Koncepti matematičko očekivanje M(x) i disperzija D(x) uveden ranije za diskretnu slučajnu varijablu može se proširiti na kontinuirane slučajne varijable.
· Matematičko očekivanje M(x) kontinuirana slučajna varijabla X definirana je jednakošću:
pod uvjetom da ovaj integral konvergira.
· Disperzija D(x) kontinuirana slučajna varijabla x definirana je jednakošću:
· Standardna devijacijaσ( x) kontinuirana slučajna varijabla definirana je jednakošću:
Sva svojstva matematičkog očekivanja i disperzije razmatrana ranije za diskretne slučajne varijable vrijede i za kontinuirane.
Problem 5.3.Slučajna vrijednost x dano diferencijalna funkcija f(x):
Pronaći M(x), D(x), σ( x), kao i P(1 < x< 5).
Odluka:
M(x)= =
+ = 8/9 0+9/6 4/6=31/18,
D(x)=
= = /
P 1 =
Zadaci
5.1. x
f(x), kao i
R(‒1/2 < x< 1/2).
5.2. Kontinuirana slučajna varijabla x dano funkcijom distribucije:
Nađite funkciju diferencijalne distribucije f(x), kao i
R(2π /9< x< π /2).
5.3. Kontinuirana slučajna varijabla x
Pronađite: a) broj s; b) M(x), D(x).
5.4. Kontinuirana slučajna varijabla x dano gustoćom distribucije:
Pronađite: a) broj s; b) M(x), D(x).
5.5. x:
Pronađi) F(x) i nacrtajte njegov graf; b) M(x), D(x), σ( x); c) vjerojatnost da će u četiri neovisna ispitivanja vrijednost x uzima točno 2 puta vrijednost koja pripada intervalu (1;4).
5.6. S obzirom na gustoću distribucije vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable x:
Pronađi) F(x) i nacrtajte njegov graf; b) M(x), D(x), σ( x); c) vjerojatnost da u tri nezavisna pokusa vrijednost xće uzeti točno 2 puta vrijednost koja pripada intervalu .
5.7. Funkcija f(x) se daje kao:
s x; b) funkcija distribucije F(x).
5.8. Funkcija f(x) se daje kao:
Nađi: a) vrijednost konstante s, pri čemu će funkcija biti gustoća vjerojatnosti neke slučajne varijable x; b) funkcija distribucije F(x).
5.9. Slučajna vrijednost x, koncentriran na interval (3;7), dan je funkcijom distribucije F(x)= x uzima vrijednost: a) manju od 5, b) ne manju od 7.
5.10. Slučajna vrijednost x, koncentriran na interval (-1; 4), dan je funkcijom distribucije F(x)= . Nađite vjerojatnost da je slučajna varijabla x uzima vrijednost: a) manju od 2, b) manju od 4.
5.11.
Pronađite: a) broj s; b) M(x); c) vjerojatnost R(X > M(x)).
5.12. Slučajna varijabla dana je funkcijom diferencijalne distribucije:
Pronađi) M(x); b) vjerojatnost R(X ≤ M(x)).
5.13. Vremenska raspodjela dana je gustoćom vjerojatnosti:
Dokaži to f(x) je doista distribucija gustoće vjerojatnosti.
5.14. S obzirom na gustoću distribucije vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable x:
Pronađite broj s.
5.15. Slučajna vrijednost x raspoređeni prema Simpsonovom zakonu (jednakokračni trokut) na segmentu [-2; 2] (slika 5.4). Pronađite analitički izraz za gustoću vjerojatnosti f(x) na cijelom brojevnom pravcu.
Riža. 5.4 Sl. 5.5
5.16. Slučajna vrijednost x distribuiraju u skladu sa zakonom pravokutni trokut" u intervalu (0; 4) (slika 5.5). Pronađite analitički izraz za gustoću vjerojatnosti f(x) na cijelom brojevnom pravcu.
Odgovori
P (-1/2<x<1/2)=2/3.
P(2π /9<x< π /2)=1/2.
5.3. a) s=1/6, b) M(x)=3 , c) D(x)=26/81.
5.4. a) s=3/2, b) M(x)=3/5, c) D(x)=12/175.
b) M(x)= 3 , D(x)= 2/9, σ( x)= /3.
b) M(x)=2 , D(x)= 3 , σ( x)= 1,893.
5.7. a) c = ; b)
5.8. a) s=1/2; b)
5.9. a) 1/4; b) 0.
5.10. a) 3/5; b) 1.
5.11. a) s= 2; b) M(x)= 2; u 1- ln 2 2 ≈ 0,5185.
5.12. a) M(x)= π /2; b) 1/2
Nasumična varijabla Naziva se veličina koja, kao rezultat ispitivanja provedenih u istim uvjetima, poprima različite, općenito govoreći, vrijednosti, ovisno o slučajnim čimbenicima koji se ne uzimaju u obzir. Primjeri slučajnih varijabli: broj bodova ispuštenih na kocku, broj neispravnih proizvoda u seriji, odstupanje točke udarca projektila od mete, vrijeme rada uređaja, itd. Razlikujte diskretne i kontinuirane slučajne varijable . Diskretna Poziva se slučajna varijabla čije moguće vrijednosti tvore prebrojiv skup, konačan ili beskonačan (tj. takav skup čiji se elementi mogu numerirati).
stalan Poziva se slučajna varijabla čije moguće vrijednosti neprekidno ispunjavaju neki konačni ili beskonačni interval brojčane osi. Broj vrijednosti kontinuirane slučajne varijable je uvijek beskonačan.
Slučajne varijable će biti označene velikim slovima kraja latinske abecede: x, Y, ...; vrijednosti slučajne varijable - malim slovima: X, y... . Tako, x Označava cijeli skup mogućih vrijednosti slučajne varijable, i X - Neko specifično značenje.
zakon o distribuciji Diskretna slučajna varijabla je korespondencija dana u bilo kojem obliku između mogućih vrijednosti slučajne varijable i njihove vjerojatnosti.
Neka su moguće vrijednosti slučajne varijable x Jesu . Kao rezultat testa, slučajna varijabla će poprimiti jednu od ovih vrijednosti, tj. Dogodit će se jedan događaj iz potpune grupe događaja koji nisu spojeni u parovima.
Neka budu poznate i vjerojatnosti ovih događaja:
Zakon distribucije slučajne varijable x Može se napisati u obliku tablice tzv Blizu distribucije Diskretna slučajna varijabla:
Red raspodjele je jednak (uvjet normalizacije).
Primjer 3.1. Pronađite zakon distribucije diskretne slučajne varijable x - broj pojavljivanja "orla" u dva bacanja novčića.
Funkcija distribucije je univerzalni oblik postavljanja zakona distribucije za diskretne i kontinuirane slučajne varijable.
Funkcija distribucije slučajne varijablex Funkcija se poziva F(x), Definirano na cijeloj brojevnoj liniji kako slijedi:
F(x)= P(x< х ),
tj. F(x) postoji vjerojatnost da će slučajna varijabla x Poprimi vrijednost manju od x.
Funkcija distribucije može se grafički prikazati. Za diskretnu slučajnu varijablu, graf ima stepenasti oblik. Izgradimo, na primjer, graf funkcije distribucije slučajne varijable zadane sljedećim nizom (slika 3.1):
|
|
|
Riža. 3.1. Graf funkcije distribucije diskretne slučajne varijable
Skokovi funkcije se javljaju u točkama koje odgovaraju mogućim vrijednostima slučajne varijable, a jednake su vjerojatnosti tih vrijednosti. U točkama prekida, funkcija F(x) kontinuirano je s lijeve strane.
Grafikon funkcije distribucije kontinuirane slučajne varijable je kontinuirana krivulja.
|
|
xRiža. 3.2. Graf funkcije distribucije kontinuirane slučajne varijable
Funkcija distribucije ima sljedeća očita svojstva:
1) 
, 2) , 3) ,
4) 
na .
Nazvat ćemo događaj koji se sastoji u činjenici da je slučajna varijabla x Poprimi vrijednost X, Pripada nekom poluzatvorenom intervalu A£ x< B, Udaranjem slučajne varijable na intervalu [ A, B).
Teorem 3.1. Vjerojatnost da slučajna varijabla padne u interval [ A, B) jednak je prirastu funkcije distribucije na ovom intervalu:
Ako smanjimo interval [ A, B), Uz pretpostavku da , tada u granici, formula (3.1) umjesto vjerojatnosti pogađanja intervala daje vjerojatnost pogađanja točke, tj. vjerojatnost da slučajna varijabla poprimi vrijednost A:
Ako funkcija distribucije ima diskontinuitet u točki A, Tada je granica (3.2) jednaka vrijednosti skoka funkcije F(x) u točki x=A, Odnosno, vjerojatnosti da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost A (slika 3.3, ALI). Ako je slučajna varijabla kontinuirana, tj. funkcija je kontinuirana F(x), tada je granica (3.2) jednaka nuli (slika 3.3, B)
Dakle, vjerojatnost bilo koje određene vrijednosti kontinuirane slučajne varijable je nula. Međutim, to ne znači da je događaj nemoguć. X=A, Ali to samo govori da će relativna učestalost ovog događaja težiti nuli s neograničenim povećanjem broja testova.
|
ALI) |
B)Riža. 3.3. Skok funkcije distribucije
Za kontinuirane slučajne varijable, uz funkciju distribucije, koristi se još jedan oblik specificiranja zakona distribucije - gustoća distribucije.
Ako je vjerojatnost pogađanja intervala , tada omjer karakterizira gustoću s kojom je vjerojatnost raspoređena u blizini točke x. Granica ove relacije na , t.j. e. izvedenica, zove se Gustoća distribucije(gustoća distribucije vjerojatnosti, gustoća vjerojatnosti) slučajne varijable x. Slažemo se da ćemo označiti gustoću distribucije
.
Dakle, gustoća distribucije karakterizira vjerojatnost da slučajna varijabla padne u susjedstvo točke X.
Dijagram gustoće raspodjele naziva se krive raseDefinicije(Slika 3.4).
Riža. 3.4. Tip gustoće raspodjele
Na temelju definicije i svojstava funkcije distribucije F(x), lako je ustanoviti sljedeća svojstva gustoće raspodjele F(x):
1) F(x)³0
2) 
3) 
4) 
Za kontinuiranu slučajnu varijablu, zbog činjenice da je vjerojatnost pogađanja točke nula, vrijede sljedeće jednakosti:
Primjer 3.2. Slučajna vrijednost x Određeno gustoćom distribucije
Potreban:
A) pronađite vrijednost koeficijenta ALI;
B) pronaći funkciju distribucije;
C) pronaći vjerojatnost da slučajna varijabla padne u interval (0, ).
Funkcija distribucije ili gustoća distribucije u potpunosti opisuje slučajnu varijablu. Često, međutim, pri rješavanju praktičnih problema nije potrebno potpuno poznavanje zakona raspodjele, dovoljno je poznavati samo neke njegove karakteristične značajke. Za to se u teoriji vjerojatnosti koriste numeričke karakteristike slučajne varijable koje izražavaju različita svojstva zakona distribucije. Glavne numeričke karakteristike su MatematičkiOčekivanje, varijanca i standardna devijacija.
Očekivana vrijednost Karakterizira položaj slučajne varijable na brojevnoj osi. Ovo je neka prosječna vrijednost slučajne varijable oko koje su grupirane sve njezine moguće vrijednosti.
Matematičko očekivanje slučajne varijable x Simbolizirano M(x) ili T. Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable je zbroj uparenih proizvoda svih mogućih vrijednosti slučajne varijable i vjerojatnosti tih vrijednosti:
Matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable određuje se pomoću nepravilnog integrala:
Na temelju definicija lako je provjeriti valjanost sljedećih svojstava matematičkog očekivanja:
1. (matematičko očekivanje neslučajne varijable S Jednako s najvećom neslučajnom vrijednosti).
2. Ako je ³0, onda ³0.
4. Ako i neovisna, zatim .
Primjer 3.3. Pronađite matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable dano nizom distribucija:
Odluka.
=0×0,2 + 1×0,4 + 2×0,3 + 3×0,1=1,3.
Primjer 3.4. Nađite matematičko očekivanje slučajne varijable zadano gustoćom distribucije:
.
Odluka.
Disperzija i standardna devijacija One su karakteristike disperzije slučajne varijable, karakteriziraju širenje njezinih mogućih vrijednosti u odnosu na matematičko očekivanje.
disperzija D(x) nasumična varijabla x Zove se matematičko očekivanje kvadratnog odstupanja slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja. Za diskretnu slučajnu varijablu varijanca se izražava zbrojem:
(3.3)
A za kontinuirano - integralno
(3.4)
Varijanca ima dimenziju kvadrata slučajne varijable. karakteristika raspršenja, Odgovarajuća veličinaStee sa slučajnom varijablom, je standardna devijacija.
Svojstva disperzije:
1) su konstantne. Posebno,
3) 
Posebno,
Imajte na umu da se izračun varijance po formuli (3.5) često pokaže prikladnijim od formule (3.3) ili (3.4).
Vrijednost se zove kovarijanca slučajne varijable.
Ako je a 
, zatim vrijednost
pozvao Koeficijent korelacije slučajne varijable.
Može se pokazati da ako 
, tada su veličine linearno ovisne: gdje 
Imajte na umu da ako su neovisni, onda
Primjer 3.5. Pronađite varijancu slučajne varijable zadane nizom distribucije iz primjera 1.
Odluka. Da biste izračunali varijancu, morate znati matematičko očekivanje. Za danu slučajnu varijablu iznad, pronađeno je: M=1.3. Varijancu izračunavamo pomoću formule (3.5):
Primjer 3.6. Slučajna varijabla je dana gustoćom distribucije
Pronađite varijancu i standardnu devijaciju.
Odluka. Prvo nalazimo matematičko očekivanje:
(kao integral neparne funkcije preko simetričnog intervala).
Sada izračunavamo varijancu i standardnu devijaciju:
1. Binomna distribucija. Slučajna varijabla, jednaka broju "USPJEHA" u Bernoullijevoj shemi, ima binomnu distribuciju: 
, 
.
Matematičko očekivanje slučajne varijable raspoređene prema binomskom zakonu je
.
Varijanca ove distribucije je .
2. Poissonova raspodjela 
,
Matematičko očekivanje i varijanca slučajne varijable s Poissonovom distribucijom , .
Poissonova distribucija se često koristi kada imamo posla s brojem događaja koji se događaju u vremenskom ili prostoru, kao što je broj automobila koji stignu u autopraonicu u jednom satu, broj zaustavljanja stroja tjedno, broj prometnih nesreća itd.
Slučajna varijabla ima Geometrijska raspodjela s parametrom if uzima vrijednosti s vjerojatnostima 
. Slučajna varijabla s takvom distribucijom ima smisla Brojevi prvog uspješnog testa u Bernoullijevoj shemi s vjerojatnošću uspjeha . Tablica distribucije izgleda ovako:
3. Normalna distribucija. Među ostalim zakonima raspodjele posebno mjesto zauzima normalni zakon distribucije vjerojatnosti. U teoriji vjerojatnosti dokazuje se da je gustoća vjerojatnosti zbroja neovisnih odn Slabo ovisan, jednoliko mali (tj. igraju približno istu ulogu) pojmovi s neograničenim povećanjem njihovog broja približava se normalnom zakonu distribucije koliko god se želi, bez obzira na to koje zakone raspodjele ti pojmovi imaju (središnji granični teorem A. M. Lyapunova).
SLUČAJNE VRIJEDNOSTI
Primjer 2.1. Slučajna vrijednost x dano funkcijom distribucije
Pronađite vjerojatnost da kao rezultat testa xće uzeti vrijednosti između (2,5; 3,6).
Odluka: x u intervalu (2.5; 3.6) može se odrediti na dva načina:
Primjer 2.2. Na kojim vrijednostima parametara ALI i NA funkcija F(x) = A + Be - x može biti funkcija distribucije za nenegativne vrijednosti slučajne varijable x.
Odluka: Budući da su sve moguće vrijednosti slučajne varijable x pripadaju intervalu , tada da bi funkcija bila funkcija distribucije za x, imovina treba sadržavati:
.
Odgovor: 
.
Primjer 2.3. Slučajna varijabla X dana je funkcijom distribucije
Pronađite vjerojatnost da će, kao rezultat četiri neovisna ispitivanja, vrijednost x točno 3 puta će uzeti vrijednost koja pripada intervalu (0,25; 0,75).
Odluka: Vjerojatnost dostizanja vrijednosti x u intervalu (0,25; 0,75) nalazimo po formuli:
Primjer 2.4. Vjerojatnost da lopta udari u koš u jednom bacanju je 0,3. Nacrtaj zakon raspodjele broja pogodaka u tri bacanja.
Odluka: Slučajna vrijednost x- broj pogodaka u koš s tri bacanja - može poprimiti vrijednosti: 0, 1, 2, 3. Vjerojatnosti da x
x:
Primjer 2.5. Dva strijelca vrše jedan hitac u metu. Vjerojatnost da ga pogodi prvi strijelac je 0,5, drugi - 0,4. Zapišite zakon raspodjele broja pogodaka u metu.
Odluka: Pronađite zakon raspodjele diskretne slučajne varijable x- broj pogodaka u metu. Neka događaj bude pogodak prvog strijelca u metu, i - pogodak drugog strijelca, odnosno - njihovi promašaji.
Sastavimo zakon distribucije vjerojatnosti SV x:
Primjer 2.6. Testirana su 3 elementa koji rade neovisno jedan o drugom. Trajanje vremena (u satima) nesmetanog rada elemenata ima funkcije gustoće raspodjele: za prvi: F 1 (t) =1-e- 0,1 t, za drugi: F 2 (t) = 1-e- 0,2 t, za treću: F 3 (t) =1-e- 0,3 t. Pronađite vjerojatnost da će u vremenskom intervalu od 0 do 5 sati: samo jedan element otkazati; samo dva elementa neće uspjeti; sva tri elementa ne uspijevaju.
Odluka: Koristimo se definicijom generirajuće funkcije vjerojatnosti:
Vjerojatnost da u neovisnim ispitivanjima, u prvom od kojih je vjerojatnost nastanka događaja ALI jednako , u drugom, itd., događaj ALI pojavljuje se točno jednom, jednaka je koeficijentu pri u proširenju generirajuće funkcije u potencijama . Pronađimo vjerojatnosti kvara, odnosno nekvara prvog, drugog i trećeg elementa u vremenskom intervalu od 0 do 5 sati:
Napravimo generirajuću funkciju:
Koeficijent pri jednak je vjerojatnosti da se događaj ALI pojavit će se točno tri puta, odnosno vjerojatnost kvara sva tri elementa; koeficijent at jednak je vjerojatnosti da će točno dva elementa otkazati; koeficijent at jednak je vjerojatnosti da će samo jedan element otkazati.
Primjer 2.7. Zadana gustoća vjerojatnosti f(x) nasumična varijabla x:
Pronađite funkciju distribucije F(x).
Odluka: Koristimo formulu:
.
Dakle, funkcija distribucije ima oblik:
Primjer 2.8. Uređaj se sastoji od tri neovisna radna elementa. Vjerojatnost kvara svakog elementa u jednom eksperimentu je 0,1. Sastavite zakon raspodjele broja neuspjelih elemenata u jednom eksperimentu.
Odluka: Slučajna vrijednost x- broj elemenata koji nisu uspjeli u jednom eksperimentu - može imati vrijednosti: 0, 1, 2, 3. Vjerojatnosti koje x uzima ove vrijednosti, nalazimo po Bernoullijevoj formuli:
Tako dobivamo sljedeći zakon distribucije vjerojatnosti slučajne varijable x:
Primjer 2.9. Postoje 4 standardna dijela u puno od 6 dijelova. 3 stavke su nasumično odabrane. Sastaviti zakon raspodjele broja standardnih dijelova među odabranim.
Odluka: Slučajna vrijednost x- broj standardnih dijelova među odabranim - može imati vrijednosti: 1, 2, 3 i ima hipergeometrijsku raspodjelu. Vjerojatnosti da x
gdje -- broj dijelova u lotu;
-- broj standardnih dijelova u seriji;
– broj odabranih dijelova;
-- broj standardnih dijelova među odabranima.
.
.
.
Primjer 2.10. Slučajna varijabla ima gustoću distribucije
gdje i nisu poznati, ali , a i . Pronađite i .
Odluka: U ovom slučaju, slučajna varijabla x ima trokutastu distribuciju (Simpsonovu distribuciju) na intervalu [ a, b]. Brojčane karakteristike x:
Stoga, 
. Rješavajući ovaj sustav dobivamo dva para vrijednosti: . Budući da, prema stanju problema, konačno imamo: 
.
Odgovor: .
Primjer 2.11. U prosjeku za 10% ugovora osiguravajuće društvo isplaćuje osigurane svote u svezi s nastankom osiguranog slučaja. Izračunajte matematičko očekivanje i varijaciju broja takvih ugovora među četiri nasumično odabrana.
Odluka: Matematička očekivanja i varijanca mogu se pronaći pomoću formula:
.
Moguće vrijednosti SV (broj ugovora (od četiri) s nastankom osiguranog slučaja): 0, 1, 2, 3, 4.
Koristimo Bernoullijevu formulu za izračunavanje vjerojatnosti različitog broja ugovora (od četiri) za koje su plaćene osigurane svote:
.
Raspodjela CV-a (broj ugovora s nastankom osiguranog slučaja) ima oblik:
| 0,6561 | 0,2916 | 0,0486 | 0,0036 | 0,0001 |
Odgovor: , .
Primjer 2.12. Od pet ruža dvije su bijele. Napišite zakon raspodjele za slučajnu varijablu koja izražava broj bijelih ruža između dvije istovremeno uzete.
Odluka: U uzorku od dvije ruže možda neće biti bijele ruže ili može biti jedna ili dvije bijele ruže. Dakle, slučajna varijabla x može poprimiti vrijednosti: 0, 1, 2. Vjerojatnosti da x uzima ove vrijednosti, nalazimo po formuli:
gdje -- broj ruža;
-- broj bijelih ruža;
– broj istovremeno uzetih ruža;
-- broj bijelih ruža među uzetima.
.
.
.
Tada će zakon distribucije slučajne varijable biti sljedeći:
Primjer 2.13. Od 15 sklopljenih jedinica, 6 ih treba dodatno podmazati. Izradite zakon raspodjele za broj jedinica kojima je potrebno dodatno podmazivanje, između pet nasumično odabranih od ukupnog broja.
Odluka: Slučajna vrijednost x- broj jedinica kojima je potrebno dodatno podmazivanje između pet odabranih - može imati vrijednosti: 0, 1, 2, 3, 4, 5 i ima hipergeometrijsku raspodjelu. Vjerojatnosti da x uzima ove vrijednosti, nalazimo po formuli:
gdje -- broj sklopljenih jedinica;
-- broj jedinica koje zahtijevaju dodatno podmazivanje;
– broj odabranih agregata;
-- broj jedinica kojima je potrebno dodatno podmazivanje među odabranim.
.
.
.
.
.
.
Tada će zakon distribucije slučajne varijable biti sljedeći:
Primjer 2.14. Od 10 satova primljenih na popravak, 7 treba generalno čišćenje mehanizma. Satovi nisu razvrstani prema vrsti popravka. Majstor, želeći pronaći sat koji treba očistiti, pregledava ih jednog po jednog i, nakon što je pronašao takav sat, zaustavlja daljnje gledanje. Pronađite matematičko očekivanje i varijaciju broja sati gledanja.
Odluka: Slučajna vrijednost x- broj jedinica kojima je potrebno dodatno podmazivanje između pet odabranih - može imati sljedeće vrijednosti: 1, 2, 3, 4. Vjerojatnosti da x uzima ove vrijednosti, nalazimo po formuli:
.
.
.
.
Tada će zakon distribucije slučajne varijable biti sljedeći:
Sada izračunajmo numeričke karakteristike količine:
Odgovor: , .
Primjer 2.15. Pretplatnik je zaboravio posljednju znamenku telefonskog broja koji mu je potreban, ali se sjeća da je to čudno. Pronađite matematičko očekivanje i varijancu broja biranja koje je napravio prije nego što je pogodio željeni broj, ako nasumično bira posljednju znamenku i ne bira biranu znamenku u budućnosti.
Odluka: Slučajna varijabla može imati vrijednosti: . Budući da pretplatnik ne bira biranu znamenku u budućnosti, vjerojatnosti ovih vrijednosti su jednake.
Sastavimo niz distribucije slučajne varijable:
| 0,2 |
Izračunajmo matematičko očekivanje i varijancu broja pokušaja biranja:
Odgovor: , .
Primjer 2.16. Vjerojatnost kvara tijekom ispitivanja pouzdanosti za svaki uređaj iz serije jednaka je str. Odredite matematičko očekivanje broja uređaja koji nisu uspjeli, ako su testirani N uređaji.
Odluka: Diskretna slučajna varijabla X je broj neispravnih uređaja N nezavisni testovi, u svakom od kojih je vjerojatnost neuspjeha jednaka p, raspoređeni prema binomskom zakonu. Matematičko očekivanje binomske distribucije jednako je umnošku broja pokušaja i vjerojatnosti da se događaj dogodi u jednom pokusu:
Primjer 2.17. Diskretna slučajna varijabla x uzima 3 moguće vrijednosti: s vjerojatnošću ; s vjerojatnošću i s vjerojatnošću . Pronađite i znajući da je M( x) = 8.
Odluka: Koristimo definicije matematičkog očekivanja i zakon distribucije diskretne slučajne varijable:
Pronašli smo: .
Primjer 2.18. Odjel tehničke kontrole provjerava standardnost proizvoda. Vjerojatnost da je stavka standardna je 0,9. Svaka serija sadrži 5 artikala. Pronađite matematičko očekivanje slučajne varijable x- broj serija, od kojih svaka sadrži točno 4 standardna proizvoda, ako je 50 serija podložno provjeri.
Odluka: U ovom slučaju, svi provedeni eksperimenti su neovisni, a vjerojatnosti da svaka serija sadrži točno 4 standardna proizvoda su iste, stoga se matematičko očekivanje može odrediti formulom:
,
gdje je broj stranaka;
Vjerojatnost da serija sadrži točno 4 standardne stavke.
Vjerojatnost pronalazimo pomoću Bernoullijeve formule:
Odgovor: 
.
Primjer 2.19. Pronađite varijancu slučajne varijable x– broj pojavljivanja događaja A u dva neovisna pokusa, ako su vjerojatnosti nastanka događaja u tim pokusima jednake i poznato je da M(x) = 0,9.
Odluka: Problem se može riješiti na dva načina.
1) Moguće CB vrijednosti x: 0, 1, 2. Koristeći Bernoullijevu formulu, određujemo vjerojatnosti ovih događaja:
,
,
.
Zatim zakon o raspodjeli x izgleda kao:
Iz definicije matematičkog očekivanja određujemo vjerojatnost:
Nađimo varijancu SW x:
.
2) Možete koristiti formulu:
.
Odgovor: 
.
Primjer 2.20. Matematičko očekivanje i standardna devijacija normalno raspoređene slučajne varijable x su 20 odnosno 5. Nađite vjerojatnost da će kao rezultat testa xće uzeti vrijednost sadržanu u intervalu (15; 25).
Odluka: Vjerojatnost pogađanja normalne slučajne varijable x na odsjeku od do izraženo je u terminima Laplaceove funkcije:
Primjer 2.21. Zadana funkcija: 
Pri kojoj vrijednosti parametra C ova funkcija je gustoća distribucije neke kontinuirane slučajne varijable x? Pronađite matematičko očekivanje i varijancu slučajne varijable x.
Odluka: Da bi funkcija bila gustoća distribucije neke slučajne varijable, mora biti nenegativna i mora zadovoljavati svojstvo:
.
Stoga:
Izračunajte matematičko očekivanje koristeći formulu:
.
Izračunajte varijancu pomoću formule:
T je str. Potrebno je pronaći matematičko očekivanje i varijancu ove slučajne varijable.
Odluka: Zakon distribucije diskretne slučajne varijable X - broj pojavljivanja događaja u neovisnim pokusima, u svakom od kojih je vjerojatnost pojave događaja , naziva se binom. Matematičko očekivanje binomske distribucije jednako je umnošku broja pokušaja i vjerojatnosti pojave događaja A u jednom pokusu:
.
Primjer 2.25. U metu se ispaljuju tri neovisna hica. Vjerojatnost da ćete pogoditi svaki metak je 0,25. Odredite standardnu devijaciju broja pogodaka s tri udarca.
Odluka: Budući da se izvode tri nezavisna pokusa, a vjerojatnost pojave događaja A (pogotka) u svakom pokušaju je ista, pretpostavit ćemo da je diskretna slučajna varijabla X - broj pogodaka na meti - raspoređena prema binomu zakon.
Varijanca binomske distribucije jednaka je umnošku broja pokušaja i vjerojatnosti pojave i nepojave događaja u jednom pokusu:
Primjer 2.26. Prosječan broj klijenata koji posjećuju osiguravajuće društvo u 10 minuta je tri. Pronađite vjerojatnost da barem jedan kupac stigne u sljedećih 5 minuta.
Prosječan broj kupaca koji dolaze za 5 minuta: 
. .
Primjer 2.29. Vrijeme čekanja za aplikaciju u procesorskom redu slijedi eksponencijalni zakon distribucije s prosječnom vrijednošću od 20 sekundi. Pronađite vjerojatnost da će sljedeći (proizvoljni) zahtjev čekati procesor duže od 35 sekundi.
Odluka: U ovom primjeru, očekivanje 
, a stopa neuspjeha je .
Tada je željena vjerojatnost:
Primjer 2.30. Skupina od 15 učenika održava sastanak u dvorani s 20 redova po 10 sjedećih mjesta. Svaki učenik nasumce zauzima mjesto u dvorani. Kolika je vjerojatnost da ne više od tri osobe budu na sedmom mjestu u nizu?
Odluka:
Primjer 2.31.
Tada prema klasičnoj definiciji vjerojatnosti:
gdje -- broj dijelova u lotu;
-- broj nestandardnih dijelova u seriji;
– broj odabranih dijelova;
-- broj nestandardnih dijelova među odabranim.
Tada će zakon raspodjele slučajne varijable biti sljedeći.
Kao što je poznato, nasumična varijabla naziva se varijabla koja može poprimiti određene vrijednosti ovisno o slučaju. Slučajne varijable označene su velikim slovima latinske abecede (X, Y, Z), a njihove vrijednosti - odgovarajućim malim slovima (x, y, z). Slučajne varijable dijele se na diskontinuirane (diskretne) i kontinuirane.
Diskretna slučajna varijabla naziva se slučajna varijabla koja uzima samo konačan ili beskonačan (prebrojiv) skup vrijednosti s određenim vjerojatnostima koje nisu nula.
Zakon distribucije diskretne slučajne varijable je funkcija koja povezuje vrijednosti slučajne varijable s njihovim odgovarajućim vjerojatnostima. Zakon raspodjele može se specificirati na jedan od sljedećih načina.
1 . Zakon raspodjele može se dati tablicom:
gdje je λ>0, k = 0, 1, 2, … .
u) preko funkcija distribucije F(x) , koji za svaku vrijednost x određuje vjerojatnost da slučajna varijabla X poprimi vrijednost manju od x, t.j. F(x) = P(X< x).
Svojstva funkcije F(x)
3 . Zakon raspodjele može se postaviti grafički – distribucijski poligon (poligon) (vidi problem 3).
Imajte na umu da za rješavanje nekih problema nije potrebno poznavati zakon raspodjele. U nekim slučajevima dovoljno je znati jedan ili više brojeva koji odražavaju najvažnije značajke zakona o raspodjeli. To može biti broj koji ima značenje "prosječne vrijednosti" slučajne varijable ili broj koji pokazuje prosječnu veličinu odstupanja slučajne varijable od njezine prosječne vrijednosti. Brojevi ove vrste nazivaju se numeričkim karakteristikama slučajne varijable.
Osnovne numeričke karakteristike diskretne slučajne varijable :
- Matematičko očekivanje
(srednja vrijednost) diskretne slučajne varijable M(X)=Σ x i p i.
Za binomnu distribuciju M(X)=np, za Poissonovu distribuciju M(X)=λ - Disperzija
diskretna slučajna varijabla D(X)=M2 ili D(X) = M(X 2) − 2. Razlika X–M(X) naziva se odstupanjem slučajne varijable od njezina matematičkog očekivanja.
Za binomnu distribuciju D(X)=npq, za Poissonovu distribuciju D(X)=λ - Standardna devijacija (standardna devijacija) σ(X)=√D(X).
Primjeri rješavanja zadataka na temu "Zakon distribucije diskretne slučajne varijable"
Zadatak 1.
Izdano je 1.000 lutrijskih listića: njih 5 će osvojiti 500 rubalja, 10 će osvojiti 100 rubalja, 20 će osvojiti 50 rubalja, a 50 će osvojiti 10 rubalja. Odrediti zakon distribucije vjerojatnosti slučajne varijable X - dobitak po listiću.
Odluka. Prema uvjetu zadatka moguće su sljedeće vrijednosti slučajne varijable X: 0, 10, 50, 100 i 500.
Broj listića bez dobitka je 1000 - (5+10+20+50) = 915, zatim P(X=0) = 915/1000 = 0,915.
Slično, nalazimo sve ostale vjerojatnosti: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Rezultirajući zakon predstavljamo u obliku tablice:
Nađite matematičko očekivanje od X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5
Zadatak 3.
Uređaj se sastoji od tri neovisna radna elementa. Vjerojatnost kvara svakog elementa u jednom eksperimentu je 0,1. Sastaviti zakon raspodjele za broj neuspjelih elemenata u jednom eksperimentu, izgraditi poligon distribucije. Pronađite funkciju distribucije F(x) i nacrtajte je. Pronađite matematičko očekivanje, varijancu i standardnu devijaciju diskretne slučajne varijable.
Odluka. 1. Diskretna slučajna varijabla X=(broj neuspjelih elemenata u jednom eksperimentu) ima sljedeće moguće vrijednosti: x 1 =0 (nijedan od elemenata uređaja nije uspio), x 2 =1 (jedan element nije uspio), x 3 =2 ( dva elementa nisu uspjela) i x 4 \u003d 3 (tri elementa nisu uspjela).
Kvarovi elemenata su neovisni jedan o drugom, vjerojatnosti kvara svakog elementa su međusobno jednake, stoga je primjenjiv Bernoullijeva formula
. S obzirom da pod uvjetom, n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, određujemo vjerojatnosti vrijednosti:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 \u003d 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 \u003d 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 \u003d 0,001;
Provjerite: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.
Dakle, željeni zakon binomske distribucije X ima oblik:
Na osi apscise ucrtavamo moguće vrijednosti x i, a na osi ordinate odgovarajuće vjerojatnosti p i. Konstruirajmo točke M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Povezujući ove točke s segmentima, dobivamo željeni poligon distribucije.
3. Pronađite funkciju distribucije F(x) = P(X
Za x ≤ 0 imamo F(x) = P(X<0) = 0;za 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
za 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
za 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
za x > 3 bit će F(x) = 1, jer događaj je izvjestan.
 |
Grafikon funkcije F(x)
4.
Za binomsku distribuciju X:
- matematičko očekivanje M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- disperzija D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- standardna devijacija σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.
Pronaći:
a) parametar A;
b) funkcija distribucije F(x) ;
c) vjerojatnost pogađanja slučajne varijable X u intervalu;
d) matematičko očekivanje MX i varijanca DX .
Nacrtajte funkcije f(x) i F(x) .
Zadatak 2. Pronađite varijancu slučajne varijable X zadanu integralnom funkcijom.
Zadatak 3. Nađite matematičko očekivanje slučajne varijable X zadanu funkciju distribucije.
Zadatak 4. Gustoća vjerojatnosti neke slučajne varijable dana je kako slijedi: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Pronađite koeficijent A , funkciju distribucije F(x), matematičko očekivanje i varijancu, kao i vjerojatnost da slučajna varijabla zauzme vrijednost u intervalu . Nacrtajte grafove f(x) i F(x).
Zadatak. Funkcija distribucije neke kontinuirane slučajne varijable data je kako slijedi:
Odredite parametre a i b , pronađite izraz za gustoću vjerojatnosti f(x) , matematičko očekivanje i varijancu, kao i vjerojatnost da slučajna varijabla poprimi vrijednost u intervalu . Nacrtajte grafove f(x) i F(x).
Nađimo funkciju gustoće distribucije kao derivaciju funkcije distribucije.
F′=f(x)=a
Znajući da ćemo pronaći parametar a: 
ili 3a=1, odakle je a = 1/3
Parametar b nalazimo iz sljedećih svojstava:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 odakle je b = -1/3
Dakle, funkcija distribucije je: F(x) = (x-1)/3
Disperzija.
1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Pronađite vjerojatnost da slučajna varijabla zauzme vrijednost u intervalu
P(2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3
Primjer #1. Zadana je gustoća distribucije vjerojatnosti f(x) kontinuirane slučajne varijable X. Potreban:
- Odredite koeficijent A.
- pronaći funkciju distribucije F(x) .
- shematski nacrtajte F(x) i f(x) .
- pronaći matematičko očekivanje i varijancu X .
- pronaći vjerojatnost da X uzima vrijednost iz intervala (2;3).
Odluka:
Slučajna varijabla X dana je gustoćom distribucije f(x):
Nađite parametar A iz uvjeta:
ili
14/3*A-1=0
Gdje,
A = 3/14
Funkcija distribucije može se pronaći po formuli.
