slajd 1
slajd 2
Povijesni podaci Integralni račun proizašao je iz potrebe za stvaranjem opće metode Pronalaženja područja, volumena i težišta. U svom embrionalnom obliku, ovu metodu je koristio Arhimed. Sustavno se razvija u 17. stoljeću u djelima Cavalierija, Torricellija, Fermama i Pascala. I. Barrow je 1659. uspostavio vezu između problema nalaženja područja i problema nalaženja tangente. Newton i Leib-Nitz su 70-ih godina 17. stoljeća ovu vezu skrenuli sa spomenutih posebnih geometrijskih problema. Tako je uspostavljena veza između integralnog i diferencijalnog računa. Tu vezu su Newton, Leibniz i njihovi učenici koristili za razvoj tehnike integracije. Integracijske metode dosegle su svoje današnje stanje uglavnom u djelima L. Eulera. Radovi M.V. Ostrogradsko-Go i P.L. Chebysheva dovršili su razvoj ovih metoda.
slajd 3
Koncept integrala. Neka je pravac MN zadan jednadžbom I trebamo pronaći površinu F krivolinijskog trapeza aABb. Podijelimo segment ab na n dijelova (jednakih ili nejednakih) i konstruirajmo stepenastu figuru prikazanu šrafiranjem na slici 1. Njegova površina, njegova površina je jednaka (1) Ako uvedemo oznaku Tada će formula (1) uzeti oblik (3) Željeno područje je granica zbroja (3) za beskonačno veliki n. Leibniz je uveo oznaku za ovu granicu (4) U kojoj je (kurziv s) početno slovo riječi summa (zbroj), E izraz označava tipičan oblik pojedinih pojmova. Leibniz je izraz počeo zvati integral – od latinske riječi integralis – integral. J. B. Fourier je poboljšao Leibnizovu notaciju, dajući joj oblik Ovdje su eksplicitno naznačene početne i konačne vrijednosti x.
slajd 4
Odnos integracije i diferencijacije. Razmotrimo konstantu i b varijablu. Tada će integral biti funkcija od b . Diferencijal ove funkcije je
slajd 5
primitivna funkcija. Neka je funkcija derivacija funkcije, T.S. Postoji funkcijski diferencijal: tada se funkcija naziva antiderivativna za funkciju
slajd 6
Primjer pronalaženja antiderivata. Funkcija je antiderivat iz T.S. Postoji diferencijal funkcije Funkcija je antiderivat funkcije
Slajd 7
Neodređeni integral. Najviše se naziva neodređeni integral ovog izraza opći oblik svoju primitivnu funkciju. Označava se neodređeni integral izraza Izraz se naziva podintegralni izraz, funkcija se naziva podintegralna funkcija, varijabla x je varijabla integracije. Pronalaženje neodređenog integrala zadane funkcije naziva se integracija.
GBOU SPO "Navashinsky Ship Mechanical College" Neodređeni integral. Metode proračuna
Eudoks Knidski c. 408 - cca. 355. pr e. Integralni račun pojavio se tijekom antičkog razdoblja razvoja matematičke znanosti i započeo je metodom iscrpljivanja, koju su razvili matematičari Drevna grčka, a bio je skup pravila koje je razvio Eudoks iz Knida. Prema tim pravilima izračunavane su površine i volumeni
Leibniz Gottfried Wilhelm (1646-1716) Simbol ∫ uveo je Leibniz (1675). Ovaj znak je varijacija latinskog slova S (prvo slovo riječi summa).
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) Isaac Newton (1643 - 1727) Newton i Leibniz neovisno su otkrili činjenicu poznatu kao Newton-Leibnizova formula.
Augustin Louis Cauchy (1789. - 1857.) Carl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815. 1897.) Djelo Cauchyja i Weierstrassa saželo je stoljetni razvoj integralnog računa.
U razvoju integralnog računa sudjelovali su ruski matematičari: M.V. Ostrogradsky (1801. - 1862.) V.Ya. Bunyakovsky (1804. - 1889.) P.L. Čebišev (1821. - 1894.)
NEODREĐENI INTEGRAL Neodređeni integral neprekidne funkcije f(x) na intervalu (a; b) je bilo koja njena antiderivativna funkcija. Gdje je C proizvoljna konstanta (const).
1. f(x) = x n 2. f(x) = C 3. f(x)= sinx 4. f(x) = 6. f(x) = 1. F(x) = Cx + C 2 F (x) = 3. F(x) = 4. F(x) = sin x + C 5. F(x) = c tg x + C 6. F (x) = - cos x + C 5. f( x) = cosx Podudaranje. Pronađite takav opći oblik antiderivata koji odgovara zadanu funkciju. tgx +S
Integralna svojstva
Integralna svojstva
Osnovne metode integracije Tablični. 2. Redukcija na tabličnu transformaciju integranda u zbroj ili razliku. 3.Integracija pomoću promjene varijable (supstitucija). 4. Integracija po dijelovima.
Pronađite antiderivate za funkcije: F(x) = 5 x² + C F(x) = x ³ + C F(x) = - cos x + 5x + C F(x) = 5 sin x + C F(x) = 2 x ³ + C F(x) = 3 x - x ² + C 1) f(x) = 10x 2) f(x) =3 x ² 3) f(x) = sin x +5 4) f(x) = 5 cos x 5) f (x) \u003d 6 x ² 6) f (x) = 3-2x
Je li istina da: a) c) b) d)
Primjer 1. Integral zbroja izraza jednak je zbroju integrali ovih izraza Iz predznaka integrala može se izvaditi konstantni faktor
Primjer 2. Provjerite rješenje Zabilježite rješenje:
Primjer 3. Provjerite rješenje Zabilježite rješenje:
Primjer 4 . Provjerite rješenje Napišite rješenje: Uvedite novu varijablu i izrazite razlike:
Primjer 5. Provjerite rješenje Zabilježite rješenje:
C Pretraživanje domaće zadaće neodređeni integral Provjerite rješenje Razina “A” (za “3”) Razina “B” (po “4”) Razina “C” (po “5”)
Zadatak Uspostavite podudaranje. Pronađite takav opći oblik antiderivata koji odgovara zadanoj funkciji.
primitivno. Zadatak diferencijalnog računa je pronaći njegovu derivaciju s obzirom na zadanu funkciju. Zadatak integralnog računa: pronaći funkciju, znajući njenu derivaciju. Funkcija F(x) naziva se antiderivativna za funkciju f(x) na danom intervalu ako je za bilo koji x iz tog intervala istinita jednakost F ʹ (x)=f(x).
Teorema. Ako je funkcija F(x) antiderivat za funkciju f(x) na nekom intervalu, tada skup svih antiderivata ove funkcije ima oblik F(x)+C, gdje je C R. y x 0 Geometrijski: F( x)+C je obiteljska krivulja dobivena iz svake od njih paralelnim prevođenjem duž OS osi. C integralna krivulja
Primjer 2. Naći sve antiderivativne funkcije f(x)=2x i predstaviti ih geometrijski. y x
Integrand - integrand - predznak neodređenog integrala x - integracijska varijabla F (x) + C - skup svih antiderivata C - integracijska konstanta Proces pronalaženja antiderivativne funkcije naziva se integracija, a dio matematike naziva se integralni račun.
Svojstva neodređenog integrala Diferencijal neodređenog integrala jednak je integrandu, a derivacija neodređenog integrala jednaka je integrandu:
Osnovne metode integracije. Metoda izravne integracije. Izravna integracija je metoda izračunavanja integrala u kojoj se oni svode na tablične primjenom na njih osnovnih svojstava neodređenog integrala. U ovom slučaju, integrand se obično transformira na odgovarajući način.
