Što znači napisati u obliku nejednakosti. Linearne nejednakosti. Detaljna teorija s primjerima. Svojstva brojevnih nejednakosti

Odnosno, prvo se zapisuje varijabla uključena u nejednakost, a zatim pomoću znaka članstva ∈ označavaju kojem numeričkom intervalu pripadaju vrijednosti ove varijable. U ovom slučaju, izraz x∈ [ 2 ; 8 ] označava da varijabla x, uključeno u nejednakost 2 ≤ x≤ 8, uzima sve vrijednosti između 2 i 8 uključujući. Za ove vrijednosti nejednakost će biti istinita.

Obratite pažnju na to da se odgovor piše u uglastim zagradama, budući da su granice nejednadžbe 2 ≤ x≤ 8 , naime, brojevi 2 i 8 pripadaju skupu rješenja ove nejednakosti.

Skup rješenja nejednadžbe 2 ≤ x≤ 8 se također može prikazati pomoću koordinatnog pravca:

Ovdje granice brojčanog intervala 2 i 8 odgovaraju granicama nejednakosti 2 ≤ x x 2 ≤ x≤ 8 .

U nekim izvorima nazivaju se granice koje ne pripadaju brojčanom jazu otvoren .

Nazivaju se otvorenim jer numerički interval ostaje otvoren zbog činjenice da njegove granice ne pripadaju tom numeričkom intervalu. Prazan krug na koordinatnoj liniji matematike naziva se izbijena točka . Zabiti točku znači isključiti je iz brojčanog intervala ili iz skupa rješenja nejednadžbe.

A u slučaju kada granice pripadaju numeričkom intervalu, nazivaju se zatvoreno(ili zatvorene), budući da takve granice zatvaraju (zatvaraju) brojčani jaz. Ispunjeni krug na koordinatnoj liniji također označava da su granice zatvorene.

Postoje različite numeričke intervale. Razmotrimo svaki od njih.

brojčani snop

brojčani snop x ≥ a, gdje a x- rješavanje nejednakosti.

Neka bude a= 3 . Zatim nejednakost x ≥ a poprimit će oblik x≥ 3 . Rješenja ove nejednakosti su svi brojevi koji su veći od 3, uključujući i sam broj 3.

Nacrtaj brojevnu zraku zadanu nejednakošću x≥ 3, na koordinatnoj liniji. Da biste to učinili, označite na njemu točku s koordinatom 3, a ostalo područje s njegove desne strane označite crticama. Ističe se desna strana, budući da su rješenja nejednadžbe x≥ 3 su brojevi veći od 3. I veći brojevi na koordinatnoj liniji nalaze se desno

x≥ 3 , a područje označeno crtama odgovara skupu vrijednosti x, koji su rješenja nejednakosti x≥ 3 .

Točka 3, koja je granica brojevne zrake, prikazana je kao popunjena kružnica, budući da je granica nejednakosti x≥ 3 pripada skupu njegovih rješenja.

U pisanom obliku, brojevni pravac zadan nejednakošću x ≥ a,

[ a; +∞)

Vidi se da je s jedne strane obrub uokviren uglastim, a s druge okruglom zagradom. To je zbog činjenice da joj jedna granica brojčane zrake pripada, a druga ne, budući da sama beskonačnost nema granica i podrazumijeva se da s druge strane nema broja koji zatvara ovu numeričku zraku.

S obzirom da je jedna od granica brojevnog pravca zatvorena, ovaj se jaz često naziva zatvorena brojevna zraka.

Napišimo odgovor na nejednakost x≥ 3 koristeći zapis brojčanih zraka. Imamo varijablu a je 3

x ∈ [ 3 ; +∞)

Ovaj izraz kaže da varijabla x uključeno u nejednakost x≥ 3, uzima sve vrijednosti od 3 do plus beskonačno.

Drugim riječima, svi brojevi od 3 do plus beskonačno su rješenja nejednakosti x≥ 3 . Granica 3 pripada skupu rješenja jer je nejednakost x≥ 3 nije strogo.

Zatvorena brojevna zraka također se naziva brojevnim intervalom, koji je dan nejednakošću x ≤ a . Rješenja nejednakosti x ≤ a a , uključujući i sam broj a.

Na primjer, ako a x≤ 2 . Na koordinatnoj liniji, granica 2 bit će prikazana kao popunjena kružnica, a cijelo područje se nalazi lijevo, bit će istaknut crticama. Ovaj put je istaknuta lijeva strana, budući da su rješenja nejednakosti x≤ 2 su brojevi manji od 2. A manji brojevi na koordinatnoj liniji nalaze se lijevo

x≤ 2 , a isprekidano područje odgovara skupu vrijednosti x, koji su rješenja nejednakosti x≤ 2 .

Točka 2, koja je granica brojevne zrake, prikazana je kao popunjena kružnica, budući da je granica nejednakosti x≤ 2 pripada skupu njegovih rješenja.

Napišimo odgovor na nejednakost x≤ 2 koristeći zapis brojčanih zraka:

x ∈ (−∞ ; 2 ]

x≤ 2. Granica 2 pripada skupu rješenja, budući da je nejednakost x≤ 2 nije strogo.

Otvoreni snop brojeva

Otvoreni snop brojeva naziva se numerički interval, koji je dan nejednakošću x > a, gdje a je granica ove nejednakosti, x- rješenje nejednakosti.

Otvoreni brojevni pravac na mnogo je načina sličan zatvorenom brojevnom pravcu. Razlika je u tome što granica a ne pripada intervalu, kao ni granica nejednakosti x > a ne pripada skupu njegovih rješenja.

Neka bude a= 3 . Tada nejednakost poprima oblik x> 3 . Rješenja ove nejednadžbe su svi brojevi koji su veći od 3, osim broja 3

Na koordinatnoj liniji, granica otvorene brojevne zrake zadana nejednakošću x> 3 će se prikazati kao prazan krug. Cijelo područje s desne strane bit će istaknuto potezima:

Ovdje točka 3 odgovara granici nejednakosti x > 3 , a područje označeno potezima odgovara skupu vrijednosti x, koji su rješenja nejednakosti x > 3 . Točka 3, koja je granica otvorene numeričke zrake, prikazana je kao prazan krug, budući da je granica nejednadžbe x > 3 ne pripada skupu njegovih rješenja.

x > a , označeno kako slijedi:

(a; +∞)

Zagrade označavaju da joj granice otvorene brojevne zrake ne pripadaju.

Napišimo odgovor na nejednakost x> 3 koristeći notaciju otvorenog numeričkog snopa:

x ∈ (3 ; +∞)

Ovaj izraz kaže da su svi brojevi od 3 do plus beskonačno rješenja nejednakosti x> 3 . Granica 3 ne pripada skupu rješenja jer je nejednakost x> 3 je strogo.

Otvorena brojevna zraka također se naziva brojevnim intervalom, koji je dan nejednakošću x< a , gdje a je granica ove nejednakosti, x— rješenje nejednakosti . Rješenja nejednakosti x< a su svi brojevi manji od a , isključujući broj a.

Na primjer, ako a= 2 , tada nejednakost poprima oblik x< 2. Na koordinatnoj liniji, granica 2 će biti prikazana kao prazan krug, a cijelo područje lijevo će biti istaknuto potezima:

Ovdje točka 2 odgovara granici nejednakosti x< 2 , a područje označeno potezima odgovara skupu vrijednosti x, koji su rješenja nejednakosti x< 2. Točka 2, koja je granica otvorene numeričke zrake, prikazana je kao prazan krug, budući da je granica nejednadžbe x< 2 ne pripada skupu njegovih rješenja.

U pisanom obliku, snop otvorenih brojeva zadan nejednakošću x< a , označeno kako slijedi:

(−∞ ; a)

Napišimo odgovor na nejednakost x< 2 koristeći zapis otvorene numeričke zrake:

x ∈ (−∞ ; 2)

Ovaj izraz kaže da su svi brojevi od minus beskonačno do 2 rješenja nejednakosti x< 2. Granica 2 ne pripada skupu rješenja jer je nejednakost x< 2 je stroga.

Segment linije

segment a ≤ x ≤ b, gdje a i b x- rješenje nejednakosti.

Neka bude a = 2 , b= 8 . Zatim nejednakost a ≤ x ≤ b poprima oblik 2 ≤ x≤ 8 . Rješenja nejednadžbe 2 ≤ x≤ 8 su svi brojevi koji su veći od 2 i manji od 8. Štoviše, granice nejednadžbe 2 i 8 pripadaju skupu njezinih rješenja, budući da je nejednadžba 2 ≤ x≤ 8 nije strogo.

Nacrtaj odsječak zadan dvostrukom nejednakošću 2 ≤ x≤ 8 na koordinatnoj liniji. Da biste to učinili, označite točke na njemu koordinatama 2 i 8, a područje između njih označite potezima:

≤ x≤ 8 , a isprekidano područje odgovara skupu vrijednosti x x≤ 8 . Točke 2 i 8, koje su granice segmenta, prikazane su kao popunjene kružnice, budući da su granice nejednadžbe 2 ≤ x≤ 8 pripadaju skupu njegovih rješenja.

Na slovu, segment zadan nejednakošću a ≤ x ≤ b označeno kako slijedi:

[ a; b ]

Uglate zagrade s obje strane označavaju da su granice segmenta pripadati mu. Napišimo odgovor na nejednakost 2 ≤ x

x ∈ [ 2 ; 8 ]

Ovaj izraz kaže da su svi brojevi od 2 do uključujući 8 rješenja nejednakosti 2 ≤ x≤ 8 .

Interval

interval naziva se numerički interval, koji je dan dvostrukom nejednakošću a< x < b , gdje a i b su granice ove nejednakosti, x- rješenje nejednakosti.

Neka bude a = 2, b = 8. Zatim nejednakost a< x < b poprimiće oblik 2< x< 8 . Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, исключая числа 2 и 8.

Opišimo interval na koordinatnoj liniji:

Ovdje točke 2 i 8 odgovaraju granicama nejednakosti 2< x< 8 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x < x< 8 . Точки 2 и 8, являющиеся границами интервала, изображены в виде пустых кружков, поскольку границы неравенства 2 < x< 8 не принадлежат множеству его решений.

U pisanom obliku, interval zadan nejednakošću a< x < b, označeno kako slijedi:

(a; b)

Zagrade s obje strane označavaju da su granice intervala ne pripada mu. Zapišimo odgovor na nejednakost 2< x< 8 с помощью этого обозначения:

x ∈ (2 ; 8)

Ovaj izraz kaže da su svi brojevi od 2 do 8, osim brojeva 2 i 8, rješenja nejednakosti 2< x< 8 .

Polu intervala

Polu intervala naziva se numerički interval, koji je dan nejednakošću a ≤ x< b , gdje a i b su granice ove nejednakosti, x- rješenje nejednakosti.

Polu-interval se također naziva numeričkim intervalom, koji je dan nejednakošću a< x ≤ b .

Pripada mu jedna od granica poluintervala. Otuda i naziv ovog numeričkog intervala.

U situaciji s poluintervalom a ≤ x< b on (poluinterval) pripada lijevoj granici.

I to u situaciji s poluintervalom a< x ≤ b posjeduje desnu granicu.

Neka bude a= 2 , b= 8 . Zatim nejednakost a ≤ x< b poprima oblik 2 ≤ x < 8 . Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, включая число 2, но исключая число 8.

Nacrtajte interval 2 ≤ x < 8 на координатной прямой:

x < 8 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, koji su rješenja nejednadžbe 2 ≤ x < 8 .

Točka 2, tj lijeva granica poluinterval, prikazan je kao ispunjen krug, budući da je lijeva granica nejednadžbe 2 ≤ x < 8 pripada mnoga njegova rješenja.

I točka 8, koja je desna granica poluinterval je prikazan kao prazan krug, budući da je desna granica nejednadžbe 2 ≤ x < 8 ne pripada mnoga njegova rješenja.

a ≤ x< b, označeno kako slijedi:

[ a; b)

Vidi se da je s jedne strane obrub uokviren uglastim, a s druge okruglom zagradom. To je zbog činjenice da mu jedna granica poluintervala pripada, dok druga ne. Napišimo odgovor na nejednakost 2 ≤ x < 8 с помощью этого обозначения:

x ∈ [ 2 ; 8)

Ovaj izraz kaže da su svi brojevi od 2 do 8, uključujući broj 2, ali isključujući broj 8, rješenja nejednakosti 2 ≤ x < 8 .

Slično, na koordinatnoj liniji može se prikazati poluinterval zadan nejednakošću a< x ≤ b . Neka bude a= 2 , b= 8 . Zatim nejednakost a< x ≤ b poprimiće oblik 2< x≤ 8 . Rješenja ove dvostruke nejednakosti su svi brojevi koji su veći od 2 i manji od 8, isključujući broj 2, ali uključujući broj 8.

Nacrtajte poluinterval 2< x≤ 8 na koordinatnoj liniji:

Ovdje točke 2 i 8 odgovaraju granicama nejednakosti 2< x≤ 8 , a isprekidano područje odgovara skupu vrijednosti x, koji su rješenja nejednadžbe 2< x≤ 8 .

Točka 2, tj lijeva granica poluinterval, prikazan je kao prazan krug, budući da je lijeva granica nejednadžbe 2< x≤ 8 ne pripada mnoga njegova rješenja.

I točka 8, koja je desna granica poluinterval, prikazan je kao popunjena kružnica, budući da je desna granica nejednadžbe 2< x≤ 8 pripada mnoga njegova rješenja.

U pisanom obliku, poluinterval dat nejednakosti a< x ≤ b, označeno ovako: a; b] . Zapišimo odgovor na nejednakost 2< x≤ 8 koristeći ovu notaciju:

x ∈ (2 ; 8 ]

Ovaj izraz kaže da su svi brojevi od 2 do 8, osim broja 2, ali uključujući i broj 8, rješenja nejednakosti 2< x≤ 8 .

Slika brojčanih intervala na koordinatnoj liniji

Numerički raspon može se odrediti pomoću nejednakosti ili pomoću zapisa (zagrada ili uglatih zagrada). U oba slučaja, mora se moći predstaviti ovaj brojčani interval na koordinatnoj liniji. Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer 1. Nacrtajte brojčani interval zadan nejednakošću x> 5

Podsjećamo da je nejednakost oblika x> a specificirana je otvorena numerička zraka. U ovom slučaju, varijabla a jednako 5. Nejednakost x> 5 je strog, pa će granica 5 biti prikazana kao prazan krug. Zanimaju nas sve vrijednosti x, koji su veći od 5, pa će cijelo područje s desne strane biti istaknuto potezima:

Primjer 2. Nacrtajte brojčani interval (5; +∞) na koordinatnoj liniji

Ovo je isti raspon brojeva koji smo prikazali u prethodnom primjeru. Ali ovaj put se ne postavlja uz pomoć nejednakosti, već uz pomoć zapisa brojčanog intervala.

Granica 5 okružena je zagradom, što znači da ne pripada praznini. U skladu s tim, krug ostaje prazan.

Simbol +∞ označava da nas zanimaju svi brojevi koji su veći od 5. Sukladno tome, cijelo područje desno od granice 5 je označeno potezima:

Primjer 3. Nacrtajte brojčani interval (−5; 1) na koordinatnoj liniji.

Okrugle zagrade s obje strane označavaju intervale. Granice intervala mu ne pripadaju, pa će granice −5 i 1 biti prikazane na koordinatnoj liniji kao prazni krugovi. Cijelo područje između njih bit će istaknuto potezima:

Primjer 4. Nacrtajte brojčani interval zadan nejednakošću −5< x< 1

Ovo je isti raspon brojeva koji smo prikazali u prethodnom primjeru. Ali ovaj put se ne specificira uz pomoć intervalne notacije, već uz pomoć dvostruke nejednakosti.

Nejednakost oblika a< x < b , interval je postavljen. U ovom slučaju, varijabla a jednako −5 , a varijabla b jednak je jedan. Nejednakost −5< x< 1 je strog, pa će granice −5 i 1 biti nacrtane kao prazni krugovi. Zanimaju nas sve vrijednosti x, koji su veći od −5, ali manji od jedan, pa će cijelo područje između točaka −5 i 1 biti istaknuto potezima:

Primjer 5. Nacrtajte numeričke intervale [-1; 2] i

Ovaj put ćemo nacrtati dvije praznine na koordinatnoj liniji odjednom.

Uglate zagrade s obje strane označavaju segmente. Njemu pripadaju granice segmenta, pa granice segmenata [-1; 2] i bit će prikazan na koordinatnoj liniji kao popunjeni krugovi. Cijelo područje između njih bit će istaknuto potezima.

Da biste jasno vidjeli praznine [−1; 2] i , prvi se može prikazati na gornjem dijelu, a drugi na dnu. Pa napravimo to:

Primjer 6. Nacrtajte numeričke intervale [-1; 2) i (2; 5]

Uglate zagrade s jedne strane i okrugle zagrade s druge označavaju polu-intervale. Jedna od granica poluintervala pripada joj, a druga ne.

U slučaju poluintervala [-1; 2) lijeva granica će mu pripasti, ali desna neće. To znači da će lijeva granica biti prikazana kao popunjeni krug. Desni rub će biti prikazan kao prazan krug.

A u slučaju poluintervala (2; 5] pripadat će mu samo desni rub, ali lijevi ne. To znači da će lijevi rub biti prikazan kao popunjeni krug. Prikazat će se desni rub kao prazan krug.

Nacrtajte interval [-1; 2) na gornjem dijelu koordinatnog pravca, a interval (2; 5] — na donjem:

Primjeri rješavanja nejednačina

Nejednakost koja se identičnim transformacijama može svesti na oblik sjekira > b(ili na pogled sjekira< b ), nazvat ćemo linearna nejednakost s jednom varijablom.

U linearnoj nejednakosti sjekira > b , x je varijabla čije vrijednosti treba pronaći, a je koeficijent ove varijable, b je granica nejednakosti, koja, ovisno o predznaku nejednakosti, može ili pripadati skupu njegovih rješenja ili mu ne pripadati.

Na primjer, nejednakost 2 x> 4 je nejednakost oblika sjekira > b. U njemu je uloga varijable a igra broj 2, ulogu varijable b(granična nejednakost) igra broj 4.

Nejednakost 2 x> 4 može se učiniti još jednostavnijim. Ako oba njegova dijela podijelimo s 2, onda ćemo dobiti nejednakost x> 2

Rezultirajuća nejednakost x> 2 je također nejednakost oblika sjekira > b, odnosno linearna nejednakost s jednom varijablom. U ovoj nejednakosti uloga varijable a jedinica svira. Ranije smo rekli da se koeficijent 1 ne bilježi. Uloga varijable b igra broj 2.

Na temelju ovih informacija, pokušajmo riješiti neke jednostavne nejednakosti. Tijekom rješavanja izvršit ćemo elementarne transformacije identiteta kako bismo dobili nejednakost oblika sjekira > b

Primjer 1. Riješite nejednakost x− 7 < 0

Objema stranama nejednakosti dodajte broj 7

x− 7 + 7 < 0 + 7

Na lijevoj strani će ostati x, a desna strana postaje jednaka 7

x< 7

Elementarnim transformacijama smanjili smo nejednakost x− 7 < 0 к равносильному неравенству x< 7 . Решениями неравенства x< 7 являются все числа, которые меньше 7. Граница 7 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство строгое.

Kada se nejednakost dovede do oblika x< a (ili x > a), može se smatrati već riješenim. Naša nejednakost x− 7 < 0 тоже приведено к такому виду, а именно к виду x< 7 . Но в большинстве школ требуют, чтобы ответ был записан с помощью числового промежутка и проиллюстрирован на координатной прямой.

Zapišimo odgovor pomoću brojčanog intervala. U ovom slučaju, odgovor će biti otvorena brojevna zraka (sjetite se da je brojevna zraka dana nejednakošću x< a i označava se kao (−∞ ; a)

x ∈ (−∞ ; 7)

Na koordinatnoj liniji, granica 7 će biti prikazana kao prazan krug, a cijelo područje lijevo od granice bit će istaknuto potezima:

Za provjeru uzimamo bilo koji broj iz intervala (−∞ ; 7) i zamjenjujemo ga u nejednadžbi x< 7 вместо переменной x. Uzmimo, na primjer, broj 2

2 < 7

Pokazala se točna brojčana nejednakost, što znači da je rješenje točno. Uzmimo neki drugi broj, na primjer, broj 4

4 < 7

Pokazalo se točna brojčana nejednakost. Dakle odluka je ispravna.

I zato što je nejednakost x< 7 равносильно исходному неравенству x - 7 < 0 , то решения неравенства x< 7 будут совпадать с решениями неравенства x - 7 < 0 . Подставим те же тестовые значения 2 и 4 в неравенство x - 7 < 0

2 − 7 < 0

−5 < 0 — Верное неравенство

4 − 7 < 0

−3 < 0 Верное неравенство

Primjer 2. Riješite nejednakost −4 x < −16

Podijelite obje strane nejednakosti s −4. Nemojte zaboraviti da pri dijeljenju oba dijela nejednakosti na negativan broj, znak nejednakosti mijenja u suprotno:

Smanjili smo nejednakost −4 x < −16 к равносильному неравенству x> 4 . Rješenja nejednakosti x> 4 bit će svi brojevi koji su veći od 4. Granica 4 ne pripada skupu rješenja, budući da je nejednakost stroga.

x> 4 na koordinatnoj liniji i napiši odgovor kao brojčani interval:

Primjer 3. Riješite nejednakost 3y + 1 > 1 + 6y

Ponovno raspored 6 y s desne strane na lijevu stranu promjenom znaka. I prenijet ćemo 1 s lijeve strane na desnu stranu, opet mijenjajući znak:

3y− 6y> 1 − 1

Evo sličnih pojmova:

−3y > 0

Podijelite obje strane s −3. Nemojte zaboraviti da se pri dijeljenju oba dijela nejednadžbe negativnim brojem, predznak nejednakosti obrće:

Rješenja nejednakosti y< 0 являются все числа, меньшие нуля. Изобразим множество решений неравенства y< 0 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Primjer 4. Riješite nejednakost 5(x− 1) + 7 ≤ 1 − 3(x+ 2)

Proširimo zagrade u oba dijela nejednakosti:

Pomak -3 x s desne strane na lijevu stranu promjenom znaka. Prenijet ćemo pojmove −5 i 7 s lijeve strane na desnu, opet mijenjajući predznake:

Evo sličnih pojmova:

Podijelite obje strane rezultirajuće nejednakosti s 8

Rješenja za nejednakost su svi brojevi koji su manji od . Granica pripada skupu rješenja jer nejednakost nije stroga.

Primjer 5. Riješite nejednakost

Pomnožite obje strane nejednakosti s 2. Time ćete se riješiti razlomka s lijeve strane:

Sada prelazimo 5 s lijeve strane na desnu stranu mijenjajući znak:

Nakon što smanjimo slične članove, dobivamo nejednakost 6 x> 1 . Oba dijela ove nejednakosti podijelimo sa 6. Tada dobivamo:

Rješenja nejednakosti su svi brojevi veći od . Granica ne pripada skupu rješenja jer je nejednakost stroga.

Nacrtajte skup rješenja nejednadžbe na koordinatnoj liniji i napišite odgovor kao brojčani interval:

Primjer 6. Riješite nejednakost

Pomnožite obje strane sa 6

Nakon što smanjimo slične članove, dobivamo nejednakost 5 x< 30 . Разделим обе части этого неравенства на 5

Rješenja nejednakosti x< 6 являются все числа, которые меньше 6. Граница 6 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является x< 6 строгим.

Nacrtaj skup rješenja nejednadžbe x< 6 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Primjer 7. Riješite nejednakost

Pomnožite obje strane nejednakosti sa 10

U rezultirajućoj nejednakosti otvorite zagrade na lijevoj strani:

Prijenos članova bez x na desnu stranu

Predstavljamo slične pojmove u oba dijela:

Oba dijela dobivene nejednakosti podijelite s 10

Rješenja nejednakosti x≤ 3,5 su svi brojevi koji su manji od 3,5. Granica 3,5 pripada skupu rješenja budući da je nejednakost x≤ 3,5 nestrogo.

Nacrtaj skup rješenja nejednadžbe x≤ 3,5 na koordinatnoj liniji i napiši odgovor kao brojčani interval:

Primjer 8. Riješite nejednakost 4< 4x< 20

Za rješavanje takve nejednakosti potrebna nam je varijabla x oslobođen koeficijenta 4. Tada možemo reći u kojem se intervalu nalazi rješenje ove nejednadžbe.

Za oslobađanje varijable x iz koeficijenta možete podijeliti pojam 4 x sa 4. Ali pravilo u nejednadžbama je da ako član nejednadžbe podijelimo nekim brojem, onda se isto mora učiniti i s ostalim članovima koji su uključeni u ovu nejednakost. U našem slučaju trebamo podijeliti sa 4 sva tri člana nejednakosti 4< 4x< 20

Rješenja nejednakosti 1< x< 5 являются все числа, которые больше 1 и меньше 5. Границы 1 и 5 не принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 1 < x< 5 является строгим.

Nacrtaj skup rješenja nejednadžbe 1< x< 5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Primjer 9. Riješite nejednakost −1 ≤ −2 x≤ 0

Podijelite sve članove nejednakosti s −2

Dobili smo nejednakost 0,5 ≥ x≥ 0 . Poželjno je napisati dvostruku nejednadžbu tako da se manji član nalazi lijevo, a veći desno. Stoga našu nejednakost prepisujemo na sljedeći način:

0 ≤ x≤ 0,5

Rješenja nejednadžbe 0 ≤ x≤ 0,5 su svi brojevi koji su veći od 0 i manji od 0,5. Granice 0 i 0,5 pripadaju skupu rješenja, budući da je nejednakost 0 ≤ x≤ 0,5 nije strogo.

Nacrtaj skup rješenja nejednadžbe 0 ≤ x≤ 0,5 na koordinatnoj liniji i napiši odgovor kao brojčani interval:

Primjer 10. Riješite nejednakost

Pomnožite obje nejednakosti sa 12

Otvorimo zagrade u rezultirajućoj nejednakosti i predstavimo slične pojmove:

Podijelite obje strane rezultirajuće nejednakosti s 2

Rješenja nejednakosti x≤ −0,5 su svi brojevi koji su manji od −0,5. Granica −0.5 pripada skupu rješenja jer je nejednakost x≤ −0,5 nije strogo.

Nacrtaj skup rješenja nejednadžbe x≤ −0,5 na koordinatnoj liniji i napiši odgovor kao brojčani interval:

Primjer 11. Riješite nejednakost

Pomnožite sve dijelove nejednakosti sa 3

Sada oduzmite 6 od svakog dijela rezultirajuće nejednakosti

Svaki dio rezultirajuće nejednakosti podijelimo s −1. Nemojte zaboraviti da se pri dijeljenju svih dijelova nejednadžbe negativnim brojem, predznak nejednakosti obrće:

Rješenja nejednadžbe 3 ≤ a≤ 9 su svi brojevi koji su veći od 3 i manji od 9. Granice 3 i 9 pripadaju skupu rješenja, budući da je nejednakost 3 ≤ a≤ 9 nije strogo.

Nacrtaj skup rješenja nejednadžbe 3 ≤ a≤ 9 na koordinatnoj liniji i napiši odgovor kao brojčani interval:

Kad nema rješenja

Postoje nejednakosti koje nemaju rješenja. Takva je, na primjer, nejednakost 6 x> 2(3x+ 1). U procesu rješavanja ove nejednakosti doći ćemo do činjenice da znak nejednakosti > ne opravdava svoj položaj. Pogledajmo kako to izgleda.

Proširujući zagrade na desnoj strani ove nejednakosti, dobivamo 6 x> 6x+ 2 . Ponovno raspored 6 x s desne strane na lijevu stranu, mijenjajući znak, dobivamo 6 x− 6x> 2 . Donosimo slične članove i dobivamo nejednakost 0 > 2, što nije točno.

Radi boljeg razumijevanja, prepisujemo redukciju sličnih pojmova s ​​lijeve strane na sljedeći način:

Dobili smo nejednakost 0 x> 2 . Na lijevoj strani je umnožak, koji će biti jednak nuli za bilo koji x. I nula ne može biti veća od broja 2. Otuda i nejednakost 0 x> 2 nema rješenja.

x> 2 , tada nema rješenja i izvornu nejednakost 6 x> 2(3x+ 1) .

Primjer 2. Riješite nejednakost

Pomnožite obje strane nejednakosti sa 3

U rezultirajuću nejednakost prenosimo pojam 12 x s desne strane na lijevu stranu promjenom znaka. Zatim dajemo slične uvjete:

Desna strana rezultirajuće nejednakosti za bilo koji x bit će jednak nuli. A nula nije manja od -8. Stoga je nejednakost 0 x< −8 не имеет решений.

A ako je smanjena ekvivalentna nejednakost 0 x< −8 , то не имеет решений и исходное неравенство .

Odgovor: nema rješenja.

Kada postoje beskonačna rješenja

Postoje nejednakosti koje imaju beskonačan broj rješenja. Takve nejednakosti postaju istinite za svakoga x .

Primjer 1. Riješite nejednakost 5(3x− 9) < 15x

Proširimo zagrade na desnoj strani nejednakosti:

Ponovno zakazi 15 x s desne strane na lijevu stranu, mijenjajući znak:

Evo sličnih pojmova s ​​lijeve strane:

Dobili smo nejednakost 0 x< 45 . Na lijevoj strani je umnožak, koji će biti jednak nuli za bilo koji x. A nula je manja od 45. Dakle, rješenje nejednadžbe 0 x< 45 je bilo koji broj.

x< 45 ima beskonačan broj rješenja, tada izvorna nejednakost 5(3x− 9) < 15x ima ista rješenja.

Odgovor se može napisati kao brojčani interval:

x ∈ (−∞; +∞)

Ovaj izraz kaže da su rješenja nejednakosti 5(3x− 9) < 15x su svi brojevi od minus beskonačnosti do plus beskonačnosti.

Primjer 2. Riješite nejednakost: 31(2x+ 1) − 12x> 50x

Proširimo zagrade na lijevoj strani nejednakosti:

Prebacimo 50 x s desne strane na lijevu stranu promjenom znaka. I prenijet ćemo pojam 31 s lijeve strane na desnu stranu, opet mijenjajući predznak:

Evo sličnih pojmova:

Dobili smo nejednakost 0 x >-31 . Na lijevoj strani je umnožak, koji će biti jednak nuli za bilo koji x. A nula je veća od −31. Dakle, rješenje nejednadžbe 0 x< −31 je bilo koji broj.

A ako je smanjena ekvivalentna nejednakost 0 x >−31 ima beskonačan broj rješenja, tada izvorna nejednakost 31(2x+ 1) − 12x> 50x ima ista rješenja.

Zapišimo odgovor kao brojčani interval:

x ∈ (−∞; +∞)

Zadaci za samostalno rješavanje

Svidjela ti se lekcija?
Pridružite se našoj novoj grupi Vkontakte i počnite primati obavijesti o novim lekcijama

Nejednakost je druga strana jednakosti. Materijal ovog članka daje definiciju nejednakosti i početne podatke o njoj u kontekstu matematike.

Pojam nejednakosti, kao i pojam jednakosti, povezan je s trenutkom usporedbe dvaju objekata. Dok jednakost znači “isto”, nejednakost, naprotiv, ukazuje na razlike u objektima koji se uspoređuju. Na primjer, i su isti objekti ili jednaki. i - objekti koji su međusobno različiti ili nejednaki.

Nejednakost objekata određena je semantičkim opterećenjem u riječima kao što su gore - ispod (nejednakost na temelju visine); deblji - tanji (nejednakost na temelju debljine); dulje - kraće (nejednakost na temelju duljine), i tako dalje.

Moguće je govoriti i o jednakosti-nejednakosti objekata u cjelini, i o usporedbi njihovih pojedinačnih karakteristika. Pretpostavimo da su dana dva objekta: i . Bez sumnje, ti objekti nisu isti, t.j. općenito, nisu jednaki: na temelju veličine i boje. Ali, u isto vrijeme, možemo tvrditi da su njihovi oblici jednaki - oba objekta su krugovi.

U kontekstu matematike, semantičko opterećenje nejednakosti je očuvano. Međutim, u ovom slučaju govorimo o nejednakosti matematičkih objekata: brojeva, vrijednosti izraza, vrijednosti veličina (dužina, površina itd.), vektora, figura itd.

Nije jednako, više, manje

Ovisno o ciljevima zadatka, sama činjenica razjašnjavanja nejednakosti objekata može biti vrijedna, ali se obično nakon utvrđivanja činjenice nejednakosti razjašnjava koja je vrijednost veća, a koja manja.

Značenje riječi "više" i "manje" intuitivno nam je poznato od samog početka našeg života. Očigledna je vještina utvrđivanja superiornosti objekta u smislu veličine, količine itd. No, na kraju nas svaka usporedba dovodi do usporedbe brojeva koji definiraju neke karakteristike uspoređenih objekata. U biti, saznajemo koji je broj veći, a koji manji.

Jednostavan primjer:

Primjer 1

Ujutro je temperatura zraka bila 10 Celzijevih stupnjeva; u dva sata poslijepodne ta je brojka iznosila 15 stupnjeva. Na temelju usporedbe prirodnih brojeva možemo konstatirati da je vrijednost temperature ujutro bila manja od njezine vrijednosti u dva sata poslijepodne (ili u dva sata popodne temperatura je porasla, postala viša od temperature ujutro).

Zapisivanje nejednakosti pomoću znakova

Postoje općeprihvaćene oznake za pisanje nejednakosti:

Definicija 1

• znak "nije jednako", što je precrtani znak "jednako": ≠. Ovaj znak se nalazi između nejednakih objekata. Na primjer: 5 ≠ 10 pet nije jednako deset;
• znak veći od: > i znak manji:< . Первый записывается между большим и меньшим объектами; второй между меньшим и большим. Например, запись о сравнении отрезков вида | A B | >| C D | kaže da je segment A B veći od segmenta C D ;
• predznak veći ili jednako: ≥ i manji ili znak jednakosti: ≤ .

U nastavku ćemo detaljnije analizirati njihovo značenje. Dajmo definiciju nejednakosti oblikom njihovog zapisa.

Definicija 2

nejednakosti- algebarski izrazi koji imaju smisla i napisani su znakovima ≠ , > ,< , ≤ , ≥ .

Stroge i nestroge nejednakosti

Znakovi strogih nejednakosti su znaci veći i manji od: > i< Неравенства, составленные с их помощью – stroge nejednakosti.

Znakovi nestrogih nejednakosti- to su znakovi "veće ili jednako" i "manje ili jednako": ≥ i ≤. Uz njihovu pomoć sastavljene nejednakosti su − nestroge nejednakosti.

Gore smo raspravljali o tome kako se primjenjuju stroge nejednakosti. Zašto se koriste nestroge nejednakosti? U praksi se takve nejednakosti mogu koristiti za definiranje slučajeva opisanih riječima “ne više” i “ne manje”. Izraz "ne više" znači manje ili isto - ova razina usporedbe odgovara znaku "manje ili jednako" ≤ . Zauzvrat, "ne manje" znači isto ili više, a ovo je znak "veće ili jednako" ≥. Dakle, nestroge nejednakosti, za razliku od strogih, omogućuju da objekti budu jednaki.

Istinite i lažne nejednakosti

Prava nejednakost- nejednakost koja odgovara navedenom značenju nejednakosti. Inače je tako nevjeran.

Evo nekoliko jednostavnih primjera za ilustraciju:

Primjer 2

Nejednakost 5 ≠ 5 je netočna, jer su zapravo brojevi 5 i 5 jednaki.

Ili ova usporedba:

Primjer 3

Pretpostavimo da je S površina određene figure, u ovom slučaju S< - 4 является верным неравенством, поскольку площадь всегда выражена неотрицательным числом.

Slične po značenju pojmu "istinska nejednakost" su izrazi "poštena nejednakost", "nejednakost postoji" itd.

Svojstva nejednakosti

Opišimo svojstva nejednakosti. Očigledna je činjenica da objekt nikako ne može biti nejednak sam sebi, a to je prvo svojstvo nejednakosti. Drugo svojstvo zvuči ovako: ako prvi objekt nije jednak drugom, onda drugi nije jednak prvom.

Opišimo svojstva koja odgovaraju predznacima veće ili manje od:

Definicija 5

• antirefleksnost. Ovo svojstvo se može izraziti na sljedeći način: za bilo koji objekt k, nejednakosti k > k i k< k неверны;
• antisimetrija. Ovo svojstvo kaže da ako je prvi objekt veći ili manji od drugog, onda je drugi objekt manji ili veći od prvog. Pišemo: ako je m > n, onda je n< m . Или: если m < n , то n >m
• tranzitivnost. U doslovnom zapisu, navedeno svojstvo će izgledati ovako: ako je navedeno da a< b и b < с, то a < c . Наоборот: a >b i b > c, što znači a > c . Ovo svojstvo je intuitivno i prirodno: ako je prvi objekt veći od drugog, a drugi veći od trećeg, tada postaje jasno da je prvi objekt čak i veći od trećeg.

Znakovi nestrogih nejednakosti također imaju neka svojstva:

Definicija 6

• refleksivnost: a ≥ a i a ≤ a (ovo uključuje i slučaj kada je a = a);
• antisimetrija: ako je a ≤ b, onda b ≥ a. Ako je a ≥ b, tada je b ≤ a;
• tranzitivnost: ako je a ≤ b i b ≤ c, onda je očito a ≤ c. I također: ako je a ≥ b, i b ≥ c, onda je a ≥ c.

Dvostruko, trostruko itd. nejednakosti

Svojstvo tranzitivnosti omogućuje pisanje dvostrukih, trostrukih i tako dalje nejednakosti, koje su u biti lanci nejednakosti. Na primjer: dvostruka nejednadžba - e > f > g ili trostruka nejednadžba k 1 ≤ k 2 ≤ k 3 ≤ k 4.

Imajte na umu da je zgodno pisati nejednakosti kao lance koji uključuju različite predznake: jednake, nejednake i znakove strogih i nestrogih nejednakosti. Na primjer x = 2< y ≤ z < 15 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju određene osobe ili kontaktiranje s njom.

Od vas se može tražiti da unesete svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite podatke, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo i obavijestimo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i poruke.
• Također možemo koristiti osobne podatke za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim stranama

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• U slučaju da je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim redom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - otkriti svoje osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno iz sigurnosnih, provedbenih ili drugih razloga javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i strogo provodimo praksu privatnosti.

Što trebate znati o ikonama nejednakosti? Nejednakosti ikona više (> ), ili manji (< ) se zovu strog. Sa ikonama više ili jednako (≥ ), manje ili jednako (≤ ) se zovu nestrogi. Ikona nejednak (≠ ) stoji samostalno, ali morate cijelo vrijeme rješavati primjere s takvom ikonom. I hoćemo.)

Sama ikona nema puno utjecaja na proces rješenja. Ali na kraju rješenja, pri odabiru konačnog odgovora, značenje ikone pojavljuje se u punoj snazi! Kao što ćemo vidjeti u nastavku, u primjerima. Ima nekih šala...

Nejednakosti, kao i jednakosti, jesu vjerni i nevjerni. Ovdje je sve jednostavno, bez trikova. Recimo 5 > 2 je točna nejednakost. 5 < 2 je netočna.

Takva priprema radi za nejednakosti bilo koje vrste i jednostavno do užasa.) Samo trebate ispravno izvesti dvije (samo dvije!) elementarne radnje. Ove radnje su svima poznate. Ali, što je tipično, dovratnici u tim radnjama su glavna pogreška u rješavanju nejednakosti, da... Stoga se ove radnje moraju ponoviti. Ove radnje nazivaju se ovako:

Identitetske transformacije nejednakosti.

Identitetske transformacije nejednakosti vrlo su slične transformacijama identiteta jednadžbi. Zapravo, to je glavni problem. Razlike su klizile mimo glave i ... stigle.) Stoga ću te razlike posebno istaknuti. Dakle, prva identična transformacija nejednakosti:

1. Isti broj ili izraz može se dodati (oduzeti) oba dijela nejednadžbe. Bilo koji. Znak nejednakosti se neće promijeniti.

U praksi se ovo pravilo primjenjuje kao prijenos pojmova s ​​lijeve strane nejednadžbe na desnu stranu (i obrnuto) s promjenom predznaka. Promjenom predznaka pojma, a ne nejednakosti! Pravilo jedan na jedan isto je kao i pravilo za jednadžbe. Ali sljedeće identične transformacije u nejednačinama značajno se razlikuju od onih u jednadžbama. Stoga ih ističem crvenom bojom:

2. Oba dijela nejednakosti mogu se pomnožiti (podijeliti) istimpozitivanbroj. Za bilo kojepozitivan Neće se promijeniti.

3. Oba dijela nejednakosti mogu se pomnožiti (podijeliti) istimnegativan broj. Za bilo kojenegativanbroj. Znak nejednakosti iz ovogapromijenit će se u suprotno.

Sjećate se (nadate se...) da se jednadžba može pomnožiti/podijeliti s bilo čim. I za bilo koji broj, i za izraz s x. Sve dok nije nula. On, jednadžba, od ovoga nije ni vruć ni hladan.) Ne mijenja se. Ali nejednakosti su osjetljivije na množenje/dijeljenje.

Dobar primjer za dugo pamćenje. Zapisujemo nejednakost koja ne izaziva sumnje:

5 > 2

Pomnožite obje strane sa +3, dobivamo:

15 > 6

Ima li prigovora? Nema prigovora.) A ako oba dijela izvorne nejednakosti pomnožimo sa -3, dobivamo:

15 > -6

A ovo je čista laž.) Potpuna laž! Zavaravanje naroda! Ali čim se znak nejednakosti obrne, sve dolazi na svoje mjesto:

15 < -6

O lažima i prijevari - ne kunem se samo.) "Zaboravio sam promijeniti znak nejednakosti..."- Ovo Dom greška u rješavanju nejednačina. Ovo beznačajno i nekomplicirano pravilo povrijedilo je tolike ljude! Tko su zaboravili ...) Pa kunem se. Možda se sjetite...)

Oni koji su posebno pažljivi primijetit će da se nejednakost ne može pomnožiti izrazom s x. Poštovanje pažljivo!) A zašto ne? Odgovor je jednostavan. Ne znamo predznak ovog izraza s x. Može biti pozitivan, negativan... Dakle, ne znamo koji znak nejednakosti staviti nakon množenja. Promijeniti ili ne? nepoznato. Naravno, ovo ograničenje (zabrana množenja / dijeljenja nejednakosti izrazom s x) može se zaobići. Ako ti stvarno treba. Ali ovo je tema za druge lekcije.

To su sve identične transformacije nejednakosti. Da vas još jednom podsjetim da rade za bilo koji nejednakosti. A sada možete prijeći na određene vrste.

Linearne nejednakosti. Rješenje, primjeri.

Linearne nejednadžbe nazivaju se nejednakosti u kojima je x u prvom stupnju i nema dijeljenja s x. Tip:

x+3 > 5x-5

Kako se rješavaju te nejednakosti? Vrlo ih je lako riješiti! Naime: uz pomoć smanjujemo najzbunjeniju linearnu nejednakost ravno na odgovor. To je cijelo rješenje. Istaknut ću glavne točke rješenja. Da biste izbjegli glupe pogreške.)

Rješavamo ovu nejednakost:

x+3 > 5x-5

Rješavamo na isti način kao i linearnu jednadžbu. s jedinom razlikom:

Obratite pozornost na znak nejednakosti!

Prvi korak je najčešći. S x - lijevo, bez x - desno ... Ovo je prva identična transformacija, jednostavna i bez problema.) Samo ne zaboravite promijeniti znakove prenesenih članova.

Znak nejednakosti je sačuvan:

x-5x > -5-3

Predstavljamo slične.

Znak nejednakosti je sačuvan:

4x > -8

Ostaje primijeniti posljednju identičnu transformaciju: podijeliti oba dijela s -4.

Podijelite po negativan broj.

Predznak nejednakosti bit će obrnut:

x < 2

Ovo je odgovor.

Tako se rješavaju sve linearne nejednakosti.

Pažnja! Točka 2 je nacrtana bijelom bojom, t.j. neobojen. Prazno iznutra. To znači da ona nije uključena u odgovor! Namjerno sam je nacrtao tako zdravu. Takva točka (prazna, nije zdrava!)) u matematici se zove izbijena točka.

Preostali brojevi na osi mogu se označiti, ali nisu potrebni. Izvanredni brojevi koji nisu povezani s našom nejednakošću mogu biti zbunjujući, da ... Samo trebate zapamtiti da povećanje brojeva ide u smjeru strelice, t.j. brojevi 3, 4, 5 itd. su nadesno dvojke i brojevi 1, 0, -1 itd. - nalijevo.

Nejednakost x < 2 - strog. X je striktno manji od dva. Kada ste u nedoumici, provjera je jednostavna. Zamjenjujemo sumnjiv broj u nejednakosti i mislimo: "Dva je manje od dva? Naravno da nije!" Točno. Nejednakost 2 < 2 krivo. Dvojka nije dobra za odgovor.

Je li samac dovoljno dobar? Sigurno. Manje ... I nula je dobra, i -17, i 0,34 ... Da, svi brojevi koji su manji od dva su dobri! Pa čak 1,9999 .... Barem malo, ali manje!

Tako sve te brojeve označavamo na brojevnoj osi. Kako? Ovdje postoje opcije. Prva opcija je valjenje. Prelazimo mišem preko slike (ili dodirujemo sliku na tabletu) i vidimo da je područje kuglica x koje odgovaraju x uvjetu zasjenjeno < 2 . To je sve.

Razmotrimo drugu opciju u drugom primjeru:

x ≥ -0,5

Nacrtajte os, označite broj -0,5. Kao ovo:

Jeste li primijetili razliku?) Pa da, teško je ne primijetiti... Ova točka je crna! Prefarbano. To znači da je -0,5 uključeno u odgovor. Evo, usput, provjeravanje i zbuniti nekoga. Zamjenjujemo:

-0,5 ≥ -0,5

Kako to? -0,5 nije ništa više od -0,5! Ima još ikona...

U redu je. U ne-strogo nejednakosti, sve što odgovara ikoni je prikladno. I jednaki stane i više dobro. Stoga je -0,5 uključeno u odgovor.

Dakle, na osi smo označili -0,5, ostaje označiti sve brojeve koji su veći od -0,5. Ovaj put označavam raspon prikladnih x vrijednosti okova(od riječi luk) umjesto izlijeganja. Zadržite pokazivač miša iznad slike i pogledajte ovaj luk.

Nema posebne razlike između šrafure i lukova. Učinite kako učitelj kaže. Ako nema učitelja, nacrtajte ruke. U složenijim zadacima šrafiranje je manje očito. Možete se zbuniti.

Ovako se crtaju linearne nejednakosti na osi. Prelazimo na sljedeću singularnost nejednakosti.

Napiši odgovor za nejednakosti.

Bilo je dobro u jednadžbama.) Pronašli smo x i zapisali odgovor, na primjer: x \u003d 3. U nejednakostima postoje dva oblika pisanja odgovora. Jedan - u obliku konačne nejednakosti. Dobro za jednostavne slučajeve. Na primjer:

x< 2.

Ovo je potpuni odgovor.