučaju ima središnju simetriju. Za jakost polja izvan kuglice dobiva se isti rezultat kao u slučaju površinski nabijene kuglice (2.8). Za točke unutar lopte napetost će biti drugačija (slika 20). Sferna površina pokriva naboj Prema tome, prema Gaussovoj teoremi S obzirom na to Jakost elektrostatskog polja unutar volumetrijski nabijene lopte Problem 2.3
. U polju beskonačno duge ravnine s površinskom gustoćom naboja σ
mala kuglica mase obješena je na nit m
, s nabojem istog predznaka kao i ravnina. Odredi naboj kuglice ako nit s okomicom tvori kut α
Riješenje.
Vratimo se analizi rješenja zadatka 1.4. Razlika je u tome što u zadatku 1.4 sila P Bilješka
da je za pronalaženje sile koja djeluje na naboj smješten u polju raspodijeljenog naboja potrebno koristiti formulu a jakost polja koju stvara nekoliko raspodijeljenih naboja može se pronaći pomoću načela superpozicije. Stoga su daljnji problemi posvećeni pronalaženju jakosti elektrostatskog polja raspodijeljenih naboja pomoću Ostrogradsky-Gaussovog teorema. Problem 2.4.
Predvidite jakost polja unutar i izvan ravnomjerno nabijene ploče debljine d
, volumetrijska gustoća naboja unutar ploče ρ
. Izgradite grafikon ovisnosti E
(x
). Riješenje.
Ishodište koordinata postavljamo u srednju ravninu ploče, a os OH Usmjerimo ga okomito na njega (slika 22, a). Primijenimo Ostrogradsky-Gaussov teorem za izračunavanje jakosti elektrostatskog polja nabijene beskonačne ravnine, tada Iz definicije volumetrijske gustoće naboja onda za napetost koju dobivamo To pokazuje da polje unutar ploče ovisi o x
. Polje izvan ploče izračunava se na sličan način: To pokazuje da je polje izvan ploče jednoliko. Grafikon napetosti E
iz x
na sl. 22, b. Problem 2.5.
Polje stvaraju dva beskonačno duga filamenta nabijena linearnom gustoćom naboja –
τ
1
i + τ
2
. Niti su smještene okomito jedna na drugu (slika 23). Nađite jakost polja u točki koja se nalazi na udaljenosti r
1
I r
2
od niti. R Na temelju principa superpozicije Prema Pitagorinoj teoremi Problem 2.6
. Polje stvaraju dva nabijena beskonačno duga šuplja koaksijalna cilindra polumjera
R
1
I R
2
>
R
1
. Površinske gustoće naboja su jednake –
σ
1
I +
σ
2
. Odredite jakost elektrostatičkog polja u sljedećim točkama: poanta A
koji se nalazi na udaljenosti d
1
<
R
1
; b) točka U
koji se nalazi na udaljenosti R
1
<
d
2
<
R
2
; c) točka S
koji se nalazi na udaljenosti d
3
>
R
1
>
R
2
. Udaljenosti se mjere od osi cilindra. Riješenje.
Koaksijalni cilindri su cilindri koji imaju zajedničku os simetrije. Napravimo crtež i na njemu pokažimo točke (slika 24). E
A
= 0. točka U
nalazi se unutar većeg cilindra, tako da u ovom trenutku polje stvara samo manji cilindar: Izrazimo linearnu gustoću naboja preko površinske gustoće naboja. Da bismo to učinili, koristimo formule (1.4) i (1.5), iz kojih izražavamo naboj: Izjednačimo desne strane i dobijemo: Gdje S
1
– površina prvog cilindra. Uzimajući u obzir činjenicu da točka S
nalazi se izvan oba cilindra, pa polje stvaraju oba cilindra. Prema principu superpozicije: Uzimajući u obzir gore dobivene upute i izračune, dobivamo: Problem 2.7
. Polje stvaraju dvije nabijene beskonačno duge paralelne ravnine. Površinske gustoće naboja su jednake σ
1
I σ
2
> σ
1
. Odredite jakost elektrostatskog polja u točkama koje se nalaze između ploča i izvan ploča. Riješite zadatak za dva slučaja: a) ploče su nabijene na isti način; b) ploče su suprotno nabijene. Riješenje.
U vektorskom obliku, rezultirajuća jakost polja se u svakom slučaju piše na isti način. Prema principu superpozicije: Vektorski moduli a) Ako su ravnine nabijene istim imenom, tada su ravnine napetosti usmjerene u različitim smjerovima (slika 26, a). Modul rezultirajuće napetosti Izvan ravnina napetosti .
b) Ako su ravnine nabijene suprotno, tada su, naprotiv, između ravnina napetosti usmjerene u jednom smjeru (slika 26, b), a izvan ravnina - u različitim smjerovima. 8. Elektrostatsko polje stvara jednoliko nabijena beskonačna ravnina. Pokažite da je to polje homogeno. Neka površinska gustoća naboja bude s. Očito je da vektor E može biti samo okomit na nabijenu ravninu. Osim toga, očito je da je u točkama simetričnim u odnosu na ovu ravninu vektor E iste veličine i suprotnog smjera. Ova konfiguracija polja sugerira da bi ravni cilindar trebao biti odabran kao zatvorena površina, gdje se pretpostavlja da je s veći od nule. Protok kroz bočnu površinu ovog cilindra je nula, pa će stoga ukupni protok kroz cijelu površinu cilindra biti jednak 2*E*DS, gdje je DS površina svakog kraja. Prema Gaussovoj teoremi gdje je s*DS naboj sadržan unutar cilindra. Preciznije, ovaj izraz treba napisati na sljedeći način: gdje je En projekcija vektora E na normalu n na nabijenu ravninu, a vektor n je usmjeren iz te ravnine. Činjenica da E ne ovisi o udaljenosti do ravnine znači da je odgovarajuće električno polje uniformno. 9. Od bakrene žice napravljena je četvrtina kruga polumjera 56 cm, duž žice je jednoliko raspoređen naboj linearne gustoće 0,36 nC/m. Pronađite potencijal u središtu kruga. Budući da je naboj linearno raspoređen duž žice, da bismo pronašli potencijal u središtu, koristimo se formulom: Gdje je s linearna gustoća naboja, dL je žičani element. 10. U električnom polju koje stvara točkasti naboj Q, negativni naboj -q giba se duž linije sile od točke koja se nalazi na udaljenosti r 1 od naboja Q do točke koja se nalazi na udaljenosti r 2 . Nađite prirast potencijalne energije naboja -q na tom pomaku. Po definiciji, potencijal je veličina brojčano jednaka potencijalnoj energiji jediničnog pozitivnog naboja u danoj točki polja. Stoga je potencijalna energija naboja q 2: 11. Dva identična elementa s emf. 1,2 V i unutarnji otpor od 0,5 Ohma spojeni su paralelno. Dobivena baterija je zatvorena na vanjski otpor od 3,5 ohma. Nađi struju u vanjskom strujnom krugu. Prema Ohmovom zakonu za cijeli krug, jakost struje u vanjskom krugu je: Gdje je E` emf baterije elemenata, r` je unutarnji otpor baterije, koji je jednak: EMF baterije jednak je zbroju EMF tri serijski spojena elementa: Stoga: Promotrimo žicu duljine L i promjera d, izrađenu od materijala otpornosti p. Otpor žice R može se pronaći pomoću formule Gdje je s = površina poprečnog presjeka žice. Pri jakosti struje I, tijekom vremena t, u vodiču se oslobodi količina topline Q: U ovom slučaju pad napona na žici jednak je: Otpor bakra: p1=0,017 μOhm*m=1,7*10 -8 Ohm*m otpornost čelika: p2=10 -7 Ohm*m budući da su žice spojene u seriju, jakosti struje u njima su iste i tijekom vremena t oslobađaju se količine topline Q1 i Q2: 12. U jednoličnom magnetskom polju postoji kružni svitak sa strujom. Ravnina zavojnice je okomita na silnice polja. Dokažite da su rezultante sila koje na strujni krug djeluju iz magnetskog polja jednake nuli. Budući da je kružni svitak s strujom u jednoličnom magnetskom polju, na njega djeluje Amperova sila. U skladu s formulom dF=I, rezultirajuća amperska sila koja djeluje na zavojnicu kojom teče struja određena je prema: Gdje se integracija provodi duž zadane konture sa strujom I. Budući da je magnetsko polje uniformno, vektor B se može izvaditi ispod integrala i zadatak će se svesti na izračunavanje vektorskog integrala. Ovaj integral predstavlja zatvoreni lanac elementarnih vektora dL, pa je jednak nuli. To znači F=0, odnosno da je rezultirajuća Amperova sila nula u jednoličnom magnetskom polju. 13. Kratkom zavojnicom od 90 zavoja promjera 3 cm teče struja. Jakost magnetskog polja koje stvara struja na osi zavojnice na udaljenosti 3 cm od nje je 40 A/m. Odredite jakost struje u zavojnici. Uzimajući u obzir da je magnetska indukcija u točki A superpozicija magnetske indukcije koju stvara svaki zavoj zavojnice zasebno: Da bismo pronašli zavoj B, koristimo Biot-Savart-Laplaceov zakon. Gdje je dBturn magnetska indukcija polja koju stvara trenutni element IDL u točki određenoj radijus vektorom r. Odaberite element dL na kraju i povucite radijus vektor r od njega do točke A. Usmjerit ćemo dBturn vektor u skladu s gimlet pravilom. Prema principu superpozicije: Gdje se integracija provodi nad svim elementima dLturn. Rastavimo dBturn na dvije komponente dBturn(II) - paralelnu s ravninom prstena i dBturn(I) - okomitu na ravninu prstena. Zatim Primijetivši to Gdje je dBturn(I) =dBturn*cosb i Kako je dl okomit na r Smanjimo za 2p i zamijenimo cosb s R/r1 Izrazimo I odavde, znajući da je R=D/2 prema formuli koja povezuje magnetsku indukciju i jakost magnetskog polja: onda prema Pitagorinom teoremu sa crteža: 14. Elektron uleti u jednoliko magnetsko polje u smjeru okomitom na silnice brzinom 10۰10 6 m/s i giba se po kružnom luku polumjera 2,1 cm.Odredite indukciju magnetskog polja. Na elektron koji se kreće u jednoličnom magnetskom polju djelovat će Lorentzova sila okomita na brzinu elektrona i stoga usmjerena prema središtu kruga: Budući da je kut između v i I 90 0: Kako je sila Fl usmjerena prema središtu kruga, a elektron se pod utjecajem te sile kreće po krugu, tada Izrazimo magnetsku indukciju: 15. Kvadratni okvir stranice 12 cm izrađen od bakrene žice nalazi se u magnetskom polju čija se magnetska indukcija mijenja po zakonu B = B 0 · Sin (ωt), gdje je B 0 = 0,01 T , ω = 2 · π/ T i T=0,02 s. Ravnina okvira je okomita na smjer magnetskog polja. Nađite najveću vrijednost emf. indukcija koja se javlja u okviru. Površina kvadratnog okvira S=a 2. Promjena magnetskog toka dj, kada je ravnina okvira okomita dj=SdB Određuje se inducirana emf E će biti maksimalan pri cos(wt)=1
(13.10)
(13.11)
(13.13)
.
.
.
.
(ako je r > R)
;
;
.
Ako je ploča na istoj udaljenosti od ploča kondenzatora, tada je razlika potencijala između ploča jednaka nuli.
gdje je σ 1 i σ 2 - površinska gustoća naboja na lijevoj i desnoj strani ploče, koja se pojavljuje nakon što se ploča unese u polje E 0. Ukupni naboj na ploči neće se promijeniti, dakleσ 1 + σ 2 =2 σ, odakle je σ 1 = σ- ε 0 E 0
, σ 2 = σ + ε 0 E 0
. Polje izvan ploče je superpozicija polja E 0 i polja nabijenih ploča E. S lijeve strane od ploče Desno od ploče
Primjeri izračuna nekih polja
kroz ovu površinu:
,
.
.
, (2.5)
Neka je beskonačna ravnina nabijena konstantnom površinskom gustoćom +
σ
.
.
.
. (2.6)
ravnine su jednoliko nabijene s površinskim gustoćama jednake veličine + σ
i - σ
(Slika 18).
.
. (2.7)
.
, (2.8)
imati loptu radijusa R
nabijen konstantnom volumetrijskom gustoćom naboja ρ
.
, dobivamo:
(r
≤
R
). (2.9)
.
izračunava se prema Coulombovom zakonu (1.2), au zadatku 2.3 - iz definicije jakosti elektrostatskog polja (2.1) 
. Jakost elektrostatskog polja beskonačne ravnomjerno nabijene ravnine izvedena je pomoću Ostrogradsky-Gaussovog teorema (2.4).
Polje ravnine je jednoliko i ne ovisi o udaljenosti od ravnine. Od sl. 21:
.
,
.
,
.
odluka.
Pokažimo na slici jakost polja koju stvara svaka nit posebno. Vektor 
usmjerena Do
prva nit, budući da je negativno nabijena. Vektor 
usmjerena iz
druga nit, jer je pozitivno nabijena. Vektori 
I 
međusobno okomiti, pa rezultirajući vektor 
bit će hipotenuza pravokutnog trokuta. Vektorski moduli 
I 
određuju se formulom (2.5).
.
.
,
, konačno dobivamo:
.
.
.
I 
izračunavaju se pomoću formule (2.6).
I 
usmjerena u jednom smjeru. Budući da je polje beskonačnih nabijenih ravnina uniformno, odnosno ne ovisi o udaljenosti ravnina, tada će u bilo kojoj točki i lijevo i desno od ravnina polje biti isto:
12 Električni krug sadrži bakrene i čelične žice jednake duljine i promjera u nizu. Nađite omjer količina topline oslobođene u tim žicama.
zbog simetrije i zato što su vektori dBturn(I) susmjerni, vektorsku integraciju zamjenjujemo skalarnom:
