Decimalni razlomak se razlikuje od običnog razlomka po tome što mu je nazivnik bitna jedinica.
Na primjer:
Decimalni razlomci su odvojeni od običnih razlomaka u poseban oblik, što je dovelo do vlastitih pravila za usporedbu, zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje tih razlomaka. U principu, možete raditi s decimalnim razlomcima prema pravilima običnih razlomaka. Vlastita pravila za pretvorbu decimalnih razlomaka pojednostavljuju izračune, a pravila za pretvaranje običnih razlomaka u decimalne i obrnuto služe kao poveznica između ovih vrsta razlomaka.
Pisanje i čitanje decimalnih razlomaka omogućuje vam pisanje, uspoređivanje i rad s njima prema pravilima vrlo sličnim pravilima za operacije s prirodnim brojevima.
Prvi put je sustav decimalnih razlomaka i operacije nad njima opisan u 15. stoljeću. Samarkandski matematičar i astronom Jamshid ibn-Masudal-Kashi u knjizi "Ključ računovodstvene umjetnosti".
Cjelobrojni dio decimalnog razlomka odvaja se od razlomka zarezom, u nekim zemljama (SAD) stavljaju točku. Ako u decimalnom razlomku nema cijelog broja, stavite broj 0 ispred decimalne točke.
Bilo koji broj nula može se dodati razlomkom dijelu decimalnog razlomka s desne strane, to ne mijenja vrijednost razlomka. Razlomački dio decimalnog razlomka čita se posljednjom značajnom znamenkom.
Na primjer:
0,3 - tri desetine
0,75 - sedamdeset pet stotinki
0,000005 - pet milijunati.
Čitanje cjelobrojnog dijela decimale je isto kao prirodni brojevi.
Na primjer:
27,5 - dvadeset i sedam ...;
1.57 - jedan...
Iza cjelobrojnog dijela decimalnog razlomka izgovara se riječ "cjelina".
Na primjer:
10.7 - deset poena sedam
0,67 - nula točka šezdeset i sedam stotinki.
Decimale su razlomke. Razlomak se ne čita znamenkama (za razliku od prirodnih brojeva), već kao cjelina, stoga je razlomak decimalnog razlomka određen posljednjom značajnom znamenkom s desne strane. Bitni sustav razlomaka decimalnog razlomka nešto je drugačiji od sustava prirodnih brojeva.
- 1. znamenka nakon zauzetosti - desetine
- 2. mjesto nakon decimalnog zareza - stoto mjesto
- 3. mjesto nakon decimalnog zareza - tisućito mjesto
- 4. mjesto nakon decimalnog zareza - desettisućito mjesto
- 5. mjesto nakon decimalnog zareza - stotisuću mjesto
- 6. mjesto nakon decimalnog zareza - milijunto mjesto
- 7. mjesto nakon decimalnog zareza - desetmilijunsko mjesto
- Osmo mjesto iza decimalnog zareza je stomilijunsko mjesto
U izračunima se najčešće koriste prve tri znamenke. Velika bitna dubina razlomaka decimalnih razlomaka koristi se samo u određenim granama znanja, gdje se izračunavaju infinitezimalne vrijednosti.
Pretvorba decimalnog u mješoviti razlomak sastoji se od sljedećeg: upiši broj ispred decimalne točke kao cijeli broj mješovitog razlomka; broj iza decimalnog zareza je brojnik njegova razlomka, a u nazivnik razlomka upiši jedan s onoliko nula koliko ima znamenki iza decimalnog zareza.
U ovom članku ćemo pokriti tu temu decimalna usporedba". Prvo, raspravimo opće načelo uspoređivanja decimalnih razlomaka. Poslije toga, da vidimo što decimale jednaki su i koji su nejednaki. Zatim ćemo naučiti kako odrediti koji je decimalni razlomak veći, a koji manji. Da bismo to učinili, proučit ćemo pravila za usporedbu konačnih, beskonačnih periodičnih i beskonačnih neperiodičnih razlomaka. Navedimo cijelu teoriju primjerima detaljne odluke. Zaključno, zadržimo se na usporedbi decimalnih razlomaka s prirodnim brojevima, običnim razlomcima i mješovitim brojevima.
Recimo odmah da ćemo ovdje govoriti samo o usporedbi pozitivnih decimalnih razlomaka (vidi pozitivni i negativni brojevi). Ostali slučajevi se raspravljaju u člancima usporedba racionalnih brojeva i usporedba realnih brojeva.
Navigacija po stranici.
Opći princip za usporedbu decimalnih razlomaka
Na temelju ovog principa usporedbe izvode se pravila za usporedbu decimalnih razlomaka, koja omogućuju bez pretvaranja uspoređenih decimalnih razlomaka u obične razlomke. Ova pravila, kao i primjere njihove primjene, analizirat ćemo u sljedećim odlomcima.
Po sličnom principu uspoređuju se konačni decimalni razlomci ili beskonačni periodični decimalni razlomci prirodni brojevi, obični razlomci i mješoviti brojevi: Brojevi koji se uspoređuju zamjenjuju se odgovarajućim običnim razlomcima, nakon čega se uspoređuju obični razlomci.
O usporedbe beskonačnih decimala koje se ne ponavljaju, tada se obično svodi na usporedbu konačnih decimalnih razlomaka. Da biste to učinili, razmotrite toliki broj znakova uspoređenih beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka, što vam omogućuje da dobijete rezultat usporedbe.
Jednake i nejednake decimale
Prvo predstavljamo definicije jednakih i nejednakih završnih decimala.
Definicija.
Zovu se dvije zadnje decimale jednak ako su im odgovarajući zajednički razlomci jednaki, inače se ti decimalni razlomci nazivaju nejednaka.
Na temelju ove definicije lako je opravdati sljedeću tvrdnju: ako na kraju zadanog decimalnog razlomka pripišemo ili odbacimo nekoliko znamenki 0, tada dobivamo decimalni razlomak jednak njemu. Na primjer, 0,3=0,30=0,300=… i 140,000=140,00=140,0=140 .
Doista, dodavanje ili odbacivanje nule na kraju decimalnog razlomka s desne strane odgovara množenju ili dijeljenju brojnika i nazivnika odgovarajućeg običnog razlomka s 10. I znamo osnovno svojstvo razlomka, koji kaže da množenjem ili dijeljenjem brojnika i nazivnika razlomka istim prirodnim brojem dobije se razlomak jednak izvornom. To dokazuje da dodavanje ili odbacivanje nula desno u razlomku decimalnog razlomka daje razlomak jednak izvornom.
Na primjer, decimalni razlomak 0,5 odgovara običnom razlomku 5/10, nakon dodavanja nule udesno, dobiva se decimalni razlomak 0,50, što odgovara običnom razlomku 50/100, i. Dakle 0,5=0,50 . Obrnuto, ako u decimalnom razlomku 0,50 odbacimo 0 na desnoj strani, tada ćemo dobiti razlomak 0,5, pa ćemo od običnog razlomka 50/100 doći do razlomka 5/10, ali 
. Prema tome, 0,50=0,5 .
Idemo dalje na definicija jednakih i nejednakih beskonačnih periodičnih decimalnih razlomaka.
Definicija.
Dva beskonačna periodična razlomka jednak, ako su obični razlomci koji im odgovaraju jednaki; ako obični razlomci koji im odgovaraju nisu jednaki, tada su i uspoređeni periodični razlomci nejednak.
Iz ove definicije slijede tri zaključka:
- Ako su zapisi periodičnih decimalnih razlomaka potpuno isti, tada su takvi beskonačni periodični decimalni razlomci jednaki. Na primjer, periodične decimale 0,34(2987) i 0,34(2987) su jednake.
- Ako razdoblja uspoređenih decimalnih periodičnih razlomaka počinju s iste pozicije, prvi razlomak ima razdoblje 0 , drugi ima razdoblje 9 , a vrijednost znamenke koja prethodi razdoblju 0 je za jedan više od vrijednosti znamenke prethodno razdoblje 9 , tada su takvi beskonačni periodični decimalni razlomci jednaki. Na primjer, periodični razlomci 8.3(0) i 8.2(9) su jednaki, a razlomci 141,(0) i 140,(9) su također jednaki.
- Bilo koja dva druga periodična razlomka nisu jednaka. Evo primjera nejednakih beskonačnih periodičnih decimalnih razlomaka: 9,0(4) i 7,(21) , 0,(12) i 0,(121) , 10,(0) i 9,8(9) .
Ostaje da se pozabavimo jednaki i nejednaki beskonačni neperiodični decimalni razlomci. Kao što znate, takvi decimalni razlomci ne mogu se pretvoriti u obične razlomke (takvi decimalni razlomci predstavljaju iracionalni brojevi), pa se usporedba beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka ne može svesti na usporedbu običnih razlomaka.
Definicija.
Dvije beskonačne neponavljajuće decimale jednak ako se njihovi unosi točno podudaraju.
Ali postoji jedno upozorenje: nemoguće je vidjeti "gotovi" zapis beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka, stoga je nemoguće biti siguran u potpunu podudarnost njihovih zapisa. Kako biti?
Prilikom usporedbe beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka uzima se u obzir samo konačan broj predznaka uspoređenih razlomaka, što nam omogućuje da izvučemo potrebne zaključke. Dakle, usporedba beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka svodi se na usporedbu konačnih decimalnih razlomaka.
Ovim pristupom možemo govoriti o jednakosti beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka samo do razmatrane znamenke. Navedimo primjere. Beskonačni neperiodični decimalni razlomci 5,45839 ... i 5,45839 ... jednaki su unutar sto tisućinki, budući da su konačni decimalni razlomci 5,45839 i 5,45839 jednaki; neponovljivi decimalni razlomci 19,54 ... i 19,54810375 ... jednaki su najbližoj stotini, budući da su razlomci 19,54 i 19,54 jednaki.
Nejednakost beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka ovim je pristupom sasvim definitivno utvrđena. Na primjer, beskonačni neperiodični decimalni razlomci 5,6789… i 5,67732… nisu jednaki, jer su razlike u njihovim zapisima očite (konačni decimalni razlomci 5,6789 i 5,6773 nisu jednaki). Beskonačne decimale 6,49354... i 7,53789... također nisu jednake.
Pravila za usporedbu decimalnih razlomaka, primjeri, rješenja
Nakon utvrđivanja činjenice da dva decimalna razlomka nisu jednaka, često je potrebno utvrditi koji je od tih razlomaka veći, a koji manji od drugog. Sada ćemo analizirati pravila za usporedbu decimalnih razlomaka, omogućujući nam da odgovorimo na postavljeno pitanje.
U mnogim slučajevima dovoljno je usporediti cjelobrojne dijelove uspoređenih decimala. Istina je sljedeće pravilo decimalne usporedbe: veći od decimalnog razlomka čiji je cijeli broj veći i manji od decimalnog razlomka čiji je cijeli broj manji.
Ovo pravilo vrijedi i za konačne decimale i za beskonačne decimale. Razmotrimo primjere.
Primjer.
Usporedite decimale 9,43 i 7,983023….
Odluka.
Očito, ti decimalni razlomci nisu jednaki. Cjelobrojni dio konačnog decimalnog razlomka 9,43 jednak je 9, a cijeli broj beskonačnog neperiodskog razlomka 7,983023 ... jednak je 7. Od 9>7 (vidi usporedba prirodnih brojeva), zatim 9,43>7,983023 .
Odgovor:
9,43>7,983023 .
Primjer.
Koja je od decimala 49,43(14) i 1,045,45029... manja?
Odluka.
Cjelobrojni dio periodičnog razlomka 49,43(14) manji je od cijelog broja beskonačnog neperiodskog decimalnog razlomka 1 045,45029..., dakle, 49,43(14)<1 045,45029… .
Odgovor:
49,43(14) .
Ako su cjelobrojni dijelovi uspoređenih decimalnih razlomaka jednaki, onda da bismo saznali koji je od njih veći, a koji manji, potrebno je usporediti razlomke. Usporedba razlomaka decimalnih razlomaka provodi se bit po bit- iz kategorije desetinaca u mlađe.
Prvo, pogledajmo primjer usporedbe dvaju konačnih decimalnih razlomaka.
Primjer.
Usporedite krajnje decimale 0,87 i 0,8521.
Odluka.
Cjelobrojni dijelovi ovih decimalnih razlomaka su jednaki (0=0 ), pa prijeđimo na usporedbu razlomaka. Vrijednosti mjesta desetinki su jednake (8=8), a vrijednost mjesta stotinki razlomka 0,87 veća je od vrijednosti mjesta stotinki razlomka 0,8521 (7>5). Dakle, 0,87>0,8521 .
Odgovor:
0,87>0,8521 .
Ponekad, da biste usporedili zadnje decimale s različitim brojem decimala, morate dodati broj nula desno od razlomka s manje decimala. Prilično je prikladno izjednačiti broj decimalnih mjesta prije nego što počnete uspoređivati konačne decimalne razlomke dodavanjem određenog broja nula desno od jednog od njih.
Primjer.
Usporedite zadnje decimale 18,00405 i 18,0040532.
Odluka.
Očigledno je da su ti razlomci nejednaki, jer su im zapisi različiti, ali u isto vrijeme imaju jednake cjelobrojne dijelove (18=18).
Prije pobitne usporedbe razlomaka tih razlomaka, izjednačavamo broj decimalnih mjesta. Da bismo to učinili, dodijelimo dvije znamenke 0 na kraju razlomka 18,00405, dok dobijemo decimalni razlomak jednak njemu 18,0040500.
Decimala 18,0040500 i 18,0040532 jednaka su do sto tisućinki, a vrijednost milijuntog mjesta od 18,0040500 manja je od vrijednosti odgovarajućeg razlomka od 18,0040532 (0<3 ), поэтому, 18,0040500<18,0040532 , следовательно, 18,00405<18,0040532 .
Odgovor:
18,00405<18,0040532 .
Prilikom usporedbe konačnog decimalnog razlomka s beskonačnim, konačni razlomak zamjenjuje se beskonačnim periodičnim razlomkom jednakim njemu s periodom 0, nakon čega se vrši usporedba znamenkama.
Primjer.
Usporedite završnu decimalu 5,27 s beskonačnom neponavljajućom decimalom 5,270013….
Odluka.
Cjelobrojni dijelovi ovih decimala su jednaki. Vrijednosti znamenki desetinki i stotinki ovih razlomaka su jednake, a kako bismo izvršili daljnju usporedbu, konačni decimalni razlomak zamjenjujemo beskonačnim periodičnim razlomkom koji mu je jednak s periodom od 0 oblika 5,270000. ... Prije petog decimalnog mjesta, vrijednosti decimalnih mjesta 5,270000... i 5,270013... su jednake, a na petom decimalu imamo 0<1 . Таким образом, 5,270000…<5,270013… , откуда следует, что 5,27<5,270013… .
Odgovor:
5,27<5,270013… .
Usporedba beskonačnih decimalnih razlomaka također se provodi bit po bit, a završava čim se vrijednosti nekog bita razlikuju.
Primjer.
Usporedite beskonačne decimale 6,23(18) i 6,25181815….
Odluka.
Cjelobrojni dijelovi ovih razlomaka su jednaki, vrijednosti desetog mjesta su također jednake. A vrijednost stotinki periodnog razlomka 6.23(18) manja je od mjesta stotinki beskonačnog neperiodskog decimalnog razlomka 6.25181815..., dakle, 6.23(18)<6,25181815… .
Odgovor:
6,23(18)<6,25181815… .
Primjer.
Koja je od beskonačnih periodičnih decimala 3, (73) i 3, (737) veća?
Odluka.
Jasno je da je 3,(73)=3,73737373… i 3,(737)=3,737737737… . Na četvrtoj decimali završava se bitna usporedba, budući da imamo 3<7 . Таким образом, 3,73737373…<3,737737737… , то есть, десятичная дробь 3,(737) больше, чем дробь 3,(73) .
Odgovor:
3,(737) .
Usporedite decimale s prirodnim brojevima, običnim razlomcima i mješovitim brojevima.
Da biste dobili rezultat usporedbe decimalnog razlomka s prirodnim brojem, možete usporediti cijeli broj tog razlomka s danim prirodnim brojem. U tom slučaju, periodične razlomke s periodima od 0 ili 9 prvo se moraju zamijeniti njihovim jednakim konačnim decimalnim razlomcima.
Istina je sljedeće pravilo za usporedbu decimalnog razlomka i prirodnog broja: ako je cijeli broj decimalnog razlomka manji od zadanog prirodnog broja, tada je cijeli razlomak manji od ovog prirodnog broja; ako je cijeli broj razlomka veći ili jednak zadanom prirodnom broju, tada je razlomak veći od zadanog prirodnog broja.
Razmotrimo primjere primjene ovog pravila usporedbe.
Primjer.
Usporedi prirodni broj 7 s decimalnim razlomkom 8,8329...
Odluka.
Budući da je zadani prirodni broj manji od cijelog broja zadanog decimalnog razlomka, onda je taj broj manji od zadanog decimalnog razlomka.
Odgovor:
7<8,8329… .
Primjer.
Usporedi prirodni broj 7 i decimalni broj 7.1.
Decimalni razlomak mora sadržavati zarez. Taj brojčani dio razlomka, koji se nalazi lijevo od decimalne točke, naziva se cjelina; desno - razlomak:
5.28 5 - cijeli broj 28 - razlomački dio
Razlomački dio decimale sastoji se od decimalna mjesta(decimalna mjesta):
- desetine - 0,1 (jedna desetina);
- stotinke - 0,01 (stotinjak);
- tisućinke - 0,001 (tisućinka);
- desettisućinke - 0,0001 (jedna desettisućinka);
- sto tisućinki - 0,00001 (stotisućiti);
- milijunti - 0,000001 (jedan milijunti dio);
- deset milijunti - 0,0000001 (jedan deset milijunti);
- stomilijunti - 0,00000001 (stomilijunti);
- milijarditi - 0,000000001 (jedna milijarda) itd.
- pročitaj broj koji je cijeli broj razlomka i dodaj riječ " cijeli";
- pročitaj broj koji čini razlomak razlomka i dodaj naziv znamenke s najmanjim značajem.
Na primjer:
- 0,25 - nulta točka dvadeset pet stotinki;
- 9.1 - devet bod jedna desetina;
- 18.013 - osamnaest točka trinaest tisućinki;
- 100.2834 je sto dvije tisuće osamsto trideset četiri deset tisućinki.
Pisanje decimala
Da biste napisali decimalni razlomak, morate:
- zapišite cijeli broj razlomka i stavite zarez (broj koji znači cijeli dio razlomka uvijek završava riječju " cijeli");
- razlomak razlomka zapišite na način da zadnja znamenka padne u željenu znamenku (ako nema značajnih znamenki na određenim decimalnim mjestima, zamjenjuju se nulama).
Na primjer:
- dvadeset točka devet - 20,9 - u ovom primjeru sve je jednostavno;
- pet zareza stotinjak - 5,01 - riječ "stotina" znači da iza decimalnog zareza trebaju biti dvije znamenke, ali kako u broju 1 nema desetog mjesta, ono se zamjenjuje nulom;
- nulta točka osamsto osam tisućinki - 0,808;
- tri točka petnaest - nemoguće je napisati takav decimalni razlomak, jer je napravljena greška u izgovoru razlomka - broj 15 sadrži dvije znamenke, a riječ "desetine" znači samo jednu. Točno će biti tri točka petnaest stotinki (ili tisućinke, deset tisućinke, itd.).
Decimalna usporedba
Usporedba decimalnih razlomaka provodi se slično kao usporedba prirodnih brojeva.
- prvo se uspoređuju cjelobrojni dijelovi razlomaka - decimalni razlomak s većim cijelim dijelom bit će veći;
- ako su cijeli brojevi razlomaka jednaki, razlomci se uspoređuju malo po bit, slijeva na desno, počevši od zareza: desetinke, stotinke, tisućinke itd. Usporedba se provodi do prvog odstupanja - taj će decimalni razlomak biti veći, koji će imati veću nejednaku znamenku u odgovarajućoj znamenki razlomka. Na primjer: 1.2 8 3 > 1,27 9, jer u stotinkama prvi razlomak ima 8, a drugi 7.
3.4 Ispravan redoslijed
U prethodnom odjeljku usporedili smo brojeve po njihovom položaju na brojevnoj liniji. Ovo je dobar način za usporedbu veličina brojeva u decimalnim zapisima. Ova metoda uvijek radi, ali je naporno i nezgodno to učiniti svaki put kada trebate usporediti dva broja. Postoji još jedan dobar način da shvatite koji je od dva broja veći.
Primjer A
Razmotrite brojeve iz prethodnog odjeljka i usporedite 0,05 i 0,2.
Da bismo saznali koji je broj veći, najprije uspoređujemo njihove cjelobrojne dijelove. Oba broja u našem primjeru imaju jednak broj cijelih brojeva - 0. Zatim usporedite njihove desetine. Broj 0,05 ima 0 desetina, a broj 0,2 ima 2 desetinke. Da broj 0,05 ima 5 stotinki nije bitno, jer desetine određuju da je broj 0,2 veći. Tako možemo napisati:
Oba broja imaju 0 cijelih brojeva i 6 desetina, a još ne možemo odrediti koji je veći. Međutim, broj 0,612 ima samo 1 stoti dio, a broj 0,62 ima dva. Tada to možemo utvrditi
0,62 > 0,612
To što broj 0,612 ima 2 tisućinke nije važan, ipak je manji od 0,62.
To možemo ilustrirati slikom:
|
0,612 | |||
 |
0,62 | |||
Da biste odredili koji je od dva broja u decimalnom zapisu veći, trebate učiniti sljedeće:
1. Usporedite cijele dijelove. Broj čiji je cijeli dio veći i bit će veći.
2 . Ako su cijeli brojevi jednaki, usporedite desetine. Taj broj, koji ima više desetinki, bit će više.
3 . Ako su desetinke jednake, usporedite stotinke. Taj broj, koji ima više stotinki, bit će više.
4 . Ako su stotinke jednake, usporedite tisućinke. Taj broj, koji ima više tisućinki, bit će više.
